第21章 一元二次方程 单元测试卷-【金榜设计】2025-2026学年九年级上册数学单元与月考综合测试卷（人教版）

绝密★启用前 金榜设计一单元与月考综合测评卷（八教版） 九年级上册《第二十一章一元二次方程》单元测试卷 注意事项： 1.本试卷共8页，三个大题，26小题，满分120分，考试时间100分钟。 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上。答在试卷 上的答案无效。（备注：本试卷备有答题卡，供学生选用） 一。选择题（共12小题，每小题3分，共36分.） 1.若关于x的方程(m-2)xm2-2+4x-7=0是一元二次方程，则m的值为 A.m≠2 B.m=±2 C.m=-2 D.m=2 2.把方程2x(x-1)=3x化成一元二次方程的一般形式，则二次项系数、一次项系数、常 数项分别是 () A.2,1,0 B.2,-5,0 C.2,-3,-1D.2,5,0 3.方程(x-2)(x-4)=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为( A.6 B.8 C.10 D.8或10 4.关于x的一元二次方程ax2-2x+1=0有实数根，则a的取值范围是 A.a>1 B.a<1 C.a≤1且a≠0 D.a<1且a≠0 5.已知方程x2-5x+2=0的两个解分别为1，x2,则+x2-x12的值为 A.3 B.-3 C.7 D.-7 6.若2x2+1与4x2-2x-5的值互为相反数，则x的值是 A.-1或 B.1或- C.1或- D.1或 7.如果关于x的方程(x-9)2=m+4可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是() A.m>3 B.m23 C.m>-4 D.m2-4 8.一个小组有若干人，每年互送贺年卡片一张，已知全组共送贺年卡56张，则这个小组有 ( ) A.16人 B.10人 C.9人 D.8人 9.生物学家研究发现，很多植物的生长都有下面的规律，即主干长出若干数目的支干后，每 个支干又会长出同样数目的小分支.现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干 第1页（共9页） 和小分支的总数是91，则这种植物每个支干长出小分支的个数是 () A.9 B.10 C.-10 D.9或10 10.已知实数a,b分别满足a2-6a+4=0,b2-6b+4=0,且ab,则a+b的值是() A.4 B.-4 C.6 D.-6 11.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm,BC=6cm,动点P,Q分别从点A,B同 时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cmls,点Q的速度为2cms,点Q移动 到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形APQC的面积为9cm时，则点P运动的 时间是 () A.3s B.3s或5s C.4s D.5s 12.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法： ①若a+b+c=0,则b2-4ac≥0： ②若方程ax+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根： ③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立； ④若0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2-4ac=(2axo+b)2. 其中正确的 () A.只有①②B.只有①②④ C.①②③④ D.只有①②③ 二。填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13.已知关于x的一元二次方程x2-3x+4=0的一个根是1，则m= 14.关于x的一元二次方程9x2-6x+c=0有两个相等的实数根，则c= 15.已知x2+4x-2=0,那么3x2+12x+2016的值为 16.若方程2,3x-4=0的两个根分别为和：则片+名 无1 17.一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2-8x+12=0的根，则该三角形的 周长为 18.在欧几里得的《几何原本》中提到，形如x+x=b2(a>0,b>0)的方程的图解法是： 如图，以和b为直角边作Rt△ABC,再在斜边上截取CD=?则AD的长为所求方程的 正根.若关于x的一元二次方程x2+mx=64,当图中CD:AD=3:2,那么m的值为 第2页（共9页） B 三。解答题（共8小题，共66分.） 19.(6分)解下列方程： (1)5x2-8x=-5: (2)y(y-1)=2-2y. 20.(6分)嘉嘉与淇淇两位同学解方程3(x-3)=(x-3)2的过程如下. 嘉嘉：两边同时除以（x-3),得3=x-3, 解得x=6. 淇淇：移项，得3(x-3)-(x-3)2=0, 提取公因式，得（x-3)(3-x-3)=0. 则x-3=0或3-x-3=0, 解得x1=3,x2=0. (1)嘉嘉的解法 ,淇淇的解法 .(填正确”或不正确”) 第3页（共9页） (2)请你给出正确的解法 21.(8分)如果关于x的一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根比 另一个根大1，那么称这样的方程为邻根方程”.例如，一元二次方程x2+x=0的两个根 是1=0,2=-1，则方程x2+x=0是邻根方程” (1)通过计算，判断方程x2-5x+6=0是否是邻根方程”； 第4页（共9页） (2)已知关于x的二次方程x2-(m-1)x+3m-12=0.(m是常数)是邻根方程”，求 m的值. 22.(8分)某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计， 第一个月进馆120人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆570人次，若进馆人 次的月平均增长率相同， (1)求进馆人次的月平均增长率； 第5页（共9页） (2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率 不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由， 23.(8分)如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米）围成中 间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的宽AB为x米. (1)若围成的花圃面积为36平方米，求此时宽AB; 第6页（共9页） (2)能围成面积为52平方米的花圃吗？若能，请说明围法；若不能，请说明理由. 0 D 24.(10分)已知关于x的一元二次方程(a+c)x2-2bx+(a-c)=0,其中a、b、c分别为 △ABC三边的长. (1)如果x=1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； 第7页（共9页） (3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根. 25.(10分)已知关于x的一元二次方程x2+（1-2m)x+m2-1=0有两个不相等的实数根. (1)求实数m的取值范围： (2)设x1,x2是方程的两个根且x好+x2+x1x2-6=0,求m的值. 第8页（共9页） 26.(10分)已知关于x的方程kx2-(3k-1)x+2(k-1)=0. (1)求证：无论k为何实数，方程总有实数根： (2)若此方程有两个实数根1、x2,且x1-x2=2,求k的值. 第9页（共9页）金榜设计一单元与月考综合测评卷 详解答案 1、【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程. 【解答】解：∵关于x的方程(m-2)xm2-2+4x-7=0是一元二次方程， 2 解得：m=-2. 故选：C 【点评】此题主要考查了一元二次方程定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓 住5个方面：“化简后；“一个未知数；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于 0”;“整式方程”. 2、【分析】先去括号，移项，合并同类项，再找出各项系数即可. 【解答】解：2x(x-1)=3x, 2x2-2x-3x=0, 2x2-5x=0, 所以二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，-5,0， 故选：B. 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，注意：①一元二次方程的一般形式是 ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a0),②找各项系数带着前面的符号. 3、【分析】先利用因式分解法解方程得到x1=2,=4,再根据三角形三边的关系判断等 腰三角形的底为2，腰为4，然后计算这个等腰三角形的周长， 【解答】解：.（x-2)(x-4)=0, ∴.x-2=0或x-4=0, ∴.x1=2,x2=4, .当2为腰，4为底时，2+2=4，不符合三角形三边的关系， .等腰三角形的底为2，腰为4， ,∴.这个等腰三角形的周长=2+4+4=10. 故选：C. 【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通 第1页（共12页） 过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能 得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解 一元一次方程的问题了（数学转化思想）.也考查了等腰三角形的性质和三角形三边的关系： 4、【分析】根据关于x的一元二次方程ax2-2x+1=0有实数根知△=(-2)2-4×a×1≥0 且a0,解之即可， 【解答】解：.关于x的一元二次方程ax2-2x+1=0有实数根， ∴.△=(-2)2-4×a×1≥0且a≠0， 解得a≤1且a≠0， 故选：C. 【点评】本题主要考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0) 的根与△=b2-4ac有如下关系： ①当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△<0时，方程无实数根 5、【分析】由根与系数的关系得出+x2=5,x2=2,将其代入+2-12中即可得出 结论. 【解答】解：.方程x2-5x+2=0的两个解分别为，2， ∴.x1+x2=5,1x2=2, ∴.x1+龙2-x12=5-2=3. 故选：A. 【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是根据根与系数的关系得出x1+2=5, 2=2.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根 之和与两根之积是关键. 6、【分析】直接利用2x2+1与4x2-2x-5的值互为相反数得出2x2+1+4x2-2x-5=0,进而 整理利用十字相乘法分解因式得出即可. 【解答】解：.2x2+1与4x2-2x-5的值互为相反数， .2x2+1+4x2-2x-5=0, 则3x2-x-2=0, (x-1)(3x+2)=0, 第2页（共12页） 解得：=1,0=景 故选：B. 【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确分解因式是解题关键， 7、【分析】根据解一元二次方程-直接开平方法，进行计算即可解答. 【解答】解：由题意得： m+4>0, .∴.m2-4, 故选：D 【点评】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握负数没有平方根是解题的 关键 8、【分析】本题的相等关系是：每人送(x-1)张，共送x(x-1)张即56张.则可得方 程x(x-1)=56.解方程即可求解. 【解答】解：设这个小组有x人， 根据题意得x(x-1)=56, 解之得1=8,2=-7（舍去). 故选：D 【点评】以每年互送贺年卡片为例，让学生用数学知识解决与“自身相关”的数学问题，切 实体会到数学问题的贴近度与亲切性，感受到数学既来源于现实，又服务于社会的应用意 识，真正体现了数学的工具性和应用性，使学生能主动地寻求其解决问题的策略并探索其 应用价值，极大地调动了学生学数学、用数学的兴趣 9、【分析】设这种植物每个支干长出的小分支个数是x,根据主干、支干和小分支的总数 是91，列出一元二次方程，解之取其正值即可得出答案. 【解答】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x, 根据题意得：1+x+x2=91, 整理得：x2+x-90=0, 解得：x1=9,x2=-10(不合题意，舍去)， 即这种植物每个支干长出的小分支个数是9， 故选：A. 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题 第3页（共12页） 的关键， 10、【分析】利用己知等式可把a、b可看作方程x2-6x+4=0的两根，然后根据根与系数 的关系求解， 【解答】解：.实数a,b分别满足a2-6a+4=0,b2-6b+4=0, ∴.a、b可看作方程x2-6x+4=0的两根， .a+b=6. 故选：C. 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1,2是一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0)的两 根时，灯+=一名，X= 11、【分析】设出动点P,Q运动t秒，能使四边形APQC的面积为9cm2,用t分别表示出 BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答. 【解答】解：设动点P,Q运动t秒后，能使四边形APQC的面积为9cm2, 则BP为(8-t)cm,BQ为2tcm,由三角形的面积计算公式列方程得， 2×(8-)x21=(24-9), 解得1=3,2=5（当t=5时，BQ=10,不合题意，舍去). .动点P,Q运动3秒时，能使四边形APQC的面积为9cm2. 故选：A. 【点评】此题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点 问题， 动点问题中，关键在于找出变化量之间的关系，并建立适当的方程来求解。本题中通过设定 时间为t,将相关线段长度表示为t的函数，再结合几何图形的面积公式列出方程，最终求解 得到符合条件的时间值。这种思路可以广泛应用于动态几何问题的解决中。 12、【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、 一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案， 【解答】解：①若a+b+c=0,则x=1是方程ax2+bx+c=0的解， 由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知△=b2-4ac≥0，故①正确： ②.方程ax+c=0有两个不相等的实根， ∴.△=0-4ac>0, ∴.-4ac>0, 第4页（共12页） 则方程ax2+bx+c=0的判别式△=b2-4ac>0, ∴.方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，故②正确： ③.c是方程ax2+bx+c=0的一个根， 则ac2+bc+c=0, ∴.c(ac+b+1)=0, 若=0，等式仍然成立， 但ac+b+1=0不一定成立，故③不正确： ④若o是一元二次方程ax2+bx+c=0的根， 则由求根公式可得： o= b+24ac或o=b-B2-4C 2a ∴.2ao+b=Vb2-4ac或2ax0+b=-Vb2-4ac, ..b2-4ac =(2axo +b)2. 故④正确 故选：B. 【点评】本题主要考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系，牢固掌握二者的关系并 灵活运用，是解题的关键 13、【分析】把x=1代入己知方程得到关于m的一元一次方程，通过解该方程来求m的 值即可. 【解答】解：把x=1代入x2-3mx+4=0,得 12-3m+4=0, 解得m=多 故答案为： 【点评】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程的应用，关键是能根据题意得出 一个关于m的方程. 14、【分析】对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，若△=b2-4ac>0,则方程有两个不 相等的实数根，若△=b2-4ac=0,则方程有两个相等的实数根，若△=b2-4ac<0,则方 程没有实数根，据此列式求解即可. 【解答】解：由条件可知△=(-6)2-4x9c=0, 第5页（共12页） ..c=1, 故答案为：1. 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握该知识点是关键 15、【分析】先计算出x2+4x=2,再将3x2+12x+2016换算成3(x2+4x)+2016,最后将x2+4x =2代入计算即可得到答案， 【解答】解：.x2+4x-2=0, .x2+4x=2, .3x2+12x+2016=3(X2+4x)+2016, .3x2+12x+2016=6+2016=2022, 故答案为：2022. 【点评】本题考查了求代数式的值，把所给式子代入代数式时，要补上必要的括号和运算 符号，然后按照有理数的运算顺序计算即可，熟练掌握有理数的运算法则是解答本题的关 键. 16、【分析】先根据根与系数的关系得到+2=3,2=-4，再通分得到二+工=1+2， x1 x2 x1x2 然后利用整体代入的方法计算， 【解答】解：根据题意得1+x2=3,12=-4, 所以片+好竖=品=子 故答案为-是 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1,?是一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的两 根时，+0=一名= 17、【分析】先利用因式分解法解方程得到x1=2,2=6,再根据三角形三边的关系得到三 角形第三边长为6，然后计算三角形的周长， 【解答】解：x2-8x+12=0, (x-2)(x-6)=0, x-2=0或x-6=0, 所以x1=2,x2=6, 而2+2=4<5， 所以三角形第三边长为6， 第6页（共12页） 此时三角形的周长为2+5+6=13. 故答案为13 【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方 程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.也考查了三角形三 边的关系 18、【分析】根据题意可得BC=CD=2m,AB=V4=8,设CD=CB=3y,AC=5y,由 勾股定理可得方程(3y)2+64=(5y)2,解方程即可得到答案. 【解答】解：由题意得，BC=CD=m,AB=V4=8, .CD:AD=3:2, ∴.可设CD=CB=3y,AD=2y, ∴.AC=5y, 在Rt△ABC中，由勾股定理得BC2+BA2=AC2,即(3y)2+64=(5y)2, 整理得，16y2=64, 解得y=2或y=-2(不符合题意，舍去)， ∴.CD=3y=3×2=6, CD=2=6, 解得m=12, 即m的值为12， 故答案为：12. 【点评】本题主要考查了解一元二次方程的应用，勾股定理，关键是根据题意找到等量关 系式 19、【分析】(1)利用解一元二次方程-公式法进行计算，即可解答； (2)方程移项变形后，利用因式分解法求出解即可. 【解答】解：（1)5x2-8x=-5, 5x2-8x+5=0, .△=(-8)2-4×5×5=64-100=-36<0， ∴.原方程没有实数根； (2))y(y-1)=2-2y, y(y-1)=2(1-y), 第7页（共12页） y(y-1)-2(1-y)=0, y(y-1)+2(y-1)=0, (y-1)(y+2)=0, y-1=0或y+2=0, y1=1,y2=-2. 【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的 方法是解题的关键， 20、【分析】(1)根据等式的性质即可得出答案； (2)利用因式分解法解答即可. 【解答】解：(1)嘉嘉的解法不正确，淇淇的解法不正确， 故答案为：不正确，不正确： (2)正确的解法是：3(x-3)=(x-3)2, 移项，得3(x-3)-(x-3)2=0, 提取公因式，得（x-3)(3-x+3)=0, 则x-3=0或3-x+3=0, 解得1=3，x2=6. 【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的 关键 21、【分析】(1)根据解一元二次方程的方法求出已知方程的两个根，再计算两根的差是否 为1，从而确定方程是否为邻根方程”； (2)先解方程求得其根，再根据新定义列出关于m的方程，注意有两种情况； 【解答】解：(1)解方程x2-5x+6=0得：x=3或x=2, 3-2=1, .x2-5x+6=0是邻根方程”； (2)由方程x2-(m-1)x+3m-12=0解得：x=m-4或x=3, 由于关于x的二次方程x2-(m-1)x+3m-12=0.(m是常数)是邻根方程”， 则m-4-3=1或3-(m-4)=1, 解得m=8或6. 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理 解邻根方程的定义，本题属于中等题型 第8页（共12页） 22、【分析】(1)结合题意，设进馆人次的月平均增长率为x,根据一元二次方程的性质列 式并求解，即可得到答案； (2)结合(1)的结论，首先计算得第四个月的进馆人次，通过比较即可得到答案， 【解答】(1)设进馆人次的月平均增长率为x,则由题意得：120+120(1+x)+120(1+x) 2=570, 化简得：4x2+12x-7=0, .∴.(2x-1)（2x+7)=0, ∴.x=0.5=50%或x=-3.5（舍)， .进馆人次的月平均增长率为50%： (2)校图书馆能接纳第四个月的进馆人次.理由如下： ,进馆人次的月平均增长率为50%， “第四个月的进馆人次为：120(1+50%)3-120×名=405（人次）， .405<500, ∴.校图书馆能接纳第四个月的进馆人次. 【点评】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质， 从而完成求解， 23、【分析】(1)由篱笆的总长度可得出花圃的长AD为(24-3x)米，根据花圃面积为 36平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙的最大可用 长度a为10米，即可得出结论： (2)不能围成面积为52平方米的花圃，根据花圃面积为52平方米，即可得出关于x的一 元二次方程，由根的判别式△=-48<0，可得出该方程无实数根，即不能围成面积为52 平方米的花圃. 【解答】解：(1)花圃的宽AB为x米， .花圃的长AD为(24-3x)米. 依题意得：x(24-3x)=36, 整理得：x2-8x+12=0, 解得：1=2，x2=6. 第9页（共12页） 当x=2时，24-3x=24-3×2=18>10,不合题意，舍去： 当x=6时，24-3x=24-3×6=6<10,符合题意. 答：此时宽AB为6米. (2)不能围成面积为52平方米的花圃，理由如下： 依题意得：x(24-3x)=52, 整理得：3x2-24x+52=0, .△=(-24)2-4×3x52=-48<0, .该方程无实数根， 即不能围成面积为52平方米的花圃. 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：(1)找准等量 关系，正确列出一元二次方程；(2)牢记当△<0时，方程无实数根”. 24、【分析】(1)把x=1代入方程得a+c-2b+a-c=0,整理得a=b,从而可判断三角形 的形状： (2)根据判别式的意义得△=(-2b)2-4(a+c)(a-c)=0,即b2+c2=a2,然后根据 勾股定理可判断三角形的形状： (3)利用等边三角形的性质得α=b=c,方程化为x2-x=0,然后利用因式分解法解方程. 【解答】解：(1)△ABC为等腰三角形，理由如下： 把x=1代入方程得a+c-2b+a-c=0,则a=b,所以△ABC为等腰三角形； (2)△ABC为直角三角形，理由如下： 根据题意得△=(-2b)2-4（a+c)(a-c)=0,即b2+c2=a2,所以△ABC为直角三角 形： (3).'△ABC为等边三角形， ∴.a=b=c, .方程化为X2-x=0,解得x1=0,2=1. 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac 有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实 数根；当△<0时，方程无实数根 25、【分析】(1)根据题意可得△>0，再代入相应数值解不等式即可： (2)根据根与系数的关系可得+x2=-（1-2m),12=m2-1,代入所求的式子可得关 于m的方程，整理后可即可解出m的值， 第10页（共12页）