第3章 实数 单元测试-2025-2026学年浙教版七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练

第3章 实数 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列四个实数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数． 根据无理数的定义作答即可． 【详解】A.是无限循环小数，是有理数； B.是整数，是有理数； C.，是无理数； D.是分数，是有理数； 故选：C． 2．4的平方根是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的定义， 根据平方根的定义进行计算即可． 【详解】解：， 4的平方根是． 故选：C． 3．估计的值应在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】A 【分析】本题考查了无理数估算，熟练掌握算术平方根的性质是解决本题的关键． 先确定的近似值，再计算的范围即可 ． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 即， ∴的值应在3和4之间 ． 故选：A ． 4．下列计算，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数的混合运算，求一个数的立方根和算术平方根，根据立方根和算术平方根的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，符合题意； B、，原计算正确，不符合题意； C、，原计算正确，不符合题意； D、，原计算正确，不符合题意； 故选：A． 5．一个数的平方等于它的立方，则这个数是（   ） A．0 B．1 C．0或 D．0或1 【答案】D 【分析】本题考查了平方和立方的定义． 根据平方和立方的定义作答即可． 【详解】解：0的平方是0，0的立方是0，相等， 1的平方是1，1的立方是1，相等， 的平方是1，的立方是，不相等， ∴一个数的平方等于它的立方，则这个数是0或1， 故选：D． 6．如图，数轴上表示2，的点分别为点C，点B，点C是线段的中点，则点A表示的数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，以及两点之间的距离公式．数轴上的点与实数一一对应，根据C是线段的中点，可得，用C点表示的数减去的距离，可得A点表示的数． 【详解】解：∵点C是线段的中点， ∴， ∴点A表示的数是：， 故选：D． 7．已知是整数，则满足条件的最小正整数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了立方根的定义及性质，由，通过立方根的定义及性质求出满足条件的最小正整数即可，掌握知识的应用是解题的关键． 【详解】解：由， ∵是整数， ∴满足条件的最小正整数是， 故选：． 8．定义新运算“”，规定：，如，则的运算结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，直接利用已知运算公式代入，进而计算得出答案． 【详解】解：由题意可得： ． 故选：D． 9．球从空中落到地面所用的时间（秒）和球的起始高度（米）之间有关系式，若球的起始高度为米，则球落地所用时间与下列最接近的是（   ） A．3秒 B．4秒 C．5秒 D．6秒 【答案】B 【分析】本题考查无理数的估算，掌握估算的方法是解决问题的关键．将代入公式计算，然后用平方法估算即可． 【详解】解：将代入得：， ∵， ∴， ∴所用时间与4秒最接近． 故选：B． 10．任何正实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如对一个正实数先取算术平方根，再将结果取不超过算术平方根的最大整数，叫做一次操作．如对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，对81只需进行3次操作后变为1．那么只需进行3次操作变为1的所有正数中，最大的是（    ） A．256 B．255 C．225 D．224 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根、估算无理数的大小的应用，根据表示不超过a的最大整数，对各选项进行操作，找出只需进行3次操作变为1的最大正数即可解答． 【详解】解：A、256第一次操作，第二次操作，第三次操作，第四次操作， ∴256需要进行4次操作才变为1，不符合题意； B、255第一次操作，第二次操作，第三次操作 ∴255需要进行3次操作才变为1； C、225第一次操作，第二次操作，第三次操作， ∴225需要进行3次操作才变为1； D、224第一次操作，第二次操作，第三次操作， ∴224需要进行3次操作才变为1； ∵， ∴只需进行3次操作变为1的所有正数中，最大的是255． 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．实数的绝对值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的性质，熟练掌握实数的性质是解题关键．根据实数的性质：负实数的绝对值等于它的相反数求解即可得． 【详解】解：实数的绝对值是， 故答案为：． 12．已知一个正数的两个平方根分别是和，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据已知得出方程即可求出．本题考查了平方根，能根据题意得出关于的方程是解此题的关键，注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 【详解】根据题意知， 解得：， 故答案为：． 13．已知，则 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查算术平方根的非负性，熟练掌握算术平方根的非负性是解题的关键；由题意易得，则有，进而可得答案． 【详解】解：∵，且， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：8 14．比较大小： ．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握常见的实数大小比较方法（常作差法、作商法、倒数法、数轴法、平方法、估算法等）是解题关键．利用平方法比较实数即可． 【详解】解：∵，，且， ∴； 故答案为：． 15．观察一列无理数：，根据排列规律，知是这列无理数中的第 数． 【答案】1979 【分析】本题考查无理数，新建一列数，找出其中有理数的个数，即可求解． 【详解】解：新建一列数：，共有2022个数， ，， 该列数中包括有理数：，个数为：， ， 无理数列中，是这列无理数中的第1979个数， 故答案为：1979． 16．一个四位正整数，若满足，且，，则称这个数为“金榜数”．将m的千位与十位对调、百位与个位对调后的四位数记为，其中，则 ；若为整数，则满足条件的“金榜数”m的最大值与最小值的差为 ． 【答案】 25 7524 【分析】本题主要考查了新定义，对于第一空直接根据计算求解即可；对于第二空，根据定义可得，则可求出，进一步可得，则可求出，根据是整数，得到是一个完全平方数，则有或或，据此求出m的最大值和最小值即可得到答案． 【详解】解：由题意得，； 由题意得， ∴ ， ∵，， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵满足，且，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是一个完全平方数， ∴或或， ∴或或， 当时，a的最大值为3，此时b为2，a的最小值为1，此时b为6，即此时m的最大值为，最小值为； 当时，a的最大值为5，此时b为1，a的最小值为2，此时b为7，即此时m的最大值为，最小值为； 当时，a的最大值为9，此时b为2，a的最小值为6，此时b为8，即此时m的最大值为，最小值为； 综上所述，m的最大值为，最小值为， ∴满足条件的“金榜数”m的最大值与最小值的差为； 故答案为：25；． 三、解答题：本题共8小题，共72分． 17．计算：． 【答案】 【分析】此题考查了实数的综合混合运算能力，解题的关键是能确定正确的运算顺序，并能准确运用各种计算法则进行运算． 先计算乘方、开方与绝对值，再计算加减． 【详解】解：， ， ． 18．求下列各式中的x： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题的关键． （1）先移项，将方程变形为，，再利用平方根解方程即可； （2）利用立方根解方程即可． 【详解】（1）解： 移项得， 解得． （2）解： ． 19．把下列各数填入相应的集合内． ，，，，，，，，，… 整数集合{ …}； 分数集合{ …}； 无理数集合{ …}． 【答案】见解析 【分析】本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键．本题根据整数，分数，无理数的意义，逐一判断即可解答． 【详解】解：整数集合{ ，0，，5，…}； 分数集合{ ，，，，…}； 无理数集合{，…，…}； 20．已知：的立方根是，的算术平方根是3，是的整数部分．求的平方根． 【答案】±4 【分析】本题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、代数式求值．利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值，再代入中，即可求解． 【详解】解：∵的立方根是， ∴， 解得，， ∵的算术平方根是3， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴的整数部分为6，即， 因此，，，， ∴， 的平方根为． 21．巴特尔制作了一张面积为的正方形贺卡想寄给朋友，现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为． (1)求长方形信封的长和宽； (2)巴特尔能将贺卡不折叠就放入此信封吗?请通过计算给出判断． 【答案】(1)长方形信封的长为，宽为； (2)巴特尔能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 【分析】本题考查了算术平方根的应用，以及无理数的估算，利用算术平方根的定义求出正方形贺卡的边长是解题的关键． （1）先设长方形信封的长为，宽为，根据面积为列方程求解即可； （2）先求出贺卡的边长，然后与信封的宽比较即可． 【详解】（1）解：设长方形信封的长为，宽为， 由题意得， ∴，负值舍去， ，， 答：长方形信封的长为，宽为； （2）解：巴特尔能将这张贺卡不折叠就放入此信封， 由题意得：面积为的正方形贺卡的边长是， ， ∴信封的宽大于正方形贺卡的边长， ∴巴特尔能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 22．阅读下面材料： 定义：如果一个数的平方等于，记作，这个数叫做虚数单位，把形如（a、b为实）的数叫做复数，其中叫做这个复数的实部，叫做这个数的虚部，它的加减乘法运算类似． 例如：； ； 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空： ； ； (2)计算：； (3)计算： 【答案】(1)，1 (2) (3)0 【分析】（1）把代入求解即可； （2）根据多项式乘以多项式的计算法则进行计算，再把代入求解即可； （3）先根据复数的定义计算，再合并即可求解． 本题考查实数的运算，理解新定义掌握有理数的四则混合运算法则是关键． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，1； （2）解： ； （3）解： ． 23．阅读理解 我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题，求的立方根，华罗庚脱口而出．你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？以下是东东的探究过程： ∵ ∴ ∴的立方根是 位数 ∵的个位数是9 ∴的立方根的个位数是 ∵ ∴ ∴的十位数是 ∴= ． (1)请你帮东东补充完整上述探究过程； (2)已知：17576也是一个整数的立方，请用类似的方法求出其立方根． 【答案】(1)两，，， (2)26 【分析】本题主要考查了立方根以及数的立方． （1）根据题中所给的过程方法，即可解答； （2）先求出的立方根是两位数，然后根据示例分别求出个位数和十位数即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴的立方根是两位数 ∵的个位数是9 ∴的立方根的个位数是9 ∵ ∴ ∴的十位数是3 ∴． 故答案为：两，，，； （2）∵ ∴ ∴的立方根是两位数 ∵只有个位数是的立方数的个位数依然是 ∴的立方根的个位数是 ∵ ∴ ∴的十位数是2 ∴ 24．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“麓外区间”为，如，所以的麓外区间为． (1)无理数的“麓外区间”是 ； (2)若，求的“麓外区间”； (3)实数满足，求的算术平方根的“麓外区间”． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查无理数的估算，被开方数的非负性．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． （1）夹逼法求出的取值范围，即可得出结果； （2）根据被开方数非负的条件，得到，进一步求出的取值范围即可； （3）根据算术平方根的非负性，得到，，求出的值，进而求出的“麓外区间”即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即：无理数的“麓外区间”是； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的“麓外区间”为； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 联立：， 解得：， ∴的算术平方根为， ∵， ∴； ∴的算术平方根的“麓外区间”为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 实数 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列四个实数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 2．4的平方根是（   ） A．2 B． C． D． 3．估计的值应在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 4．下列计算，错误的是（    ） A． B． C． D． 5．一个数的平方等于它的立方，则这个数是（   ） A．0 B．1 C．0或 D．0或1 6．如图，数轴上表示2，的点分别为点C，点B，点C是线段的中点，则点A表示的数（    ） A． B． C． D． 7．已知是整数，则满足条件的最小正整数是（    ） A． B． C． D． 8．定义新运算“”，规定：，如，则的运算结果为（ ） A． B． C． D． 9．球从空中落到地面所用的时间（秒）和球的起始高度（米）之间有关系式，若球的起始高度为米，则球落地所用时间与下列最接近的是（   ） A．3秒 B．4秒 C．5秒 D．6秒 10．任何正实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如对一个正实数先取算术平方根，再将结果取不超过算术平方根的最大整数，叫做一次操作．如对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，对81只需进行3次操作后变为1．那么只需进行3次操作变为1的所有正数中，最大的是（    ） A．256 B．255 C．225 D．224 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．实数的绝对值是 ． 12．已知一个正数的两个平方根分别是和，则的值为 ． 13．已知，则 ． 14．比较大小： ．（填“”，“”或“”） 15．观察一列无理数：，根据排列规律，知是这列无理数中的第 数． 16．一个四位正整数，若满足，且，，则称这个数为“金榜数”．将m的千位与十位对调、百位与个位对调后的四位数记为，其中，则 ；若为整数，则满足条件的“金榜数”m的最大值与最小值的差为 ． 三、解答题：本题共8小题，共72分． 17．计算：． 18．求下列各式中的x： (1) (2) 19．把下列各数填入相应的集合内． ，，，，，，，，，… 整数集合{ …}； 分数集合{ …}； 无理数集合{ …}． 20．已知：的立方根是，的算术平方根是3，是的整数部分．求的平方根． 21．巴特尔制作了一张面积为的正方形贺卡想寄给朋友，现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为． (1)求长方形信封的长和宽； (2)巴特尔能将贺卡不折叠就放入此信封吗?请通过计算给出判断． 22．阅读下面材料： 定义：如果一个数的平方等于，记作，这个数叫做虚数单位，把形如（a、b为实）的数叫做复数，其中叫做这个复数的实部，叫做这个数的虚部，它的加减乘法运算类似． 例如：； ； 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空： ； ； (2)计算：； (3)计算： 23．阅读理解 我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题，求的立方根，华罗庚脱口而出．你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？以下是东东的探究过程： ∵ ∴ ∴的立方根是 位数 ∵的个位数是9 ∴的立方根的个位数是 ∵ ∴ ∴的十位数是 ∴= ． (1)请你帮东东补充完整上述探究过程； (2)已知：17576也是一个整数的立方，请用类似的方法求出其立方根． 24．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“麓外区间”为，如，所以的麓外区间为． (1)无理数的“麓外区间”是 ； (2)若，求的“麓外区间”； (3)实数满足，求的算术平方根的“麓外区间”． 2 学科网（北京）股份有限公司 $