精品解析：2025-2026学年人教版九年级上册数学期中测试卷(练习卷）

2025-2026年九年级上册数学期中测试卷（人教版） 注意事项： 本试卷满分 120 分，试题共24题，其中选择10道、填空6道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； C．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． 2. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若线段，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，，可证是等边三角形，可得，即可求解． 【详解】解：∵将 绕点顺时针旋转得到， ，， 是等边三角形， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 3. 若P(x，3)与点Q(4，y)关于原点对称，则xy的值是(　　) A. 12 B. ﹣12 C. 64 D. ﹣64 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用关于原点对称点性质得出x，y的值，进而得出答案． 【详解】∵与点关于原点对称， ∴，， ∴． 故选A． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键． 4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则n的最小整数解是（　　） A. ﹣2 B. ﹣1 C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出n的范围，确定出最小整数解即可． 【详解】解：∵关于x一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 则n的最小整数解为． 故选：B． 【点睛】此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键． 5. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. 3x－1＝0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先把方程化成一般式，根据一般式判断选择即可． 【详解】因为3x－1＝0是一元一次方程， 所以A不符合题意； 因为是一元二次方程， 所以B符合题意； 因为化简后是一元一次方程， 所以C不符合题意； 因为不是一元二次方程， 所以D不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义即含有一个未知数且含未知数项的次数最高是2的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 6. 如图，在△ABC中，∠BAC＝114°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'，若点B'恰好落在BC边上，且AB'＝CB'，则∠C的度数为（　　） A 18° B. 20° C. 22° D. 24° 【答案】C 【解析】 【分析】根据等边对等角可得：，由三角形外角的性质可得：，再根据旋转的性质得出，，利用三角形内角和定理及等量代换求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵将绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】题目主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，旋转的性质，三角形内角和定理等，理解题意，结合图形综合运用这些知识点是解题关键． 7. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用关于原点对称点的性质得出的坐标，判断其横、纵坐标的符号，即可得出所在象限． 【详解】点P关于原点的对称点的坐标为(，)． ∵． ∴ ∴点P在第四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查关于原点对称点的性质以及点的坐标位置的确定，判断出的符号为“负”是解答本题的关键． 8. 关于x的方程是一元二次方程，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的二次项系数不等于零得到a-1≠0，由此求得a的取值范围． 【详解】依题意得：a-1≠0， 解得a≠1． 故选：C． 【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 9. 要将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是（　　） A. 向左平移1个单位，再向上平移3个单位 B. 向左平移1个单位，再向下平移3个单位 C. 向右平移1个单位，再向上平移3个单位 D. 向右平移1个单位，再向下平移3个单位 【答案】A 【解析】 【分析】先求出原抛物线顶点坐标为，平移后抛物线顶点坐标为，然后由此确定平移规律． 【详解】∵， ∴该抛物线的顶点坐标是， ∵抛物线的顶点坐标是， ∴平移的方法可以是：将抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法是解本题的关键． 10. 如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数为（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数之间的关系，解答此题的关键是熟练掌握二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点坐标． 根据二次函数图象的开口方向，顶点的位置、与轴交点的位置可对的符号进行判断，进而可对结论进行判断；根据抛物线的对称轴及与x轴的交点可对二次函数图象上的点的位置进行判定，进而可对结论进行判断；根据二次函数的图象与轴的两个交点坐标可对结论，结论进行判断，据此可得出此题的答案． 【详解】解：二次函数图象的开口向上， ， 二次函数图象的顶点在第三象限， ， ， ， 二次函数图象与轴的交点在轴的负半轴上， ， ，故结论正确，符合题意； 对于，当时，， 点在二次函数的图象上， 二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为， 二次函数的图象与轴的另一个交点为， 点在轴下方的抛物线上， ，故结论正确，符合题意； 二次函数的图象与轴的两个交点坐标分别为，， ，消去得：，故结论正确，符合题意； 二次函数图象的开口向上，与轴的两个交点坐标分别为，， 当时，二次函数图象的在轴的下方， ，即：，故结论错误，不符合题意； 综上所述：结论正确， 故选：． 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 已知 是关于x的方程的两个实数根，，则＝_____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出，再代入代数式计算即可； 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 12. 若a，b为有理数，且，则=___． 【答案】9 【解析】 【分析】根据配方法可得，进一步可得，求出a和b的值，进一步即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 13. 已知,则____． 【答案】-2 【解析】 【详解】原方程变形为：x2−2x+1+y2+6y+9=0， 即(x−1)2+(y+3)2=0， ∴(x−1)2=0，(y+3)2=0， 即x−1=0，y+3=0， ∴x=1，y=−3， ∴x+y=−2. 故答案为-2. 14. 如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠C′AB′的度数为_______． 【答案】30° 【解析】 【分析】先根据旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线的夹角等于旋转角，即可得到∠BAB′=∠CAC′=120°，AB=AB′，根据等腰三角形的性质易得∠AB′B=30°，再根据平行线的性质由AC′∥BB′可计算∠C′AB′的度数． 详解】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转l20°得到△AB′C′， ∴，AB=AB′， ∴∠AB′B=（180°-120°）=30°， 又∵AC′∥BB′， ∴∠C′AB′=∠AB′B=30°． 故答案为：30°． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边对等角和平行线的性质，牢固掌握旋转性质是做出本题的关键． 15. 对于二次函数，当时，y随x的增大而增大，已知此二次函数的图象上有一点，则m的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，先得出抛物线的对称轴为直线，再根据当时，随的增大而增大，可得．根据题意有，问题随之得解． 【详解】解：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当时，随的增大而增大， ∴，即． ∵点在二次函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中摆放16个边长为1的正方形，直线l：y＝kx将这16个正方形分成面积相等的两部分，则k的值是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】设直线l：y＝kx与正方形的上边缘交点为A，作AB⊥y轴于B，再利用三角形的面积求解A的坐标，再利用待定系数法求解函数解析式即可． 【详解】解：设直线l：y＝kx与正方形的上边缘交点为A，作AB⊥y轴于B， ∵16个边长为1的正方形面积为16， ∴△AOB的面积为8﹣4+1＝5， ∵OB＝4， ∴AB＝5×2÷4＝， ∴A（，4）， 即4＝k， 解得k＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是坐标与图形，利用待定系数法求解正比例函数的解析式，求解A的坐标是解本题的关键． 三、解答题（共66分） 17. 解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用直接开平方法进行解方程，即可作答． （2）运用提公因式法进行解方程，即可作答． （3）运用配方法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴ 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 则 ∴ 18. 在下图的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点都是网格线的交点，已知两点的坐标分别为，． （1）请在图中画出平面直角坐标系，并直接写出点的坐标． （2）将绕坐标原点顺时针旋转，画出转旋后的． 【答案】（1）作图见详解， （2）作图见详解 【解析】 【分析】（1）根据平面直角坐标系的特点，点的坐标即可求解； （2）根据旋转的性质作图即可求解． 【小问1详解】 解：已知两点的坐标分别为，，网格中每个小正方形的边长均为， ∴画出平面直角坐标系如图所示， ∴． 【小问2详解】 解：绕坐标原点顺时针旋转，根据旋转的性质作图，如图所示， ∴即为所求图形． 【点睛】本题主要考查图形与坐标，平面直角坐标系中图形的变换，掌握图形与坐标的运用，图形旋转的性质是解题的关键． 19. 已知关于x的方程． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）若此方程的两个根分别为，，其中，且，求m的值． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式得出，即可证明结论； （2）根据根与系数的关系得出，，根据，得出，根据题意得出，解出m的值即可． 【小问1详解】 证明：关于x的方程， ∵，，， ∴， ∴此方程有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：若此方程的两个根分别为，，由题意得， ，， ∵， ∴， 即， ， ∴， 即， 解得， 当时，，，，不符合题意， ∴舍去， 当时，，，，符合题意， 故m的值为2． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根据为，，则，． 20. 家委会计划用班费购买两种相册共45本作为学生的毕业礼品，已知购买2本种相册，3本种相册需要110元，购买4本种相册，5本种相册需要200元． （1）求两种相册的售价分别是多少元？ （2）若要求购买的种相册的数量要不少于种相册数量的，且购买总金额不超过1000元，则家委会有多少种不同的购买方案？ （3）已知商店两种相册的进价分别是18元和16元，目前正在对种相册在不亏本的前提下进行促销活动，当购买种相册数量不超过10本时，没有优惠，超过10本时，每超过一本，单价降低0.1元，问家委会分别购买多少本相册时，商店获利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）、两种相册的售价分别是25元、20元；（2）6种；（3）分别购买、相册20本和25本时，商店获利最大，最大利润是220元 【解析】 【分析】（1）设、两种相册的售价分别是元、元，根据题意得关于和的二元一次方程组，求解即可； （2）设买种相册册，买这两种相册共花费元，根据题意得不等式组，求解即可； （3）设买种相册册．商店获利元，根据一次函数和二次函数的性质分类讨论求解即可． 【详解】解：（1）设、两种相册售价分别是元、元，根据题意得： ， 解得：． 答：、两种相册的售价分别是25元、20元； （2）设买种相册册．买这两种相册共花费元， ， 解得：． ∵x为正整数， 有6种不同的购买方案； （3）设买种相册册，种相册册，此时商店获利元， ①当时，， 当时，利润最大为210元； ②当时，， ，开口向下， 当时，利润最大为220元； ， 当时，有最大利润为220元． 答：分别购买、相册20本和25本时，商店获利最大，最大利润是220元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组、一次函数和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系正确列式是解题的关键． 21. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点． （1）求A，B，C三点的坐标： （2）证明为直角三角形， 【答案】（1），，． （2）见解析． 【解析】 【分析】（1）令，则，解方程求出x的值即得到点A、B的坐标；令，求出y的值，即得到点C的坐标； （2）先由点A、B、C的坐标分别求出、、的长，再根据勾股定理分别求出、、，可得，即可根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形． 【小问1详解】 解：对于抛物线，当y=0时，则， 解得，； 当时，， ∴，，． 【小问2详解】 证明：连接，， ∵，， ∴，，， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、勾股定理及其逆定理的应用等知识，正确地求出点A、B、C的坐标是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年九年级上册数学期中测试卷（人教版） 注意事项： 本试卷满分 120 分，试题共24题，其中选择10道、填空6道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若线段，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 若P(x，3)与点Q(4，y)关于原点对称，则xy的值是(　　) A. 12 B. ﹣12 C. 64 D. ﹣64 4. 若关于x一元二次方程有两个不相等的实数根，则n的最小整数解是（　　） A. ﹣2 B. ﹣1 C. 0 D. 1 5. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. 3x－1＝0 B. C. D. 6. 如图，在△ABC中，∠BAC＝114°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'，若点B'恰好落在BC边上，且AB'＝CB'，则∠C的度数为（　　） A 18° B. 20° C. 22° D. 24° 7. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 关于x的方程是一元二次方程，则（ ） A. B. C. D. 9. 要将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是（　　） A. 向左平移1个单位，再向上平移3个单位 B. 向左平移1个单位，再向下平移3个单位 C. 向右平移1个单位，再向上平移3个单位 D. 向右平移1个单位，再向下平移3个单位 10. 如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数为（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 已知 是关于x的方程的两个实数根，，则＝_____． 12. 若a，b为有理数，且，则=___． 13. 已知,则____． 14. 如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠C′AB′的度数为_______． 15. 对于二次函数，当时，y随x的增大而增大，已知此二次函数的图象上有一点，则m的取值范围为_______． 16. 如图，在平面直角坐标系中摆放16个边长为1正方形，直线l：y＝kx将这16个正方形分成面积相等的两部分，则k的值是 _____． 三、解答题（共66分） 17. 解下列方程： （1）； （2）； （3）． 18. 在下图的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点都是网格线的交点，已知两点的坐标分别为，． （1）请在图中画出平面直角坐标系，并直接写出点的坐标． （2）将绕坐标原点顺时针旋转，画出转旋后的． 19. 已知关于x方程． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）若此方程的两个根分别为，，其中，且，求m的值． 20. 家委会计划用班费购买两种相册共45本作为学生的毕业礼品，已知购买2本种相册，3本种相册需要110元，购买4本种相册，5本种相册需要200元． （1）求两种相册的售价分别是多少元？ （2）若要求购买的种相册的数量要不少于种相册数量的，且购买总金额不超过1000元，则家委会有多少种不同的购买方案？ （3）已知商店两种相册的进价分别是18元和16元，目前正在对种相册在不亏本的前提下进行促销活动，当购买种相册数量不超过10本时，没有优惠，超过10本时，每超过一本，单价降低0.1元，问家委会分别购买多少本相册时，商店获利最大？最大利润是多少？ 21. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点． （1）求A，B，C三点的坐标： （2）证明为直角三角形， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $