专题03 分数除法（知识精讲+易错真题满分冲刺卷）-2025-2026学年人教版数学六年级上册专项培优讲练

专题03 分数除法 【原卷版】 易错点知识点01：运算规则错误 1. 忽视倒数关系，未正确转换乘除 典型错误：除以分数时未转化为乘倒数，直接保留除法符号。 示例：计算 ，误算为 正解：转化为乘倒数，。 避错关键：强化“除号变乘号，除数取倒数”口诀。 2. 带分数处理不当 典型错误：带分数直接参与运算，未先转为假分数。 示例：，误算为 （结果正确但过程不规范）。 正解：带分数转假分数 。 规范步骤：无论加减乘除，带分数均需先化为假分数。 易错点知识点02：应用题建模错误 1. 混淆分率对应的单位“1” 典型错误：未找准分率对应的基准量，导致乘除颠倒。 示例：已知小明比小华高，小华高150cm，求小明身高。 错解：，小明身高30cm（误将分率对应到小明）。 正解：小明身高 = 小华身高 cm。 口诀：“比”字后是单位“1”，分率增减看对象。 2. 逆问题除法错误 示例：已知小明身高180cm，比小华高，求小华身高。 错解：cm（错误用乘法）。 正解：设小华身高为 ，，解得 cm。 核心逻辑：单位“1”未知用除法，对应分率需加（减）后作为整体。 易错点知识点03：运算顺序与简算错误 1. 四则混合顺序混乱 示例：计算 。 错解：先加后除，。 正解：先除后加，。 强化口诀：“先乘除，后加减；有括号，内部先算”。 2. 分配律误用 示例：，误用分配律为 。 正解：先算括号内和 ，再计算 。 强调规则：除法对加减法不适用分配律。 易错点知识点04：特殊问题易错点 1. 工程问题逻辑颠倒 示例：甲队单独完成工程需6天，乙队需12天，两队合作几天完成？ 错解：直接相加 ，取平均数9天。 正解：工作效率=，合作时间=天。 模型方法：把总量看作单位“1”，效率为时间倒数。 2. 分率与具体量混用 示例：一桶油用去后还剩12升，求总油量。 错解：12升对应分率，正确总油量升；学生可能误用乘法 导致单位错误。 核心辨析：分率对应的量需通过除法求单位“1”，乘法则用于求部分量。 【提升建议】 算理理解强化 通过线段图或实物操作（如分绳子）解释“除以分数=乘倒数”的原理。 单位“1”专项训练 设计对比题组，区分分率增减对应的不同解法。 运算规范拆解 对混合运算分步标注顺序（如①②③），强制带分数转假分数。 错题分类整理 收集“单位‘1’错位”“分配律滥用”等案例，标注错误根源。 通过明确分率逻辑、规范运算步骤，学生可逐步攻克分数除法的逻辑与计算难点。 试题满分：100分 检测时间：90分钟 难度系数：0.39（较难） 一、选择题：本题共5小题，每小题2分，共10分． 1．（本题2分）（24-25六年级上·全国·单元测试）下列商品中，两个单价互为倒数的是（    ）。 A．中性笔3元和橡皮0.3元 B．彩纸0.25元和钢笔4元 C．尺子0.5元和铅笔0.2元 D．彩铅元和画笔元 2．（本题2分）（24-25六年级上·全国·单元测试）美术课上，同学们用彩纸制作不同形状，下面四种手工品中的a和b表示不同的数，则图（    ）中的a和b互为倒数。 A．三角形书签的面积为1 B．纸条手链总长度为1 C．长方形贺卡的面积为1 D．长方体盒子的体积为1 3．（本题2分）（2025六年级上·海南海口·专题练习）一件工作，甲单独做小时完成，乙单独做小时完成。如果两人合作，多少小时完成？正确列式是（    ）。 A． B．1÷（2＋3） C． 4．（本题2分）（24-25六年级上·重庆永川·期末）快入冬时，白兔和灰兔都储存了一些萝卜，灰兔先把自家萝卜的送给白兔。白兔收到萝卜后，觉得自己吃不完，又将自己现有萝卜的送给灰兔。这时两只兔子的萝卜一样多，原来灰兔的萝卜数是白兔的（    ）。 A． B． C． D． 5．（本题2分）（23-24六年级上·河南郑州·期中）数m、n、t在数线上的位置如图所示，与数t最接近的是（    ）。 A．n＋m B．n－m C．n×m D．n÷m 2、 判断题：本题共5小题，每小题1分，共5分． 6．（本题1分）（24-25六年级上·山西长治·期末）如果a和b互为倒数，那么的结果是。( ) 7．（本题1分）（24-25六年级上·重庆永川·期末）如果（且a、b、c都大于零），最大的数是。( ) 8．（本题1分）（24-25六年级上·河北沧州·期末）吨花生可以榨油吨，表示1吨花生可榨油多少吨。( ) 9．（本题1分）（22-23六年级上·广东佛山·期中）A除以B（B不为0），商正好是B的倒数，A是1。( ) 10．（本题1分）（2014·四川成都·小升初真题）甲、乙两数是正整数，如果甲数的恰好是乙数的，则甲、乙两数和的最小值是13．( ) 三、填空题：本题共8小题，每空1分，共18分． 11．（本题2分）（2025六年级上·海南海口·专题练习）里面有( )个；35千克比( )千克少。 12．（本题2分）（25-26六年级上·海南海口·单元测试）如图，阴影部分的面积是15平方厘米。 （1）阴影部分的面积是空白部分面积的。 （2）空白部分的面积是（    ）平方厘米。 13．（本题3分）（2025六年级上·海南海口·专题练习）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )   ( )   ( ) 14．（本题1分）（2025六年级上·海南海口·专题练习）修完同一段公路，甲队需要10天，乙队需要15天。甲、乙两队合修这段公路的，需要( )天。 15．（本题1分）（24-25六年级上·广东江门·期中）图1是一个三角形，沿虚线折叠后得到图2，这个多边形的面积是原三角形面积的，已知图2中阴影部分的面积和为15平方厘米，那么原三角形的面积是 平方厘米。 16．（本题1分）（24-25六年级上·全国·课后作业）一桶油连桶共重50千克，第一次倒出油的一半少4千克，第二次倒出余下的油的多千克，这时剩下的油和桶共重千克。原来桶中有油( )千克。 17．（本题1分）（23-24六年级下·贵州黔西·期末）兴仁放马坪高山草原景区，地貌奇特，具有“高原塞外”之称。放马坪景区风光旖旎，分为天然草场和天然林，天然草场面积比景区总面积的少100公顷，天然林面积是天然草场面积的。放马坪景区总面积( )公顷。 18．（本题1分）（2015六年级·全国·竞赛）某海域有一座岛，岛边只有一个码头A可供停泊和加油，每艘游艇只有一个油箱，一箱油只能供一艘游艇绕该岛行驶半圈，途中也没有加油站，但游艇之间可以互相加油。为了使至少有一艘游艇能绕该岛行驶一圈回到码头A，至少需要出动 艘次游艇（规定所有游艇都从码头A出发，且全部要安全返回码头A）。 四、计算：本题共2小题，共20分． 19．（本题8分）（24-25六年级上·四川乐山·期末）直接写出得数。 ×1.2＝         ＝           ＝          －＝ 9÷＝          39×＝         276÷3＝          －＝ 20．（本题12分）（25-26六年级上·海南海口·单元测试）计算下面各题。（能简算的要用简便方法计算）                                          五、应用题：本题共11小题，共53分． 21．（本题4分）（24-25六年级上·全国·单元测试）在首届全国节能环保宣传周上，习主席强调：希望全社会都参与到节能减排中来，形成节约资源、保护环境的良好风尚。为响应习主席的号召，阳光小学开展了“绿色校园低碳行动”活动。小明家安装了太阳能节水系统，6天节约了吨水，照这样计算，多少天能节约吨水？ 22．（本题4分）（2025六年级上·海南海口·专题练习）加工一批零件，如果由李师傅单独加工需要8小时就完成，如果由王师傅单独加工需要10小时完成。已知李师傅每小时比王师傅每小时多加工3个零件，这批零件有多少个？ 23．（本题5分）（24-25六年级上·全国·单元测试）如图，两个长方形A、B重叠在一起，重叠部分的面积是A的，是B的。已知B的面积是60平方厘米，A的面积是多少平方厘米？         24．（本题5分）（24-25六年级上·全国·单元测试）泥人面塑是以泥巴陶土为主料的一门传统民间艺术，有一批泥人面塑订单，张师傅单独做需要8天，比李师傅单独做多用天。现两人合作4天后，剩下的24个泥人面塑由张师傅单独去做，自始至终张师傅共做了多少个？ 25．（本题5分）（2024·陕西安康·小升初真题）围棋起源于中国，春秋战国时期曾有记载，隋唐时经朝鲜传入日本，此后又流传到欧美各国，围棋蕴含着中华文化的丰富内涵，它是中国文化与文明的体现。盒子里现有黑白两种颜色的围棋子共361枚，乐乐拿出白棋子的，明明拿出37枚黑棋子，剩下的白棋子数和黑棋子数正好相等。原有黑、白棋子各多少枚？ 26．（本题5分）（24-25六年级上·全国·单元测试）甲、乙、丙三人按约定分配劳务酬金。第一次：甲先取其中的，乙取剩下的，丙取乙取后剩下的。接着，按原次序和比率再分配两次。第四次，只有甲、乙还按原次序和原比率分配，而丙分得剩下的135元。则甲4次共分得多少元？ 27．（本题5分）（24-25六年级上·全国·单元测试）故宫的修复工作正在持续不断地进行。按原计划甲、乙两组合作30天可以完成某宫殿的修复工作，后因甲组人员增加，乙组人员减少，导致甲组的工作效率是原来的，乙组的工作效率下降了50%，合作工期比原计划延后6天完成。若甲、乙两组人员未变动，则他们分别单独进行修复各需要多少天？ 28．（本题5分）（24-25六年级上·全国·单元测试）北京颐和园是世界上保存最完整的古代皇家园林之一。据颐和园工作人员统计，某天游览时租用讲解器的人数比游览总人数的少200人，未租用讲解器的人数比游览总人数的多40人，租用讲解器和未租用讲解器的人数分别是多少？ 29．（本题5分）（24-25六年级上·全国·单元测试）10月28日7时30分，2023奔跑吧·光谷马拉松在武汉东湖高新区鸣枪开跑，来自国内外的1.6万余名选手参与了全程马拉松、半程马拉松、健康跑以及企业接力跑等项目的比拼。选手们从华中科技大学出发，沿着光谷发展轴线一路向东，奔向武汉新城。他们途经多个科研机构、产业园区，近距离感受光谷的科技之美。本次马拉松竞赛根据各个竞赛项目的行程不同，分为下边三种： 项目名称 项目总长 终点站 马拉松（全程） 42千米 武汉未来科技城 马拉松（半程） 21千米 大悦城 健康跑 12千米 光谷国际网球中心 （1）武汉东站是中国光谷重要的综合交通枢纽，也是武汉铁路枢纽中的第四大客运站。它位于华中科技大学南偏东40°方向、光谷国际网球中心西偏北20°方向，请在图中标识出武汉东站的位置。 （2）小李参加了光谷马拉松竞赛（全程），10时10分的时候他到达半程，此时他计划在5小时以内完成比赛。小李当前的步幅是每步米，为了达到目标，小李准备调整自己步幅到每步米。则步频需比前半程的步频增加几分之几？ 已知步频（步数/分钟）×步幅（米/步）＝速度（米/分钟） 30．（本题5分）（23-24六年级下·吉林四平·期末）中国古代《九章算术》中有一道数学名题“持米过关”：今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米五斗。问持米几何？意思是有一个人背了一袋大米过三关，在外关时用全部米的纳税，经过中关时用所剩米的纳税，经过内关时再用所剩米的纳税，最后还剩5斗米。请问：这个人原来带了多少斗米？先画图表示数量关系，再解决问题。（“斗”是中国古代的容量单位） 31．（本题5分）（2020六年级下·全国·专题练习）辅导员给参加夏令营的某一组营员发苹果，给第一个人1个苹果和余下的，给第二个人2个苹果和余下的，又给第三个人3个苹果和余下的……最后恰好分完，并且每个人分到的苹果数量相同，问共有多少个苹果？这一组共有多少人？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 分数除法 【解析版】 易错点知识点01：运算规则错误 1. 忽视倒数关系，未正确转换乘除 典型错误：除以分数时未转化为乘倒数，直接保留除法符号。 示例：计算 ，误算为 正解：转化为乘倒数，。 避错关键：强化“除号变乘号，除数取倒数”口诀。 2. 带分数处理不当 典型错误：带分数直接参与运算，未先转为假分数。 示例：，误算为 （结果正确但过程不规范）。 正解：带分数转假分数 。 规范步骤：无论加减乘除，带分数均需先化为假分数。 易错点知识点02：应用题建模错误 1. 混淆分率对应的单位“1” 典型错误：未找准分率对应的基准量，导致乘除颠倒。 示例：已知小明比小华高，小华高150cm，求小明身高。 错解：，小明身高30cm（误将分率对应到小明）。 正解：小明身高 = 小华身高 cm。 口诀：“比”字后是单位“1”，分率增减看对象。 2. 逆问题除法错误 示例：已知小明身高180cm，比小华高，求小华身高。 错解：cm（错误用乘法）。 正解：设小华身高为 ，，解得 cm。 核心逻辑：单位“1”未知用除法，对应分率需加（减）后作为整体。 易错点知识点03：运算顺序与简算错误 1. 四则混合顺序混乱 示例：计算 。 错解：先加后除，。 正解：先除后加，。 强化口诀：“先乘除，后加减；有括号，内部先算”。 2. 分配律误用 示例：，误用分配律为 。 正解：先算括号内和 ，再计算 。 强调规则：除法对加减法不适用分配律。 易错点知识点04：特殊问题易错点 1. 工程问题逻辑颠倒 示例：甲队单独完成工程需6天，乙队需12天，两队合作几天完成？ 错解：直接相加 ，取平均数9天。 正解：工作效率=，合作时间=天。 模型方法：把总量看作单位“1”，效率为时间倒数。 2. 分率与具体量混用 示例：一桶油用去后还剩12升，求总油量。 错解：12升对应分率，正确总油量升；学生可能误用乘法 导致单位错误。 核心辨析：分率对应的量需通过除法求单位“1”，乘法则用于求部分量。 【提升建议】 算理理解强化 通过线段图或实物操作（如分绳子）解释“除以分数=乘倒数”的原理。 单位“1”专项训练 设计对比题组，区分分率增减对应的不同解法。 运算规范拆解 对混合运算分步标注顺序（如①②③），强制带分数转假分数。 错题分类整理 收集“单位‘1’错位”“分配律滥用”等案例，标注错误根源。 通过明确分率逻辑、规范运算步骤，学生可逐步攻克分数除法的逻辑与计算难点。 试题满分：100分 检测时间：90分钟 难度系数：0.39（较难） 一、选择题：本题共5小题，每小题2分，共10分． 1．（本题2分）（24-25六年级上·全国·单元测试）下列商品中，两个单价互为倒数的是（    ）。 A．中性笔3元和橡皮0.3元 B．彩纸0.25元和钢笔4元 C．尺子0.5元和铅笔0.2元 D．彩铅元和画笔元 【答案】B 【易错思路指引】要判断两个单价是否互为倒数，根据倒数的定义，若两个数的乘积为1，则这两个数互为倒数。所以我们需要分别计算每个选项中两个商品单价的乘积，看是否等于1。按照这个思路逐一分析选项，据此解答。 【规范解答】A．中性笔单价3元，橡皮单价0.3元，它们的乘积为3×0.3＝0.9≠1，所以不互为倒数。 B．彩纸单价0.25元，钢笔单价4元，它们的乘积为0.25×4＝1，所以互为倒数。 C．尺子单价0.5元，铅笔单价0.2元，它们的乘积为0.5×0.2＝0.1≠1，所以不互为倒数。 D．彩铅单价元，画笔单价元＝元，它们的乘积为×＝≠1，所以不互为倒数。 故答案为：B 2．（本题2分）（24-25六年级上·全国·单元测试）美术课上，同学们用彩纸制作不同形状，下面四种手工品中的a和b表示不同的数，则图（    ）中的a和b互为倒数。 A．三角形书签的面积为1 B．纸条手链总长度为1 C．长方形贺卡的面积为1 D．长方体盒子的体积为1 【答案】C 【易错思路指引】乘积是1的两个数互为倒数，根据三角形的面积公式、长方形的面积公式和长方体的体积公式进行判断即可。 【规范解答】A．a×b÷2＝1 a×b＝2 a和b的乘积不等于1，所以a和b不互为倒数，此选项不符合题意。 B．a＋b＝1 a和b不符合倒数的定义，此选项不符合题意。 C．a×b＝1 a和b互为倒数，此选项符合题意。 D．a×a×b＝1 a和b不符合倒数的定义，此选项不符合题意。 故答案为：C 3．（本题2分）（2025六年级上·海南海口·专题练习）一件工作，甲单独做小时完成，乙单独做小时完成。如果两人合作，多少小时完成？正确列式是（    ）。 A． B．1÷（2＋3） C． 【答案】C 【易错思路指引】把这项工作看作单位“1”，根据，代入数据分别求出甲、乙的工作效率，再根据，代入数据计算即可。 【规范解答】 （小时） 一件工作，甲单独做小时完成，乙单独做小时完成。如果两人合作，多少小时完成？正确列式是。 故答案为：C 4．（本题2分）（24-25六年级上·重庆永川·期末）快入冬时，白兔和灰兔都储存了一些萝卜，灰兔先把自家萝卜的送给白兔。白兔收到萝卜后，觉得自己吃不完，又将自己现有萝卜的送给灰兔。这时两只兔子的萝卜一样多，原来灰兔的萝卜数是白兔的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【易错思路指引】设灰兔有x棵萝卜，白兔有y棵萝卜。灰兔先把自家萝卜的送给白兔，灰兔给白兔x棵萝卜；灰兔还剩（1－）x棵萝卜；白兔有（y＋x）棵萝卜；白兔收到萝卜后，觉得自己吃不完，又将自己现有萝卜的送给灰兔，白兔给灰兔（y＋x）×棵萝卜，还剩（1－）×（y＋x）棵萝卜，灰兔有（1－）x＋（y＋x）×棵萝卜；这时两只兔子的萝卜一样多，即（1－）x＋（y＋x）×＝（1－）×（y＋x），据此化简，求出x除以y的值，即可解答。 【规范解答】设灰兔有x棵萝卜，白兔有y棵萝卜。 （1－）x＋（y＋x）×＝（1－）×（y＋x） x＋y＋x＝y＋x x＋x－x＝y－y x＝y x÷y＝÷ x÷y＝× x÷y＝ 快入冬时，白兔和灰兔都储存了一些萝卜，灰兔先把自家萝卜的送给白兔。白兔收到萝卜后，觉得自己吃不完，又将自己现有萝卜的送给灰兔。这时两只兔子的萝卜一样多，原来灰兔的萝卜数是白兔的。 故答案为：B 【考点再现】解答本题的关键求出灰兔是设出灰兔和白兔各有多少棵萝卜，再利用灰兔和白兔最后有萝卜数相等，进行解答。 5．（本题2分）（23-24六年级上·河南郑州·期中）数m、n、t在数线上的位置如图所示，与数t最接近的是（    ）。 A．n＋m B．n－m C．n×m D．n÷m 【答案】D 【易错思路指引】由题中图可知：m大于0，m小于n且m和n都小于1，t大于2且小于3。一个数（0除外）乘小于1的数，结果比原来的数小。分别对每个选项中的算式进行计算，算结果的范围，找到结果最接近2和3之间即可。 【规范解答】A．n、m大于0且小于1，n＋m的结果大于0且小于2； B． n、m大于0且小于1，n大于m，所以n－m的结果大于0且小于1； C． n、m大于0且小于1，n×m的结果比n小，所以结果大于0且小于1； D． n、m大于0且小于1，n是m的两倍多，所以n÷m的结果大于2且小于3，最符合题意； 故答案为：D 【考点再现】本题主要考查学生对用字母表示数的理解，其中能计算出每个算式的结果的取值范围是解题关键。 2、 判断题：本题共5小题，每小题1分，共5分． 6．（本题1分）（24-25六年级上·山西长治·期末）如果a和b互为倒数，那么的结果是。( ) 【答案】√ 【易错思路指引】乘积是1的两个数互为倒数。除以一个分数，就等于乘这个数的倒数。据此解题。 【规范解答】如果a和b互为倒数，那么a×b＝1。 ＝＝ 故答案为：√ 7．（本题1分）（24-25六年级上·重庆永川·期末）如果（且a、b、c都大于零），最大的数是。( ) 【答案】√ 【易错思路指引】可以设最后的结果是1，根据两个数的乘积是1，这两个数互为倒数，a就是的倒数，b就是的倒数。两个相同的数相除结果是1得出c。再比较大小解答。 【规范解答】设＝1 即a＝，b＝，c＝ 则b＜a＜c，最大的数是c。 故答案为：√ 8．（本题1分）（24-25六年级上·河北沧州·期末）吨花生可以榨油吨，表示1吨花生可榨油多少吨。( ) 【答案】√ 【易错思路指引】除数表示哪种量，式子就是求哪种单一的量。吨表示花生的质量，则表示1吨花生可榨油多少吨。 【规范解答】通过分析可得：是用油的质量除以对应的花生的质量，表示1吨花生可榨油多少吨。原题说法正确。 故答案为：√ 9．（本题1分）（22-23六年级上·广东佛山·期中）A除以B（B不为0），商正好是B的倒数，A是1。( ) 【答案】√ 【易错思路指引】根据分数与除法的关系：分子做被除数，分母做除数；A÷B＝；再根据倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数；B的倒数是；由此推断出A的值。 【规范解答】A÷B＝；B的倒数是； ＝，A＝1。 A除以B（B不为0），商正好是B的倒数，A是1。 原题干说法正确。 故答案为：√ 【考点再现】熟练掌握分数与除法的关系，倒数的意义是解答本题的关键。 10．（本题1分）（2014·四川成都·小升初真题）甲、乙两数是正整数，如果甲数的恰好是乙数的，则甲、乙两数和的最小值是13．( ) 【答案】√ 【规范解答】设甲为x，则乙为÷=x，因此甲乙两数之和为x+x=x，由于甲乙均为正整数，所以x也为正整数，因此x必须为3的倍数．要使甲乙两数之和即x最小，x只能取3，所以甲为3，乙为10，此时甲乙两数之和为3+10=13，因此甲乙两数之和的最小值是13． 三、填空题：本题共8小题，每空1分，共18分． 11．（本题2分）（2025六年级上·海南海口·专题练习）里面有( )个；35千克比( )千克少。 【答案】 4 49 【易错思路指引】求里面有几个用除法计算，列式为÷；把所求质量看作单位“1”，35千克比所求质量少，则35千克刚好占所求质量的（1－），所求质量＝已知质量÷（1－），据此解答。 【规范解答】÷ ＝×14 ＝4（个） 35÷（1－） ＝35÷ ＝35× ＝49（千克） 所以，里面有4个；35千克比49千克少。 12．（本题2分）（25-26六年级上·海南海口·单元测试）如图，阴影部分的面积是15平方厘米。 （1）阴影部分的面积是空白部分面积的。 （2）空白部分的面积是（    ）平方厘米。 【答案】（1） （2）30 【易错思路指引】（1）将空白部分的面积看作单位“1”，阴影部分小正方形的个数÷空白部分小正方形的个数＝阴影部分的面积是空白部分面积的几分之几； （2）将阴影部分的面积看作单位“1”，阴影部分的面积÷对应分率＝空白部分的面积。 【规范解答】（1）5÷10＝＝ 阴影部分的面积是空白部分面积的。 （2）15÷ ＝15×2 ＝30（平方厘米） 空白部分的面积是30平方厘米。 13．（本题3分）（2025六年级上·海南海口·专题练习）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )   ( )   ( ) 【答案】 ＜ ＝ ＞ 【易错思路指引】第一小题：先计算出左边算式的结果，再进行比较； 第二小题：把百分数化成分数，除法换算成乘法，再进行比较； 第三小题：一个非0数，除以大于1的数，商小于被除数；一个非0数，除以小于1的数，商大于被除数，据此解答。 【规范解答】÷5×4和 ÷5×4 ＝××4 ＝×4 ＝ ＝ 因为＜，所以÷5×4＜。 ×30%和÷ ×30%＝× ÷＝× 因为＝，所以×30%＝÷。 ÷和 因为＜1，所以÷＞。 14．（本题1分）（2025六年级上·海南海口·专题练习）修完同一段公路，甲队需要10天，乙队需要15天。甲、乙两队合修这段公路的，需要( )天。 【答案】2 【易错思路指引】把这条公路看作单位“1”；根据工作效率＝工作总量÷工作时间，分别求出甲队的工作效率和乙队的工作效率；甲、乙两队合修这段公路的，用这条公路的长度×，求出甲、乙两队合修这条路的分率；再根据工作时间＝工作总量÷工作效率，用甲、乙两队合修这条路的分率÷甲、乙两队的工作效率和，即可解答。 【规范解答】（1×）÷（＋） ＝÷（＋） ＝÷ ＝×6 ＝2（天） 修完同一段公路，甲队需要10天，乙队需要15天。甲、乙两队合修这段公路的，需要2天。 15．（本题1分）（24-25六年级上·广东江门·期中）图1是一个三角形，沿虚线折叠后得到图2，这个多边形的面积是原三角形面积的，已知图2中阴影部分的面积和为15平方厘米，那么原三角形的面积是 平方厘米。 【答案】27 【易错思路指引】观察图形可知，原三角形的面积－折叠后的多边形的面积＝多边形空白部分的面积。把原三角形的面积看作单位“1”，这个多边形的面积是原三角形面积的，则多边形空白部分是原三角形面积的1－＝，那么阴影部分的面积是原三角形面积的（－），已知阴影部分的面积是15平方厘米，根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算”，用15除以（－）即可求出原三角形的面积。 【规范解答】1－＝ 15÷（－） ＝15÷ ＝15× ＝27（平方厘米） 则原三角形的面积是27平方厘米。 【考点再现】观察图形得到“原三角形的面积－折叠后的多边形的面积＝多边形空白部分的面积”，从而得出多边形空白部分是原三角形面积的是解题的关键。 16．（本题1分）（24-25六年级上·全国·课后作业）一桶油连桶共重50千克，第一次倒出油的一半少4千克，第二次倒出余下的油的多千克，这时剩下的油和桶共重千克。原来桶中有油( )千克。 【答案】48 【易错思路指引】根据题意，可以设原来桶中有油x千克，桶重（50－x）千克。 第一次倒出油的一半少4千克，那么第一次倒出的油量为（－4）千克，此时剩下的油量为x－（－4）＝＋4；第二次倒出余下的油的多千克，第一次倒出后剩下(＋4)千克，所以第二次倒出的油量为[（＋4）×＋]千克。可列方程为：油的总重量－第一次倒出油－第二次倒出的油＋桶重＝，据此解答。 【规范解答】解：设原来桶中有油x千克，桶重（50－x）千克。 x－（－4）－（＋4）×－＋（50－x）＝ ＋4－x－＋50－x＝ －x－x＝－50＋－4 x－x－x＝－＋－ x＝ x＝48 原来桶中有油48千克。 【考点再现】本题通过复杂的倒油情境，综合考查了分数的运算和方程的应用。解题关键在于准确理解题目中每次倒出的油量与剩余油量之间的关系，巧妙设未知数并根据已知条件列出方程。同时，要注意在计算过程中对分数的正确处理，以及运用整体与部分的思维方式来分析问题。通过本题的练习，可以提升同学们分析问题、建立数学模型并求解的能力。 17．（本题1分）（23-24六年级下·贵州黔西·期末）兴仁放马坪高山草原景区，地貌奇特，具有“高原塞外”之称。放马坪景区风光旖旎，分为天然草场和天然林，天然草场面积比景区总面积的少100公顷，天然林面积是天然草场面积的。放马坪景区总面积( )公顷。 【答案】1900 【易错思路指引】根据一个数乘分数的意义，求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。把马坪景区总面积为x公顷，所以，马坪景区总面积×－100公顷＝天然草场面积，天然林面积＝×天然草场面积，天然草场面积＋天然林面积＝景区总面积。根据等量关系，列出方程，再利用等式的基本性质解出未知数。 【规范解答】解：设放马坪景区总面积为x公顷。 x－100＋×（x－100）＝x （1＋）×（）＝x ×（－100）＝x ×（－100）×＝x× －100＝x x＝100 x＝100×19 x＝1900 放马坪景区总面积1900公顷。 【考点再现】本题考查分数乘法的应用，解答此题的关键是找到数量间的等量关系。 18．（本题1分）（2015六年级·全国·竞赛）某海域有一座岛，岛边只有一个码头A可供停泊和加油，每艘游艇只有一个油箱，一箱油只能供一艘游艇绕该岛行驶半圈，途中也没有加油站，但游艇之间可以互相加油。为了使至少有一艘游艇能绕该岛行驶一圈回到码头A，至少需要出动 艘次游艇（规定所有游艇都从码头A出发，且全部要安全返回码头A）。 【答案】5 【易错思路指引】已知一箱油只能供一艘游艇绕该岛行驶圈，则箱油只能供一艘游艇绕该岛行驶圈；箱油只能供一艘游艇绕该岛行驶圈。开始时出发三艘游艇，分别标号1、2、3。到达圈时，三艘游艇都剩箱油，3号游艇分别给1、2号游艇箱油，3号游艇返航。到达圈时，两艘游艇都剩箱油，2号游艇给1号游艇箱油，2号游艇返航。到达圈时，4号游艇从起点反方向出发，和1号游艇在圈处会合，此时1号游艇油箱已空，4号游艇还剩箱油。4号游艇给1号游艇箱油，同时5号游艇从起点反方向出发，三艘游艇在圈处会合，此时1、4号游艇油箱已空，5号游艇还有箱油，5号游艇分别给1、4号游艇箱油，三艘游艇安全回到起点。 【规范解答】根据分析可知，为了使至少有一艘游艇能绕该岛行驶一圈回到码头A，至少需要出动5艘次游艇。 【考点再现】本题比较复杂，可以利用分数一步步分析，关键是明确游艇没有确定出发方向，可以从游艇反方向出发进行考虑。 四、计算：本题共2小题，共20分． 19．（本题8分）（24-25六年级上·四川乐山·期末）直接写出得数。 ×1.2＝         ＝           ＝          －＝ 9÷＝          39×＝         276÷3＝          －＝ 【答案】1；；1.5；；36；7.5；92； 20．（本题12分）（25-26六年级上·海南海口·单元测试）计算下面各题。（能简算的要用简便方法计算）                                          【答案】49；24； ；；7 【易错思路指引】，除以一个数等于乘这个数的倒数，据此计算； ，先将除法改写成乘法，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c，把变成进行简算； ，根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c，把算式变成进行简算； ，从左往右依次计算； ，先算括号里的加法，再算括号外的除法，最后算乘法； ，先算小括号里的减法，再算中括号里的乘法，最后算中括号外的除法。 【规范解答】 五、应用题：本题共11小题，共53分． 21．（本题4分）（24-25六年级上·全国·单元测试）在首届全国节能环保宣传周上，习主席强调：希望全社会都参与到节能减排中来，形成节约资源、保护环境的良好风尚。为响应习主席的号召，阳光小学开展了“绿色校园低碳行动”活动。小明家安装了太阳能节水系统，6天节约了吨水，照这样计算，多少天能节约吨水？ 【答案】8天 【易错思路指引】先用分数除法求出1天节约水的质量，即（÷6）吨，求多少天能节约吨水就是求吨里面有多少个（÷6）吨，用除法计算，列式为÷（÷6），据此解答。 【规范解答】÷（÷6） ＝÷（×） ＝÷ ＝×16 ＝8（天） 答：8天能节约吨水。 22．（本题4分）（2025六年级上·海南海口·专题练习）加工一批零件，如果由李师傅单独加工需要8小时就完成，如果由王师傅单独加工需要10小时完成。已知李师傅每小时比王师傅每小时多加工3个零件，这批零件有多少个？ 【答案】 120个 【易错思路指引】将这批零件的总数看作单位“1”，则李师傅的工作效率为，王师傅的工作效率为，则李师傅工作效率比王师傅效率多，运用异分母分数减法计算；再根据李师傅每小时比王师傅多加工3个零件，此时已知部分和所占分数，要求整体可用分数除法计算得出答案。 【规范解答】将这批零件总数看作单位“1”，则李师傅的工作效率为，王师傅的工作效率为，即这批零件总数为： （个） 答：这批零件120个。 23．（本题5分）（24-25六年级上·全国·单元测试）如图，两个长方形A、B重叠在一起，重叠部分的面积是A的，是B的。已知B的面积是60平方厘米，A的面积是多少平方厘米？         【答案】36平方厘米 【易错思路指引】已知B的面积是60平方厘米，重叠部分的面积是B的，把B的面积看作单位“1”，单位“1”已知，用B的面积乘，求出重叠部分的面积； 已知重叠部分的面积是A的，把A的面积看作单位“1”，单位“1”未知，用重叠部分的面积除以，求出A的面积。 【规范解答】重叠部分的面积： 60×＝12（平方厘米） A的面积： 12÷ ＝12×3 ＝36（平方厘米） 答：A的面积是36平方厘米。 24．（本题5分）（24-25六年级上·全国·单元测试）泥人面塑是以泥巴陶土为主料的一门传统民间艺术，有一批泥人面塑订单，张师傅单独做需要8天，比李师傅单独做多用天。现两人合作4天后，剩下的24个泥人面塑由张师傅单独去做，自始至终张师傅共做了多少个？ 【答案】408个 【易错思路指引】把工作总量看作单位“1”，首先根据求出张师傅和李师傅的工作效率，再用他们的工作效率和乘4得到合作的工作量对应的分率，用1减这个分率可得24对应的分率，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，可得工作总量，再根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，可得张师傅1天的工作效率再乘4再加24即可得解。 【规范解答】张师傅的工作效率： 李师傅单独做需要用的天数：（天） 李师傅的工作效率： 两人的工作效率和： 两人合作4天的工作量： 剩下的工作量： 需要做的泥人面塑总数量：（个） 张师傅1天制作的数量：（个） 张师傅4天制作的数量：96×4＝384（个） 张师傅一共制作的数量：384＋24＝408（个） 答：自始至终张师傅共做了408个。 25．（本题5分）（2024·陕西安康·小升初真题）围棋起源于中国，春秋战国时期曾有记载，隋唐时经朝鲜传入日本，此后又流传到欧美各国，围棋蕴含着中华文化的丰富内涵，它是中国文化与文明的体现。盒子里现有黑白两种颜色的围棋子共361枚，乐乐拿出白棋子的，明明拿出37枚黑棋子，剩下的白棋子数和黑棋子数正好相等。原有黑、白棋子各多少枚？ 【答案】黑棋子181枚，白棋子180枚 【易错思路指引】把原有白棋子数量看作单位“1”。拿出37枚黑棋子后，剩下棋子总数为361－37＝324枚；此时剩下的白棋子是原来白棋子的1－＝，且剩下白棋子数和黑棋子数相等，那么剩下棋子总数相当于原来白棋子数量的1＋＝，即324枚对应的分率是，用324÷计算出单位“1”的量，也就是白棋子的数量，最后用总数量减去白棋子的数量就是原有黑棋子的数量。 【规范解答】（361－37）÷[1＋（1－）] ＝324÷[1＋] ＝324÷[＋] ＝324÷ ＝324× ＝36×5 ＝180（枚） 361－180＝181（枚） 答：原有黑棋子181枚，白棋子180枚。 26．（本题5分）（24-25六年级上·全国·单元测试）甲、乙、丙三人按约定分配劳务酬金。第一次：甲先取其中的，乙取剩下的，丙取乙取后剩下的。接着，按原次序和比率再分配两次。第四次，只有甲、乙还按原次序和原比率分配，而丙分得剩下的135元。则甲4次共分得多少元？ 【答案】843.75元 【易错思路指引】把总金额看成“1”，三个人第一次取后剩余：1×（1－）×（1－）×（1－）＝，也就是三人共取了，按原次序和比率再分配两次，那么就是，第四次，只有甲、乙还按原次序和原比率分配，那就用前三次剩下的再乘再乘即可得到丙分得的金额对应的分率，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，可得总数，由题意可知，第一次甲取；第一次剩余，第二次甲取；第二次剩余，第三次甲取；第三次剩余，第四次甲取。把四次取的相加，再根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算即可得解。 【规范解答】三个人第一次取后剩余： 1×（1－）×（1－）×（1－） ＝ ＝ 每次分配率不变，则丙最后分得 ＝ ＝ 故总金额为135÷＝135×＝1800（元） 第一次甲取；第一次剩余，第二次甲取；第二次剩余，第三次甲取；第三次剩余，第四次甲取 所以甲四次共取了 ＝ ＝ ＝843.75（元） 答：甲4次共取了843.75元。 【考点再现】要先找出已知数135对应的分率，即可得总数，再根据求一个数的几分之几是多少的方法解答。 27．（本题5分）（24-25六年级上·全国·单元测试）故宫的修复工作正在持续不断地进行。按原计划甲、乙两组合作30天可以完成某宫殿的修复工作，后因甲组人员增加，乙组人员减少，导致甲组的工作效率是原来的，乙组的工作效率下降了50%，合作工期比原计划延后6天完成。若甲、乙两组人员未变动，则他们分别单独进行修复各需要多少天？ 【答案】甲组90天，乙组45天 【易错思路指引】把修复工作的工作总量看成单位“1”，原计划甲、乙合作的工作效率之和为。甲组的工作效率提高到原来的，乙组的工作效率下降了50%，30＋6＝36天完成，工作效率之和为，假设甲组、乙组的工作效率均提高到原来的，那么工作效率之和就提高到原来的，也就是，假设的情况与实际情况相比，相差的是乙原来工作效率的，对应，再根据分数除法的意义求出乙的工作效率，进而求出甲的工作效率，再用1分别除以乙和甲的工作效率，即可求出乙组和甲组单独完成全部修复工作要用多少天。 【规范解答】乙组的工作效率下降了50%，乙组的工作效率变为原来的。 最终共用了30＋6＝36（天） 所以此时甲、乙两组工作效率之和是1÷36＝ 如果甲组工作效率提高到原来的，乙组的工作效率也提高到原来的，此时甲、乙两组的工作效率之和是 乙组原来的工作效率为： （－）÷ 甲组原来的工作效率为： 乙组单独修复要用：1÷＝45（天） 甲组单独修复要用1÷＝90（天） 答：若甲、乙两组人员未变动，则他们分别单独进行修复各需要90天和45天。 【考点再现】本题考查工程问题，掌握工作效率、工作时间、工作总量之间的关系以及分数除法的应用是解题的关键。 28．（本题5分）（24-25六年级上·全国·单元测试）北京颐和园是世界上保存最完整的古代皇家园林之一。据颐和园工作人员统计，某天游览时租用讲解器的人数比游览总人数的少200人，未租用讲解器的人数比游览总人数的多40人，租用讲解器和未租用讲解器的人数分别是多少？ 【答案】租用讲解器的有200人，未租用讲解器的有1000人。 【易错思路指引】根据题目信息：租用讲解器的人数比总人数的少200人，可知未租用讲解器的人数是总人数的多200人，又知未租用讲解器的人数比游览总人数的多40人，则总人数的比多人，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，可求出总人数，再根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算求出总人数的再减200可得租用讲解器的人数，再用总人数减租用讲解器的人数可得未租用讲解器的人数。 【规范解答】（200－40）÷[－（1－）] ＝160÷[－] ＝160÷[－] ＝160÷ ＝ ＝1200（人） 1200×200 ＝ ＝200（人） 1200－200＝1000（人） 答：租用讲解器的有200人，未租用讲解器的有1000人。 【考点再现】要先找出一个具体数量占总人数的几分之几，据此求出总人数，再根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算对应分率的人数即可。 29．（本题5分）（24-25六年级上·全国·单元测试）10月28日7时30分，2023奔跑吧·光谷马拉松在武汉东湖高新区鸣枪开跑，来自国内外的1.6万余名选手参与了全程马拉松、半程马拉松、健康跑以及企业接力跑等项目的比拼。选手们从华中科技大学出发，沿着光谷发展轴线一路向东，奔向武汉新城。他们途经多个科研机构、产业园区，近距离感受光谷的科技之美。本次马拉松竞赛根据各个竞赛项目的行程不同，分为下边三种： 项目名称 项目总长 终点站 马拉松（全程） 42千米 武汉未来科技城 马拉松（半程） 21千米 大悦城 健康跑 12千米 光谷国际网球中心 （1）武汉东站是中国光谷重要的综合交通枢纽，也是武汉铁路枢纽中的第四大客运站。它位于华中科技大学南偏东40°方向、光谷国际网球中心西偏北20°方向，请在图中标识出武汉东站的位置。 （2）小李参加了光谷马拉松竞赛（全程），10时10分的时候他到达半程，此时他计划在5小时以内完成比赛。小李当前的步幅是每步米，为了达到目标，小李准备调整自己步幅到每步米。则步频需比前半程的步频增加几分之几？ 已知步频（步数/分钟）×步幅（米/步）＝速度（米/分钟） 【答案】（1）见详解；（2） 【易错思路指引】（1）先找到华中科技大学和光谷国际网球中心的位置，再根据华中科技大学南偏东40°方向和光谷国际网球中心西偏北20°方向，把这两个位置连线，交点就是武汉东站。 （2）已知7时30分开跑，小李参加了光谷马拉松竞赛（全程）。10时10分的时候他到达半程（21千米），步幅是每步米。他跑半程用的时间为10时10分－7时30分＝2小时40分。1小时＝60分，2×60＝120分，2小时40分为120＋40＝160分。1千米＝1000米，21千米为21×1000＝21000米，那么他前半程的速度为21000÷160＝131.25米/分。已知步频（步数/分钟）×步幅（米/步）＝速度（米/分钟），所以他前半程的步频为131.25÷＝131.25×＝175步数/分钟。 计划在5小时以内完成比赛，5×60＝300分钟，还剩下300－160＝140分钟跑完后半程。后半程是21千米，后半程的速度为21000÷140＝150米/分。后半程步幅是每步米，那么后半程的步频为150÷＝150×＝步数/分钟。 求步频需比前半程的步频增加几分之几，就是用减175得出增加的步频，再除以175即可。 【规范解答】 （1）如图： （2）10时10分－7时30分＝2小时40分 1小时＝60分 2×60＝120（分钟） 120＋40＝160（分钟） 1千米＝1000米 21×1000＝21000（米） 21000÷160＝131.25（米/分） 131.25÷＝131.25×＝175（步数/分钟） 5×60＝300（分钟） 300－160＝140（分钟） 21000÷140＝150（米/分） 150÷＝150×＝（步数/分钟） －175＝－＝（步数/分钟） ÷175＝×＝ 答：步频需比前半程的步频增加。 【考点再现】本题掌握对方向、角度及位置等知识点；依据题意给出的公式，计算出关键数据。在计算时合理运用单位的换算，以及利用分数与除法的关系得出增加比例。 30．（本题5分）（23-24六年级下·吉林四平·期末）中国古代《九章算术》中有一道数学名题“持米过关”：今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米五斗。问持米几何？意思是有一个人背了一袋大米过三关，在外关时用全部米的纳税，经过中关时用所剩米的纳税，经过内关时再用所剩米的纳税，最后还剩5斗米。请问：这个人原来带了多少斗米？先画图表示数量关系，再解决问题。（“斗”是中国古代的容量单位） 【答案】斗 【易错思路指引】本题用倒推法从后向前推算，先把经过内关时米的总数量看作单位“1”，纳税所缴的米占总数量的，则剩下的米占总数量的（1－），剩下5斗米，经过内关时米的总数量＝剩下米的数量÷（1－），再把经过中关时米的总数量看作单位“1”，纳税所缴的米占总数量的，则剩下的米占总数量的（1－），经过中关时米的总数量＝经过内关时米的总数量÷（1－），最后把经过外关时米的总数量看作单位“1”，纳税所缴的米占总数量的，则剩下的米占总数量的（1－），经过外关时米的总数量＝经过中关时米的总数量÷（1－），据此解答。 【规范解答】 5÷（1－）÷（1－）÷（1－） ＝5÷÷÷ ＝5××× ＝（斗） 答：这个人原来带了斗米。 【考点再现】本题主要考查分数除法的应用，明确每次纳税的米都是把上次剩余的米看作单位“1”是解答题目的关键。 31．（本题5分）（2020六年级下·全国·专题练习）辅导员给参加夏令营的某一组营员发苹果，给第一个人1个苹果和余下的，给第二个人2个苹果和余下的，又给第三个人3个苹果和余下的……最后恰好分完，并且每个人分到的苹果数量相同，问共有多少个苹果？这一组共有多少人？ 【答案】64个；8人 【易错思路指引】根据“每个人分到的苹果数量相同”，可知，给第一个人1个苹果和余下的，给第二个人2个苹果和余下的，这两者的苹果数是相同的，那么给完第一个人1个苹果后余下的比给完第二个人2个苹果后余下的多2－1＝1（个）苹果，所以给完第一个人1个苹果后余下的苹果比给完第二个人2个苹果后余下的苹果多（个）苹果，比给第二个人2个苹果之前多9－2＝7（个），即给第一个人1个苹果后，余下的是7个苹果，用除法求出余下的苹果数，再加上给第一个人的1个苹果就是苹果总数，用苹果总数除以分给每个人的苹果数7＋1＝8，即可求出人数。 【规范解答】 ＝7（个） ＝64（个） 64÷（7＋1） ＝64÷8 ＝8（人） 答：共有64个苹果，这一组共有8人。 【考点再现】本题主要考查分析能力和分数的灵活应用，明白题目中多次出现的“余下的”指的不是同一个量，分析出具体数量与对应分率是解题的关键，本题也可列方程求解。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $