2025-2026学年人教版数学九年级上册期中复习：8大题型汇总与跟踪训练（填空题篇）

2025-2026学年数学人教版九年级上册期中复习：8大题型汇总与跟踪训练（填空题篇） 8大题型归纳总结 题型1：一元二次方程的定义 题型2：一元二次方程的一般形式与解 题型3：解一元二次方程 题型4：一元二次方程的根与系数的关系 题型5：实际问题与一元二次方程 题型6：二次函数的图像与性质 题型7：二次函数与一元二次方程 题型8：实际问题与二次函数 8大题型跟踪训练 题型1：一元二次方程的定义 1．（2025春•南岗区校级月考）当a＝　 　 时，关于x的方程（a﹣3）x|a|﹣1﹣x＝5是一元二次方程． 2．（2025春•夏津县期末）当a＝ 　 　 时，xa﹣2﹣5x＝3是关于x的一元二次方程． 3．（2025春•瑶海区校级期末）若方程是关于x的一元二次方程，则m＝　 　 ． 4．（2024秋•巴中期末）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为　 　 ． 题型2：一元二次方程的一般形式与解 5．（2025春•雨花区校级期末）一元二次方程2x2﹣x﹣3＝0的二次项系数是　 　 ． 6．（2025春•拱墅区校级月考）一元二次方程2x2﹣8x＝5化成一般形式后，二次项系数为　 　 ，一次项系数为　 　 ，常数项为　 　 ． 7．（2024秋•通榆县期末）若一元二次方程ax2﹣bx﹣2024＝0有一根为x＝﹣1，则a+b＝ 　 　 ． 8．（2024秋•鄂温克族自治旗期末）若x＝3是一元二次方程x2+mx+6＝0的一个解，则m＝ 　 　 ． 题型3：解一元二次方程 9．（2025春•海陵区期末）用配方法解方程x2+6x+5＝0，方程可化为（x+3）2＝m，则m＝　 　 ． 10．（2025•西双版纳一模）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个不相等的实数根，则实数c的取值范围是　 　 ． 11．（2025•合肥一模）已知关于x的一元二次方程2x2﹣x+a＝0，有两个相等的实数根，则a的值是　 　 ． 12．（2025春•嵊州市期末）把方程x2+2x﹣3＝0变形为（x+h）2＝k的形式，其中h，k为常数，则k的值为　 　 ． 题型4：一元二次方程的根与系数的关系 13．（2024秋•常宁市期末）已知关于x的方程x2+px+q＝0的两个根为﹣3和1，则p﹣q＝　 　 ． 14．（2024秋•咸安区期末）已知x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则x1x2＝ 　 　 ． 15．（2024秋•禹州市期末）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根x1，x2有如下的关系：x1+x2，x1•x2．根据以上信息请写出一个两根互为倒数的一元二次方程：　 　 ． 16．（2025•怀远县三模）已知两个不相等的实数m，n满足m2﹣4＝2m，n2＝4+2n，则（m﹣n）2＝　 　 ． 题型5：实际问题与一元二次方程 17．（2024秋•扎鲁特旗期末）一个人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染的人数相等，则经过三轮传染后患流感的人数共有　 　 人． 18．（2025•南山区校级开学）在研究物体的放射性衰变时，我们常常关注放射性物质质量随时间的变化．假设在2023年初，有一块质量为500克的某种放射性同位素．由于放射性衰变，其质量会逐年减少．到2025年初，经过精确测量，该放射性同位素的质量降至405克．设这种放射性同位素质量的年平均减少率为x，根据题意，可列出一元二次方程为：　 　 ．（只列方程，不需求解） 19．（2025•朔州模拟）如图是一张长54cm的矩形铁皮，将其按如图方式分别剪去两个全等的矩形和两个全等的正方形，剩余部分（阴影部分）可制成表面积为1458cm2的长方体铁盒．若设剪去的小正方形的边长为x cm，则根据题意，可列方程为　 　 ． 20．（2025春•田阳区期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝5cm，点E从A点出发，沿射线AB运动，速度为2cm/s，点F从点C出发，沿线段CA运动，速度为1cm/s，连接EF．E、F两点同时出发，当点F到达点A时，点E也停止运动，请问经过 　 　 s后，△AEF的面积恰为12cm2． 题型6：二次函数的图像与性质 21．（2025•哈尔滨校级三模）把抛物线y＝x2向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线解析式为　 　 ． 22．（2025•西安校级自主招生）如图，已知函数y＝2x2与函数y＝﹣ax2+bx的交点为y＝﹣ax2+bx的顶点，阴影部分的面积为2，则a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ． 23．（2025•嘉善县一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c关于x＝1对称，其部分图象如图所示，则3a+c＝　 　 ． 24．（2025•五河县三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B为抛物线y＝x2上的两个动点，且OA⊥OB，连接AB，过点O作OC⊥AB于点C． （1）若点A的横坐标为﹣1，则点B的坐标为　 　 ； （2）在直线AB的运动过程中，点C到y轴的距离的最大值为　 　 ． 题型7：二次函数与一元二次方程 25．（2024秋•蒙山县期末）抛物线y＝x2+bx+c与x轴的交点坐标分别为（﹣1，0），（3，0）．当y＜0时，x的取值范围是 　 　 ． 26．（2024秋•利辛县期末）已知二次函数y＝（a﹣3）x2﹣4x+2的图象与x轴只有一个公共点，则a的值是 　 　 ． 27．（2024秋•丰满区校级期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是　 　 ． 28．（2025•江岸区校级模拟）对于函数y＝x2﹣2|x|+c，有以下结论： ①函数图象为轴对称图形，对称轴是y轴； ②当c＝﹣3时，函数有最小值﹣3； ③若函数图象与x轴有3个交点，c＝0； ④若关于x方程x2﹣2|x|+c＝k有4个实数根，则c﹣1＜k＜c； ⑤若图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜﹣1＜x2时，y1＜y2，则x1+x2＞﹣2． 其中正确的结论是 　 　 ．（填写序号） 题型8：实际问题与二次函数 29．（2025•山西模拟）如图，硬叶柳是杨柳科柳属直立灌木，在海拔4km到4.8km的高山环境下，其叶片长度d（mm）与海拔h（km）满足关系式：d＝8h2﹣72h+182，若d＝20mm，则硬叶柳生长的海拔h为　 　 km． 30．（2024秋•宝丰县期末）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅在调试时发现：喷头高时，水柱落点距O点2m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高 　 　 m时，水柱落点距O点6m． 31．（2025•如东县校级模拟）如图一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1米，拱桥的跨度为10米，桥洞与水面的最大距离是5米，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4米的景观灯．两盏景观灯之间的水平就离为　 　 米． 32．（2025•瑶海区模拟）羽毛球发球时，球被击出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系xOy，击球点P到球网AB的水平距离OB＝1.5m．某次发球后，击出的羽毛球的飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）的几组数据如下： 水平距离x/m 0 1 2 3 4 竖直高度y/m 1.1 1.6 1.9 2 1.9 根据上述信息，回答下列问题： （1）羽毛球飞行的最大高度为 　 　 m； （2）已知球网AB的高度是1.55m，接球一方在球过网后且高度不低于1.6m时，可以采用“平抽”技术将球快速击打过网，若球发出后水平向前的速度是20m/s，接球者在球过网后可以用“平抽”技术的时长为 　 　 s．（“平抽”技术：快速平直的回球，球的飞行轨迹低平，速度快．） 2025-2026学年数学人教版九年级上册期中复习：8大题型汇总与跟踪训练（填空题篇） 参考答案与试题解析 1．（2025春•南岗区校级月考）当a＝　﹣3　 时，关于x的方程（a﹣3）x|a|﹣1﹣x＝5是一元二次方程． 【解答】解：根据已知，得a﹣3≠0且|a|﹣1＝2， 解得：a＝﹣3． 故答案为：﹣3． 2．（2025春•夏津县期末）当a＝ 　4　 时，xa﹣2﹣5x＝3是关于x的一元二次方程． 【解答】解：∵xa﹣2﹣5x＝3是关于x的一元二次方程， ∴a﹣2＝2， 解得：a＝4， 故答案为：4． 3．（2025春•瑶海区校级期末）若方程是关于x的一元二次方程，则m＝　　 ． 【解答】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， 解得m． 故答案为：． 4．（2024秋•巴中期末）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为　1　 ． 【解答】解：根据题意，得m2+1＝2且m+1≠0， 解得m＝1， 故答案为：1． 5．（2025春•雨花区校级期末）一元二次方程2x2﹣x﹣3＝0的二次项系数是　2　 ． 【解答】解：一元二次方程2x2﹣x﹣3＝0二次项系数是2． 故答案为：2． 6．（2025春•拱墅区校级月考）一元二次方程2x2﹣8x＝5化成一般形式后，二次项系数为　2　 ，一次项系数为　﹣8　 ，常数项为　﹣5　 ． 【解答】解：将方程化成一般形式为：2x2﹣8x﹣5＝0， ∴a＝2，b＝﹣8，c＝﹣5． 故答案为：2，﹣8，﹣5． 7．（2024秋•通榆县期末）若一元二次方程ax2﹣bx﹣2024＝0有一根为x＝﹣1，则a+b＝ 　2024　 ． 【解答】解：把x＝﹣1代入原方程得：a+b﹣2024＝0， ∴a+b＝2024． 故答案为：2024． 8．（2024秋•鄂温克族自治旗期末）若x＝3是一元二次方程x2+mx+6＝0的一个解，则m＝ 　﹣5　 ． 【解答】解：把x＝3代入原方程得：9+3m+6＝0， 解得：m＝﹣5． 故答案为：﹣5． 9．（2025春•海陵区期末）用配方法解方程x2+6x+5＝0，方程可化为（x+3）2＝m，则m＝　4　 ． 【解答】解：∵x2+6x+5＝0， ∴x2+6x＝﹣5， 则x2+6x+9＝﹣5+9，即（x+3）2＝4， ∴m＝4， 故答案为：4． 10．（2025•西双版纳一模）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个不相等的实数根，则实数c的取值范围是　c＜4　 ． 【解答】解：由题意得Δ＝（﹣4）2﹣4×1×c＝16﹣4c＞0， 解得：c＜4， 故答案为：c＜4． 11．（2025•合肥一模）已知关于x的一元二次方程2x2﹣x+a＝0，有两个相等的实数根，则a的值是　　 ． 【解答】解：由题知， 因为关于x的一元二次方程2x2﹣x+a＝0，有两个相等的实数根， 所以Δ＝（﹣1）2﹣4×2×a＝0， 解得a． 故答案为：． 12．（2025春•嵊州市期末）把方程x2+2x﹣3＝0变形为（x+h）2＝k的形式，其中h，k为常数，则k的值为　4　 ． 【解答】解：x2+2x﹣3＝0， 移项，得x2+2x＝3， 配方，得x2+2x+1＝3+1 ∴（x+1）2＝4， ∴化成（x+h）2＝k， ∴h＝1，k＝4， 故答案为：4． 13．（2024秋•常宁市期末）已知关于x的方程x2+px+q＝0的两个根为﹣3和1，则p﹣q＝　5　 ． 【解答】解：关于x的方程x2+px+q＝0的两个根为﹣3和1， 则可得方程为（x+3）（x﹣1）＝0， 化简得x2+2x﹣3＝0， ∴p＝2，q＝﹣3， ∴p﹣q＝2﹣（﹣3）＝5， 故答案为：5． 14．（2024秋•咸安区期末）已知x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则x1x2＝ 　﹣1　 ． 【解答】解：由题意得，， 故答案为：﹣1． 15．（2024秋•禹州市期末）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根x1，x2有如下的关系：x1+x2，x1•x2．根据以上信息请写出一个两根互为倒数的一元二次方程：　x2﹣3x+1＝0（答案不唯一）　 ． 【解答】解：当a＝c＝1，b＝﹣3时，一元二次方程为x2﹣3x+1＝0． 故答案为：x2﹣3x+1＝0（答案不唯一）． 16．（2025•怀远县三模）已知两个不相等的实数m，n满足m2﹣4＝2m，n2＝4+2n，则（m﹣n）2＝　20　 ． 【解答】解：由条件可知m，n为一元二次方程．x2﹣2x﹣4＝0的两个不相等的实数根， ∴m+n＝2，mn＝﹣4， ∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝22﹣4×（﹣4）＝20， 故答案为：20． 17．（2024秋•扎鲁特旗期末）一个人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染的人数相等，则经过三轮传染后患流感的人数共有　512　 人． 【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第一轮传染中被感染了x个人，第二轮传染中被感染了x（1+x）人， 根据题意得：1+x+x（1+x）＝64， 即（1+x）2＝64， 解得：x1＝7，x2＝﹣9（不符合题意，舍去）， ∴64（1+x）＝64×（1+7）＝512（人）， ∴经过三轮传染后患流感的人数共有512人． 故答案为：512． 18．（2025•南山区校级开学）在研究物体的放射性衰变时，我们常常关注放射性物质质量随时间的变化．假设在2023年初，有一块质量为500克的某种放射性同位素．由于放射性衰变，其质量会逐年减少．到2025年初，经过精确测量，该放射性同位素的质量降至405克．设这种放射性同位素质量的年平均减少率为x，根据题意，可列出一元二次方程为：　500（1﹣x）2＝405　 ．（只列方程，不需求解） 【解答】解：由题意可得， 500（1﹣x）2＝405， 故答案为：500（1﹣x）2＝405． 19．（2025•朔州模拟）如图是一张长54cm的矩形铁皮，将其按如图方式分别剪去两个全等的矩形和两个全等的正方形，剩余部分（阴影部分）可制成表面积为1458cm2的长方体铁盒．若设剪去的小正方形的边长为x cm，则根据题意，可列方程为　4x（54﹣2x）+2x2＝1458　 ． 【解答】解：若设剪去的小正方形的边长为x cm， 四个长方形的长为（54﹣2x）cm，宽为x cm，两个小正方形的边长均为x cm， ∵可列方程为4x（54﹣2x）+2x2＝1458． 故答案为：4x（54﹣2x）+2x2＝1458． 20．（2025春•田阳区期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝5cm，点E从A点出发，沿射线AB运动，速度为2cm/s，点F从点C出发，沿线段CA运动，速度为1cm/s，连接EF．E、F两点同时出发，当点F到达点A时，点E也停止运动，请问经过 　4或6　 s后，△AEF的面积恰为12cm2． 【解答】解：过E作EH⊥AC于H，如图： 设运动时间为t s， ∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝5cm， ∴AC＝2BC＝10cm， 根据题意得：AE＝2t cm，CF＝t cm， ∴AF＝（10﹣t）cm，EHAE＝t cm， ∵△AEF的面积恰为12cm2， ∴t（10﹣t）＝12， 解得t＝4或t＝6， ∴经过4s或6s后，△AEF的面积恰为12cm2． 故答案为：4或6． 21．（2025•哈尔滨校级三模）把抛物线y＝x2向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线解析式为　y＝（x﹣2）2﹣3　 ． 【解答】解：把抛物线y＝x2向右平移2个单位长度，得到抛物线解析式为y＝（x﹣2）2，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线解析式为y＝（x﹣2）2﹣3； 故答案为：y＝（x﹣2）2﹣3． 22．（2025•西安校级自主招生）如图，已知函数y＝2x2与函数y＝﹣ax2+bx的交点为y＝﹣ax2+bx的顶点，阴影部分的面积为2，则a＝ 　2　 ，b＝ 　4　 ． 【解答】解：由题意，设函数y＝﹣ax2+bx的顶点为P，图象与x轴的另一交点为Q，过P作PH⊥x轴于H，连接PO、PQ． ∵函数为y＝﹣ax2+bx， ∴对称轴是直线x，顶点为（，）． ∴OHOQ，PH． 又∵抛物线y＝﹣ax2+bx关于直线x对称，函数y＝2x2图象也是轴对称图形， ∴利用对称性可得，阴影部分的面积＝S△POQOQ•PH••2． ∴b3＝16a2． 又∵顶点为（，）在y＝2x2图象上， ∴2•（）2． ∴a＝2． ∴b3＝16a2＝64． ∴b＝4． 故答案为：2；4． 23．（2025•嘉善县一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c关于x＝1对称，其部分图象如图所示，则3a+c＝　0　 ． 【解答】解：由函数图象可知，抛物线与坐标轴的交点为（0，﹣2），（3，0）， ∴c＝﹣2①，9a+3b+c＝0③， ∵抛物线y＝ax2+bx+c关于x＝1对称， ∴1③， ①②③联立得， 解得a， ∴3a+c＝32＝0． 故答案为：0． 24．（2025•五河县三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B为抛物线y＝x2上的两个动点，且OA⊥OB，连接AB，过点O作OC⊥AB于点C． （1）若点A的横坐标为﹣1，则点B的坐标为　（1，1）　 ； （2）在直线AB的运动过程中，点C到y轴的距离的最大值为　　 ． 【解答】解：（1）如图，过B作BE⊥x轴交于E，过A作AD⊥x轴交于D， 当x＝﹣1时， y＝（﹣1）2＝1， ∴A（﹣1，1）， ∴OD＝AD＝1， ∴∠AOD＝45°， ∵OA⊥OB， ∴∠BOE＝90°﹣45°＝45°， ∴∠OBE＝∠BOE＝45°， ∴OE＝BE， 设xB＝m， ∴， ∴m＝m2， 解得：m1＝1，m2＝0（舍去）， ∴B（1，1）， 故答案为：（1，1）； （2）根据对称性，不妨设yA＞yB，不影响结果， 如图，过B作BG⊥AD交y轴于H，交AD于点G， ∴∠ADE＝∠BGD＝∠DEB＝90°， ∴四边形DEBG是矩形， ∵AD与y轴平行， ∴△BHF∽△BGA， ∴， 设A（a，a2），B（b，b2），a2＞b2， ∴AD＝a2，OD＝﹣a，BH＝OE＝b，BE＝b2，DG＝OH＝BE＝b2， ∴BG＝b﹣a，AG＝a2﹣b2， ∴， 解得：FH＝﹣ab﹣b2， ∴OF＝FH+OH＝﹣ab﹣b2+b2＝﹣ab， ∴∠OEB＝∠ADO＝90°， ∴∠OAD＝∠AOD＝90°， ∵OA⊥OB， ∴∠BOE+∠AOD＝90°， ∴∠OAD＝∠BOE， ∴△OAD∽△BOE， ∴， ∴， 解得：ab＝﹣1， ∴OF＝﹣（﹣1）＝1， ∴F（0，1）， 取OF的中点P，连接CP， ∴， ∴点C的运动轨迹是以P为圆心，CP的长为半径的圆， ∴当CP⊥y轴时，C到y轴的距离最大， 此时最大距离为； 故答案为：． 25．（2024秋•蒙山县期末）抛物线y＝x2+bx+c与x轴的交点坐标分别为（﹣1，0），（3，0）．当y＜0时，x的取值范围是 　﹣1＜x＜3　 ． 【解答】解：∵a＝1＞0， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴的交点坐标分别为（﹣1，0），（3，0）， ∴当y＜0时，﹣1＜x＜3． 故答案为：﹣1＜x＜3． 26．（2024秋•利辛县期末）已知二次函数y＝（a﹣3）x2﹣4x+2的图象与x轴只有一个公共点，则a的值是 　5　 ． 【解答】解：∵二次函数y＝（a﹣3）x2﹣4x+2的图象与x轴只有一个公共点， ∴b2﹣4ac＝16﹣8（a﹣3）＝0， ∴a＝5， 故答案为：5． 27．（2024秋•丰满区校级期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是　x1＝﹣1，x2＝4　 ． 【解答】解：∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点， ∴方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝4， 故答案为：x1＝﹣1，x2＝4． 28．（2025•江岸区校级模拟）对于函数y＝x2﹣2|x|+c，有以下结论： ①函数图象为轴对称图形，对称轴是y轴； ②当c＝﹣3时，函数有最小值﹣3； ③若函数图象与x轴有3个交点，c＝0； ④若关于x方程x2﹣2|x|+c＝k有4个实数根，则c﹣1＜k＜c； ⑤若图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜﹣1＜x2时，y1＜y2，则x1+x2＞﹣2． 其中正确的结论是 　①③④⑤　 ．（填写序号） 【解答】解：①函数y＝x2﹣2|x|+c与y轴交点是（0，c）， 当x≥0时，y＝x2﹣2x+c＝（x﹣1）2+c﹣1，其图象开口向上，对称轴为x＝1，最小值为c﹣1； 当x＜0时，y＝x2+2x+c＝（x+1）2+c﹣1，其图象开口向上，对称轴为x＝﹣1，最小值为c﹣1， ∴函数y＝x2﹣2|x|+c的图象关于y轴对称， 故①正确，符合题意； ②当c＝﹣3时，函数y＝x2﹣2|x|﹣3． 当x≥0时，y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，其图象开口向上，对称轴为x＝1，此时y的最小值为﹣4； 当x＜0时，y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，其图象开口向上，对称轴为x＝﹣1，此时y的最小值为﹣4， ∴当c＝﹣3时，函数的最小值是﹣4，不是﹣3， 故②错误，不符合题意； ③函数y＝x2﹣2|x|+c与x轴有3个交点， 即方程x2﹣2|x|+c＝0有3个不同的实数根， 当x≥0时，方程为x2﹣2x+c＝0； 当x＜0时，方程为x2+2x+c＝0； ∵函数图象关于y轴对称， ∴其中一个方程有一个根为0，另一个方程有两个非零根， 当x＝0时，代入y＝x2﹣2|x|+c，得c＝0， 此时方程x2﹣2|x|＝0， 即|x|（|x|﹣2）＝0， 解得x＝0或x＝2或x＝﹣2，满足与x轴有3个交点， 故③正确，符合题意； ④方程x2﹣2|x|+c＝k有4个实数根， 即函数y＝x2﹣2|x|+c与直线y＝k有4个交点， 当x≥0时，y＝x2﹣2x+c＝（x﹣1）2+c﹣1，其图象开口向上，对称轴为x＝1，最小值为c﹣1； 当x＜0时，y＝x2+2x+c＝（x+1）2+c﹣1，其图象开口向上，对称轴为x＝﹣1，最小值为c﹣1； ∵函数y＝x2﹣2|x|+c与y轴交点是（0，c）， 要使函数y＝x2﹣2|x|+c与直线y＝k有4个交点， 则c﹣1＜k＜c， 故④正确，符合题意； ⑤当x1＜﹣1＜x2时，y1＜y2， ∵函数y＝x2﹣2|x|+c在x＜0时，y＝x2+2x+c＝（x+1）2+c﹣1， 对称轴为x＝﹣1，在x＜﹣1时，y随x的增大而减小； 在x＞0时，y＝x2﹣2x+c＝（x﹣1）2+c﹣1， 对称轴为x＝1，在0＜x＜1时，y随x的增大而减小； ∴当x1＜﹣1＜x2时，y1＜y2，则﹣2＜x1＜﹣1且x1到﹣1的距离小于x2到1的距离， 当y1＝y2时，x1+x2＝﹣2或x1+x2＝0， 则结合图象可得，y1＜y2时，x1+x2＞﹣2， 故⑤正确，符合题意； 综上，正确的结论是①③④⑤． 故答案为：①③④⑤． 29．（2025•山西模拟）如图，硬叶柳是杨柳科柳属直立灌木，在海拔4km到4.8km的高山环境下，其叶片长度d（mm）与海拔h（km）满足关系式：d＝8h2﹣72h+182，若d＝20mm，则硬叶柳生长的海拔h为　4.5　 km． 【解答】解：其叶片长度d（mm）与海拔h（km）满足关系式：d＝8h2﹣72h+182， 当d＝20mm时，20＝8h2﹣72h+182． ∴h＝4.5． 故答案为：4.5． 30．（2024秋•宝丰县期末）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅在调试时发现：喷头高时，水柱落点距O点2m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高 　20　 m时，水柱落点距O点6m． 【解答】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，对称轴也不变， ∴二次项系数和一次项系数都不变， 当喷头高时，可设， 将（2，0）代入关系式，得； 当喷头高度为4m时，可设y＝ax2+bx+4， 将（3，0）代入关系式得9a+3b+4＝0． 联立，得， 解得． 设喷头高为h时，水柱落点距O点6m， 此时的关系式为， 将（6，0）代入关系式，得， 解得h＝20． 当喷头高20m时，水柱落点距O点6m． 故答案为：20． 31．（2025•如东县校级模拟）如图一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1米，拱桥的跨度为10米，桥洞与水面的最大距离是5米，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4米的景观灯．两盏景观灯之间的水平就离为　5　 米． 【解答】5解：抛物线的顶点坐标为（5，5），且经过点（0，1）， 设抛物线解析式为y＝a（x﹣5）2+5， 把点（0，1）代入得： 1＝a（0﹣5）2+5，即a， ∴抛物线解析式为y（x﹣5）2+5． 令y＝4，得x1，x2， ∴盏景观灯之间的水平距离是5m． 故答案为：5． 32．（2025•瑶海区模拟）羽毛球发球时，球被击出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系xOy，击球点P到球网AB的水平距离OB＝1.5m．某次发球后，击出的羽毛球的飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）的几组数据如下： 水平距离x/m 0 1 2 3 4 竖直高度y/m 1.1 1.6 1.9 2 1.9 根据上述信息，回答下列问题： （1）羽毛球飞行的最大高度为 　2　 m； （2）已知球网AB的高度是1.55m，接球一方在球过网后且高度不低于1.6m时，可以采用“平抽”技术将球快速击打过网，若球发出后水平向前的速度是20m/s，接球者在球过网后可以用“平抽”技术的时长为 　0.175　 s．（“平抽”技术：快速平直的回球，球的飞行轨迹低平，速度快．） 【解答】解：（1）当x＝2和当x＝4时的函数值相同， ∴对称轴为直线x3， ∵抛物线开口向下， ∴在对称轴处函数有最大值，即此时羽毛球在飞行过程中有最大高度，即2m； 故答案为：2； （2）∵对称轴为直线x＝3， ∴当x＝5时的函数值为1.6， ∵1.55＜1.6， ∴在羽毛球过网之后到x＝5这个过程都可以“平抽”技术， ∴接球者在球过网后可以用“平抽”技术的时长为， 故答案为：0.175． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $