1.1菱形的性质与判定 同步练习 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

1.1菱形的性质与判定 同步练习 2025-2026学年北师大版数学九年级上册 一、选择题 1.如图，已知四边形的对角线互相垂直，如果适当添加一个条件，就能判定该四边形是菱形，那么这个条件可以是． A. B. C. D. ，互相平分 2.菱形中，，，则该菱形的面积等于(    ) A. B. C. D. 3.如图，在菱形中，，垂足为点，为的中点，连接，若，，则菱形的边长为(    ) A. B. C. D. 4.如图，是坐标原点，菱形的顶点在轴的负半轴上，顶点的坐标为，则顶点的坐标为(    ) A. B. C. D. 5.如图，在菱形中，的中垂线交对角线于点，点为垂足，连接，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 6.如图，在中，，，，是边的中点，是边上一点，将沿直线折叠，得到，连接，若四边形是菱形，则的长为(    ) A. B. C. D. 7.如图，在菱形中，对角线与交于点，于点，为线段上一点若，，，则线段的长度为    ． A. B. C. D. 8.如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，分别是边，的中点，连接，若，，则的长为(    ) A. B. C. D. 二、填空题 9.如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接． 图中 ______填“”或“”或“”； 若，菱形的面积为，则的长为______． 10.小贤家有一个中国结挂饰，他利用所学知识抽象出如图所示的菱形，测得，若过点的直线交边，于点，，则的长为______． 11.如图，点是菱形的对称中心，连接，，，为过点的一条直线，点，分别在，上，则图中阴影部分的面积为          ． 12.如图，在中，以点为圆心长为半径作弧交于点，分别以点、为圆心，大于的长度为半径作弧，交于点，连接并延长交于点，若，，则的长为          ． 13.如图，是菱形的对角线上一点，过点作于点若，则点到边的距离为______． 14.如图，在菱形中，，对角线，是上任意一点，是对角线上任意一点，则的最小值为          ． 三、解答题 15.如图，在菱形中，于点，于点，连接． 求证：； 若，求的度数． 16.如图，中，，垂直平分，垂足为，交于点，，连接，． 求证：四边形是菱形； 若，，求的长． 17.如图，点，分别在▱的边，上，连接，，，连接，相交于点，请你从以下选项：；；；中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形是菱形． 你选择的补充条件是______；填序号 根据你选择的补充条件，写出四边形是菱形的证明过程． 18.如图所示，在菱形中，，，为正三角形，点、分别在菱形的边、上滑动，且、不与、、重合． 证明不论、在、上如何滑动，总有； 当点、在、上滑动时，分别探讨四边形的面积和的周长是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：四边形中，、互相垂直， 若四边形是菱形，需添加的条件是： 、互相平分；对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 故选：． 已知四边形的对角线互相垂直，可依据“对角线互相垂直且平分的四边形是菱形”的判定方法，来选择条件． 此题主要考查的是菱形的判定方法：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形． 2.【答案】  【解析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 【详解】解：菱形的对角线，， 菱形的面积， 故选：． 3.【答案】  【解析】解：四边形是菱形， ， ， ， ， 设，则， ，， ， ， 解得：， ， ， 故选：． 由四边形是菱形，则，又，所以，设，则，由勾股定理得，，然后通过，即，求出的值即可． 本题考查了菱形的性质，勾股定理，等面积法，掌握知识点的应用是解题的关键． 4.【答案】  【解析】本题考查平面直角坐标系内两点间的距离公式，菱形的性质，坐标与图形．结合菱形的性质求出是解题关键．由两点间的距离公式结合菱形的性质可求出，从而可求出，即得出顶点的坐标为． 【详解】解：如图， 点的坐标为， ． 四边形为菱形， ， ， 顶点的坐标为． 故选C． 5.【答案】  【解析】解：如图，连接，设， ， ， 四边形是菱形， ，，， ， 垂直平分， ， ， ， ，，， ≌， ， ， ， 故选：． 设，由外角的性质可得，由线段垂直平分线的性质可得，可得，由可证≌，可得，列出方程可求解． 本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 6.【答案】  【解析】解：，，， ，，， 点是边的中点， ， 由翻折变换可知，，， 又四边形是菱形， ， 和都是正三角形， ， ， ， 在中，，， ， 故选：． 根据直角三角形的边角关系，在中可求出，，由翻折变换的性质可知，，根据菱形的性质可得，进而得出和都是正三角形，得出是直角三角形即可． 本题考查直角三角形的边角关系，菱形的性质，翻折变换的性质以及正三角形的性质，掌握直角三角形的边角关系，菱形、翻折变换的性质是正确解答的前提，得出是直角三角形是解决问题的关键． 7.【答案】  【解析】四边形是菱形，，， ，，． 在中，由勾股定理，得． ，，解得． 在中，由勾股定理，得， ，． 在中，由勾股定理，得 ． 8.【答案】  【解析】解：点，分别是边，的中点， 是的中位线， ， 四边形是菱形，， ，，，， 即， ， ， 在中，由勾股定理得：， 点是的中点，， 是的中位线， ， 故选：． 由三角形中位线定理得，再由菱形的性质和勾股定理求出，然后由三角形中位线定理即可得出结论． 本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和三角形中位线定理是解题的关键． 9.【答案】    【解析】解：四边形是菱形， ，， ， 于点， ， ， ， ． 故答案为：； 由知， ， ， ， 菱形的面积为， ，即， 解得， 四边形是菱形， ，， ， ． 故答案为：． 根据菱形的性质可知，，故，再由于点可知，故，故，据此可得出结论； 由知，由得出的长，利用菱形的面积公式求出的长，进而得出的长，利用勾股定理即可得出结论． 本题考查的是菱形的性质，熟知菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：四边形是菱形， ，，， ， 垂直， 菱形的面积， ， ， 故EF的长为， 故答案为：． 根据菱形的性质得到，，，根据勾股定理得到，根据菱形的面积公式即可得到结论． 本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 11.【答案】  【解析】本题考查了中心对称、菱形，关键是掌握菱形的性质．先算出菱形的面积，再算出四边形的面积，因为阴影部分的面积四边形的面积，求得三角形的面积，可得阴影部分的面积． 【详解】解：连接、， 点是菱形的对称中心， ，是与的交点， ，， ，， 为过点的一条直线， 四边形的面积四边形的面积菱形的面积， 菱形的面积， 四边形的面积， 阴影部分的面积四边形的面积，， 阴影部分的面积， 故答案为：． 12.【答案】  【解析】本题主要考查了菱形的性质与判定、线段垂直平分线的尺规作图、勾股定理等知识点，掌握垂直平分线的尺规作图成为解题的关键． 如图：连接，根据尺规作图可得，，再根据等腰三角形的性质可得、，再运用勾股定理可得，再证明是菱形可得即可解答． 【详解】解：如图，连接， 由作图可知：，， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ． 故答案为：． 13.【答案】  【解析】解：四边形为菱形，为对角线， 平分， 为上的一点，且于点，， 所以点到的距离， 故答案为：． 根据菱形性质可知平分，再根据角平分线性质即可求解． 本题考查了菱形性质，关键是菱形性质的熟练掌握． 14.【答案】  【解析】如图，连结交于点，连结，． 四边形是菱形，线段，互相垂直平分，点，关于对称，则，，  即的长就是的长，  当时，的值最小．  由面积法易得的最小值为． 15.【答案】【小题】 证明：四边形是菱形，，  又于点，  于点，  在和中，≌． 【小题】 解：四边形是菱形，，  又，，，  由知≌，  又，是等边三角形．．   【解析】 略  略 16.【答案】证明：， ， 垂直平分， ， 在和中， ， ≌， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形． 解：， ，， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 由可知，， ．  【解析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 证≌，得，则四边形是平行四边形，再由菱形的判定即可得出结论； 由勾股定理得，再证四边形是平行四边形，得，即可得出结论． 17.【答案】或；   四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形． 补充条件：四边形是平行四边形，， 平行四边形是菱形； 补充条件：四边形是平行四边形，， 平行四边形是菱形  【解析】解：补充条件或皆可，答案不唯一； 故答案为：或； 证明：四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形． 补充条件：四边形是平行四边形，， 平行四边形是菱形； 补充条件：四边形是平行四边形，， 平行四边形是菱形． 添加合适的条件即可； 证四边形是平行四边形，再由一组临边相等的平行四边形是菱形，或对角线垂直的平行四边形是菱形即可证明． 本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键． 18.【答案】解：如图，连接， 四边形为菱形，， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， ， 和为等边三角形， ，， 在和中， ， ≌． ； 四边形的面积不变，的周长发生变化．理由如下： 由得≌， 则， 故，是定值， 作于点，则， ． 的周长 由“垂线段最短”可知：当正三角形的边与垂直时，边最短． 故的周长会随着的变化而变化，且当最短时，的周长会最小．  【解析】本题考查了菱形的性质；三角形全等的判定与性质；垂线段的性质等，综合性较强，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 先求证，进而求证、为等边三角形，得，进而求证≌，即可求得； 根据≌可得，故根据即可解题；由“垂线段最短”可知：当正三角形的边与垂直时，边最短．的周长会随着的变化而变化，求出当最短时，的周长即可． 学科网（北京）股份有限公司 $