精品解析：期末测试卷 2025-2026学年 人教版九年级数学上册

期末测试卷 2025-2026学年 人教版九年级数学上册 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数图象顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 从标号分别为1，2，3，4，5的5张卡片中，随机抽取1张．下列事件中，必然事件是（ ） A. 标号小于6 B. 标号大于6 C. 标号是奇数 D. 标号是3 4. 下列一元二次方程，没有实数根是（ ） A. B. C. D. 5. Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，若以点C为圆心r为半径的圆与AB所在直线相交，则r可能为（　　） A. 3 B. 4 C. 4.8 D. 5 6. 若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的边心距为（    ） A 2 B. 4 C. 3 D. 12 7. 如图，中，，点是的内心，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（　　） A. 55° B. 65° C. 60° D. 75° 9. 在平面直角坐标系中，已知函数y1＝x2+ax+1，y2＝x2+bx+2，y3＝x2+cx+4，其中a，b，c是正实数，且满足b2＝ac．设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，（　　） A. 若M1＝2，M2＝2，则M3＝0 B. 若M1＝1，M2＝0，则M3＝0 C. 若M1＝0，M2＝2，则M3＝0 D. 若M1＝0，M2＝0，则M3＝0 10. 如图，AB是半圆O的直径，且AB＝4cm，动点P从点O出发，沿OA→→BO的路径以每秒1cm的速度运动一周．设运动时间为t，s＝OP2，则下列图象能大致刻画s与t的关系的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题5分，共20分） 11. 若一个圆锥的母线长是3，底面半径是1，则它的侧面展开图的面积是__________．  12. 在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有a个白球和3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值约为_____． 13. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转后得到，点B经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积为________． 14. 如图，是半圆O的直径，点D在半圆O上，，C是上的一个动点，连接，过点D作于点H，连接． （1）若C是中点，则点C到直线的距离为__________；  （2）在点C移动的过程中，线段长的最小值是__________．  三、解答题（共90分） 15. 解下列方程： （1） ； （2）． 16. 如图，半圆的直径AB＝12cm，＝ ＝ ． （1）求证：CD∥AB； （2）求阴影部分的面积． 17. 如图，依靠一面长18米的墙，用38米长的篱笆围成一个矩形场地ABCD，设AD长为x米． （1）用含有x的代数式表示AB的长，并直接写出x的取值范围； （2）当矩形场地的面积为180平方米时，求AD的长． 18. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）． （1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标； （2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后△A2BC2； （3）求出（2）中C点旋转到C2点所经过的路径长（记过保留根号和π）． 19. 如图，点E为正方形外一点，，将绕A点逆时针方向旋转得到的延长线交于H点． （1）试判定四边形的形状，并说明理由； （2）已知，求的长． 20. 奥体中心为满足暑期学生对运动的需求，欲开设球类课程，该中心随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“羽毛球”、“篮球”、“足球”、“排球”、“乒乓球”中选择自己最喜欢的一项．根据调查结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中信息，解答下列问题： （1）此次共调查了多少名学生？ （2）将条形统计图补充完整； （3）我们把“羽毛球”“篮球”，“足球”、“排球”、“乒乓球”分别用A，B，C，D，E表示．小明和小亮分别从这些项目中任选一项进行训练，利用树状图或表格求出他俩选择不同项目的概率． 21. 某网商经销一种玩具，每件进价为40元．市场调查反映，每星期的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图中线段所示． （1）写出每星期的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式并写出自变量x的取值范围； （2）如果该网商每个星期想获得4000元的利润，请你计算出玩具的销售单价定为多少元？ （3）当每件玩具的销售单价定为多少元时，该网商每星期经销这种玩具能够获得最大销售利润？最大销售利润是多少？ 22. 已知：是的外接圆，为的直径，，垂足为E，连接，延长交于点F． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点D作交于点G，点H为的中点，连接，求证：． 23. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点E是直角△ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E、F的坐标； （3）在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末测试卷 2025-2026学年 人教版九年级数学上册 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义和轴对称图形的定义，根据中心对称图形的定义（把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，）和轴对称图形的定义（如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，）进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，是轴对称图形，符合题意； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 2. 二次函数图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标. 【详解】∵， ∴二次函数图象顶点坐标为：. 故答案为A. 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）． 3. 从标号分别为1，2，3，4，5的5张卡片中，随机抽取1张．下列事件中，必然事件是（ ） A. 标号小于6 B. 标号大于6 C. 标号是奇数 D. 标号是3 【答案】A 【解析】 【分析】必然事件．必然事件表示在一定条件下，必然出现的事情． 【详解】解：∵标号分别为1，2，3，4，5，都小于6， ∴标号小于6是必然事件． 故选A． 4. 下列一元二次方程，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算各选项方程的根的判别式Δ=b2-4ac，然后根据计算的结果分别判断根的情况． 【详解】解：A．Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×0=4>0，方程有两个不相等，故A错误； B．Δ=b2-4ac=42-4×1×(-1)=20>0，方程有两个不相等，故B错误； C．Δ=b2-4ac=(-4)2-4×2×3=-8<0，，方程没有实数根，故C正确； D．Δ=b2-4ac=(-5)2-4×3×2=1>0，方程有两个不相等，故D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式Δ=b2-4ac．解题的关键是掌握当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根． 5. Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，若以点C为圆心r为半径的圆与AB所在直线相交，则r可能为（　　） A. 3 B. 4 C. 4.8 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理求出BC=8，再利用面积法求出CD的长，即可得到答案． 【详解】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10， ∴BC=8， ∵， ∴CD=， ∴当时，以点C为圆心r为半径的圆与AB所在直线相交， 故选：D． 【点睛】此题考查勾股定理，三角形的面积法求斜边上的高线，直线与圆相交的交点个数，理解以点C为圆心r为半径的圆与AB所在直线相交先求出最短距离进行判断是解题的关键． 6. 若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的边心距为（    ） A. 2 B. 4 C. 3 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】首先得出正六边形的边长，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出． 【详解】如图： 连接OA，作OM⊥AB，得到∠AOM=30°， ∵圆内接正六边形ABCDEF的周长为24， ∴AB=4，则AM=2， 因而OM=OA•cos30°=2， 正六边形的边心距是2. 故选A． 【点睛】此题主要考查了正多边形和圆，正确掌握正六边形的性质是解题关键． 7. 如图，中，，点是的内心，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，先得到，再由内心的性质，得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵点是的内心， ∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形内心的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出角的度数． 8. 如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（　　） A. 55° B. 65° C. 60° D. 75° 【答案】B 【解析】 【分析】连接CD，根据圆内接四边形的性质得到∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，根据垂径定理得到OD⊥BC，求得BD＝CD，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：连接CD， ∵∠A＝50°， ∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°， ∵E是边BC的中点， ∴OD⊥BC， ∴BD＝CD， ∴∠ODB＝∠ODC＝∠BDC＝65°， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质等知识．正确理解题意是解题的关键． 9. 在平面直角坐标系中，已知函数y1＝x2+ax+1，y2＝x2+bx+2，y3＝x2+cx+4，其中a，b，c是正实数，且满足b2＝ac．设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，（　　） A. 若M1＝2，M2＝2，则M3＝0 B. 若M1＝1，M2＝0，则M3＝0 C. 若M1＝0，M2＝2，则M3＝0 D. 若M1＝0，M2＝0，则M3＝0 【答案】B 【解析】 【分析】选项B正确，利用判别式的性质证明即可． 【详解】解：选项B正确． 理由：∵M1＝1， ∴a2﹣4＝0， ∵a是正实数， ∴a＝2， ∵b2＝ac， ∴c＝b2， ∵M2＝0， ∴b2﹣8＜0， ∴b2＜8， 对于y3＝x2+cx+4， 则有△＝c2﹣16＝b2﹣16＝（b2﹣64）＜0， ∴M3＝0， ∴选项B正确， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像与x轴的交点个数及一元二次方程的根的判别式，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解决本题的关键． 10. 如图，AB是半圆O的直径，且AB＝4cm，动点P从点O出发，沿OA→→BO的路径以每秒1cm的速度运动一周．设运动时间为t，s＝OP2，则下列图象能大致刻画s与t的关系的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在半径AO上运动时，s=OP2=t2；在弧BA上运动时，s=OP2=4；在BO上运动时，s=OP2=（4π+4-t）2，s也是t是二次函数；即可得出答案． 【详解】解：利用图象可得出：当点P在半径AO上运动时，s=OP2=t2； 在弧AB上运动时，s=OP2=4； 在OB上运动时，s=OP2=（2π+4-t）2． 结合图像可知C选项正确 故选：C． 【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，能够结合图形正确得出s与时间t之间的函数关系是解决问题的关键． 二、填空题（每小题5分，共20分） 11. 若一个圆锥的母线长是3，底面半径是1，则它的侧面展开图的面积是__________．  【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积公式． 根据圆锥的侧面积公式计算即可． 【详解】若一个圆锥的母线长是3，底面半径是1，则它的侧面展开图的面积是 故答案为：． 12. 在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有a个白球和3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值约为_____． 【答案】12 【解析】 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到红球的频率稳定在20%左右得到比例关系，列出方程求解即可． 【详解】由题意可得，×100%=20%， 解得a=12． 经检验：a=12是原分式方程的解， 所以a的值约为12， 故答案为12． 【点睛】本题考查用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，关键是根据红球的频率得到相应的等量关系． 13. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转后得到，点B经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求不规则图形的面积，根据旋转的性质，得到，，分割法推出阴影部分的面积为扇形的面积，即可求解即可． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转后得到， ∴，，， ∵阴影部分的面积， ∴阴影部分的面积； 故答案为：． 14. 如图，是半圆O的直径，点D在半圆O上，，C是上的一个动点，连接，过点D作于点H，连接． （1）若C是的中点，则点C到直线的距离为__________；  （2）在点C移动的过程中，线段长的最小值是__________．  【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】本题考查了圆的性质，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点． （1）连接交于点F，根据垂径定理以及三角形中位线定理可得的长，即可求解； （2）取的中点E，连接，则，可得，再由勾股定理可求出的长，即可求解． 【详解】解：（1）如图，连接交于点F， ∵C是的中点， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵是半圆O的直径，， ∴， ∴； 故答案为：2 （2）如图，取的中点E，连接，则， ∵， ∴， ∵是半圆O的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即线段长的最小值是． 故答案为： 三、解答题（共90分） 15. 解下列方程： （1） ； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用公式法解答即可； （2）先移项，再利用因式分解法解答即可． 【小问1详解】 解： ∵， ∴， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解： ， ， ， 解得：． 16. 如图，半圆的直径AB＝12cm，＝ ＝ ． （1）求证：CD∥AB； （2）求阴影部分的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）S阴＝6π． 【解析】 【分析】（1）连接CD，OC，OD．只要证明△OCD是等边三角形，然后根据平行线的判定即可解决问题； （2）证明S阴＝S扇形OCD即可解决问题； 【详解】（1）证明：连接CD，OC，OD． ∵＝ ＝， ∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°， ∵OC＝OD， ∴△COD是等边三角形， ∴∠DCO＝∠AOC＝60°， ∴CD∥AB． （2）解：∵CD∥AB， ∴S△ACD＝S△DOC， ∴S阴＝S扇形OCD＝＝6π． 【点睛】此题考查是圆的基本性质、等边三角形的判定及性质、平行线的判定及性质和不规则图形的面积，掌握在同圆中，等弧所对的圆心角相等、等边三角形的判定及性质、平行线的判定及性质和扇形的面积公式是解决此题的关键． 17. 如图，依靠一面长18米的墙，用38米长的篱笆围成一个矩形场地ABCD，设AD长为x米． （1）用含有x的代数式表示AB的长，并直接写出x的取值范围； （2）当矩形场地的面积为180平方米时，求AD的长． 【答案】（1） （2）10米 【解析】 【分析】（1）由AD=x,利用矩形的对边相等可得出BC=x,结合篱笆的长度即可用含x的代数式表示出AB的长，再由AB不为零及墙长18米，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围； （2）利用矩形的面积计算公式，结合矩形场地的面积为180平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵AD＝x， ∴BC＝x，AB＝38﹣AD﹣BC＝38﹣2x． 又∵墙长18米， ∴， ∴10≤x＜19． ∴AB＝38﹣2x（10≤x＜19）． 【小问2详解】 依题意得：x(38﹣2x)＝180， 整理得：， 解得：＝9（不合题意，舍去），＝10． 答：AD的长为10米． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，列代数式，一元二次方程的应用，根据题意表示出个线段的长，并列出方程是解题的关键． 18. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）． （1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标； （2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2； （3）求出（2）中C点旋转到C2点所经过的路径长（记过保留根号和π）． 【答案】（1）作图见试题解析，A1（2，﹣4）；（2）作图见试题解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）找到点A、B、C的对应点A1、B1、C1的位置，然后描点即可得到△A1B1C1； （2）利用网格特点和旋转的性质，画出点A、C的对应点A2、C2，则可得到△A2BC2； （3）C点旋转到C2点所经过的路径是以B点为圆心，BC为半径，圆心角为90°的弧，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点A1的坐标为（2，﹣4）； （2）如图，△A2BC2为所作； （3）BC==，所以C点旋转到C2点所经过的路径长=． 【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换,轴对称变换,勾股定理及弧长公式，解题的关键是能够准确找出对应点. 19. 如图，点E为正方形外一点，，将绕A点逆时针方向旋转得到的延长线交于H点． （1）试判定四边形的形状，并说明理由； （2）已知，求的长． 【答案】（1）正方形，理由见解析；（2）17 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得∠AEB＝∠AFD＝90°，AE＝AF，∠DAF＝∠EAB，由正方形的判定可证四边形BE'FE是正方形； （2）连接，利用勾股定理可求，再利用勾股定理可求DH的长． 【详解】解：（1）四边形是正方形，理由如下： 根据旋转： ∵四边形是正方形 ∴∠DAB=90° ∴∠FAE＝∠DAB=90° ∴ ∴四边形是矩形， 又∵ ∴矩形是正方形． （2）连接 ∵， 在中， ∵四边形是正方形 ∴ 在中，，又， ∴． 故答案是17． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 20. 奥体中心为满足暑期学生对运动的需求，欲开设球类课程，该中心随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“羽毛球”、“篮球”、“足球”、“排球”、“乒乓球”中选择自己最喜欢的一项．根据调查结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中信息，解答下列问题： （1）此次共调查了多少名学生？ （2）将条形统计图补充完整； （3）我们把“羽毛球”“篮球”，“足球”、“排球”、“乒乓球”分别用A，B，C，D，E表示．小明和小亮分别从这些项目中任选一项进行训练，利用树状图或表格求出他俩选择不同项目的概率． 【答案】（1）200名；（2）见解析；（3）树状图见解析， 【解析】 【分析】（1）用羽毛球的人数除以所占的百分比即可得出答案； （2）用总人数减去其他项目的人数求出足球的人数，从而补全统计图； （3）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数和他俩选择不同项目的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：（1）此次共调查的学生有：40÷＝200（名）； （2）足球的人数有：200﹣40﹣60﹣20﹣30＝50（人）， 补全统计图如下： （3）根据题意画树状图如下： 共用25种等可能的情况数，其中他俩选择不同项目的有20种， 则他俩选择不同项目的概率是＝． 【点睛】本题考查的是扇形统计图，条形统计图和用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 21. 某网商经销一种玩具，每件进价为40元．市场调查反映，每星期的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图中线段所示． （1）写出每星期的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式并写出自变量x的取值范围； （2）如果该网商每个星期想获得4000元的利润，请你计算出玩具的销售单价定为多少元？ （3）当每件玩具的销售单价定为多少元时，该网商每星期经销这种玩具能够获得最大销售利润？最大销售利润是多少？ 【答案】（1），自变量的取值范围是 （2）50元或80元 （3）当销售单价为65元时，每星期的利润最大，最大销售利润为6250元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案． （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）根据总利润单件利润销售量，即可列出方程，即可求解； （3）设经销这种玩具能够获得的销售利润为w元，根据题意，列出方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数关系式为， 将代入，得： 解得 ∴y与x之间的函数关系式为，自变量的取值范围是． 【小问2详解】 解：由题意，得： ， 解得， 又∵， ∴如果每星期的利润是4000元，销售单价应为50元或80元． 【小问3详解】 解：设经销这种玩具能够获得的销售利润为w元，由题意，得： ． ∵， ∴w有最大值． ∵， ∴当时，w取得最大值为6250， ∴当销售单价为65元时，每星期的利润最大，最大销售利润为6250元． 22. 已知：是的外接圆，为的直径，，垂足为E，连接，延长交于点F． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点D作交于点G，点H为中点，连接，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据圆的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质解答即可； （2）根据中位线定理，三角形全等的判定和性质，解答即可． 本题考查了圆的性质，三角形外角性质，中位线定理，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵为直径，， ∴，， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 【小问2详解】 证明：如图，连接， ∵是直径， ∴． ∵点H是中点， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴．又， ∴， ∴． 23. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点E是直角△ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E、F的坐标； （3）在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）点E（，），F（，）；（3）存在，P1（，），P2（，），P3（，）． 【解析】 【分析】（1）根据AC=BC，求出BC的长，进而得到点A，B的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）利用待定系数法求出直线AB的解析式，用含m的式表示出E，F的坐标，求出EF的长度最大时m的值，即可求得E，F的坐标； （3）分两种情况：∠E-90°和∠F=90°，分别得到点P的纵坐标，将纵坐标代入抛物线解析式，即可求得点P的值． 【详解】解：（1）∵OA=1，OC=4，AC=BC， ∴BC=5， ∴A（﹣1，0），B（4，5）， 抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点， ∴，解得：， ∴y=x2﹣2x﹣3； （2）设直线AB解析式为：y=kx+b， 直线经过点A，B两点， ∴，解得：， ∴直线AB的解析式为：y=x+1， 设点E的坐标为（m，m+1），则点F（m，m2﹣2m﹣3）， ∴EF=m+1﹣m2+2m+3=﹣m2+3m+4=﹣（m﹣）2+， ∴当EF最大时，m=， ∴点E（，），F（，）； （3）存在． ①当∠FEP=90°时，点P的纵坐标为， 即x2﹣2x﹣3=，解得：x1=，x2=， ∴点P1（，），P2（，）， ②当∠EFP=90°时，点P的纵坐标为， 即x2﹣2x﹣3=，解得：x1=，x2=（舍去）， ∴点P3（，）， 综上所述，P1（，），P2（，），P3（，）． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合题，掌握二次函数的性质和分类讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $