第二章 有理数 重点题型讲练—2025-2026学年苏科版数学七年级上册

该初中数学讲义围绕有理数单元构建了清晰的知识体系，通过思维导图梳理相反数、绝对值、大小比较、混合运算、几何意义及新定义等六大核心题型，用表格对比不同运算规则与易错点，借助数轴模型强化数形结合思想，突出概念间的内在联系与重难点分布。 讲义的亮点在于“问题驱动+分层训练”的设计策略，如题型4中利用数轴探究绝对值的几何意义，引导学生从直观感知走向逻辑推理，培养几何直观和推理能力。变式训练中设置“折叠纸面找对称点”等创新情境，提升学生应用意识与实践能力。每类题型均配备典型例题与梯度练习，基础薄弱生可掌握方法模板，优等生能拓展思维深度，教师据此实现精准诊断与分层教学，助力学生自主复习与课堂高效推进。

2025-2026学年七年级上学期苏科版数学——高瞻远瞩，降维打击所有重点题型 重点题型精讲精练 第二章 有理数 目录 经典例题呈现——重点题型，举一反三 1 题型1 相反数、绝对值的概念 1 题型2 有理数的大小比较 1 题型3 有理数的混合运算 2 题型4 绝对值的几何意义 2 题型5 有理数运算的应用 4 题型6 有理数的新定义问题 7 限时检测——重点题型，精准把握 11 经典例题呈现——重点题型，举一反三 题型1 相反数、绝对值的概念 例题．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）下列数中，相反数等于本身的数是（   ） A． B．1 C．0 D． 变式训练 1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）如果是负数，且，那么数轴上表示数的点的位置是（　　） A．在表示的点的左边 B．在表示的点的右边 C．在表示的点的左边 D．在表示的点的右边 2．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）若、满足，则的值（ ） A． B．1 C．5 D． 3．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）的相反数是（   ） A． B． C． D．2025 4．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）若与互为相反数，则 题型2 有理数的大小比较 例题．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）下列数中，比小的数是（　　） A． B． C． D． 变式训练 1．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）有理数的大小比较的历史可以追溯到古希腊和古印度时期，下列各组有理数大小比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）有理数大小比较的历史可以追溯到古希腊和古印度时期，下列各组有理数大小比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·江苏南京·期中）如果，那么 （填“”，“”或“”）． 4．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）比较大小： （填或） 题型3 有理数的混合运算 例题．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）计算： (1)； (2)； (3) (4) 变式训练 1．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 3．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．（24-25七年级上·江苏南京·期中）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 题型4 绝对值的几何意义 例题．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【阅读】表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【知识探索】 （1）数轴上表示与的两点之间的距离是______； （2）①若，则______； ②若使所表示的点到表示和的点的距离之和为，所有符合条件的整数的和为______； 【动手折一折】小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： （3）折叠纸面，若表示的点和表示的点重合，则表示的点和______表示的点重合； （4）折叠纸面，若表示的点和表示的点重合， ①则表示的点和______表示的点重合； ②若，（在的左侧）两点之间的距离为，且，两点经折叠后重合，则点表示的数是______，点表示的数是______； 【拓展运用】 （5）若，则______． 变式训练 1.（24-25七年级上·江苏无锡·期中）一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果，那么 ．请你结合数轴与绝对值的知识求得的最小值为 ． 2．（23-24七年级上·江苏南通·期中）阅读下面的材料： 根据绝对值的几何意义，我们知道表示5、3在数轴上对应的两点间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B两点之间的距离可以表示为． 回答下列问题： (1)数轴上表示6与的两点之间的距离是_________；数轴上表示x与2的两点之间的距离是_______． (2)若，则_______． (3)满足的整数x有_______个． (4)当_______时，代数式的最小值是3． 3．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）我们知道，一个数的绝对值可理解为数轴上表示这个数的点到原点的距离，故可以写成．推广到一般情况，若两个数分别对应数轴上两个点，则即表示两点之间的距离若有理数满足，则的值为 ． 4．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果，那么 ．请你结合数轴与绝对值的知识求得的最小值为 ． 题型5 有理数运算的应用 例题．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）杨老师到市政务中心办理业务，假设乘电梯向上一楼记作，向下一楼记作．杨老师从1楼（即地面楼层）出发，电梯上下楼层依次记录如下：（单位：层），，，，，，． (1)请通过计算说明杨老师最后是否回到了出发地1楼？ (2)该中心大楼每层楼高约3米，电梯每向上或向下1米需要耗电度，根据杨老师现在所处位置，请你算算，他办理业务时电梯需要耗电多少度？ 变式训练 1．（24-25七年级上·江苏常州·期中）作为城市高质量发展“大动脉”的常州地铁，近年来为城市发展和居民生活提供了高效便捷的公共交通服务．其中1号线是常州市第一条开工建设的地铁线路，于2019年9月21日开通运营，这条线路呈南北走向，北起新北区森林公园站，途经天宁区，南至武进区南夏墅站．如图为1号线串联的部分站点．据统计，2024年10月1日至7日，常州地铁1号线客流量达万人次． (1)若万人次用科学记数法表示为人次，则_______． (2)某天，小红同学从环球港站开始乘坐地铁1号线，在地铁各站点做志愿者服务，到A站下车时，本次志愿者服务活动结束，约定向南夏墅站方向为正，当天的乘车记录如下（单位：站）：． ①请通过计算说明A站是哪一站？ ②若相邻两站之间的平均距离为千米，求这次小红志愿服务期间乘坐地铁行进的路程是多少千米？ 2．（24-25七年级上·江苏南京·期中）巴黎奥运会十米气步枪决赛中，中国选手盛李豪以24枪环的成绩夺冠．若以环为基准，记录相对环数，超过的环数记为正数，不足的环数记为负数．最后10枪的射击成绩（单位：环）的相对环数记录如下表． 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 相对环数 (1)序号⑩所对应的射击成绩为______环； (2)求最后10枪的平均射击成绩． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）小红家养殖场平均每天产鸡蛋200只．如果某天产蛋202只，就记作；如果某天产蛋195只，就记作．下表是小红家养殖场上一周产蛋记录： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 (1)星期四产蛋_____只； (2)在这一周中，每天产蛋数量相差最大是多少只？ (3)如果每只鸡蛋可获纯利润0.5元，小红家养殖场这一周的纯利润是多少元？ 4．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）世界杯比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：m）；，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员一共跑了多少米？ 题型6 有理数的新定义问题 例题．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）对于有理数a、b定义一种新运算“”，例如：． (1)填空：______，______， (2)若，则______； (3)判断“”运算是否满足交换律，请说明理由． 变式训练 1．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）定义：对于一个数x，我们把称作x的相伴数，若，则；若，则，例： 根据理解，解答下列问题： (1) ； (2)当时，有，试求的值； (3)化简：． 2．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）观察下列新的定义心运算： ；； ；； ；； ；． ；； ；； (1)请你认真思考上述运算，归纳☆运算的法则： 两数进行☆运算时，同号两数运算结果取正号，并把绝对值相加； 两数进行☆运算时，异号两数运算结果取 号，并把 ； 特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，结果等于 ； (2)计算： ； (3)若，试判断的值能否为0？若不能，求出符合条件所有可能的值． 3．（23-24七年级上·江苏常州·期中）对于有理数a、b，定义一种新运算“”，规定． (1)计算的值； (2)当a、b在数轴上的位置如图所示时，    ①______0，______0（填“>”、“=”或“<”）； ②化简． 4．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）阅读理解，解答相关问题． 定义“*”运算：a，b是有理数，，例如；； (1)计算：①；②． (2)是否存在整数m，n，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 限时检测——重点题型，精准把握 一、选择题 1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）下列说法正确的是（　　） A．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等 B．有理数a的倒数是 C．一个数的绝对值一定大于或等于这个数 D．一个数的相反数一定小于或等于这个数 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）的相反数是（   ） A． B． C． D．2025 3．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）有理数大小比较的历史可以追溯到古希腊和古印度时期，下列各组有理数大小比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·江苏南京·期中）已知有理数a，b，c，下列推理体现有理数大小的传递性的是（    ） A．如果，且，那么 B．如果，且，那么 C．如果，且，那么 D．如果，且，那么 5．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）将写成省略括号和加号的形式是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）若，且，则的值是（　　） A．10或 B．3或4 C．4或10 D．3或 7．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）若，，且，则的值是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 8．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）下列说法：（）最大的负数是；（）数轴原点两旁的两个数互为相反数；（）如果两个数互为相反数，那么它们的商为；（）月球的半径约为米，这个数用科学记数法表示为其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）小华在纸上画了一条数轴后，折叠纸使数轴上表示1的点与表示－3的点重合，若数轴上、两点之间的距离为2024（在的左侧），且、两点经上述折叠后重合，则点表示的数为（    ） A．－1010 B．－1011 C．－1012 D．－1013 10．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）现定义两种运算“”，“”．对于任意两个整数，，，则的结果是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）若，则 ． 12．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）比较大小： （填“”“”或“”）． 13．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）在数轴上，如果点A表示的数是，那么到点A距离等于6个单位长度的点所表示的数是 ． 14．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）若， 则的值为 ． 15．（24-25七年级上·江苏常州·期中）按如图所示的程序计算，若输入的数值为3，则输出的结果是 ． 三、解答题 16．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）计算： (1)； (2) 17．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）现定义某种新运算：对任意两个有理数a、b ，有．如：，． (1)计算： (2)计算： 18．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）出租车司机刘师傅某天上午从A地出发，在东西方向的公路上行驶营运，下表是每次行驶的里程（单位：千米）（规定向东走为正，向西走为负；×表示空载，〇表示载有乘客，且乘客都不相同）． 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 里程 载客 × 〇 〇 × 〇 〇 〇 〇 (1)刘师傅走完第8次里程后，他在A地的什么方向？离A地有多少千米？ (2)已知出租车每千米耗油约0.06升，刘师傅开始营运前油箱里有7升油，若少于2升，则需要加油，请通过计算说明刘师傅这天上午中途是否可以不加油． (3)已知载客时2千米以内收费10元，超过2千米后每千米收费1.5元，问刘师傅这天上午走完8次里程后的营业额为多少元？ 19．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）已知三个有理数，，在数轴上的对应点如图所示，且满足． (1)比较大小： 0， 0， 0（请填“＞”，“＜”或“＝”）； (2)化简：； (3)计算：． 20．（24-25七年级上·江苏泰州）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．若，则可化简为，请你利用数轴解决以下问题： (1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数的点的距离是个单位长度，则m的值为 ______； (2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示的点与表示2的点之间，则______； (3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若，则等于 ______． (4)已知点A，B，C，D，E在数轴上分别表示数分别为：，，9，，25，一动点Q从原点O出发，沿数轴以每秒钟2个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度…… ①求Q点运动多少秒钟后所处的位置到点A、B、C、D、E各点距离之和最短？ ②动点Q能不能在运动过程中同时经过这5个点A、B、C、D、E，若能求出从出发到都经过这5个点的最短时间，若不能说明理由． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年七年级上学期苏科版数学——高瞻远瞩，降维打击所有重点题型 重点题型精讲精练 第二章 有理数 目录 经典例题呈现——重点题型，举一反三 1 题型1 相反数、绝对值的概念 1 题型2 有理数的大小比较 1 题型3 有理数的混合运算 2 题型4 绝对值的几何意义 2 题型5 有理数运算的应用 4 题型6 有理数的新定义问题 7 限时检测——重点题型，精准把握 11 经典例题呈现——重点题型，举一反三 题型1 相反数、绝对值的概念 例题．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）下列数中，相反数等于本身的数是（   ） A． B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的意义．根据相反数的意义，只有符号不同的两个数为相反数，0的相反数是0求解即可． 【详解】解：相反数等于本身的数是0． 故选：C． 变式训练 1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）如果是负数，且，那么数轴上表示数的点的位置是（　　） A．在表示的点的左边 B．在表示的点的右边 C．在表示的点的左边 D．在表示的点的右边 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值和数轴，解题的关键是掌握绝对值的定义和数轴知识． 利用绝对值的定义和数轴知识解答． 【详解】解：∵是负数，且，， ∴表示数 的点在表示的点的左边． 故选：C． 2．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）若、满足，则的值（ ） A． B．1 C．5 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了非负数的性质，熟练掌握其性质并加以应用是解题的关键． 根据非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， ，， ，， ， 故选A． 3．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）的相反数是（   ） A． B． C． D．2025 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数是互为相反数解答即可． 【详解】解：的相反数是． 故选A． 4．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）若与互为相反数，则 【答案】1 【分析】本题考查了非负数的性质，求代数式的值，先根据相反数的定义以及非负数的性质求出a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：1． 题型2 有理数的大小比较 例题．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）下列数中，比小的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，正数都大于负数即可得出结论． 【详解】解：∵，，，，， ∴， ∵， ∴比小的数是， 故选：D． 变式训练 1．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）有理数的大小比较的历史可以追溯到古希腊和古印度时期，下列各组有理数大小比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数大小比较，根据有理数大小比较方法解答即可． 【详解】解：A．，故本选项不正确； B．，故本选项不正确； C．，故本选项正确； D． 故选：C． 2．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）有理数大小比较的历史可以追溯到古希腊和古印度时期，下列各组有理数大小比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，化简绝对值和多重符号，先化简各个数字，再比较大小即可． 【详解】解：A．∵， ∴， 故不正确； B．∵， ∴， 故不正确； C．∵， ∴， 故正确；     D．∵， ∴， 故不正确； 故选C． 3．（24-25七年级上·江苏南京·期中）如果，那么 （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数大小比较，熟练掌握有理数的大小比较法则是解题的关键：异号两数比较大小，要考虑它们的正负，根据“正数大于负数”判断；同号两数比较大小，要考虑它们的绝对值，特别是两个负数大小比较，先各自求出它们的绝对值，然后依法则：两个负数，绝对值大的反而小，比较绝对值大小后，即可得出结论． 根据有理数的大小比较法则可得，再结合已知条件，即可得出答案． 【详解】解：，且， ， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）比较大小： （填或） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．据此求解即可． 【详解】解：， ． 故答案为：． 题型3 有理数的混合运算 例题．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）计算： (1)； (2)； (3) (4) 【答案】(1)15 (2)14 (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）根据有理数的加减法可以解答本题； （2）根据有理数的加减法可以解答本题； （3）根据有理数的加减法可以解答本题； （4）先算乘方，再算乘法，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ． 变式训练 1．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)20 (2)2 (3)6 (4) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． （1）根据有理数加法运算法则进行计算即可； （2）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可； （3）根据乘法分配律进行计算即可； （4）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)30 (2) (3)31 (4) (5) 【分析】本题主要考查含有乘方的有理数的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）先确定符号，根据有理数乘除混合运算法则计算即可； （3）先将除法变乘法，再运用乘法分配律计算即可； （4）先算乘方，乘除，最后算加减即可； （5）先算乘方，乘除，绝对值化简，最后算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 3．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)2 (3) (4) 【分析】本题考查有理数的混合运算． （1）根据加法法则计算即可； （2）先把减法转化为加法，然后根据加法法则计算即可； （3）根据乘法分配律计算即可； （4）先算乘方和括号内的式子，再算括号外的乘除法，然后算减法即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 4．（24-25七年级上·江苏南京·期中）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）按照有理数的加减混合运算法则进行计算即可； （2）先将除法运算转化为乘法运算，然后进行多个有理数的乘法运算即可； （3）先将除法运算转化为乘法运算，然后运用有理数的乘法分配律即可； （4）先计算乘方并求绝对值，然后计算乘除，最后计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，有理数四则混合运算，有理数乘除混合运算，有理数的加减混合运算，有理数乘法运算律，求一个数的绝对值等知识点，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 题型4 绝对值的几何意义 例题．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【阅读】表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【知识探索】 （1）数轴上表示与的两点之间的距离是______； （2）①若，则______； ②若使所表示的点到表示和的点的距离之和为，所有符合条件的整数的和为______； 【动手折一折】小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： （3）折叠纸面，若表示的点和表示的点重合，则表示的点和______表示的点重合； （4）折叠纸面，若表示的点和表示的点重合， ①则表示的点和______表示的点重合； ②若，（在的左侧）两点之间的距离为，且，两点经折叠后重合，则点表示的数是______，点表示的数是______； 【拓展运用】 （5）若，则______． 【答案】（1）；（2）①或；②；（3）；（4）①；②，；（5）或 【分析】本题考查了数轴上两点的距离，绝对值的意义，数形结合是解题的关键． （1）根据数轴上两点间距离的求法解题即可； （2）①根据题意可得方程或，求出的值即可；②根据绝对值的几何意义可知时，，求出符合条件的整数即可； （3）利用中点坐标公式求出折痕点，再求解即可； （4）①利用中点坐标公式求出折痕点，再求解即可；②设点表示的数是，则点表示的数是，根据中点坐标公式求出，即可求解； （5）根据绝对值的几何意义可得：或，即可求解． 【详解】解：（1）数轴上表示与的两点之间的距离是， 故答案为：； （2）①若，则或， 解得：或， 故答案为：或； ②要使所表示的点到表示和的点的距离之和为， ， 与的距离是， ， 是整数， 的值为，，，，，， 所有符合条件的整数的和为， 故答案为：； （3）表示的点和表示的点重合， 折叠点对应的数是， 表示的点与表示的点重合， 故答案为：； （4）①表示的点和表示的点重合， 折叠的点表示的数是， ， 表示的点和表示的点重合， 故答案为：； ②设点表示的数是，则点表示的数是， ， 解得：， 点表示的数是，点表示的数是， 故答案为：，； （5）， 或， 解得：或， 故答案为：或． 变式训练 1.（24-25七年级上·江苏无锡·期中）一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果，那么 ．请你结合数轴与绝对值的知识求得的最小值为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了数轴上两点间距离，绝对值的意义，根据绝对值的意义解答①，由得式子表示到的距离与到的距离与到的距离的倍的和，可知，当在的位置时，距离之和最小，据此即可解答②，运用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∵， ∴式子表示到的距离与到的距离与到的距离的倍的和， 可知，当在的位置时，距离之和最小，最小值为， 故答案为：或，． 2．（23-24七年级上·江苏南通·期中）阅读下面的材料： 根据绝对值的几何意义，我们知道表示5、3在数轴上对应的两点间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B两点之间的距离可以表示为． 回答下列问题： (1)数轴上表示6与的两点之间的距离是_________；数轴上表示x与2的两点之间的距离是_______． (2)若，则_______． (3)满足的整数x有_______个． (4)当_______时，代数式的最小值是3． 【答案】(1)15； (2)0或6 (3)6 (4)或 【分析】本题考查数轴上两点间距离计算； （1）根据两点间距离公式计算； （2）根据数轴上两点间距离公式的定义，结合数轴求解； （3）由数轴上两点间距离公式，可判断x在与3之间，即可； （4）由数轴上两点间距离公式，由题意得当表示x的点在表示的点与表示的点之间（含两点）时，取最小值，然后分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：数轴上表示6与的两点之间的距离是； 数轴上表示x与2的两点之间的距离是． 故答案为：15； （2）解：表示x与3的距离为3， ∴或6． 故答案为：0或6 （3）解：表示x与的距离与它与3的距离之和为5， ∴x在与3之间， ∴这样的整数x有，共6个． 故答案为：6 （4）解：的值为“表示x的点与表示的点的距离”与“表示x的点与表示的点的距离”之和． 当表示x的点在表示的点与表示的点之间（含两点）时，取最小值． ∴表示的点与表示的点的距离为3． 若，即， 则， ∴． 若，即， 则， ∴． 综上，当a取或时，原式的最小值是3． 故答案为：或 3．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）我们知道，一个数的绝对值可理解为数轴上表示这个数的点到原点的距离，故可以写成．推广到一般情况，若两个数分别对应数轴上两个点，则即表示两点之间的距离若有理数满足，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴及数轴上两点间的距离的知识，根据表示的是与所对应的点的距离，表示的是与所对应的点的距离，再进行分情况即可解答，熟练掌握数轴上两点间的距离公式是解题的关键． 【详解】解：当点在与之间时， 此时恒成立，无解； 当点在左侧时， ，解得：； 当点在右侧时， ，解得：； 故答案为：或． 4．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果，那么 ．请你结合数轴与绝对值的知识求得的最小值为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了数轴上两点间距离，绝对值的意义，根据绝对值的意义解答①，由得式子表示到的距离与到的距离与到的距离的倍的和，可知，当在的位置时，距离之和最小，据此即可解答②，运用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∵， ∴式子表示到的距离与到的距离与到的距离的倍的和， 可知，当在的位置时，距离之和最小，最小值为， 故答案为：或，． 题型5 有理数运算的应用 例题．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）杨老师到市政务中心办理业务，假设乘电梯向上一楼记作，向下一楼记作．杨老师从1楼（即地面楼层）出发，电梯上下楼层依次记录如下：（单位：层），，，，，，． (1)请通过计算说明杨老师最后是否回到了出发地1楼？ (2)该中心大楼每层楼高约3米，电梯每向上或向下1米需要耗电度，根据杨老师现在所处位置，请你算算，他办理业务时电梯需要耗电多少度？ 【答案】(1)杨老师最后回到了出发地1楼 (2)32.4度 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数加法的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）把上下楼层的记录相加，根据有理数的加法运算法则进行计算，如果等于0则能回到1楼，否则不能； （2）求出上下楼层所走过的总路程，然后乘以即可得解． 【详解】（1）解： ， ∴杨老师最后能回到出发点1楼； （2）解：杨老师走过的路程是： ， 他办事时电梯需要耗电（度． 答：他办事时电梯需要耗电度． 变式训练 1．（24-25七年级上·江苏常州·期中）作为城市高质量发展“大动脉”的常州地铁，近年来为城市发展和居民生活提供了高效便捷的公共交通服务．其中1号线是常州市第一条开工建设的地铁线路，于2019年9月21日开通运营，这条线路呈南北走向，北起新北区森林公园站，途经天宁区，南至武进区南夏墅站．如图为1号线串联的部分站点．据统计，2024年10月1日至7日，常州地铁1号线客流量达万人次． (1)若万人次用科学记数法表示为人次，则_______． (2)某天，小红同学从环球港站开始乘坐地铁1号线，在地铁各站点做志愿者服务，到A站下车时，本次志愿者服务活动结束，约定向南夏墅站方向为正，当天的乘车记录如下（单位：站）：． ①请通过计算说明A站是哪一站？ ②若相邻两站之间的平均距离为千米，求这次小红志愿服务期间乘坐地铁行进的路程是多少千米？ 【答案】(1)6 (2)①站是奥体中心站；②54千米 【分析】本题考查了科学记数法、正负数的应用、有理数加减法与乘法的应用等知识，熟练掌握有理数的运算法则是解题关键． （1）本题考查了科学记数法：将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．由此即可得． （2）①将记录的数字相加，由此即可得； ②将记录的数字的绝对值相加，再乘以相邻两站之间的平均距离即可得． 【详解】（1）解：万， ∵万人次用科学记数法表示为人次， ∴， 故答案为：6． （2）解：① （站）， 所以由题意可知，站是奥体中心站． ② （千米）， 答：这次小红志愿服务期间乘坐地铁行进的路程是54千米． 2．（24-25七年级上·江苏南京·期中）巴黎奥运会十米气步枪决赛中，中国选手盛李豪以24枪环的成绩夺冠．若以环为基准，记录相对环数，超过的环数记为正数，不足的环数记为负数．最后10枪的射击成绩（单位：环）的相对环数记录如下表． 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 相对环数 (1)序号⑩所对应的射击成绩为______环； (2)求最后10枪的平均射击成绩． 【答案】(1) (2)环 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数四则混合运算的实际应用，有理数加法在生活中的应用等知识点，读懂题意，根据题中正负数的含义，正确列式计算是解题的关键． （1）根据“射击成绩基准相对环数”即可得出答案； （2）根据“平均射击成绩基准相对环数的平均数”即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得： 序号⑩所对应的射击成绩为（环）， 故答案为：； （2）解：由题意可得： （环）， 最后枪的平均射击成绩为环． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）小红家养殖场平均每天产鸡蛋200只．如果某天产蛋202只，就记作；如果某天产蛋195只，就记作．下表是小红家养殖场上一周产蛋记录： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 (1)星期四产蛋_____只； (2)在这一周中，每天产蛋数量相差最大是多少只？ (3)如果每只鸡蛋可获纯利润0.5元，小红家养殖场这一周的纯利润是多少元？ 【答案】(1)203 (2)12只 (3)707元 【分析】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，绝对值，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据绝对值的实际意义即可求得答案； （3）根据正数和负数的实际意义列式计算即可． 【详解】（1）解：（只）， 即星期四产蛋203只， 故答案为：203； （2）解：结合表中数据可得各数的绝对值分别为7，2，8，3，5，12，3， 则在这一周中，每天产蛋数量相差最大是12只； （3）解： （只）， 即小红家养殖场这一周的纯利润是707元． 4．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）世界杯比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：m）；，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员一共跑了多少米？ 【答案】(1)守门员最后正好回到球门线上； (2)这位守门员一共跑动62米． 【分析】本题主要考查了正数和负数的意义、有理数的加减法运算． （1）先根据有理数的加法进行计算，然后再判断即可； （2）求出所有数的绝对值的和即可． 【详解】（1）解：． 所以守门员最后正好回到球门线上； （2）解：． 所以这位守门员一共跑动62米． 题型6 有理数的新定义问题 例题．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）对于有理数a、b定义一种新运算“”，例如：． (1)填空：______，______， (2)若，则______； (3)判断“”运算是否满足交换律，请说明理由． 【答案】(1)，6 (2) (3)满足交换律，理由见解析 【分析】本题考查了绝对值、有理数的加减法、整式的加减，理解新运算的定义是解题关键． （1）根据新运算的定义列出运算式子，再化简绝对值，计算有理数的加减法即可得； （2）先求出，再根据新运算的定义列出运算式子，化简绝对值，计算整式的加减即可得； （3）分三种情况：①，②和③，再根据新运算的定义求出和的值，由此即可得． 【详解】（1）解： ． ． 故答案为：，6． （2）解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． （3）解：满足交换律，理由如下： ①当时，则，， ∴， ， ∴， 此时“”运算满足交换律； ②当时， ∴， ， ∴， 此时“”运算满足交换律； ③当时，则，， ∴， ， ∴， 此时“”运算满足交换律； 综上，“”运算满足交换律． 变式训练 1．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）定义：对于一个数x，我们把称作x的相伴数，若，则；若，则，例： 根据理解，解答下列问题： (1) ； (2)当时，有，试求的值； (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3)x或或 【分析】本题考查了相伴数的定义，代数式求值以及解一元一次方程，能够根据相伴数的概念化简是解题的关键． （1）根据相伴数的定义求得即可； （2）由相伴数的定义将化简，再根据题意得方程，得出； （3）按照定义式分三类讨论计算即可：当时；当时；当时． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：当时，有． 因为， 所以，即． （3）解：当时，； 当时，； 当时，． 综上所述，的值为x或或． 2．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）观察下列新的定义心运算： ；； ；； ；； ；． ；； ；； (1)请你认真思考上述运算，归纳☆运算的法则： 两数进行☆运算时，同号两数运算结果取正号，并把绝对值相加； 两数进行☆运算时，异号两数运算结果取 号，并把 ； 特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，结果等于 ； (2)计算： ； (3)若，试判断的值能否为0？若不能，求出符合条件所有可能的值． 【答案】(1)负，绝对值相加，这个数的绝对值 (2) (3)的值不能为0，的值为8或 【分析】本题考查了新定义，根据所给算式总结出运算法则是解答本题的关键． （1）观察所给算式总结即可； （2）根据新定义运算即可； （3）先判断a不等于0，再根据新定义转化为一元一次方程求解即可． 【详解】（1）两数进行☆运算时，同号两数运算结果取正号，并把绝对值相加； 两数进行☆运算时，异号两数运算结果取负号，并把绝对值相加； 特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，结果等于这个数的绝对值． 故答案为：负，绝对值相加，这个数的绝对值 （2）． 故答案为：； （3）当时， ∵，， ∴． ∴的值不能为0． 当时， ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴． ∴的值为8或． 3．（23-24七年级上·江苏常州·期中）对于有理数a、b，定义一种新运算“”，规定． (1)计算的值； (2)当a、b在数轴上的位置如图所示时，    ①______0，______0（填“>”、“=”或“<”）； ②化简． 【答案】(1)8 (2)①＜，＜；（2） 【分析】本题考查了新定义，利用数轴判断式子的正负，有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算法则和运算顺序及绝对值的性质． （1）根据新定义计算可得； （2）根据数轴得出且，从而得出、，再根据绝对值性质解答可得． 【详解】（1）根据题意知： ； （2）①由图可知且， 则、， 故答案为：＜，＜． ②． 4．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）阅读理解，解答相关问题． 定义“*”运算：a，b是有理数，，例如；； (1)计算：①；②． (2)是否存在整数m，n，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)①8；②82 (2)存在，2或6或 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）①直接根据新定义进行运算即可；②直接根据新定义进行运算即可； （2）现根据新定义列式得出，再进行分类讨论求出m、n的值，进而计算即可． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：存在，理由如下： ∵， ∴， ∵m，n为整数， ∴或或或， ∴或或或， ∴或或或， ∴的值为2或6或． 限时检测——重点题型，精准把握 一、选择题 1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）下列说法正确的是（　　） A．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等 B．有理数a的倒数是 C．一个数的绝对值一定大于或等于这个数 D．一个数的相反数一定小于或等于这个数 【答案】C 【分析】本题考查倒数，相反数，绝对值，根据倒数，相反数，绝对值的定义逐项判断即可,熟练掌握相关定义是解题的关键． 【详解】解：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数，则A不符合题意； 当时，没有倒数，则B不符合题意； 一个数的绝对值一定大于或等于这个数，则C符合题意； 的相反数是2，而，则D不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）的相反数是（   ） A． B． C． D．2025 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数是互为相反数解答即可． 【详解】解：的相反数是． 故选A． 3．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）有理数大小比较的历史可以追溯到古希腊和古印度时期，下列各组有理数大小比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，化简绝对值和多重符号，先化简各个数字，再比较大小即可． 【详解】解：A．∵， ∴， 故不正确； B．∵， ∴， 故不正确； C．∵， ∴， 故正确；     D．∵， ∴， 故不正确； 故选C． 4．（24-25七年级上·江苏南京·期中）已知有理数a，b，c，下列推理体现有理数大小的传递性的是（    ） A．如果，且，那么 B．如果，且，那么 C．如果，且，那么 D．如果，且，那么 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的大小比较，解题的关键是熟练掌握有理数大小比较的方法；根据有理数大小比较的方法逐项判断即可． 【详解】解：、如果，且，那么，故本选项符合题意； 、如果，且，那么，故本选项不符合题意； 、如果，且，那么，故本选项不符合题意； 、如果，且，a与c大小无法比较，故本选项不符合题意； 故选：． 5．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）将写成省略括号和加号的形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了去括号法则：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变正负号；括号前面是“−”号，把括号和它前面的“−”号去掉，括号里各项都改变正负号．根据减去一个数等于加上这个数的相反数，变为连加，加号和括号省略，即可． 【详解】解：， 故选：B． 6．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）若，且，则的值是（　　） A．10或 B．3或4 C．4或10 D．3或 【答案】C 【分析】本题考查绝对值，有理数的加法，解题的关键是确定m和n的值．根据可得，由此确定m和n的值，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 当时，， 当时，， 综上所述，的值为4或10． 故选：C． 7．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）若，，且，则的值是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值、有理数的乘法、有理数的加法，首先根据，，可得：，，又因为，可知、同号，然后分情况求出的值即可． 【详解】解：，， ，， 又， 、同号， 当，时， ， 当，时， ， 综上所述，的值是或， 故D选项符合题意． 故选：D ． 8．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）下列说法：（）最大的负数是；（）数轴原点两旁的两个数互为相反数；（）如果两个数互为相反数，那么它们的商为；（）月球的半径约为米，这个数用科学记数法表示为其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数、相反数、科学记数法，根据有理数、相反数、科学记数法的定义逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：（）最大的负整数是，该选项说法错误； （）数轴原点两旁且绝对值相等的两个数互为相反数，该选项说法错误； （）如果两个不为的数互为相反数，那么它们的商为，该选项说法错误； （）月球的半径约为米，这个数用科学记数法表示为，该选项说法正确； ∴正确的说法只有个， 故选：． 9．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）小华在纸上画了一条数轴后，折叠纸使数轴上表示1的点与表示－3的点重合，若数轴上、两点之间的距离为2024（在的左侧），且、两点经上述折叠后重合，则点表示的数为（    ） A．－1010 B．－1011 C．－1012 D．－1013 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上点的特点、有理数的四则混合运算等知识，根据题意得到A、B两点之间的距离为2024且折叠后重合，则A、B关于对称，又A在B的左侧，则A点坐标为：，即可得到答案． 【详解】解：依题意得：两数是关于1和的中点对称， 即关于对称； ∵A、B两点之间的距离为2024且折叠后重合，则A、B关于对称，又A在B的左侧， ∴A点坐标为：， 故选：D． 10．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）现定义两种运算“”，“”．对于任意两个整数，，，则的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查新定义运算，有理数的混合运算，正确理解有理数混合运算法则是解题关键． 直接根据新定义的运算法则进行运算即可． 【详解】解： 故选：C 二、填空题 11．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可，掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 【详解】解：， ，， ，， ． 故答案为：． 12．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查有理数的大小，解题的关键是掌握两个负数，绝对值大的其值反而小，进行比较大小，即可． 【详解】解：． 故答案为：． 13．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）在数轴上，如果点A表示的数是，那么到点A距离等于6个单位长度的点所表示的数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，有理数的加减计算，分该点在点A右侧和左侧两种情况，根据数轴上两点距离计算公式求解即可． 【详解】解：当到点A距离等于6个单位长度的点在点A左侧时，则该点表示的数为， 当到点A距离等于6个单位长度的点在点A右侧时，则该点表示的数为； 故答案为：或． 14．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）若， 则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的加法运算，根据绝对值的意义结合，求出的值，再根据加法法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：1． 15．（24-25七年级上·江苏常州·期中）按如图所示的程序计算，若输入的数值为3，则输出的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了有理数的运算．按照程序把3代入进行计算，若小于或等于，再代入计算即可求解． 【详解】解：当输入的数值为3时， ， 故答案为：． 三、解答题 16．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）根据有理数的加减混合运算法则求解即可； （2）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减． 【详解】（1） ； （2） ． 17．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）现定义某种新运算：对任意两个有理数a、b ，有．如：，． (1)计算： (2)计算： 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查新定义运算，有理数减法运算，绝对值，理解新定义的运算，熟练掌握有理数减法运算法则是解题的关键． （1）根据新定义的运算，转化成有理数减法运算，计算即可； （2）根据新定义的运算，将中括号内转化成有理数减法运算计算，再根据新定义的运算，转化成有理数减法运算，计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 18．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）出租车司机刘师傅某天上午从A地出发，在东西方向的公路上行驶营运，下表是每次行驶的里程（单位：千米）（规定向东走为正，向西走为负；×表示空载，〇表示载有乘客，且乘客都不相同）． 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 里程 载客 × 〇 〇 × 〇 〇 〇 〇 (1)刘师傅走完第8次里程后，他在A地的什么方向？离A地有多少千米？ (2)已知出租车每千米耗油约0.06升，刘师傅开始营运前油箱里有7升油，若少于2升，则需要加油，请通过计算说明刘师傅这天上午中途是否可以不加油． (3)已知载客时2千米以内收费10元，超过2千米后每千米收费1.5元，问刘师傅这天上午走完8次里程后的营业额为多少元？ 【答案】(1)在西方处 (2)可以不加油，理由见解析 (3)141元 【分析】本题考查正负数的意义，有理数运算的实际应用． （1）求出8次里程的和，根据和的符号判断方向，由和的绝对值判断距离； （2）求出8次行驶距离之和，再根据耗油量和油箱内油量情况进行判断； （3）求出每次载客的收费情况，再求和即可． 【详解】（1）解：因为， 所以在西方处； （2）解：， ， 因为， 所以可以不加油； （3）解：第2次载客收费：（元）， 第3次载客收费：（元）， 第5次载客收费：（元）， 第6次载客收费：（元）， 第7次载客收费：（元）， 第8次载客收费：（元）， 所以总营业额为：（元）， 答：刘师傅这天上午走完8次里程后的营业额为141元． 19．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）已知三个有理数，，在数轴上的对应点如图所示，且满足．    (1)比较大小： 0， 0， 0（请填“＞”，“＜”或“＝”）； (2)化简：； (3)计算：． 【答案】(1)＜，＝ ，＜ (2) (3) 【分析】本题考查有理数的大小比较、数轴、绝对值等知识， （1）根据数轴上的点左边的数比右边的数小和，即可判断； （2）利用绝对值的性质化简即可解决问题； （3）利用绝对值的性质化简即可解决问题 【详解】（1）解：由数轴可得：， ∵， ∴，，； （2）解：原式＝ ＝ （3）解：原式＝ ＝ ＝ 20．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．若，则可化简为，请你利用数轴解决以下问题： (1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数的点的距离是个单位长度，则m的值为 ______； (2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示的点与表示2的点之间，则______； (3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若，则等于 ______． (4)已知点A，B，C，D，E在数轴上分别表示数分别为：，，9，，25，一动点Q从原点O出发，沿数轴以每秒钟2个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度…… ①求Q点运动多少秒钟后所处的位置到点A、B、C、D、E各点距离之和最短？ ②动点Q能不能在运动过程中同时经过这5个点A、B、C、D、E，若能求出从出发到都经过这5个点的最短时间，若不能说明理由． 【答案】(1)或 (2)7 (3)4 (4)①；② 【分析】（1）由题意可知，，再解方程即可； （2）由点P位于表示的点与表示2的点之间，得到表示点P到2和的距离和，由，即可得到答案； （3）由题意得到，，则，即可得到答案； （4）①先确定点Q运动到时，到点A、B、C、D、E各点距离之和最短，然后求出运动的路程，然后求出时间即可； ②先求出同时都经过这5个点需要运动的次数，然后求出运动的总路程，最后求出时间即可． 【详解】（1）解：∵点P对应的数记为m，点P与表示有理数的点的距离是个单位长度， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：或； （2）解：∵点P位于表示的点与表示2的点之间， ∴表示点P到2和的距离和， ∵， ∴， 故答案为：7； （3）解：∵， ∴， 故答案为：4． （4）解：①∵点A，B，C，D，E在数轴上分别表示数分别为：，，9，，25， ∴当点Q运动到时，到点A、B、C、D、E各点距离之和最短， ∵点Q从原点出发需要运动次才能到， ∴点Q运动的距离为：， ∴运动时间为：（秒）， 即Q点运动秒钟后所处的位置到点A、B、C、D、E各点距离之和最短； ②动点Q能在运动过程中同时经过这5个点A、B、C、D、E，且需要运动的次数为： （次）， ∴需要运动的路程为：， ∴运动时间为：（秒）， 即从出发到都经过这5个点的最短时间为秒． 【点睛】此题考查了数轴，用数轴上点表示有理数，数轴上两点间距离公式，有理数混合运算，规律探索，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的意义是解题的关键． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $