专题09 三角形全等的判定【考点梳理+重点题型+中考真题】2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

本讲义聚焦初中数学三角形全等的判定与性质，系统梳理SAS、ASA、AAS、SSS、HL五种判定方法，构建从基本定理到综合应用的知识支架，前后衔接自然，层层递进，帮助学生建立清晰的逻辑链条。 资料设计亮点突出，体现核心素养中的“几何直观”“推理能力”和“模型意识”，如通过真实情境题（如测量锥形瓶内径）引导学生用SAS原理建模，强化数学眼光；在变式训练中设置“添加条件”“灵活选用方法”等典型题型，培养学生理性思维与问题解决能力。课中可辅助教师精准施教，课后便于学生查漏补缺，实现知识巩固与能力跃升的双重目标。

专题09 三角形全等的判定【2大考点14大题型】 （重难点常考题型精讲精练） 【知识考点 三角形全等的判定】 【解题知识必备】 1.三角形全等的判定（5种基本方法） （1）判定方法1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等．（简写成“边角边”或“SAS”）． 如下图，已知，在与中， ． （2）判定方法2：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等．（简写成“角边角”或“ASA”）． 如上图，已知，在与中， ． （3）判定方法3：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．（简写成“角角边”或“AAS”）． 如上图，已知，在与中， ． （4）判定方法4：三边分别相等的两个三角形全等．（简写成“边边边”或“SSS”）． 如上图，在与中， ． （5）判定方法5：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 如下图，已知，在Rt与Rt中（与为直角）， ． 2. 尺规作图 （1）作一个角等于已知角 （2）作一条线段等于已知线段 【重难点常考题型梳理】 【题型01】 “边角边”（SAS）证明三角形全等 【题型02】 “角边角”（ASA）证明三角形全等 【题型03】 “角角边”（AAS）证明三角形全等 【题型04】 “边边边”（SSS）证明三角形全等 【题型05】 “斜边直角边”（HL）证明直角三角形全等 【题型06】 添加条件证明三角形全等 【题型07】 全等性质与SAS的综合 【题型08】 全等性质与ASA的综合 【题型09】 全等性质与AAS的综合 【题型10】 全等性质与SSS的综合 【题型11】 全等性质与HL的综合 【题型12】 灵活选用方法证明三角形全等 【题型13】 全等三角形的判定和性质的综合问题 【题型14】 尺规作图与三角形全等问题 【特训15】 直通中考真题 【核心考点板块1 三角形全等的判定】 方法与技巧： 1.判定两个三角形全等的常用思路:全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件: （1）若已知两边对应相等，则找它们的夹角（利用“SAS”）；或第三边（利用“SSS”）；或找直角（利用“HL”）； （2）若已知两角对应相等，则找两角的夹边（利用“ASA”）；或找两角夹边外的任意一边（利用“AAS”）； （3）若已知一边一角 ① 已知一角与邻边 a.找这边的另一个邻角（利用“ASA”）； b.找这个角的另一个邻边（利用“SAS”）； c.找这边的对角（利用“AAS”）； d.若是直角找对边（利用“HL”）； ② 已知一角与对边 a.找一角（利用“AAS”）；b.若是直角找一边（利用“HL”）。 【题型01】 “边角边”（SAS）证明三角形全等 【例1】（2024-2025八年级上·广东湛江·期中）已知，，，在上，且，求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定和平行线的性质，先根据平行线的性质，由得，再由得到，于是可根据“”判定． 【解答】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 【变式1-1】（2024-2025八年级上·福建泉州·期末）数学课上老师布置了“测量锥形瓶底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度，此方案依据的数学定理或基本事实是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是全等三角形的应用，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据全等三角形的判定定理“”解答即可． 【解答】解：在和中， ， ， ， 此方案依据的数学定理或基本事实是“”， 故选：A． 【变式1-2】（2024-2025八年级上·北京·期中）补全证明过程：如图，已知B，E，F，C四个点在同一条直线上，，，，求证：． 证明：∵， ∴____________， 即____________ 在和中， ∴（______）． 【答案】；；；；； 【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理结合证明过程中前后步骤的逻辑关系填空即可． 【解答】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴， 故答案为：；；；；；． 【变式1-3】（2024-2025八年级上·湖北荆州·期中）如图，，，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 由得到，根据“”即可证明． 【解答】证明：∵， ∴， 即， 在和中 ， ∴． 【题型02】 “角边角”（ASA）证明三角形全等 【例2】（2024-2025八年级上·福建厦门·期中）如图，点，在线段上，，，．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由，得到，再根据即可证明，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【解答】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【变式2-1】（2024-2025七年级下·全国·专题练习）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定； 根据即可解答． 【解答】解：有图形可以看到这个三角形还能明显看到的条件为两个角和一条边，且是两角及其夹边，因此符合． 故选D． 【变式2-2】（2024-2025八年级上·河南许昌·阶段练习）如图，沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，，相邻两平行线间的距离相等，相交于P，垂足为D．已知米．沛沛根据上述信息借助三角形的全等求出标语的长度为16米，全等的理由是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各定理是解答此题的关键．由，利用平行线的性质可得，利用定理可得，，由全等三角形的性质可得结果，可得出答案． 【解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，相邻两平行线间的距离相等， ∴， 在与中， ∴， ∴（米）， 故选：A． 【变式2-3】（2024-2025八年级上·云南临沧·期末）如图，在和中，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定； 先求出，再根据即可证得结论． 【解答】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【题型03】 “角角边”（AAS）证明三角形全等 【例3】（2023-2024八年级上·四川南充·阶段练习）如图，相交于点O，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，根据平行线的性质可得，再由即可证明． 【解答】证明：∵， ∴， 又∵， ∴． 【变式3-1】（2024-2025七年级下·上海松江·阶段练习）如图．已知是边的中线．，、与直线的交点分别为点、，请说明与全等的理由． 【答案】理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键：中线得到，平行得到，利用，即可得证． 【解答】解：与全等的理由如下： ∵是边的中线， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3-2】（2024-2025八年级上·广东广州·期末）如图，且，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先由平行线的性质得到，再利用即可证明． 【解答】证明：∵， ∴， 又∵，， ∴． 【变式3-3】（2023-2024八年级上·广东东莞·期中）如图，点在同一直线上，，，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据平行线的性质得到，由得出，再利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【解答】证明：， ， ， ， ， 在和中，， ． 【题型04】 “边边边”（SSS）证明三角形全等 【例4】（2024-2025八年级上·广东汕尾·期中）如图，点B、E、C、F在同一直线上，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，由得出，再利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【解答】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【变式4-1】（2024-2025八年级上·四川泸州·期末）分水油纸伞是泸州市江阳区分水岭镇特产，中国国家地理标志产品，国家级非物质文化遗产．油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着许多数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，，则的判定依据是（   ） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理推出即可解答． 【解答】解：在和中， ， ． 故选：D． 【变式4-2】（2024-2025八年级上·天津和平·期中）已知：，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 本题根据即可证明． 【解答】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 【变式4-3】（2024-2025八年级上·湖南永州·期中）如图，、、、在一条直线上，与交于点，，，，求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 首先得出，再利用证明即可． 【解答】解：证明：∵， ∴，即 在和中 ∴． 【题型05】 “斜边直角边”（HL）证明直角三角形全等 【例5】（2024-2025八年级上·吉林·期中）如图，已知，垂足分别为E，F，，求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，垂直的定义等知识，先证出,即可证出,熟练掌握全等三角形的判定并能灵活运用是解决此题的关键． 【解答】证明：, , 又, ,即, 在和中， , ． 【变式5-1】（2024-2025八年级上·山东临沂·阶段练习）“文字表达全等形，对应元素未可知”．如图，有一个直角三角形，，，．一条线段．P、Q两点分别在线段和过点A且垂直于的射线上运动，在线段运动过程中，当 ，能使和以P、Q、A为顶点的三角形全等． 【答案】或 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，由于，所以当或时，，从而可得的长． 【解答】解：∵，， ∴ 当时， 在和中， ∴； 当时， 在和中， ∴； 故答案为：或． 【变式5-2】（2024-2025八年级上·新疆克孜勒苏·期中）如图，点，，，在一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有，，，，． 利用证明，即可． 【解答】证明：， ， ， 和均为直角三角形． 在和中， ， ． 【变式5-3】（2024-2025八年级上·河南安阳·期末）如图，分别是、上的点，分别是上的点，若、，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．利用“”证明全等即可． 【解答】证明：、， 在和中， ， 【题型06】 添加条件证明三角形全等 【例6】（2024-2025七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，点E、A、D、B在同一直线上，交于点O，，增加下列条件不能推导出的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，等边对等角，根据题意可证明，，再结合全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 添加条件，则，即，则可利用证明，故A不符合题意； 添加条件，则可利用证明，故B不符合题意； 添加条件，不可以利用证明，故C符合题意； 添加条件，则可利用证明，故D不符合题意； 故选：C． 【变式6-1】（2023-2024八年级上·全国·专题练习）如图，，垂足为，且，点在上，若用“”证明，则需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查运用“”证明三角形全等，根据“”证明三角形全等的条件即可解答． 【解答】解：∵， ∴， 当时， 在和中 ， ∴． 故选：B 【变式6-2】（2024-2025八年级上·北京顺义·期中）如图，，只添加一个条件使，添加的条件是 ．（只需添加一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法，即可解答． 【解答】解：添加的条件是：， 理由：在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式6-3】（2024-2025八年级上·内蒙古通辽·期中）如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，，．能否由上面的已知条件得出？如果能，请说明理由；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使成立，并说明理由． 供选择的三个条件：①；②；③． 【答案】不能；选择条件①（还可选择条件②，但不能选择条件③），理由见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定． 选择①，证明得到，即可推出； 选择②，证明得到，即可推出． 【解答】解：不能． 选择①， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 选择②， ， ， ， 在和中 ， ， ， ． 【核心考点板块2 全等三角形的综合】 方法与技巧： 1.重点强调：（1）有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. （2）三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 2.找等角和等边常用途径 （1）找等角的常用途径：①公共角相等；②对顶角相等；③等角加（减）等角，其和（差）相等；④同（等）角的余（补）角相等；⑤由平行线的性质得到的相等角或互补角等；⑥由角平分线的性质得到的相等角等. （2）找等边的常用途径：①公共边相等；②等边加（减）等边，其和（差）相等；③由中线的性质得到的线段相等等. 【题型07】 全等性质与SAS的综合 【例7】（2024-2025八年级上·河北邢台·期中）如图，与中，，，，连接，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，对顶角相等等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，得，然后证明即可； （）设与交于点，由，得，然后通过三角形内角和定理和对顶角相等即可求解． 【解答】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图，设与交于点， ∵， ∴， 又∵，， ∴． 【变式7-1】（2024-2025七年级下·上海青浦·期末）把的中线延长到点，使，连接，如果，的周长比的周长大2，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形中线的定义，根据题意得出，进而证明得出，即可求解． 【解答】解：如图 ∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长大2， ∴， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为：． 【变式7-2】（2024-2025八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图．中．，平分．点为上一点．则图中全等三角形有 对． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是关键．首先利用角平分线定义可得，然后利用可判定，根据全等三角形的性质可得，，再判定，最后证明即可． 【解答】解： 平分， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， 在和中， ， ， 共对全等三角形， 故答案为． 【变式7-3】（2024-2025八年级上·山东滨州·期中）如图，，，，，B，C，E三点在同一条直线上． (1)求证：； (2)探究与之间有怎样的数量关系？写出结论，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）依据即可证明，得到，根据八字形结论得到，得到，继而得证； （2）先证明，得到，再利用八字形结论得到，继而得到 【解答】（1）∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， 又， （2），理由如下： ，， 又， 又， 又， 【题型08】 全等性质与ASA的综合 【例8】（2024-2025八年级上·河南驻马店·期中）如图，在中，是高和的交点，，则的长为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了三角形的高，余角性质，全等三角形的判定和性质，由三角形的高和余角性质可得，进而可证，得到，进而可得，则，即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【解答】解：∵是的高， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7． 【变式8-1】（2022-2023八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，分别是边上的点，过点作平行于的直线交的延长线于点．若，，，则的长是 ． 【答案】3 【分析】证明，得出，即可得出答案． 【解答】解：， ， 在和中， ， ， ， ， 的长为3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，证明三角形全等是解题的关键． 【变式8-2】（2023-2024八年级上·安徽亳州·期末）如图，要测量池塘两岸M、N两点间的距离，可以在直线上取A，B两点，再在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，过点再画出的垂线，使点与A，C在一条直线上，若此时测得，，，则池塘两岸M，N两点间的距离为 m． 【答案】14 【分析】本题考查了全等三角形的应用，利用全等三角形的判定定理证出是解题的关键．由垂线的定义可得出，结合，，即可证出，利用全等三角形的性质可得出． 【解答】解：， ． 在和中， ∴， ， ， ， 故答案为：14． 【变式8-3】（2024-2025八年级上·广西钦州·期中）如图，点在一条直线上，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，根据证明，得出，再根据线段的和差关系可得结论． 【解答】证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型09】 全等性质与AAS的综合 【例9】（2022-2023八年级上·广西河池·期中）如图，点在一条直线上，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是关键． 根据题意可证，得到，结合同位角相等，两直线平行即可求解． 【解答】证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 【变式9-1】（2024-2025八年级上·湖南益阳·期中）如图，点，，，在同一直线上，已知，，，连接交于点，若，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，先求出，根据 “”可证得，推出，然后结合已知条件求出的值，进而可得答案． 【解答】解：∵， ， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 故选：B． 【变式9-2】（2024-2025七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，是的中点，分别过点作的垂线，垂足为．若，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，根据题意得先证明，进而可得，，，根据即可求解． 【解答】解：∵是的中点， ∴， ∵． ∴． 又∵． ∴． ∴，，， 又∵ ∴， ∴， 故答案为：． 【变式9-3】（2024-2025八年级上·安徽六安·期中）如图，，于，于，、交于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．先证，推出，，求出，证，根据全等三角形的性质推出即可． 【解答】证明：∵，， ∴． ∵，，， ∴， ∴，． ∵， ∴，即． ∵，，， ∴， ∴． 【题型10】 全等性质与SSS的综合 【例10】（2024-2025八年级上·安徽六安·期中）已知：如图，，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质以及平行线的判定，解题的关键是利用已知条件，依据全等三角形判定定理证明三角形全等，再根据全等三角形性质和角的关系证明平行． （1）根据已知边相等的条件，利用“边边边（）”判定定理证明． （2）利用（1）中全等三角形的对应角相等，得到内错角相等，从而证明． 【解答】（1）证明： ，， ， 在和中， ， ∴（）； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 【变式10-1】（2024-2025八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在和中，，与相交于点P，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 由条件可证，可求得，再利用三角形内角和求得，即可求解， 【解答】解：在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【变式10-2】（2023-2024八年级上·陕西商洛·阶段练习）如图，在和中，，且点在同一条直线上．求证：． 【答案】见分析 【分析】由可得，然后利用证明即可证明结论． 【解答】解：∵， ∴， 即， 在和中 ， ∴， ∴． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【变式10-3】（2024-2025七年级下·上海崇明·期中）如图，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定、全等三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）先说明，再运用证明三角形全等即可； （2）由全等三角形的性质可得，再运用三角形外角的性质即可解答． 【解答】解：（1）证明：∵， ∴，即：． 在与中， ， ∴． （2）解：∵ ∴， ∴． 【题型11】 全等性质与HL的综合 【例11】（2024-2025八年级上·上海长宁·期末）小明同学提出：用一把直尺就可以画出一个角的平分线．具体操作如下：首先把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线l（如图1）；随后移动该直尺，把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线m（如图2），直线l与直线m交于点P，则射线就是的平分线．请指出这种画法的依据是（请写本学期所学的数学知识）： ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的判定以及全等三角形的判定定理，解题的关键是利用直尺宽度相等构造全等直角三角形，进而得出角平分线． 过点作于点于点．因为直尺的宽度相等，所以，同时（公共边），，证明， 可得，即平分，因此这种画法的依据是． 【解答】解：如图2中，过点P作于点M，于点N． ∵尺的宽度相等， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ∴平分， 画法的依据是：． 故答案为：． 【变式11-1】（2024-2025八年级上·河北廊坊·期末）如图，在中，，点在边上，点在边上，于点，连接，若，则线段的长是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握其判定的方法和性质是解题的关键． 根据题意，可证，得到，则有，再证，得到，由，即可求解． 【解答】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 【变式11-2】（2024-2025八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，在中，，以为边作，满足，点为上一点，连接，，交于点．若，，，则： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先证明，于是得到，则，再证明，然后根据全等三角形的性质即可得解． 【解答】解：∵，， ， ∵，， ， ， ∴， 同理可证明：， ∴， 故答案为：，． 【变式11-3】（2024-2025八年级·贵州贵阳·期中）如图，于，于，若，． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的对应边相等，对应角相等． （1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出； （2）根据全等三角形的性质得出，由线段的和差关系求出答案． 【解答】解：（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，，， ， 在和中， ， ， ． 【题型12】 灵活选用方法证明三角形全等 【例12】（2022-2023八年级上·浙江湖州·期中）如图，四边形中，，，E、F分别为、的中点，连接、． （1）与相等吗？请说明理由； （2）求证：． 【答案】（1）与相等，理由见分析；（2）证明见分析． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，以及线段中点定义， （1）在和 中，利用即可证明，则； （2）根据题意得，，则，结合（1）得，即可证明，有． 【解答】解：（1）解：与相等， 理由如下：连接， 在和 中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵点E与F分别是、的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式12-1】（2024-2025八年级上·湖北武汉·期末）如图，已知的六个元素，则下面标有序号①，②，③的三个三角形中，与全等的图形序号是（   ） A．①和②； B．②和③； C．①和③； D．只有②． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法，逐一判断即可解答． 【解答】解：根据“”可证第②个三角形和全等， 根据“”可证第③个三角形和全等， 故选：B． 【变式12-2】（2024-2025七年级下·上海普陀·期末）如图，在中，，、分别是、的平分线，、交于点，过点作交的延长线于点、交于点． （1）求证：； （2）、、之间有怎样的数量关系，请说明理由． 【答案】（1）见分析；（2），见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键。 （1）由角平分线的定义得到，由垂线的性质可得．导角证明，则可利用证明． （2）由全等三角形的性质得到，证明，得到，再由线段的和差关系可得结论． 【解答】解：（1）证明：分别是的平分线， ． ， ． 又， ． 同理，． ． 在和中， ． （2）解：，理由如下： 由（1）得， ∴， 在和中， ， ． ． ， ． 【变式12-3】（2024-2025七年级下·河南周口·阶段练习）在中，，点在的延长线上． （1）如图1，过点作，连接，与交于点，若为的中线，连接与全等吗？请说明理由； （2）如图2，点在的延长线上，，点在的延长线上，连接，若，，，试判断之间的关系，并说明理由． 【答案】（1）全等，理由见详解；（2），理由见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造全等三角形． （1）根据为的中线，得出，根据，得出，根据即可证明． （2）在 上截取 ，连接，如图，证明，得出，再证明，得出，结合，即可得． 【解答】解：（1）解：全等， 理由如下： ∵为的中线， ， ， ， 在和中， ， ． （2）解：． 理由：在 上截取 ，连接，如图， 在和中， ， ， ， ∵，， ∴， 在和中， ， ， ， ∵， ∴． 【题型13】 全等三角形的判定和性质的综合问题 【例13】（2023-2024八年级上·福建龙岩·阶段练习）在解决线段数量关系问题中，如果条件中有角平分线，经常采用下面构造全等三角形的解决思路． 如：在图1中，若C是的平分线上一点，点A在上，此时，在射线上截取，连结，根据三角形全等的判定方法______（简称），容易构造出全等三角形和，参考上面的方法，解答下列问题： （1）如图2，在中，是的平分线，E、F分别为上的点，且．求证：．（两个内角相等的三角形是等腰三角形） （2）如图3，在非等边中，，分别是、的平分线，且交于点F，求证：． 【答案】（1）见解析；(2)见解析 【分析】本题考查了角的平行线，三角形全等的判定和性质，探索线段之间的关系． 阅读中的判定方法为 (1)在上截取，连结，证明，再利用等腰三角形的判定证明即可． (2)在上截取，连结，证明，即可． 【解答】根据题意，得判定方法为， 故答案为：． (1)在上截取，连结， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）在上截取，连结， ∵， ∴， ∴，， ∵，分别是、的平分线，且交于点F， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴． 【变式13-1】（2024-2025七年级下·重庆·阶段练习）如图，在中，点是上一点，满足，点是上一点，满足，点是延长线上一点，连接． （1）如图1，若，，求的度数； （2）如图2，点为上一点，连接并延长至点，使，连接，若，且，求证：． 【答案】（1）；（2）证明见分析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角度的和差，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用，得出，再判定，即可求解； （2）利用，得出，再由，得出，证明，得出，，则可得，，证明，即可证明． 【解答】解：（1）解：∵，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∵，， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式13-2】（2024-2025八年级上·河南信阳·期末）【问题提出】 我们知道：三角形全等的判定方法有：“，，，”，面对于“”，课本第38页提供了如下材料： 思考：如图1，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木棍，得到，这个实验说明了什么？ 这个实验说明：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即“”不一定成立．那么，什么情况下，“”成立呢？数学兴趣小组对两个三角形按角进行分类，展开了以下探究． 【初步思考】 我们不妨设这个对应角为，然后对进行分类，可分为“是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 【深入探究】 (1)第一种情况：当是直角时，． 如图2，在和中，，，，根据 ，可以知道． (2)第二种情况：当是钝角时，． 如图3，在和中，，，，且、都是钝角，李明由（1）受到了启发，很快证出了．请聪明的你完成李明的推理过程； (3)第三种情况：当是锐角时，和不一定全等． ①如图4，在和中，，，，且、都是锐角，则的结论是否仍然成立；请说明成立的理由； ②如图4，和是不全等的，还要满足什么条件，就可以使？请直接写出结论： ． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①见解析；②或 【分析】（1）直接利用定理得出 ； （2）首先得出，则，进而得出 ，再求出； （3）①利用已知图形再做一个钝角三角形即可得出答案； ②利用①中方法可得出当或 【解答】（1）解：∵， ∴和是直角三角形， 在和中， 故答案为：； （2）证明：在和 ，且都是钝角，如图，过点作交的延长线于，过点作交的延长线于， 且都是钝角， 在和 在 和 在和中 ； （3）解：①在和中，，且都是锐角，如图，和不全等； ②由①图可知，， ∴当时，就唯一确定了， 则． 当时， 即， 在和中， 故答案为：或． 【点评】本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方式解题的关键． 【变式13-3】（2024-2025七年级下·吉林长春·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型认知】如图①，点A在直线l上． ， 过点B作于点C， 过点D作．于点E． 易得， 又，可以推理得到． 进而得到结论： ．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型． 【模型运用】如图②，在 中，点D是上一点， 于点E， 且点E为中点，， 请求出 的面积． 根据“一线三直角”模型，以下是部分解题过程： 解：如图③，过点 C 作的延长线于点F， ∵， 过程缺失 请你补全缺失的解题过程． 【拓展提升】如图④，点A在直线l上， 连结，且． 于点F，与直线l交于点G．若． 则 ． 【答案】模型认知：；模型运用：16； 拓展提升∶ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三直角模型是解答本题的关键． 模型认知：根据证明，利用全等三角形的对应边相等可得结论； 模型运用：过点 C 作的延长线于点F，由，且点E为中点得，，证明得，然后根据三角形面积公式求解即可； 拓展提升∶ 过点D作于点P，过点E作于点Q，同模型认知证明：，得出，，可求出，证明得，求出，然后根据三角形面积公式求解即可． 【解答】解：模型认知：进而得到结论：． 故答案为：； 模型运用：过点 C 作的延长线于点F， ∵， ∵于点E， 且点E为中点， ∴，， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 拓展提升∶ 过点D作于点P，过点E作于点Q，如图所示： 同模型认知证明：， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为：． 【题型14】 尺规作图与三角形全等问题 【例14】（2024-2025八年级上·广西南宁·期中）已知，下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图痕迹，该尺规作图的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了作图-基本作图，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质．作图过程可得，，利用判定，可得． 【解答】解：由作图得，， 在和中， ∴， ∴． 故选：B． 【变式14-1】（2024-2025七年级下·山西太原·期末）课本第109页有一道习题：“先画一个，然后选择中适当的边和角，用尺规作出与全等的三角形”，晋晋的作法如下图．这一作法中，“”的依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】B 【分析】本题考查作图-复杂作图、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解答本题的关键．由作图过程可得，，结合全等三角形的判定可得答案． 【解答】解：由作图可知，， ∴（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等） 故选：B． 【变式14-2】（2024-2025七年级下·上海闵行·期末）如图，给定一个，用直尺和圆规作，有人的作法是： ①作；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定的依据是 ．（填简记） 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，尺规作图—作三角形，根据作图方法可得，据此根据全等三角形的判定定理即可得到答案． 【解答】解：由作图方法可得， ∴， 故答案为：． 【变式14-3】（2024-2025七年级下·北京·期中）下列条件中能确定的形状与大小的有 ． ①，，， ②，，； ③，，； ④，， 【答案】② 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据三角形的判定和性质进行判定即可求解． 【解答】解：①，，，，不能画出三角形； ②，，，根据“”能画出唯一的； ③，，，“”不能确定三角形的性质，即不能画出唯一的； ④，，，“”不能确定三角形的性质，即不能画出唯一的； 综上所述，能画出唯一的的有②， 故答案为：②． 【特训14】 直通中考真题 1．（2025·山西·中考真题）如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由即可判定求解，掌握全等三角形的 判定方法是解题的关键． 【解答】在与， ∵， ∴， ∴与全等的依据是， 故选：． 2．（2025·青海·中考真题）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，由作图过程可得，，再加上公共边可利用定理判定． 【解答】解：在和中 ， ∴， ∴， 故选：C． 3．（2024·湖北·中考真题）如图，点A的坐标是，将线段绕点O顺时针旋转，点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化旋转，全等三角形的判定和性质，熟知图形旋转的性质是解题的关键． 根据题意画出旋转后的图形，再结合全等三角形的判定与性质即可解决问题． 【解答】解：如图所示， 分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和， 由旋转可知， ，， ， ． 在和中， ， ， ，． 点的坐标为， ，， 点的坐标为． 故选：B． 4．（2024·广东广州·中考真题）如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（   ） A．18 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质以及三角形全等的性质与判定，掌握相关的线段与角度的转化是解题关键．连接，根据等腰直角三角形的性质以及得出，将四边形的面积转化为三角形的面积再进行求解． 【解答】解：连接，如图： ∵，，点D是中点， ∴ ∴， ∴ 又∵ ∴ 故选：C 5．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，，与交于点O，请添加一个条件 ，使．（只填一种情况即可） 【答案】或或 【分析】根据三角形全等的判定方法处理． 【解答】∵ ∴， 若，则； 若，则； 若，则； 故答案为：或或． 【点评】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定；掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 6．（2023·浙江·中考真题）如图，在与中，，请添加一个条件 ，使得． 【答案】或或 【分析】根据对顶角相等可得，再添加边相等，可利用或判定． 【解答】解：∵在与中，，， ∴添加，则； 或添加，则； 或添加，则； 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、 7．（2025·云南·中考真题）如图，与相交于点，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直接利用证明即可． 【解答】证明；在和中， ， ∴． 8．（2025·陕西·中考真题）如图，点是的边延长线上一点，，，．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先根据平行得到，再证明即可． 【解答】解：证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 9．（2025·福建·中考真题）如图，点E，F分别在的延长线上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、补角的性质等基础知识，考查推理能力、几何直观等．先证明，证明，即可得出结论． 【解答】证明：， ． 在和中， ， ， ． 10．（2025·湖北·中考真题）如图，平分．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先根据角平分线得到，再由证明，即可得到． 【解答】证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 11．（2025·四川自贡·中考真题）如图，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，先证明，结合，，证明即可. 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴. 12．（2025·四川南充·中考真题）如图，在五边形中，． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边对等角等知识点，灵活运用相关判定与性质成为解题的关键． （1）先说明，再根据即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，再根据等边对等角的性质可得，然后根据角的和差即可证明结论． 【解答】（1）证明：， ． ． 在与中， ． （2）解：， ． ， ． ， ． 13．（2025·四川内江·中考真题）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)11 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先根据平行线的性质得到，再由“”直接证明即可； （2）由，，再由线段和差即可得到，最后由即可求解． 【解答】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 14．（2025·河北·中考真题）如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质； （1）先证明，结合，，即可得到结论； （2）先证明，结合即可得到结论. 【解答】（1）证明：∵， ∴，即， 又∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴，即. 15．（2024·江苏南通·中考真题）如图，点D在的边上，经过边的中点E，且．求证． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行线的判定，根据题意得，即可证明，有成立，根据平行线的判定即可证明结论． 【解答】解：证明：∵点E为边的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 16．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，点C在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，证明是等边三角形是解答的关键． （1）直接根据全等三角形的判定证明结论即可； （2）根据全等三角形的性质得到，，再证明是等边三角形，利用等边三角形的性质求解即可． 【解答】（1）证明：在与中， ， 所以； （2）解：因为，， 所以，， 所以是等边三角形． 所以． 17．（2024·江苏盐城·中考真题）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，． 若________，则． 请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 【答案】①或③（答案不唯一），证明见解析 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，①根据平行线的性质得出，再由全等三角形的判定和性质得出，结合图形即可证明；②得不出相应的结论；③根据全等三角形的判定得出，结合图形即可证明；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 【解答】解：选择①； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； 选择②； 无法证明， 无法得出； 选择③； ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴，即； 故答案为：①或③（答案不唯一） 18．（2023·江苏南通·中考真题）如图，点，分别在，上，，，相交于点，． 求证：． 小虎同学的证明过程如下： 证明：∵， ∴． ∵， ∴．第一步 又，， ∴第二步 ∴第三步 (1)小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误； (2)请写出正确的证明过程． 【答案】(1)二 (2)见解析 【分析】（1）根据证明过程即可求解． （2）利用全等三角形的判定及性质即可求证结论． 【解答】（1）解：则小虎同学的证明过程中，第二步出现错误， 故答案为：二． （2）证明：∵， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． 19．（2022·四川广安·中考真题）如图，点D是△ABC外一点，连接BD、 AD，AD与BC交于点O．下列三个等式：①BC=AD；②∠ABC=∠BAD；③AC= BD．请从这三个等式中，任选两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，将你选择的等式或等式的序号填在下面对应的横线上，然后对该真命题进行证明． 已知： ， 求证： 【答案】BC=AD，∠ABC=∠BAD；AC=BD；证明见详解 【分析】构造SAS，利用全等三角形的判定与性质即可求解． 【解答】解：已知：BC=AD，∠ABC=∠BAD， 求证：AC=BD． 证明：在△ABC和△BAD中， ∵， ∴， ∴， 即命题得证． 【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的判定是解答本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 三角形全等的判定【2大考点14大题型】 （重难点常考题型精讲精练） 【知识考点 三角形全等的判定】 【解题知识必备】 1.三角形全等的判定（5种基本方法） （1）判定方法1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等．（简写成“边角边”或“SAS”）． 如下图，已知，在与中， ． （2）判定方法2：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等．（简写成“角边角”或“ASA”）． 如上图，已知，在与中， ． （3）判定方法3：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．（简写成“角角边”或“AAS”）． 如上图，已知，在与中， ． （4）判定方法4：三边分别相等的两个三角形全等．（简写成“边边边”或“SSS”）． 如上图，在与中， ． （5）判定方法5：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 如下图，已知，在Rt与Rt中（与为直角）， ． 2. 尺规作图 （1）作一个角等于已知角 （2）作一条线段等于已知线段 【重难点常考题型梳理】 【题型01】 “边角边”（SAS）证明三角形全等 【题型02】 “角边角”（ASA）证明三角形全等 【题型03】 “角角边”（AAS）证明三角形全等 【题型04】 “边边边”（SSS）证明三角形全等 【题型05】 “斜边直角边”（HL）证明直角三角形全等 【题型06】 添加条件证明三角形全等 【题型07】 全等性质与SAS的综合 【题型08】 全等性质与ASA的综合 【题型09】 全等性质与AAS的综合 【题型10】 全等性质与SSS的综合 【题型11】 全等性质与HL的综合 【题型12】 灵活选用方法证明三角形全等 【题型13】 全等三角形的判定和性质的综合问题 【题型14】 尺规作图与三角形全等问题 【特训15】 直通中考真题 【核心考点板块1 三角形全等的判定】 方法与技巧： 1.判定两个三角形全等的常用思路:全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件: （1）若已知两边对应相等，则找它们的夹角（利用“SAS”）；或第三边（利用“SSS”）；或找直角（利用“HL”）； （2）若已知两角对应相等，则找两角的夹边（利用“ASA”）；或找两角夹边外的任意一边（利用“AAS”）； （3）若已知一边一角 ① 已知一角与邻边 a.找这边的另一个邻角（利用“ASA”）； b.找这个角的另一个邻边（利用“SAS”）； c.找这边的对角（利用“AAS”）； d.若是直角找对边（利用“HL”）； ② 已知一角与对边 a.找一角（利用“AAS”）；b.若是直角找一边（利用“HL”）。 【题型01】 “边角边”（SAS）证明三角形全等 【例1】（2024-2025八年级上·广东湛江·期中）已知，，，在上，且，求证：． 【变式1-1】（2024-2025八年级上·福建泉州·期末）数学课上老师布置了“测量锥形瓶底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度，此方案依据的数学定理或基本事实是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024-2025八年级上·北京·期中）补全证明过程：如图，已知B，E，F，C四个点在同一条直线上，，，，求证：． 证明：∵， ∴____________， 即____________ 在和中， ∴（______）． 【变式1-3】（2024-2025八年级上·湖北荆州·期中）如图，，，． 求证：． 【题型02】 “角边角”（ASA）证明三角形全等 【例2】（2024-2025八年级上·福建厦门·期中）如图，点，在线段上，，，．求证：． 【变式2-1】（2024-2025七年级下·全国·专题练习）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024-2025八年级上·河南许昌·阶段练习）如图，沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，，相邻两平行线间的距离相等，相交于P，垂足为D．已知米．沛沛根据上述信息借助三角形的全等求出标语的长度为16米，全等的理由是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2024-2025八年级上·云南临沧·期末）如图，在和中，，，．求证：． 【题型03】 “角角边”（AAS）证明三角形全等 【例3】（2023-2024八年级上·四川南充·阶段练习）如图，相交于点O，，．求证：． 【变式3-1】（2024-2025七年级下·上海松江·阶段练习）如图．已知是边的中线．，、与直线的交点分别为点、，请说明与全等的理由． 【变式3-2】（2024-2025八年级上·广东广州·期末）如图，且，． 求证：． 【变式3-3】（2023-2024八年级上·广东东莞·期中）如图，点在同一直线上，，，． 求证：． 【题型04】 “边边边”（SSS）证明三角形全等 【例4】（2024-2025八年级上·广东汕尾·期中）如图，点B、E、C、F在同一直线上，，，，求证：． 【变式4-1】（2024-2025八年级上·四川泸州·期末）分水油纸伞是泸州市江阳区分水岭镇特产，中国国家地理标志产品，国家级非物质文化遗产．油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着许多数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，，则的判定依据是（   ） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【变式4-2】（2024-2025八年级上·天津和平·期中）已知：，求证：． 【变式4-3】（2024-2025八年级上·湖南永州·期中）如图，、、、在一条直线上，与交于点，，，，求证：． 【题型05】 “斜边直角边”（HL）证明直角三角形全等 【例5】（2024-2025八年级上·吉林·期中）如图，已知，垂足分别为E，F，，求证：． 【变式5-1】（2024-2025八年级上·山东临沂·阶段练习）“文字表达全等形，对应元素未可知”．如图，有一个直角三角形，，，．一条线段．P、Q两点分别在线段和过点A且垂直于的射线上运动，在线段运动过程中，当 ，能使和以P、Q、A为顶点的三角形全等． 【变式5-2】（2024-2025八年级上·新疆克孜勒苏·期中）如图，点，，，在一条直线上，，，．求证：． 【变式5-3】（2024-2025八年级上·河南安阳·期末）如图，分别是、上的点，分别是上的点，若、，求证：． 【题型06】 添加条件证明三角形全等 【例6】（2024-2025七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，点E、A、D、B在同一直线上，交于点O，，增加下列条件不能推导出的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2023-2024八年级上·全国·专题练习）如图，，垂足为，且，点在上，若用“”证明，则需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2024-2025八年级上·北京顺义·期中）如图，，只添加一个条件使，添加的条件是 ．（只需添加一个即可）． 【变式6-3】（2024-2025八年级上·内蒙古通辽·期中）如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，，．能否由上面的已知条件得出？如果能，请说明理由；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使成立，并说明理由． 供选择的三个条件：①；②；③． 【核心考点板块2 全等三角形的综合】 方法与技巧： 1.重点强调：（1）有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. （2）三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 2.找等角和等边常用途径 （1）找等角的常用途径：①公共角相等；②对顶角相等；③等角加（减）等角，其和（差）相等；④同（等）角的余（补）角相等；⑤由平行线的性质得到的相等角或互补角等；⑥由角平分线的性质得到的相等角等. （2）找等边的常用途径：①公共边相等；②等边加（减）等边，其和（差）相等；③由中线的性质得到的线段相等等. 【题型07】 全等性质与SAS的综合 【例7】（2024-2025八年级上·河北邢台·期中）如图，与中，，，，连接，． (1)求证：； (2)求的度数． 【变式7-1】（2024-2025七年级下·上海青浦·期末）把的中线延长到点，使，连接，如果，的周长比的周长大2，那么 ． 【变式7-2】（2024-2025八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图．中．，平分．点为上一点．则图中全等三角形有 对． 【变式7-3】（2024-2025八年级上·山东滨州·期中）如图，，，，，B，C，E三点在同一条直线上． (1)求证：； (2)探究与之间有怎样的数量关系？写出结论，并说明理由． 【题型08】 全等性质与ASA的综合 【例8】（2024-2025八年级上·河南驻马店·期中）如图，在中，是高和的交点，，则的长为 ． 【变式8-1】（2022-2023八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，分别是边上的点，过点作平行于的直线交的延长线于点．若，，，则的长是 ． 【变式8-2】（2023-2024八年级上·安徽亳州·期末）如图，要测量池塘两岸M、N两点间的距离，可以在直线上取A，B两点，再在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，过点再画出的垂线，使点与A，C在一条直线上，若此时测得，，，则池塘两岸M，N两点间的距离为 m． 【变式8-3】（2024-2025八年级上·广西钦州·期中）如图，点在一条直线上，，求证：． 【题型09】 全等性质与AAS的综合 【例9】（2022-2023八年级上·广西河池·期中）如图，点在一条直线上，，求证：． 【变式9-1】（2024-2025八年级上·湖南益阳·期中）如图，点，，，在同一直线上，已知，，，连接交于点，若，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式9-2】（2024-2025七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，是的中点，分别过点作的垂线，垂足为．若，，则的面积是 ． 【变式9-3】（2024-2025八年级上·安徽六安·期中）如图，，于，于，、交于点，求证：． 【题型10】 全等性质与SSS的综合 【例10】（2024-2025八年级上·安徽六安·期中）已知：如图，，，． (1)求证：； (2)求证：． 【变式10-1】（2024-2025八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在和中，，与相交于点P，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】（2023-2024八年级上·陕西商洛·阶段练习）如图，在和中，，且点在同一条直线上．求证：． 【变式10-3】（2024-2025七年级下·上海崇明·期中）如图，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【题型11】 全等性质与HL的综合 【例11】（2024-2025八年级上·上海长宁·期末）小明同学提出：用一把直尺就可以画出一个角的平分线．具体操作如下：首先把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线l（如图1）；随后移动该直尺，把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线m（如图2），直线l与直线m交于点P，则射线就是的平分线．请指出这种画法的依据是（请写本学期所学的数学知识）： ． 【变式11-1】（2024-2025八年级上·河北廊坊·期末）如图，在中，，点在边上，点在边上，于点，连接，若，则线段的长是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式11-2】（2024-2025八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，在中，，以为边作，满足，点为上一点，连接，，交于点．若，，，则： （1） ； （2） ． 【变式11-3】（2024-2025八年级·贵州贵阳·期中）如图，于，于，若，． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 【题型12】 灵活选用方法证明三角形全等 【例12】（2022-2023八年级上·浙江湖州·期中）如图，四边形中，，，E、F分别为、的中点，连接、． （1）与相等吗？请说明理由； （2）求证：． 【变式12-1】（2024-2025八年级上·湖北武汉·期末）如图，已知的六个元素，则下面标有序号①，②，③的三个三角形中，与全等的图形序号是（   ） A．①和②； B．②和③； C．①和③； D．只有②． 【变式12-2】（2024-2025七年级下·上海普陀·期末）如图，在中，，、分别是、的平分线，、交于点，过点作交的延长线于点、交于点． （1）求证：； （2）、、之间有怎样的数量关系，请说明理由． 【变式12-3】（2024-2025七年级下·河南周口·阶段练习）在中，，点在的延长线上． （1）如图1，过点作，连接，与交于点，若为的中线，连接与全等吗？请说明理由； （2）如图2，点在的延长线上，，点在的延长线上，连接，若，，，试判断之间的关系，并说明理由． 【题型13】 全等三角形的判定和性质的综合问题 【例13】（2023-2024八年级上·福建龙岩·阶段练习）在解决线段数量关系问题中，如果条件中有角平分线，经常采用下面构造全等三角形的解决思路． 如：在图1中，若C是的平分线上一点，点A在上，此时，在射线上截取，连结，根据三角形全等的判定方法______（简称），容易构造出全等三角形和，参考上面的方法，解答下列问题： （1）如图2，在中，是的平分线，E、F分别为上的点，且．求证：．（两个内角相等的三角形是等腰三角形） （2）如图3，在非等边中，，分别是、的平分线，且交于点F，求证：． 【变式13-1】（2024-2025七年级下·重庆·阶段练习）如图，在中，点是上一点，满足，点是上一点，满足，点是延长线上一点，连接． （1）如图1，若，，求的度数； （2）如图2，点为上一点，连接并延长至点，使，连接，若，且，求证：． 【变式13-2】（2024-2025八年级上·河南信阳·期末）【问题提出】 我们知道：三角形全等的判定方法有：“，，，”，面对于“”，课本第38页提供了如下材料： 思考：如图1，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木棍，得到，这个实验说明了什么？ 这个实验说明：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即“”不一定成立．那么，什么情况下，“”成立呢？数学兴趣小组对两个三角形按角进行分类，展开了以下探究． 【初步思考】 我们不妨设这个对应角为，然后对进行分类，可分为“是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 【深入探究】 (1)第一种情况：当是直角时，． 如图2，在和中，，，，根据 ，可以知道． (2)第二种情况：当是钝角时，． 如图3，在和中，，，，且、都是钝角，李明由（1）受到了启发，很快证出了．请聪明的你完成李明的推理过程； (3)第三种情况：当是锐角时，和不一定全等． ①如图4，在和中，，，，且、都是锐角，则的结论是否仍然成立；请说明成立的理由； ②如图4，和是不全等的，还要满足什么条件，就可以使？请直接写出结论： ． 【变式13-3】（2024-2025七年级下·吉林长春·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型认知】如图①，点A在直线l上． ， 过点B作于点C， 过点D作．于点E． 易得， 又，可以推理得到． 进而得到结论： ．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型． 【模型运用】如图②，在 中，点D是上一点， 于点E， 且点E为中点，， 请求出 的面积． 根据“一线三直角”模型，以下是部分解题过程： 解：如图③，过点 C 作的延长线于点F， ∵， 过程缺失 请你补全缺失的解题过程． 【拓展提升】如图④，点A在直线l上， 连结，且． 于点F，与直线l交于点G．若． 则 ． 【题型14】 尺规作图与三角形全等问题 【例14】（2024-2025八年级上·广西南宁·期中）已知，下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图痕迹，该尺规作图的依据是（   ） A． B． C． D． 【变式14-1】（2024-2025七年级下·山西太原·期末）课本第109页有一道习题：“先画一个，然后选择中适当的边和角，用尺规作出与全等的三角形”，晋晋的作法如下图．这一作法中，“”的依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【变式14-2】（2024-2025七年级下·上海闵行·期末）如图，给定一个，用直尺和圆规作，有人的作法是： ①作；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定的依据是 ．（填简记） 【变式14-3】（2024-2025七年级下·北京·期中）下列条件中能确定的形状与大小的有 ． ①，，， ②，，； ③，，； ④，， 【特训14】 直通中考真题 1．（2025·山西·中考真题）如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·青海·中考真题）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·湖北·中考真题）如图，点A的坐标是，将线段绕点O顺时针旋转，点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·广东广州·中考真题）如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（   ） A．18 B． C．9 D． 5．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，，与交于点O，请添加一个条件 ，使．（只填一种情况即可） 6．（2023·浙江·中考真题）如图，在与中，，请添加一个条件 ，使得． 7．（2025·云南·中考真题）如图，与相交于点，．求证：． 8．（2025·陕西·中考真题）如图，点是的边延长线上一点，，，．求证：． 9．（2025·福建·中考真题）如图，点E，F分别在的延长线上，．求证：． 10．（2025·湖北·中考真题）如图，平分．求证：． 11．（2025·四川自贡·中考真题）如图，，．求证：． 12．（2025·四川南充·中考真题）如图，在五边形中，． (1)求证：． (2)求证：． 13．（2025·四川内江·中考真题）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 14．（2025·河北·中考真题）如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． (1)求证：； (2)若，求证：． 15．（2024·江苏南通·中考真题）如图，点D在的边上，经过边的中点E，且．求证． 16．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，点C在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 17．（2024·江苏盐城·中考真题）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，． 若________，则． 请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 18．（2023·江苏南通·中考真题）如图，点，分别在，上，，，相交于点，． 求证：． 小虎同学的证明过程如下： 证明：∵， ∴． ∵， ∴．第一步 又，， ∴第二步 ∴第三步 (1)小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误； (2)请写出正确的证明过程． 19．（2022·四川广安·中考真题）如图，点D是△ABC外一点，连接BD、 AD，AD与BC交于点O．下列三个等式：①BC=AD；②∠ABC=∠BAD；③AC= BD．请从这三个等式中，任选两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，将你选择的等式或等式的序号填在下面对应的横线上，然后对该真命题进行证明． 已知： ， 求证： 学科网（北京）股份有限公司 $