22.1二次函数的图像与性质培优训练　2025-2026学年人教版数学九年级上册

第二十二章 二次函数 突破1 图象与性质(一)对称性 类型一 知对称轴 1.(2024信阳)若二次函数 的图象经过点P(一2，4)，则该图象必经过点 . 2、(2025 北京十四中)抛物线 的对称轴为直线x=2,且经过点 P(3,-3),则a+b+c 的值为 . 3.(2024汉阳期中)如图，抛物线 与 y 轴交于点A,与x 轴交于点 B,线段 CD在抛物线的对称轴上移动(点C 在点D 下方)，且CD=3.当四边形ABCD 的周长最小时，点D 的坐标为() A.(4,3) B.(4,4) C.(4,5) D.(4,6) 类型二 隐对称轴 4.(2025七一华源)在平面直角坐标系中,点A(1-m,n),B(5+m,n)均在抛物线 c上,则b 的值为 . 5.(2024宁波模拟)已知A(m,2024),B(m+n,2024)是抛物线 上的两点,则正数 n= . 6.(2024越秀)已知.A(x₁,2024),B(x₂,2 024)是二次函数 图象上的两点，则当 时，二次函数的值是 . 7.(2024 洪山)若抛物线M 与抛物线 关于直线 x=-1对称,则m,n 的值为( ) A. m=1,n=1 B. m=1,n=-1 C. m=3,n=4 D. m=3,n=-4 学科网（北京）股份有限公司 突破2 图象与性质(二)增减性 类型一 知对称轴比大小 1.(2024江汉期中)已知抛物线 上有三个点.A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),C(x₃,y₃),若 则y₁,y₂,y₃的大小关系是( ) 2.(2025江汉)已知抛物线 经过点.A(1,y₁),B(m,y₂),C(n,y₃),且|m-3|<|n-3|<2,则 y₁,y₂,y₃ 的大小关系是() 类型二 隐对称轴比大小 3.(2024六中上智)已知二次函数 (a 为常数,且a>0)的图象上有四点A(-1,y₁),B(3,y₁),C(2,y₂),D(-2,y₃),,则y₁,y₂,y₃的大小关系是( ) 4.(2024蔡甸、黄陂、江夏三区期中)已知点A(-2,y₁),B(2,y₂),C(3,y₃)在二次函数. 2ax+3a的图象上，二次函数图象与y轴的交点在负半轴，则y₁,y₂,y₃ 的大小关系为( ) 5.(2025德州)已知一元二次方程 的解为 若抛物线 上有两点A(1,y₁),B(-5,y₂),则( ) D.无法确定 类型三 利用增减性求参数范围 6.(2024二中广雅)已知二次函数 (a 为整数),当x≤15(x为整数)时，y随x 的增大而增大，则a 的最大值是() A.3 B.4 C.5 D.6 7.(2025厦门外校)已知二次函数 当x=2时，该函数取最大值12.设该函数图象与x轴的一个交点的横坐标为x₁，若x₁<0，则a 的取值范围是 . 学科网（北京）股份有限公司 突破 3 图象与性质(三)抛物线的平移 类型一 知平移方式求解析式 1.(2024咸阳)抛物线 的对称轴在 y 轴左侧，将该抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k 的值是 . 2.(2024榆林)如图,抛物线 的顶点 P 在直线y=x+2上移动，连接OP，当OP 长度最小时，则b，c的值分别为() A.-2,0 B.2,1 C.2,0 D.-2,1 类型二 知解析式求平移方式 3.(2024二中广雅)平面直角坐标系中，抛物线 经平移变换得到抛物线 则这个变换是() A.向左平移2个单位长度 B.向右平移2个单位长度 C.向左平移4个单位长度 D.向右平移4个单位长度 4.(2025 西安期末)将抛物线 向上平移b(b>0)个单位长度后，所得新抛物线对应的二次函数的最小值为1，则b 的值为 . 5.(2025 保定期末)如图,曲线 L 是抛物线 的一部分，其与x 轴正半轴、y轴分别交于A，B 两点，直线l∥x 轴且过点C(0，5).将曲线L 向上平移m 个单位长度，若曲线L 与直线l有两个交点，则m 的取值范围为() A. m>1 B.1<m≤2 C.1<m<2 D.1≤m≤2 类型三 含参计算 6.(2024淄博二模)已知二次函数 的图象l₁，现将l₁向下平移k 个单位长度得到图象l₂.若l₁，l₂都与x轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则k 的值为 . 7.(2024东湖高新期末)已知抛物线 与x轴两个交点间的距离为2，将此抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到一条新抛物线，则新抛物线与x轴两个交点间的距离是 . 学科网（北京）股份有限公司 第二十二章 二次函数 突破1 图象与性质(一)对称性 类型一 知对称轴 1.(2024信阳)若二次函数 的图象经过点P(-2,4),则该图象必经过点 (2.4) . 2.(2025北京十四中)抛物线 的对称轴为直线x=2,且经过点 P(3,-3),则a+b+c 的值为 —3 . 3.(2024汉阳期中)如图，抛物线 与 y 轴交于点A,与 x 轴交于点 B,线段 CD在抛物线的对称轴上移动(点C 在点 D 下方)，且CD=3.当四边形 ABCD 的周长最小时，点D 的坐标为(B) A.(4,3) B.(4,4) C.(4,5) D.(4,6) 解:平移CE 至DF,则BC=CE=DF,直线AF: 当点 D 恰好在AF 上时,四边形ABCD 的周长最小.∵当x=4时, ∴D(4,4).故选B. 类型二 隐对称轴 4.(2025七一华源)在平面直角坐标系中,点A(1-m,n),B(5+m,n)均在抛物线 c 上,则b 的值为 -6 . 答案解：∵抛物线的对称轴为直线 5.(2024宁波模拟)已知A(m,2 024),B(m+n,2024)是抛物线 上的两点,则正数n= 8 . 解：由题意知，抛物线的对称轴为 抛物线为 把(m,2 024)代入,得 解得正数n=8. 6.(2024越秀)已知A(x₁,2 024),B(x₂,2 024)是二次函数 图象上的两点，则当 时，二次函数的值是 3 . 解:∵A(x₁,2 024),B(x₂,2 024)是二次函数 图象上的两点，∴A，B关于对称轴x= 对称， 将 代入 得 7.(2024 洪山)若抛物线M: 与抛物线 关于直线x=-1对称,则m,n 的值为(C) A. m=1,n=1 B. m=1,n=-1 C. m=3,n=4 D、m=3,n=-4 解：∵抛物线 M 的对称轴为 交 y 轴于点(0,-3),抛 物线 M′的对称轴为 x = - 5, 解得m=3,∵点(0,-3)关于x=-1对称的点(-2,-3)在抛物线M′上,∴-3=4-20+2n+5,解得n=4.故选C. 学科网（北京）股份有限公司 突破2 图象与性质(二)增减性 类型一 知对称轴比大小 1.(2024江汉期中)已知抛物线 上有三个点 A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),C(x₃,y₃),若 ,则 y₁,y₂,y₃的大小关系是(D) 解：∵抛物线 的开口向上，对称轴为 点 B 到对称轴的距离最小、点A 到对称轴的距离最大， 故选D. 2.(2025江汉)已知抛物线 经过点 A(1,y₁),B(m,y₂),C(n,y₃),且|m-3|<|n-3|<2,则y₁,y₂,y₃的大小关系是(B) 类型二 隐对称轴比大小 3.(2024六中上智)已知二次函数 (a 为常数,且a>0)的图象上有四点A(-1,y₁),B(3,y₁),C(2,y₂),D(-2,y₃),则y₁,y₂,y₃的大小关系是(B) 解：依题意知，抛物线的对称轴为 且开口向上,∵点C(2,y₂)到对称轴的距离为1,点 D(-2,y₃)到对称轴的距离为3，点B(3，y₁)到对称轴的距离为2， 故选 B. 4.(2024蔡甸、黄陂、江夏三区期中)已知点A(-2,y₁),B(2,y₂),C(3,y₃)在二次函数 2ax+3a的图象上，二次函数图象与y轴的交点在负半轴，则y₁,y₂,y₃的大小关系为(B) 5.(2025德州)已知一元二次方程 的解为 若抛物线 上有两点A(1,y₁),B(-5,y₂),!则(C) D.无法确定 类型三 利用增减性求参数范围 6.(2024二中广雅)已知二次函数 (a 为整数),当x≤15(x 为整数)时，y随x 的增大而增大，则a 的最大值是(B) A.3 B.4 C.5 D.6 解：依题意可得对称轴 解得 又∵a 为整数,∴a 的最大值为 4.故选 B. 7.(2025 厦门外校)已知二次函数 当x=2时，该函数取最大值12.设该函数图象与x轴的一个交点的横坐标为x₁，若x₁<0，则a 的取值范围是 -3<a<0 . 解：依题意可得 ,且图象开口向下,∴对称轴为x=2,又∵x₁<0,∴当x=0时,y=a(0- 解得a>-3,∴a 的取值范围是-3<a<0, 学科网（北京）股份有限公司 突破3 图象与性质(三)抛物线的平移 类型一 知平移方式求解析式 1.(2024 咸阳)抛物线 的对称轴在 y 轴左侧，将该抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k 的值是 1 . 解：平移后的抛物线为 ,将(0、0)代入,得( 解得k₁=1,k₂=-5(舍去). 2.(2024榆林)如图,抛物线 的顶点 P 在直线y=x+2上移动，连接OP，当OP 长度最小时，则b，c 的值分别为(A) A.-2,0 B.2,1 C.2,0 D.-2,1 解:∵点P 在直线y=x+2上,∴当OP⊥直线y=x+2时,OP 最短.此时P(-1、1)，∴二次函数的解析式为 ∴b=-2、c=0.故选 A. 类型二 知解析式求平移方式 3.(2024二中广雅)平面直角坐标系中，抛物线 经平移变换得到抛物线 则这个变换是(B) A.向左平移2个单位长度 B.向右平移2个单位长度 C.向左平移4个单位长度 D.向右平移4个单位长度 4.(2025西安期末)将抛物线 向上平移b(b>0)个单位长度后，所得新抛物线对应的二次函数的最小值为1，则b的值为 10 。 5.(2025 保定期末)如图,曲线 L 是抛物线 的一部分，其与x轴正半轴、y轴分别交于A，B 两点，直线l∥x 轴且过点C(0，5).将曲线L 向上平移m 个单位长度，若曲线L 与直线l 有两个交点，则m 的取值范围为(B) A. m>1 B.1<m≤2 C.1<m<2 D.1≤m≤2 类型三 含参计算 6.(2024淄博二模)已知二次函数 的图象l₁，现将l₁向下平移 k 个单位长度得到图象l₂.若l₁，l₂都与x轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等,则k 的值为 6 . 答案解:∵l₁与x轴的两个交点坐标为(m,0),(m+9,0),∴l₂与x轴的交点坐标为(m+3,0),(m+6、0)、 ∴l₂的解析式为 ∵1₁ 向下平移 k 个单位所得的抛物线解析式为 7.(2024 东湖高新期末)已知抛物线 与x 轴两个交点间的距离为 2，将此抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到一条新抛物线，则新抛物线与x轴两个交点间的距离是 4 . 解：设原抛物线为 ，则点(h+1，0)在抛物线上，平移后的抛物线为， ∵点(h+3,-3)在平移后的抛物线上,∴1+k-3=-3,解得k=-1,由( ，解得x=h 或h+4,故答案为4. 学科网（北京）股份有限公司 $