21.3实际问题与一元二次方程培优训练2025-2026学年人教版数学九年级上册

实际问题与一元二次方程 突破1 一元二次方程的应用(一)循环问题 类型一 单循环 1.(2025二中广雅)在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手1次. (1)若参加聚会的人数为3，则共握手 次；若参加聚会的人数为5，则共握手 次；若参加聚会的人数为n(n为正整数)，则共握手 次； (2)若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数； (3)嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线段AB 上共有m个点(不含端点A，B)，线段总数为多少呢?请直接写出结论； (4)小明想到另一个数学问题：若n 边形的边数增加1，对角线总数增加9，求边数 n 的值. 类型二 双循环 2.(2025东西湖)圣诞节时，某班一个小组有x人，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡110张，则该小组一共有多少位组员? 3.(2025武汉十一初)A，B两地之间有若干个站点，高铁从 A 地到 B 地，共设计了30种往返车票.问A，B两地之间共有多少个站点? 学科网（北京）股份有限公司 突破2 一元二次方程的应用(二)传播问题 类型一 传染问题 1.(2024七—华源)有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感. (1)每轮传染中平均一个人传染几个人? (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有 个人患流感. 类型二 分支问题 2.(2025武昌联考)某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91.若每个支干长出x个小分支，则x的值为 . 3.(2025黄冈)为了宣传垃圾分类，小王写了一封倡议书，用微博转发的方式传播，他设计了如下的转发规则：将倡议书发表在自己的微博上，然后邀请x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请x个互不相同的好友转发，已知经过两轮转发后，共有111个人参与了本次活动. (1)x的值是多少? (2)再经过几轮转发后，参与人数会超过 10 000人? 类型三 细胞分裂问题 4.(2025六中上智)某种细胞分裂，一个细胞经过两轮分裂后，共有a个细胞，设每轮分裂中平均一个细胞分裂成x 个细胞，那么可列方程为() 学科网（北京）股份有限公司 突破3 一元二次方程的应用(三)变化率问题 类型一 增长率问题 1.(2024武汉三寄)为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍.已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，则2020~2022年买书资金的平均增长率是 . 2.(2025汉阳)读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一.据统计，某书院对外开放的第一个月进书院600人次，进书院人数逐月增加，到第三个月末累计进书院2 850人次.若进书院人次的月平均增长率为x，则可列方程为 . 3.(2025四区联考)现代互联网技术的广泛应用催生了快递行业的高速发展.据调查，某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年3月份与5月份完成投递的快递总件数分别为10万件和 12.1万件，现假定该公司每月的投递总件数的增长率相同. (1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率； (2)如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的16名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务?如果不能，请问至少需要增加几名业务员? 类型二 下降率问题 4.(2024武汉元调)《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”.例如：已知A，B，C三人分配奖金的衰分比为10%，若A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为900元和810元.某科研所三位技术人员甲、乙、丙攻关成功，共获得奖金175 万元，甲、乙、丙按照一定的“衰分比”分配奖金，若甲分得奖金100万元，则“衰分比”是 . 5.(2025东湖高新)在国家政策的调控下，某市的商品房成交均价由今年6月份的16 000元/平方米下降到8月份的12 960元/平方米. (1)求6 月到 8月平均每月降价的百分率； (2)如果房价继续回落，按此降价的百分率，请你预测到9月份该市的商品房成交均价是否会跌破每平方米11 500 元?请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 突破4 一元二次方程的应用(四)利润问题 类型一 价格不变 1.(2024青山)某商店以每件20元的价格购进一批商品，若每件商品售价 a 元，则每天可卖出(800—10a)件，如果商店计划每天恰好盈利8 000 元，并且使每天的销售量尽可能大，求每件商品的售价是多少元? 类型二 二次销售 2.(2025光谷外校)党的二十大报告提出：“加快建设高质量教育体系，发展素质教育”.某校为进一步落实五育并举工作，有效开展“阳光体育”活动，计划从某体育用品商城购买跳绳用于“大课间”活动.已知一根跳绳的进价为20元，商城确定其售价为40元. (1)商城准备进行降价促销，从原价每根40元进行两次调价后的售价为32.4元，若两次调价的降价率相同，求降价率； (2)经调查，每根跳绳每降价0.2元，即可多销售10根.已知售价为40元时，每月可销售500根.若商城期望销售跳绳每月盈利10 800元，且尽量减少库存，求每根跳绳的定价。 学科网（北京）股份有限公司 突破5 一元二次方程的应用(五)面积问题 类型一 边框设计 1.(2025硚口)如图，某小区的平面图是一个占地400×300 平方米的矩形，正中央的建筑区是与整个小区长宽比例相同的矩形.如果要使四周的空地所占面积是小区面积的36%，且南北空地等宽，东西空地等宽.求该小区四周空地的宽度. 类型二 甬道问题 2.(2025光谷外校)如图，某旅游景点要在长、宽分别为12米、10米的矩形水池内部建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行且宽度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的 (每条道路的一侧均与正方形观赏亭的一边在同一直线上)，若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的 ，求道路的宽. 类型三 折叠纸盒 3.(2025咸宁)有两张长12 cm，宽10 cm的矩形纸板，分别按照图1与图2 两种方式裁去若干小正方形和小矩形，剩余部分(阴影部分)恰好做成无盖和有盖的长方体纸盒各一个. (1)做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是 (填“图1”或“图2”)； (2)已知图1中裁去的小正方形边长为1.5cm，求做成的纸盒的底面积； (3)已知按图2裁剪方式做成纸盒的底面积为 ，求剪去的小正方形的边长. 学科网（北京）股份有限公司 类型四 围栏开口 4.(2024武昌)某体育场准备利用一堵虽“L”形的[B]墙(粗线A—B—C表示墙，墙足够高)改建室外篮球场，如图所示，已知 米，BC=70米，现计划用总长为136 米的围网围建呈“日”字形的两个篮球场，并在每个篮球场开一个宽3米的门(细线表示围网，两个篮球场之间用围网GH 隔开)，为了充分利用墙体，点F 必须在线段BC 上，设EF 的长为x米， 米；(用含x 的代数式表示) (2)若围成的篮球场 BDEF 的面积为1 200平方米，求EF 的长；(围网及墙体所占面积忽略不计) (3)篮球场 BDEF 的面积是否能达到1900平方米?请说明理由. 类型五 围栏分块 5.(2024二中广雅)某家禽养殖场，用总长为280m的围栏靠墙(墙长为70 m)围成如图所示的三块矩形区域，矩形 AEHG 与矩形 CDEF 的面积都等于矩形BFHG 面积的 ,设 AD 长为x m. (1)请直接写出 (2)当矩形 ABCD 的面积为 时，求AD 的长是多少? 学科网（北京）股份有限公司 突破6 一元二次方程的应用(六)动点问题 类型一 三角形背景 1.(2024江门)如图,在△ABC 中,∠B=90°,AB=5cm ,BC=8cm,点 P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1 cm/s的速度移动,同时点 Q 从点 B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s的速度移动,当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动. (1)△PQB 的面积能否等于 9 cm²? 请说明理由. (2)几秒时,四边形 APQC 的面积等于 16 cm²?请写出过程. 类型二 四边形背景 2.(2025洪山)如图,在矩形ABCD 中,AB=3cm,BC=6cm,点P 从点D 出发沿DA 向点A 运动，运动到点A 立即停止，同时，点Q从点B 出发沿BC向点C 运动，运动到点C立即停止，点P,Q 的速度都为1 cm/s,连接PQ,AQ,AC,CP.设点 P 运动的时间为t s. (1)当t 为何值时,AC⊥PQ? (2)是否存在某一时刻t，使得PQ⊥PC?若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由. 类型三 圆周形背景 3.(2025武汉外校)小勤设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点从直径的两端点A，B分别以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程l(cm)与时间t(s)满足关系 乙以4 cm/s的速度匀速运动，半圆的长度为 21 cm. (1)问：当甲运动的路程为5cm 时，乙与甲相遇了吗?请说明理由； (2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，甲运动的路程为多少 cm? 学科网（北京）股份有限公司 突破1 一元二次方程的应用(一)循环问题 类型一 单循环 1.(2025二中广雅)在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手1次， (1)若参加聚会的人数为3，则共握手 次；若参加聚会的人数为5，则共握手 次；若参加聚会的人数为n(n为正整数)，则共握手 次； (2)若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数； (3)嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线段 AB 上共有m 个点(不含端点A，B)，线段总数为多少呢?请直接写出结论； (4)小明想到另一个数学问题：若n 边形的边数增加1，对角线总数增加9，求边数 n 的值. 答案解：(1)3;1( (2)由题意，得 即n(n-1)=56,解得 (舍去). 答：参加聚会的人数为8人； (3)由线段上AB 上共有m 个点(不含端点A，B)，则相当于聚会人数为m+2，则根据公式即可写出线段数为 解得 n=10.即边数n 的值为 10. 类型二 双循环 2.(2025东西湖)圣诞节时，某班一个小组有x人，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡110张，则该小组一共有多少位组员? 解：设这个小组有x 人，则每人应送出(x-1)张贺卡. 根据题意,得x(x-1)=110, 解得 (舍)。 答：该小组一共有11名组员。 3.(2025武汉十一初)A，B两地之间有若干个站点，高铁从 A 地到 B 地，共设计了30种往返车票.问A，B两地之间共有多少个站点? 解：设A，B两地之间共有x 个站点，则每个站点去往其他站点有(x-1)种车票，根据题意,得x(x-1)=30,∴x₁=6,x₂=-5(舍去). 答：A，B两地之间共有6个站点. 学科网（北京）股份有限公司 C" = = 突破2 一元二次方程的应用(二)传播问题 类型一 传染问题 1.(2024七一华源)有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感. (1)每轮传染中平均一个人传染几个人? (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有 个人患流感。 答案解：(1)设每轮传染中平均一个人传染x 个人， 由题意得1+x+x(1+x)=121,解得. ∵x>0,∴x₂=-12不合题意,舍去,∴x=10. 答：每轮传染中平均一个人传染10个人； (2)第三轮的患病人数为( 故答案为 1 331. 类型二 分支问题 2.(2025武昌联考)某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91.若每个支干长出x个小分支，则x 的值为 9 . 解：∵主干为1，每个主干长出x 个支干，每个支干又长出同样数目的小分支， ∴小分支的个数为. ∴可列方程为 解得 (舍去)。 ∴x=9. 3.(2025黄冈)为了宣传垃圾分类，小王写了一封倡议书，用微博转发的方式传播，他设计了如下的转发规则：将倡议书发表在自己的微博上，然后邀请x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请x个互不相同的好友转发，已知经过两轮转发后，共有111个人参与了本次活动. (1)x的值是多少? (2)再经过几轮转发后，参与人数会超过10000人? 解：(1)∵第一轮转发了x 个人，第二轮转发了x² 个人， 解得 (舍), ∴x 的值为10; ∴第四轮转发后参与人数会超过 10 000人， ∴再经过两轮转发后，参与人数会超过10 000人. 类型三 细胞分裂问题 4.(2025六中上智)某种细胞分裂，一个细胞经过两轮分裂后，共有a个细胞，设每轮分裂中平均一个细胞分裂成x 个细胞，那么可列方程为(A) 学科网（北京）股份有限公司 突破3 一元二次方程的应用(三)变化率问题 类型一 增长率问题 1.(2024武汉三寄)为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍.已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，则2020~2022年买书资金的平均增长率是 20% . 2.(2025汉阳)读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一.据统计，某书院对外开放的第一个月进书院600人次，进书院人数逐月增加，到第三个月末累计进书院2 850人次.若进书院人次的月平均增长率为x，则可列方程为 ( 3.(2025四区联考)现代互联网技术的广泛应用催生了快递行业的高速发展.据调查，某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年3月份与5月份完成投递的快递总件数分别为10万件和 12.1万件.现假定该公司每月的投递总件数的增长率相同. (1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率； (2)如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的16名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务?如果不能，请问至少需要增加几名业务员? 学科网（北京）股份有限公司 答案解：(1)设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x， 依题意，得 解得 (不符合题意，舍去)。 答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为10%； (2)12.1×(1+10%)=13.31(万件),∵0.6×16=9.6(万件),9.6<13.31. ∴该公司现有的16名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务。 设需要增加 y名快递投递员，依题意，得 0.6(16+y)≥13.31,解得 又∵y为正整数，∴y 的最小值为7. 答：该公司现有的16名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加7名业务员。 学科网（北京）股份有限公司 类型二 下降率问题 4.(2024武汉元调)《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”.例如：已知 A，B，C三人分配奖金的衰分比为10%，若A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为900元和810元.某科研所三位技术人员甲、乙、丙攻关成功，共获得奖金175万元，甲、乙、丙按照一定的“衰分比”分配奖金，若甲分得奖金100万元,则“衰分比”是 50% 。 5.(2025东湖高新)在国家政策的调控下，某市的商品房成交均价由今年6月份的16 000元/平方米下降到8月份的12 960 元/平方米. (1)求6 月到 8月平均每月降价的百分率； (2)如果房价继续回落，按此降价的百分率，请你预测到9月份该市的商品房成交均价是否会跌破每平方米 11 500 元?请说明理由。 学科网（北京）股份有限公司 解：(1)设6 月到8 月平均每月降价的百分率为x，依题意，得 解得 (舍去)。 答：6月到8月平均每月降价的百分率为 10%； (2)∵12 960×(1-10%)=11 664>11 500, ∴不会跌破每平方米11 500 元。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 突破4 一元二次方程的应用(四)利润问题 类型一 价格不变 1.(2024青山)某商店以每件20元的价格购进一批商品，若每件商品售价a 元，则每天可卖出(800-10a)件；如果商店计划每天恰好盈利8 000 元，并且使每天的销售量尽可能大，求每件商品的售价是多少元? 答案解:依题意,得(a-20)(800-10a)=8 000. 解得 ∵销售量随a 的增大而减小， ∴要使每天的销售量尽量大，则定价应为40元. 答：每件商品的定价为40 元， 类型二 二次销售 2.(2025光谷外校)党的二十大报告提出：“加快建设高质量教育体系，发展素质教育”.某校为进一步落实五育并举工作，有效开展“阳光体育”活动，计划从某体育用品商城购买跳绳用于“大课间”活动.已知一根跳绳的进价为20元，商城确定其售价为40元. (1)商城准备进行降价促销，从原价每根40元进行两次调价后的售价为32.4元，若两次调价的降价率相同，求降价率； (2)经调查，每根跳绳每降价0.2元，即可多销售10根.已知售价为 40元时，每月可销售 500根.若商城期望销售跳绳每月盈利10 800元，且尽量减少库存，求每根跳绳的定价. 解：(1)设降价率为x. 根据题意，得 解得 (不合题意，舍去)。 答：降价率为10%； (2)设每根跳绳的定价为 y 元，则每根的销售利润为(y—20)元， 每月的销量为 根， 根据题意,得(y-20)(2500-50y)=10800,即. ∵要尽量减少库存,∴y=32. 答：每根跳绳应定价为32元. 学科网（北京）股份有限公司 突破5 一元二次方程的应用(五)面积问题 类型一 边框设计 1.(2025硚口)如图，某小区的平面图是一个占地400×300 平方米的矩形，正中央的建筑区是与整个小区长宽比例相同的矩形.如果要使四周的空地所占面积是小区面积的36%，且南北空地等宽，东西空地等宽.求该小区四周空地的宽度. 答案解：设中央建筑区的长为4x(米)，宽为3x(米)。 根据题意,得4x·3x=400×300×(1-36%), 即 (舍去), ∴东西空地的宽为 (米), 南北空地的宽为 (米)。 答：该小区东西空地的宽为40米，南北空地的宽为30米。 类型二 甬道问题 2.(2025光谷外校)如图，某旅游景点要在长、宽分别为12米、10米的矩形水池内部建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行且宽度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的 (每条道路的一侧均与正方形观赏亭的一边在同一直线上)，若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的 ，求道路的宽. 解：设道路的宽为 x 米，由题意得。 解得 (舍去)，即道路宽是2米. 类型三 折叠纸盒 3.(2025咸宁)有两张长12 cm，宽10 cm的矩形纸板，分别按照图1 与图2 两种方式裁去若干小正方形和小矩形，剩余部分(阴影部分)恰好做成无盖和有盖的长方体纸盒各一个. (1)做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是 图2 .(填“图1”或“图2”)； (2)已知图1中裁去的小正方形边长为1.5cm，求做成的纸盒的底面积； (3)已知按图2裁剪方式做成纸盒的底面积为24 cm²，求剪去的小正方形的边长. 解：(1)做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是图2； (2)图1 中裁去的小正方形边长为 1.5cm，做成的纸盒的底面积=(12-3)(10-3)=63(cm²); (3)设剪去的小正方形的边长为 x cm,则有(12-2x)×(10-2x)=24×2,解得x=2或x=9(舍去), ∴小正方形的边长为 2cm . 学科网（北京）股份有限公司 类型四 围栏开口 4.(2024武昌)某体育场准备利用一堵呈“L”形的围墙(粗线A—B—C表示墙，墙足够高)改建室外篮球场，如图所示，已知AB⊥BC，AB=8米，BC=70米，现计划用总长为136米的围网围建呈“日”宇形的两个篮球场，并在每个篮球场开一个宽3米的门(细线表示围网，两个篮球场之间用围网GH 隔开)，为了充分利用墙体，点F 必须在线段BC 上，设EF 的长为x 米， (1)DE= (150-3x) 米;(用含x 的代数式表示) (2)若围成的篮球场 BDEF 的面积为1200平方米，求EF 的长；(围网及墙体所占面积忽略不计) (3)篮球场 BDEF 的面积是否能达到1 900平方米?请说明理由. 答案解:(1)∵AD=x-8,∴2x+x-8+DE-6=136,∴DE=150-3x; (2)根据题意,得x(150-3x)=1200,解得. 当x=10时,150-3x=150-3×10=120>70,不符合题意,舍去;当x=40时,150-3x=150-3×40=30<70,符合题意.答：篮球场的宽 EF 的长为40米； (3)篮球场 BDEF 的面积不能达到 1 900 平方米.理由如下:根据题意,得x(150-3x)=1900,整理,得 ，∴该方程没有实数根，即篮球场 BDEF 的面积不能达到 1 900 平方米。 类型五 围栏分块 5.(2024二中广雅)某家禽养殖场，用总长为280 m 的围栏靠墙(墙长为70 m)围成如图所示的三块矩形区域，矩形 AEHG 与矩形 CDEF 的面积都等于矩形 BFHG 面积的 ,设 AD 长为x m. (1)请直接写出 (2)当矩形ABCD 的面积为3 360m² 时,求AD 的长是多少? 解:(1) (2)∵矩形AEHG 与矩形CDEF 的面积都等于矩形BFHG 面积的 依题意，得 依题意，得 解得x₁=40,x₂=60,∵50=x<100.∴x=60, ∴AD 的长为 60 m. 学科网（北京）股份有限公司 突破 6 一元二次方程的应用(六)动点问题 类型一 三角形背景 1、(2024江门)如图,在△ABC 中,∠B=90°,AB=5cm ,BC=8cm ,点 P 从点A 开始沿AB 边向点 B 以 1 cm/s的速度移动,同时点 Q 从点 B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动. (1)△PQB 的面积能否等于 9 cm²? 请说明理由. (2)几秒时,四边形 APQC 的面积等于 16 cm²?请写出过程. 答案解：(1)△PQB 的面积不能等于 9 cm².理由如下：根据题意可得，AP=tm, BP=(5-t) cm,BQ=2t cm,由 整理，得 ∴方程没有实数根， ∴△PQB 的面积不能等于 9 cm²; (2)根据题意，可得 整理得 解得 (不合题意,舍去),∴t=1,四边形APQC 的面积等于1 答:1 s后,四边形APQC 的面积等于 16 cm². 类型二 四边形背景 2.(2025洪山)如图,在矩形ABCD 中,AB=3cm,BC=6cm,点P 从点D 出发沿DA 向点A 运动，运动到点A 立即停止，同时，点Q 从点B 出发沿BC 向点C 运动，运动到点C立即停止，点P,Q 的速度都为1 cm/s,连接 PQ,AQ,AC,CP.设点 P 运动的时间为t s. (1)当 t 为何值时,AC⊥PQ? (2)是否存在某一时刻t，使得 PQ⊥PC?若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由. 解:(1)∵DP=BQ,∴AP=CQ.∵AP∥CQ,∴四边形AQCP 是平行四边形, ∴当AC⊥PQ 时,四边形AQCP 是菱形,∴AP=AQ.∵BQ=t, 即当 时， (2)不存在.过点 P 作 PG⊥BC 于点G,则CG=t,PG=AB=3, ∴QG=6-2t,∴PQ²=3²+(6-2t)².∵PC²=3²+t²,CQ²=(6-t)², ∴当 PQ⊥PC 时, 即 ∴此方程无实数解，即不存在某一时刻t、使 类型三 圆周形背景 3.(2025武汉外校)小勤设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点从直径的两端点 A，B分别以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程l(cm)与时间t(s)满足关系： 乙以4 cm/s的速度匀速运动，半圆的长度为 21 cm. (1)问：当甲运动的路程为5cm 时，乙与甲相遇了吗?请说明理由； (2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，甲运动的路程为多少 cm? 解:(1)当l=5时, 解得 (舍去),t:=2, ∴乙运动的路程为4×2=8(cm).∵5+8=13<21,∴乙与甲没有相遇; (2)由题意，得 解得 (舍去). ∴当t=10时, 甲、乙第三次相遇时，甲运动的路程为65 cm. 学科网（北京）股份有限公司 $