专题01 长方体和正方体（知识精讲+易错真题满分冲刺卷）-2025-2026学年苏教版数学六年级上册专项培优讲练

专题01长方体和正方体 【解析版】 易错点拨01：:长方体和正方体的认识 1. 特征理解错误 长方体一般是由6个长方形围成的立体图形，但特殊情况有两个相对的面是正方形。部分同学可能会忽略这种特殊情况，认为长方体的6个面一定都是长方形。 对于长方体和正方体棱的特征，长方体相对的棱长度相等，正方体12条棱长度都相等。有些学生可能会混淆，比如在描述长方体棱的关系时出错。 2. 长、宽、高概念混淆：相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。学生可能对长、宽、高的定义理解不深刻，在实际题目中不能准确判断长、宽、高对应的棱，导致后续计算错误。 3. 展开图判断失误：判断一个展开图能否折成正方体或长方体时，容易出错。正方体展开图不能出现“田”字格，且相对面不相连。学生可能难以准确找出展开图中的相对面，也可能误将不符合要求的展开图判断为可以折成正方体或长方体。 易错点拨02：长方体和正方体的棱长计算 1. 棱长总和公式运用错误 长方体的棱长总和 =（长 + 宽 + 高）× 4，正方体的棱长总和 = 棱长×12。学生在使用公式时，可能会记错公式，或者在已知棱长总和求长、宽、高或棱长时，不能正确进行公式变形计算。例如，已知长方体棱长总和求长，应该用棱长总和÷4 - 宽 - 高，但有些学生可能会出现计算步骤错误。 2. 切割、拼接后棱长变化问题：长方体切一刀分为两个小长方体时，相比之前会增加2个面，每个面4条边；多个正方体或长方体拼接时，棱的数量会减少。学生在解决这类问题时，可能不能准确分析切割或拼接后棱的数量变化情况，导致计算错误。 易错点拨03：长方体和正方体的表面积 1. 表面积概念不清：长方体或正方体6个面的总面积叫做它们的表面积。部分学生可能对表面积的概念理解不透彻，在计算时可能会少算或多算面的面积。 2. 实际问题中面的数量判断错误;在解决实际问题时，要根据具体情况确定需要计算几个面的面积。例如，油箱、罐头盒等有6个面；水池、无盖鱼缸等有5个面；通风管、水管、烟囱等有4个面。学生可能不考虑实际情况，一律按照6个面来计算，导致结果错误。 3. 拼接、切割后表面积变化问题；多个长方体或正方体拼接时，表面积会减少拼接面的面积；切割时，表面积会增加切割面的面积。学生在解决这类问题时，可能不能准确找出拼接面或切割面，从而无法正确计算表面积的变化量。 易错点拨04：体积和容积的意义 1. 体积和容积概念混淆;体积是指物体所占空间的大小，容积是指容器所能容纳物体的体积。学生可能不能清晰区分这两个概念，在描述问题或进行相关计算时出现错误。 2. 单位使用错误；体积单位有立方米、立方分米、立方厘米等，容积单位一般用升和毫升，1升 = 1立方分米，1毫升 = 1立方厘米。学生在填写单位时，可能会出现混淆，比如将体积单位用于描述容积，或者反之。 易错点拨05：长方体和正方体的体积计算 1. 体积公式运用错误;长方体的体积 = 长×宽×高，正方体的体积 = 棱长×棱长×棱长。学生可能会记错公式，或者在计算时出现数据代入错误的情况。 2. 不规则物体体积计算困难；对于一些不规则物体的体积，通常采用排水法等方法来计算。学生可能不能理解排水法的原理，在实际操作或计算时出现问题。例如，不能准确测量放入物体前后水的体积变化，从而无法计算出不规则物体的体积。 试题满分：100分 检测时间：90分钟 难度系数：0.45（较难） 一、选择题：本题共10小题，每小题1分，共10分． 1．（本题2分）（2025六年级上·全国·专题练习）小宇、小恒、乐乐、园园都用边长为12dm的正方形纸板做成了无盖的长方体（或正方体）纸盒。如图，4人都是先剪掉四个角上的小正方形，再折起来。（    ）做的纸盒容积最大。（纸板厚度忽略不计，单位：dm） A．小宇 B．小恒 C．乐乐 D．园园 【答案】C 【易错思路指引】角上剪掉的小正方形的边长就是纸盒的高，做出的纸盒各自的长和宽相等，都是用正方形的边长12dm减去两个小正方形的边长。根据长方体的容积＝长×宽×高，分别计算出4人所做的纸盒的容积，再比较大小即可。 【规范解答】 故答案是：C 2．（本题2分）（24-25五年级下·江苏·假期作业）图形是由7个棱长1厘米的正方体拼成的，它的表面积是（    ）平方厘米。 A．21 B．24 C．7 【答案】B 【易错思路指引】看上去，这个立体图形的表面积比棱长2厘米的大正方体的表面积少了3个正方形的面，里面又出现了同样的3个正方形，因此这个立体图形的表面积＝棱长2厘米的大正方体表面积，正方体表面积＝棱长×棱长×6，据此列式计算。 【规范解答】1×2＝2（厘米） 2×2×6＝24（平方厘米） 它的表面积是24平方厘米。 故答案为：B 3．（本题2分）（24-25五年级下·江苏·假期作业）下面说法中正确的有（    ）个。 ①钢笔吸一次墨水，能吸1~2毫升。 ②体积单位比面积单位和长度单位都大。 ③体积大的容器，容积一定大。 ④1立方厘米和1毫升的大小相等。 A．1 B．2 C．3 【答案】B 【易错思路指引】①当液体体积较小的时候一般用毫升做单位，钢笔的墨囊或吸墨器容量较小，能吸的墨水很少。 ②体积单位（如立方厘米）用于度量物体所占空间的大小，面积单位（如平方厘米）用于度量平面的大小，长度单位（如厘米）用于度量线段的长短。 ③体积是指容器外部所占空间的大小，容积是指容器内部所能容纳物体的体积。 ④1立方厘米是体积单位，1毫升是容积单位，在度量液体体积时，1立方厘米的空间正好能容纳1毫升的液体。 【规范解答】①通常情况下，钢笔吸一次墨水，能吸1~2毫升，这个说法合理。 ②体积、面积和长度是不同的度量概念，不能直接比较大小，此说法错误。 ③体积是从外部测量计算的，容积是从内部测量计算的，若容器壁较厚，即使体积大，其内部可容纳空间（容积）也可能不大，此说法错误。 ④因为1立方厘米的空间大小与1毫升的液体容量是相等的，此说法正确。 正确的有：①④，共2个。 故答案为：B 4．（本题2分）（24-25五年级下·安徽六安·期末）把两块长8米，宽5米，厚4米的长方体木块拼成一个长方体，这个长方体表面积最大是（    ）。 A．328平方米 B．288平方米 C．232平方米 【答案】A 【易错思路指引】把两块相同的长方体木块拼成一个大长方体时，会减少两个相同的长方形的面积；因为5×4＜8×4＜8×5，所以把两个长方体的5×4的两个面重合，这样减少的表面积最少，那么拼成大长方体的表面积就最大，此时大长方体的长是（8×2）米，宽是5米，高是4米，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算，求出拼成的大长方体的表面积。 【规范解答】5×4＜8×4＜8×5 如图： 长：8×2＝16（米） （16×5＋16×4＋5×4）×2 ＝（80＋64＋20）×2 ＝164×2 ＝328（平方米） 这个长方体表面积最大是328平方米 故答案为：A 5．（本题2分）（21-22六年级上·江苏·单元测试）下图是一个棱长4厘米的正方体，在正方体上面正中向下挖一个棱长是2厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中再向下挖一个棱长是1厘米正方体小洞，最后得到的立方体图形的表面积是（    ）平方厘米。 A．96 B．116 C．128 D．132 【答案】B 【易错思路指引】观察图可知：最后得到的立方体图形的表面积＝大正方体的表面积＋两个小正方体4个侧面面积的和，将数值代入正方体表面积公式中计算即可。 【规范解答】最后得到的立方体图形的表面积： 42×6＋22×4＋12×4 ＝96＋16＋4 ＝116（平方厘米） 故答案为：B 【考点再现】本题考查正方体表面积公式的应用，关键要理解求得是哪几个面的面积和。 2、 判断题：本题共5小题，每小题2分，共10分． 6．（本题2分）（2022六年级上·江苏·专题练习）把表面积都为6m2的两个正方体拼成个长方体，这个长方体的表面积为12m2。( ) 【答案】× 【易错思路指引】根据题意可知，把两个完全一样的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积比两个正方体的表面积减少了正方体的2个面的面积，根据正方体的表面积公式：S＝6a2，把数据代入公式求出正方体的一个面的面积，进而求出长方体的表面积，然后与12m2进行比较。 【规范解答】6÷6＝1（m2） 6×2－1×2 ＝12－2 ＝10（m2） 所以这个长方体的表面积是10m2，所以原题说法错误。 故答案为：× 【考点再现】此题主要考查正方体、长方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 7．（本题2分）（2022六年级上·江苏·专题练习）折叠后不可能围成正方体。( ) 【答案】× 【易错思路指引】根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方体展开图的“3－3”型，折叠后能围成正方体，据此解答即可。 【规范解答】 由分析可得：折叠后能围成正方体，所以原题说法错误。 故答案为：× 【考点再现】此题是考查正方体展开图的认识。正方体展开图分四种类型，11种情况，要掌握每种情况的特征。 8．（本题2分）（21-22六年级上·江苏盐城·期末）一盒果汁的包装盒上标注“净含量600m1”，从外面量，长方体包装盒的长是10厘米，宽4厘米，高15厘米，这个标注是真实的。( ) 【答案】× 【易错思路指引】净含量600m1，是包装盒的容积。从外面量的长、宽、高，用长乘宽乘高得长方体体积，体积应大于容积。据此判断。 【规范解答】长方体包装盒的体积： 10×4×15 ＝40×15 ＝600（立方厘米） 600毫升＝600立方厘米 故原题说法错误。 【考点再现】本题考查了体积和容积的区别。明确体积是从外面量的数据计算得到的，容积是从物体里面量的数据得到的。 9．（本题2分）（21-22六年级上·江苏·阶段练习）把两个表面积为12平方分米的完全一样的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积为24平方分米。( ) 【答案】× 【易错思路指引】根据题意可知，把两个表面积为12平方分米的完全一样的正方体拼成一个长方体，减少了正方体的两个面，则长方形体的表面积就等于正方体的（12－2）个面的面积，据此解答。 【规范解答】12÷6×（12－2） ＝2×10 ＝20（平方分米） 原题干说法错误。 故答案为：× 【考点再现】解答本题的关键明白：长方体的表面积等于正方体的10个面的面积。 10．（本题2分）（18-19六年级上·江苏·单元测试）任何一个正方体，切成两个同样的长方体后，表面积都增加 ．    ( ) 【答案】正确   【易错思路指引】此题要抓住一个正方体切割出2个完全一样的长方体的方法，得出切割后比原来增加了2个正方体的面，是解决此类问题的关键． 【规范解答】假设正方体的一个面的面积是2平方厘米，这个正方体的表面积是12平方厘米，切成两个同样的长方体后表面积增加2和2=4平方厘米，4平方厘米是12平方厘米的 故答案为正确． 三、填空题：本题共8小题，每空1分，共16分． 11．（本题1分）（2025六年级下·全国·专题练习）正方体的6个面上分别写着、、、、、，那么与相对的字母是( )。 【答案】B 【易错思路指引】结合3种摆放情况可知，B对面不可能是A、E、C、F，所以B对面是D。据此解答。 【规范解答】根据分析可知，正方体的6个面上分别写着、、、、、，那么与相对的字母B。 12．（本题2分）（2025六年级下·全国·专题练习）一个长方体玻璃容器，从里面量长5分米，宽3分米，高7分米。向这个容器注水，容器中的水所形成的长方体第一次出现一组相对的面是正方形时，水的体积是( )立方分米；当容器中的水所形成的长方体第二次出现一组相对的面是正方形时，水接触长方体玻璃容器的面积是( )平方分米。 【答案】 45 95 【易错思路指引】向这个容器注水，容器里的水形成的长方体是长5分米，宽3分米，高是在变化的。 如果出现一组相对的面是正方形，即高等于宽，此时高变成3分米，再根据长方体的体积＝长×宽×高，即可计算出此时水的体积； 当第二次出现一组相对的面是正方形时，即高等于长，此时高变成5分米。计算水接触长方体玻璃容器的面积也就是求水形成的长方体5个面的表面积之和（前面、后面、左面、右面、下面），其中前面面积＝后面面积＝长×高；左面面积＝右面面积＝宽×高；下面面积＝长×宽。据此解题即可。 【规范解答】容器中的水所形成的长方体第一次出现一组相对的面是正方形时，高为3分米，此时水的体积： 5×3×3 ＝15×3 ＝45（立方分米） 当容器中的水所形成的长方体第二次出现一组相对的面是正方形时，高为5分米，水接触长方体玻璃容器的面积： 5×3＋5×5×2＋5×3×2 ＝15＋50＋30 ＝95（平方分米） 13．（本题4分）（24-25六年级上·江苏宿迁·期末）在括号里填上合适的数字。 5升＝( )立方厘米              500立方分米＝( )立方米 500平方分米＝( )平方米        50毫升＝( )立方分米 【答案】 5000 0.5 5 0.05 【易错思路指引】1升＝1立方分米=1000立方厘米，1立方米＝1000立方分米，1平方米＝100平方分米，1立方分米＝1000立方厘米＝1000毫升，高级单位化低级单位乘进率，低级单位化高级单位除以进率。据此解答。 【规范解答】5×1000＝5000（立方厘米） 500÷1000＝0.5（立方米） 500÷100＝5（平方米） 50÷1000＝0.05（立方分米） 所以5升＝5000立方厘米，500立方分米＝0.5立方米，500平方分米＝5平方米，50毫升＝0.05立方分米。 14．（本题2分）（24-25六年级上·江苏·假期作业）一个长方体长8分米，宽5分米，高3分米，它的表面积是( )平方分米。如果高减少2分米，表面积减少( )平方分米。 【答案】 158 52 【易错思路指引】长方体表面积（长宽长高宽高），代入数据计算即可解答第一个空；如果高减少2分米，即减少了长是8分米、宽是2分米的2个长方形的面积与长是5分米、宽是2分米的2个长方形的面积和，据此解答第二个空。 【规范解答】 （平方分米） （平方厘米） 所以，一个长方体长8分米，宽5分米，高3分米，它的表面积是158平方分米，如果高减少2分米，表面积减少52平方分米。 15．（本题1分）（24-25六年级上·江苏苏州·期中）根据下面长方体的表面展开图，长方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】40 【易错思路指引】观察可知，长方体的长是5厘米，宽2.5厘米，高1厘米，根据，代入数据计算即可。 【规范解答】 （平方厘米） 根据下面长方体的表面展开图，长方体的表面积是40平方厘米。 16．（本题2分）（23-24六年级上·江苏徐州·期中）如图，一个长方体蛋糕盒，底面是边长30厘米的正方形，高25厘米。做这样一个蛋糕盒至少需要( )平方分米硬纸板；如果用彩带把这个礼品盒捆扎起来，打结处长20厘米，那么一共需要( )分米的彩带。 【答案】 48 24 【易错思路指引】根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，把数据分别代入公式解答；100平方厘米＝1平方分米，据此换算单位。 长方体蛋糕盒的2个长、2个宽、4个高、打结处的长度合起来就是彩带的长度。据此解答即可。10厘米＝1平方分米，据此换算单位。 【规范解答】（30×30＋30×25＋30×25）×2 ＝（900＋750＋750）×2 ＝2400×2 ＝4800（平方厘米） 4800平方厘米＝48平方分米 2×30＋2×30＋4×25＋20 ＝60＋60＋100＋20 ＝220＋20 ＝240（厘米） 240厘米＝24分米 所以，做这样一个蛋糕盒至少需要48平方分米硬纸板；如果用彩带把这个礼品盒捆扎起来，打结处长20厘米，那么一共需要24分米的彩带。 【考点再现】解答有关长方体计算的实际问题，一定要搞清所求的是什么，再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题。 17．（本题3分）（23-24六年级上·江苏盐城·期中）先观察、分析下面各组立体图形的摆放情况，再填空。（每个小正方体的棱长为1厘米） 摆3层时，用了( )个小正方体，摆成的立体图形的表面积是( )平方厘米；摆6层时，用了( )个小正方体，摆成的立体图形的表面积是( )平方厘米。 【答案】 6 24 21 66 【易错思路指引】观察图形可知： 摆1层，用了1个小正方体； 摆2层，用了3个小正方体，3＝1＋2； 摆3层，用了6个小正方体，6＝1＋2＋3； …… 规律：摆n层，用小正方体的个数：（1＋2＋3＋…n）个。 摆1层，立体图形有6个小正方形，6＝1×6＝1×（5＋1）； 摆2层，立体图形有14个小正方形，14＝2×7＝2×（5＋2）； 摆3层，立体图形有24个小正方形，24＝3×8＝3×（5＋3）； …… 规律：摆n层，摆成的立体图形有小正方形的个数：n×（5＋n）个。 再用每个正方形的面积乘个数即可求出立体图形的表面积。 据此规律解答。 【规范解答】（1）摆3层时，用了小正方体的个数： 1＋2＋3＝6（个） 摆成的立体图形有小正方形： 3×（5＋3） ＝3×8 ＝24（个） 摆成的立体图形的表面积： 1×1×24＝24（平方厘米） （2）摆6层时，用了小正方体的个数： 1＋2＋3＋4＋5＋6＝21（个） 摆成的立体图形有小正方形： 6×（5＋6） ＝6×11 ＝66（个） 摆成的立体图形的表面积： 1×1×66＝66（平方厘米） 所以，摆3层时，用了6个小正方体，摆成的立体图形的表面积是24平方厘米；摆6层时，用了21个小正方体，摆成的立体图形的表面积是66平方厘米。 【考点再现】本题是找规律的题型，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。 18．（本题1分）（19-20六年级上·江苏南京·期末）图（1）中，深30厘米的长方体水箱装满水放在平台上（不考虑水箱壁厚），当水箱如图（2）这样倾斜到的长度是8厘米后，再把水箱放平如图（3），这时水箱中水的深度是( )厘米。 【答案】19 【易错思路指引】设长方体水箱长a厘米，宽b厘米。当它如图（2）这样倾斜时，剩下的水的体积是一个横截面为梯形，长是b厘米的立体图形，它的体积＝横截面的面积×长，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2可得这时水的体积为（8＋30）×a÷2×b＝19ab立方厘米；再把水箱放平如图（3），剩下的水体积不变，还是19ab立方厘米，形状变为长方体，长方体的体积＝长×宽×高，则这时水的深度是19ab÷a÷b＝19（厘米）。 【规范解答】图（1）中，深30厘米的长方体水箱装满水放在平台上（不考虑水箱壁厚），当水箱如图（2）这样倾斜到的长度是8厘米后，再把水箱放平如图（3），这时水箱中水的深度是19厘米。 【考点再现】本题考查长方体体积和横截面为梯形的立体图形体积的应用。要掌握横截面为梯形的立体图形的体积公式。 四、看图列式计算：本题共2小题，共8分． 19．（本题4分）（22-23六年级上·山西临汾·期末）求立体图形的表面积和体积。 【答案】表面积：456cm2；体积：544cm3 【易错思路指引】观察图形可知，表面积等于长是12cm，宽是8cm，高是5cm的长方体的表面积＋棱长是4cm的正方体四个面的面积和，根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体表面积公式：表面积＝棱长×棱长×4，代入数据，求出组合体的表面积； 体积等于长是12cm，宽是8cm，高是5cm的长方体体积＋棱长是4cm的正方体体积；根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高；正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据即可解答。 【规范解答】（12×8＋12×5＋8×5）×2＋4×4×4 ＝（96＋60＋40）×2＋16×4 ＝（156＋40）×2＋64 ＝196×2＋64 ＝392＋64 ＝456（cm2） 12×8×5＋4×4×4 ＝96×5＋16×4 ＝480＋64 ＝544（cm3） 20．（本题4分）（19-20六年级上·江苏·期末）下图是一个长方体的表面展开图,求这个长方体的表面积和体积。 【答案】388平方米    440立方米 【规范解答】(18-10)÷2=4(米)　(30-4×2)÷2=11(米)　 表面积:(4×11+4×10+11×10)×2=388(平方米)　 体积:10×4×11=440(立方米) 五、应用题（本题共10小题，共56分） 21．（本题5分）（24-25五年级下·江苏·假期作业）天天用下面的铁皮制作了一个无盖水箱。（单位：厘米） （1）这个水箱的占地面积是多少平方米？ （2）制作这个水箱用了多少平方米铁皮？ （3）现有50升水，这个水箱能盛下吗？ 【答案】（1）0.41平方米；（2）0.7268平方米；（3）不能盛下 【易错思路指引】（1）观察铁皮图形，折叠部分是一个边长12厘米的正方形。折叠后水箱的长为原铁皮水平方向长度减去右侧折叠部分：94－12＝82厘米；水箱的宽为原铁皮垂直方向长度减去上下两侧折叠部分：74－12×2＝74－24＝50厘米。根据长方形面积公式：面积＝长×宽，把数据代入公式即可得到水箱的占地面积。 （2）求制作这个水箱用了多少平方米铁皮，就是求这个无盖水箱的表面积，表面积＝底面积＋两个“长×高”的侧面积＋两个“宽×高”的侧面积（其中高为折叠部分的长度12厘米，长为82厘米，宽为50厘米，底面积为（82×50））。把数据代入计算即可。 （3）先根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，已知长方体的长为82厘米，宽为50厘米，高为12厘米，把数据代入公式计算即可得出长方体的体积，然后再与50升比较即可。 【规范解答】（1）水箱长：94－12＝82（厘米） 水箱宽：74－12×2 ＝74－24 ＝50（厘米） （平方厘米） 1平方米＝10000平方厘米 4100÷10000＝0.41（平方米） 答：这个水箱的占地面积是0.41平方米。 （2）82×50＋（82×12＋50×12）×2 ＝4100＋（984＋600）×2 ＝4100＋1584×2 ＝4100＋3168 ＝7268（平方厘米） 1平方米＝10000平方厘米 7268÷10000＝0.7268（平方米） 答：制作这个水箱用了0.7268平方米铁皮。 （3）82×50×12＝49200（立方厘米） 1升＝1000立方厘米 49200÷1000＝49.2（升） 49.2升＜50升 答：这个水箱不能盛下50升水。 22．（本题5分）（24-25五年级下·江苏·假期作业）一个完全封闭的长方体容积，里面的长是20厘米，宽是16厘米，高是10厘米，平放时水面高7厘米（左图），如果把这个容器竖起来放（如图），水的高度会是多少厘米？（单位：厘米） 【答案】14厘米 【易错思路指引】长方体体积公式为V＝a×b×h（其中V表示体积，a表示长，b表示宽，h表示高）。已知容器平放时，长a＝20厘米，宽b＝16厘米，水面高h＝7厘米，此时水的形状为长方体，所以水的体积为20×16×7＝2240（立方厘米）。 容器竖起来后水的体积不变，容器竖起来放时，底面的长变为16厘米，宽变为10厘米，所以此时的底面积为16×10＝160（平方厘米）。因为水的体积不变，根据h＝V÷S（其中h为高，V为体积，S为底面积），把体积2240立方厘米，底面积160平方厘米，代入公式即可解答。 【规范解答】20×16×7＝2240（立方厘米） 16×10＝160（平方厘米） 2240÷160＝14（厘米） 答：如果把这个容器竖起来放，水的高度是14厘米。 23．（本题5分）（24-25六年级上·江苏苏州·期中）有一个长10厘米，宽5厘米，高8厘米的长方体容器中有3厘米深的水，将一个棱长2厘米的正方体铁块放入长方体容器中，水面上升多少厘米？ 【答案】0.16厘米 【易错思路指引】上升的水的体积等于正方体铁块的体积，根据求出正方体的体积，即上升的水的体积，上升的水可看成长方体的形状，已知它的体积和长10厘米，宽5厘米，求高，可根据长方体体积公式的逆运算，长方体的高＝体积÷长÷宽。代入数据计算即可。 【规范解答】 （厘米） 答：水面上升0.16厘米。 24．（本题5分）（23-24六年级下·江苏·课后作业）一个长方体游泳池，长100米，宽50米。如果每分钟往里面注入5立方米水，要使游泳池的水深1.2米，需要注水多长时间？ 【答案】1200分钟 【易错思路指引】注入水池的水形成一个长方体，水的体积＝水池底面积×水位高度＝长×宽×水位高度，代入数据计算即可，再求水的体积里有多少个5立方米，即需要多少分钟，用水的体积÷5即可。 【规范解答】100×50×1.2÷5 ＝6000÷5 ＝1200（分钟） 答：需要注水1200分钟。 25．（本题6分）（24-25六年级上·安徽合肥·期中）有一个棱长5分米的正方体玻璃鱼缸。在这个鱼缸中放入一块高32厘米，体积是5.6立方分米的假山石。至少需要注入多少升水才能将假山石完全浸没？ 【答案】74.4升 【易错思路指引】根据题意可知，因为假山石的高是32厘米，当鱼缸内水面高度是32厘米时，能把假山石淹没，因此只要求出鱼缸内32厘米高的水的体积，再减去假山石的体积即可求出至少需要注入水的体积，最后根据1立方分米＝1升，把立方分米化成升即可。 【规范解答】32厘米＝3.2分米 5×5×3.2－5.6 ＝25×3.2－5.6 ＝80－5.6 ＝74.4（立方分米） 74.4立方分米＝74.4升 答：至少需要注入74.4升水才能将假山石完全浸没。 26．（本题6分）（23-24六年级上·海南海口·期中）李叔叔要邮寄一箱水果。包装箱是一个长方体，长是5分米，宽是3分米，高是2分米。包装箱使用编制绳在三个方向上加固（如图）。每圈用一根编织绳。接头处重叠0.5分米进行封圈和加固。打包这样一箱水果需要编织绳多少分米？ 【答案】 41.5分米 【易错思路指引】由题意可知，编织绳有三圈，每一圈就有一个接头，即有3个接头，因此需要编织绳的长度就是这个长方形的棱长总和加3个0.5分米，根据，代入数据计算即可。 【规范解答】 （分米） 答：打包这样一箱水果需要编织绳41.5分米。 27．（本题6分）（23-24六年级上·江苏连云港·期中）一个足够高的长方体容器中装有水，小明将一个棱长厘米的正方体铁块完全浸没在水中（水没有溢出），水面上升了厘米；再将一个长厘米、宽厘米、高厘米的长方体铁块也完全浸没在水中（水仍没有溢出），水面又会上升多少厘米？ 【答案】2.4厘米 【易错思路指引】根据正方体的体积棱长棱长棱长可知正方体铁块的体积，再利用长方体的体积公式底面积高可知长方体容器的底面积为(平方厘米)，再利用 长方体的体积长宽高可知长方体铁块的体积，最后利用长方体的体积底面积解答即可。 【规范解答】（平方厘米） （厘米） 答：水面又会上升厘米。 【考点再现】本题考查了长方体的体积公式，正方体的体积公式，熟记长方体和正方体的体积公式是解题的关键。 28．（本题6分）（20-21六年级上·河南平顶山·期末）有一个花坛，高0.5米，底面是边长2.4米的正方形，四周用砖砌成砖墙，砖墙厚度0.4米，中间填满泥土。 （1）这个花坛所占的空间有多大？ （2）花坛里大约有泥土多少立方米？ （3）在砖墙的外面和上面贴上瓷片，贴瓷片的面积是多少平方米？ 【答案】（1）2.88立方米 （2）1.28立方米 （3）8平方米 【易错思路指引】（1）花坛是一个长方体，长方体的体积＝长×宽×高，据此解答。 （2）求泥土的体积就是求花坛的容积。要求出从里面测量的长、宽和高，再根据体积公式计算。 （3）贴瓷片的面积包括花坛的4个侧面和砖墙的上面。花坛的4个侧面是面积相等的长方形，根据长方形的面积＝长×宽即可求出1个侧面面积，再乘4求出4个侧面面积；用花坛的占地面积减去里面泥土的占地面积即是砖墙的上面面积，根据正方形的面积＝边长×边长分别求出花坛的占地面积和里面泥土的占地面积，再把它们相减。最后把花坛的4个侧面面积和砖墙的上面面积加起来即可。 【规范解答】（1）2.4×2.4×0.5＝2.88（立方米） 答：这个花坛所占的空间有2.88立方米。 （2）2.4－0.4－0.4＝1.6（米） 1.6×1.6×0.5＝1.28（立方米） 答：花坛里大约有泥土1.28立方米。 （3）2.4×0.5×4＝4.8（平方米） 2.4×2.4－1.6×1.6 ＝5.76－2.56 ＝3.2（平方米） 4.8＋3.2＝8（平方米） 答：贴瓷片的面积是8平方米。 【考点再现】求花坛的容积时，要用花坛的长和宽分别减去两个砖墙厚度求出内部长方体的长和宽。求贴瓷片的面积时，求出砖墙上面的面积是解题的关键。 29．（本题6分）（19-20六年级上·江苏南京·期末）学校有一个容积为240立方分米的装物箱（有盖），现在用它装一种体积为8立方分米的正方体教具。一共可以装多少个？小红是这样计算的：（个）小红这样算你赞同吗？举例说明你的观点。 【答案】见详解 【易错思路指引】装物箱的容积为240立方分米，是一个长方体。装物箱的长、宽、高不确定，就不能确定装教具时有没有空隙，所以小红这样算不严密，需要分两种情况进行计算。 【规范解答】小红这样算我不赞同，因为装物箱的长、宽、高不确定，即不能确定装教具时有没有空隙，所以不能这样计算。正方体体积＝棱长×棱长×棱长，8＝2×2×2，即正方体教具棱长为2分米。如果长方体的长、宽、高都是正方体棱长的倍数，则装教具时没有空隙，如长方体长10分米，宽6分米，高4分米，则可以装教具：（10÷2）×（6÷2）×（4÷2）＝30（个）；如果长方体的长、宽、高不都是正方体棱长的倍数，则装教具时有空隙，如长方体长15分米，宽4分米，高4分米，则可以装教具：（15÷2）×（4÷2）×（4÷2）≈28（个）。 【考点再现】本题考查长方体和正方体体积的应用，不能简单地直接计算长方体体积里面有几个正方体体积，而要根据实际情况，看长方体的长、宽、高各是正方体棱长的几倍，把三个倍数关系相乘即算出能装几个。 30．（本题6分）（16-17六年级上·江苏·单元测试）一种礼品盒长5厘米，宽4厘米，高3厘米．乐乐想把这样的四个礼品盒包装成一个长方体．请算一算：怎样包装才能最省包装纸？最少需要多少平方厘米的包装纸？ 【答案】由此先把四个礼品盒2盒分成1组，两个礼品盒的最大面4×5面相粘合，再把两个长方体拼组后得到最大面（3+3）×5面相粘合，这样拼组后的长方体比原来四个长方体答表面积之和减少的表面积最多，所以得到的大长方体的表面积最小，最能节省包装纸； 236平方厘米 【规范解答】试题分析：要想使包装纸最省，那么只要把礼品盒的最大面相粘合，使它们粘合在一起后的表面积减少的最多即可：由此先把四个礼品盒2盒分成1组，两个礼品盒的最大面4×5面相粘合，再把两个长方体拼组后得到最大面（3+3）×5面相粘合，这样拼组后的长方体比原来四个长方体答表面积之和减少的表面积最多，所以得到的大长方体的表面积最小，最能节省包装纸，由此再利用长方体的表面积公式即可解答． 解：根据题干分析可得，按照上面图示进行包装最能节省包装纸，最少需要的包装纸是： 4+4=8（厘米） 3+3=6（厘米） （8×6+5×8+5×6）×2 =（48+40+30）×2 =118×2 =236（平方厘米） 答：最少需要包装纸236平方厘米． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01长方体和正方体 【原卷版】 易错点拨01：:长方体和正方体的认识 1. 特征理解错误 长方体一般是由6个长方形围成的立体图形，但特殊情况有两个相对的面是正方形。部分同学可能会忽略这种特殊情况，认为长方体的6个面一定都是长方形。 对于长方体和正方体棱的特征，长方体相对的棱长度相等，正方体12条棱长度都相等。有些学生可能会混淆，比如在描述长方体棱的关系时出错。 2. 长、宽、高概念混淆：相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。学生可能对长、宽、高的定义理解不深刻，在实际题目中不能准确判断长、宽、高对应的棱，导致后续计算错误。 3. 展开图判断失误：判断一个展开图能否折成正方体或长方体时，容易出错。正方体展开图不能出现“田”字格，且相对面不相连。学生可能难以准确找出展开图中的相对面，也可能误将不符合要求的展开图判断为可以折成正方体或长方体。 易错点拨02：长方体和正方体的棱长计算 1. 棱长总和公式运用错误 长方体的棱长总和 =（长 + 宽 + 高）× 4，正方体的棱长总和 = 棱长×12。学生在使用公式时，可能会记错公式，或者在已知棱长总和求长、宽、高或棱长时，不能正确进行公式变形计算。例如，已知长方体棱长总和求长，应该用棱长总和÷4 - 宽 - 高，但有些学生可能会出现计算步骤错误。 2. 切割、拼接后棱长变化问题：长方体切一刀分为两个小长方体时，相比之前会增加2个面，每个面4条边；多个正方体或长方体拼接时，棱的数量会减少。学生在解决这类问题时，可能不能准确分析切割或拼接后棱的数量变化情况，导致计算错误。 易错点拨03：长方体和正方体的表面积 1. 表面积概念不清：长方体或正方体6个面的总面积叫做它们的表面积。部分学生可能对表面积的概念理解不透彻，在计算时可能会少算或多算面的面积。 2. 实际问题中面的数量判断错误;在解决实际问题时，要根据具体情况确定需要计算几个面的面积。例如，油箱、罐头盒等有6个面；水池、无盖鱼缸等有5个面；通风管、水管、烟囱等有4个面。学生可能不考虑实际情况，一律按照6个面来计算，导致结果错误。 3. 拼接、切割后表面积变化问题；多个长方体或正方体拼接时，表面积会减少拼接面的面积；切割时，表面积会增加切割面的面积。学生在解决这类问题时，可能不能准确找出拼接面或切割面，从而无法正确计算表面积的变化量。 易错点拨04：体积和容积的意义 1. 体积和容积概念混淆;体积是指物体所占空间的大小，容积是指容器所能容纳物体的体积。学生可能不能清晰区分这两个概念，在描述问题或进行相关计算时出现错误。 2. 单位使用错误；体积单位有立方米、立方分米、立方厘米等，容积单位一般用升和毫升，1升 = 1立方分米，1毫升 = 1立方厘米。学生在填写单位时，可能会出现混淆，比如将体积单位用于描述容积，或者反之。 易错点拨05：长方体和正方体的体积计算 1. 体积公式运用错误;长方体的体积 = 长×宽×高，正方体的体积 = 棱长×棱长×棱长。学生可能会记错公式，或者在计算时出现数据代入错误的情况。 2. 不规则物体体积计算困难；对于一些不规则物体的体积，通常采用排水法等方法来计算。学生可能不能理解排水法的原理，在实际操作或计算时出现问题。例如，不能准确测量放入物体前后水的体积变化，从而无法计算出不规则物体的体积。 试题满分：100分 检测时间：90分钟 难度系数：0.45（较难） 一、选择题：本题共10小题，每小题1分，共10分． 1．（本题2分）（2025六年级上·全国·专题练习）小宇、小恒、乐乐、园园都用边长为12dm的正方形纸板做成了无盖的长方体（或正方体）纸盒。如图，4人都是先剪掉四个角上的小正方形，再折起来。（    ）做的纸盒容积最大。（纸板厚度忽略不计，单位：dm） A．小宇 B．小恒 C．乐乐 D．园园 2．（本题2分）（24-25五年级下·江苏·假期作业）图形是由7个棱长1厘米的正方体拼成的，它的表面积是（    ）平方厘米。 A．21 B．24 C．7 3．（本题2分）（24-25五年级下·江苏·假期作业）下面说法中正确的有（    ）个。 ①钢笔吸一次墨水，能吸1~2毫升。 ②体积单位比面积单位和长度单位都大。 ③体积大的容器，容积一定大。 ④1立方厘米和1毫升的大小相等。 A．1 B．2 C．3 4．（本题2分）（24-25五年级下·安徽六安·期末）把两块长8米，宽5米，厚4米的长方体木块拼成一个长方体，这个长方体表面积最大是（    ）。 A．328平方米 B．288平方米 C．232平方米 5．（本题2分）（21-22六年级上·江苏·单元测试）下图是一个棱长4厘米的正方体，在正方体上面正中向下挖一个棱长是2厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中再向下挖一个棱长是1厘米正方体小洞，最后得到的立方体图形的表面积是（    ）平方厘米。 A．96 B．116 C．128 D．132 2、 判断题：本题共5小题，每小题2分，共10分． 6．（本题2分）（2022六年级上·江苏·专题练习）把表面积都为6m2的两个正方体拼成个长方体，这个长方体的表面积为12m2。( ) 7．（本题2分）（2022六年级上·江苏·专题练习）折叠后不可能围成正方体。( ) 8．（本题2分）（21-22六年级上·江苏盐城·期末）一盒果汁的包装盒上标注“净含量600m1”，从外面量，长方体包装盒的长是10厘米，宽4厘米，高15厘米，这个标注是真实的。( ) 9．（本题2分）（21-22六年级上·江苏·阶段练习）把两个表面积为12平方分米的完全一样的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积为24平方分米。( ) 10．（本题2分）（18-19六年级上·江苏·单元测试）任何一个正方体，切成两个同样的长方体后，表面积都增加 ．    ( ) 三、填空题：本题共8小题，每空1分，共16分． 11．（本题1分）（2025六年级下·全国·专题练习）正方体的6个面上分别写着、、、、、，那么与相对的字母是( )。 12．（本题2分）（2025六年级下·全国·专题练习）一个长方体玻璃容器，从里面量长5分米，宽3分米，高7分米。向这个容器注水，容器中的水所形成的长方体第一次出现一组相对的面是正方形时，水的体积是( )立方分米；当容器中的水所形成的长方体第二次出现一组相对的面是正方形时，水接触长方体玻璃容器的面积是( )平方分米。 13．（本题4分）（24-25六年级上·江苏宿迁·期末）在括号里填上合适的数字。 5升＝( )立方厘米              500立方分米＝( )立方米 500平方分米＝( )平方米        50毫升＝( )立方分米 14．（本题2分）（24-25六年级上·江苏·假期作业）一个长方体长8分米，宽5分米，高3分米，它的表面积是( )平方分米。如果高减少2分米，表面积减少( )平方分米。 15．（本题1分）（24-25六年级上·江苏苏州·期中）根据下面长方体的表面展开图，长方体的表面积是( )平方厘米。 16．（本题2分）（23-24六年级上·江苏徐州·期中）如图，一个长方体蛋糕盒，底面是边长30厘米的正方形，高25厘米。做这样一个蛋糕盒至少需要( )平方分米硬纸板；如果用彩带把这个礼品盒捆扎起来，打结处长20厘米，那么一共需要( )分米的彩带。 17．（本题3分）（23-24六年级上·江苏盐城·期中）先观察、分析下面各组立体图形的摆放情况，再填空。（每个小正方体的棱长为1厘米） 摆3层时，用了( )个小正方体，摆成的立体图形的表面积是( )平方厘米；摆6层时，用了( )个小正方体，摆成的立体图形的表面积是( )平方厘米。 18．（本题1分）（19-20六年级上·江苏南京·期末）图（1）中，深30厘米的长方体水箱装满水放在平台上（不考虑水箱壁厚），当水箱如图（2）这样倾斜到的长度是8厘米后，再把水箱放平如图（3），这时水箱中水的深度是( )厘米。 四、看图列式计算：本题共2小题，共8分． 19．（本题4分）（22-23六年级上·山西临汾·期末）求立体图形的表面积和体积。 20．（本题4分）（19-20六年级上·江苏·期末）下图是一个长方体的表面展开图,求这个长方体的表面积和体积。 五、应用题（本题共10小题，共56分） 21．（本题5分）（24-25五年级下·江苏·假期作业）天天用下面的铁皮制作了一个无盖水箱。（单位：厘米） （1）这个水箱的占地面积是多少平方米？ （2）制作这个水箱用了多少平方米铁皮？ （3）现有50升水，这个水箱能盛下吗？ 22．（本题5分）（24-25五年级下·江苏·假期作业）一个完全封闭的长方体容积，里面的长是20厘米，宽是16厘米，高是10厘米，平放时水面高7厘米（左图），如果把这个容器竖起来放（如图），水的高度会是多少厘米？（单位：厘米） 23． （本题5分）（24-25六年级上·江苏苏州·期中）有一个长10厘米，宽5厘米，高8厘米的长方体容器中有3厘米深的水，将一个棱长2厘米的正方体铁块放入长方体容器中，水面上升多少厘米？ 24．（本题5分）（23-24六年级下·江苏·课后作业）一个长方体游泳池，长100米，宽50米。如果每分钟往里面注入5立方米水，要使游泳池的水深1.2米，需要注水多长时间？ 25．（本题6分）（24-25六年级上·安徽合肥·期中）有一个棱长5分米的正方体玻璃鱼缸。在这个鱼缸中放入一块高32厘米，体积是5.6立方分米的假山石。至少需要注入多少升水才能将假山石完全浸没？ 26．（本题6分）（23-24六年级上·海南海口·期中）李叔叔要邮寄一箱水果。包装箱是一个长方体，长是5分米，宽是3分米，高是2分米。包装箱使用编制绳在三个方向上加固（如图）。每圈用一根编织绳。接头处重叠0.5分米进行封圈和加固。打包这样一箱水果需要编织绳多少分米？ 27．（本题6分）（23-24六年级上·江苏连云港·期中）一个足够高的长方体容器中装有水，小明将一个棱长厘米的正方体铁块完全浸没在水中（水没有溢出），水面上升了厘米；再将一个长厘米、宽厘米、高厘米的长方体铁块也完全浸没在水中（水仍没有溢出），水面又会上升多少厘米？ 28．（本题6分）（20-21六年级上·河南平顶山·期末）有一个花坛，高0.5米，底面是边长2.4米的正方形，四周用砖砌成砖墙，砖墙厚度0.4米，中间填满泥土。 （1）这个花坛所占的空间有多大？ （2）花坛里大约有泥土多少立方米？ （3）在砖墙的外面和上面贴上瓷片，贴瓷片的面积是多少平方米？ 29．（本题6分）学校有一个容积为240立方分米的装物箱（有盖），现在用它装一种体积为8立方分米的正方体教具。一共可以装多少个？小红是这样计算的：（个）小红这样算你赞同吗？举例说明你的观点。 30．（本题6分）一种礼品盒长5厘米，宽4厘米，高3厘米．乐乐想把这样的四个礼品盒包装成一个长方体．请算一算：怎样包装才能最省包装纸？最少需要多少平方厘米的包装纸？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $