精品解析：2025--2026学年人教版九年级数学上册期中综合练习试题

九年级数学上学期期中综合练习题2025—2026学年度人教版（第21—23章） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 在下列四款国产汽车的车标图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程 的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 3. 若方程的两根为和，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 9 4. 为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了300个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，请列出方程（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线向右平移3个单位长度得到的抛物线对应的函数关系式为（　　） A. B. C. D. 6. 河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y=﹣x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（ ） A. ﹣20m B. 10m C. 20m D. ﹣10m 7. 关于二次函数，下列说法中正确的是（ ） A. 图象开口向上 B. 图象对称轴是直线 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 函数的最大值为3 8. 如图，△ABC绕着点O逆时针旋转转到△DEF的位置，则旋转中心及旋转角分别是(　　) A. 点B， B. 点O， C. 点B， D. 点O， 9. 如图，在等腰直角三角形中，，一个三角尺的直角顶点与边的中点重合，且两条直角边分别经过点和点，将三角尺绕点按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与，分别交于点，时，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，且，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 把方程配方，化为的形式为________． 12. 设x1，x2是方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根．若x1+x2＝3，则x1x2＝_____． 13. 如图是二次函数图像的一部分，该图在y轴右侧与x轴交点的坐标是______ 14. 二次函数的图象如图，对称轴为直线．若关于x的一元二次方程（b，t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是_________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，将绕点A 按顺时针方向旋转到的位置，点 B、O分别落在点、处，点在x轴上．再将绕点按顺时针方向旋转到的位置，点在x轴上．将绕点按顺时针方向旋转到 的位置，点 在x轴上，依次进行下去……， 若点A，B，则点的横坐标为____________． 三、解答题：本题共9小题，共75分． 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2． （1）求m的取值范围． （2）若2（x1+x2）+ x1x2+10=0．求m的值. 18. 已知二次函数． （1）直接写出二次函数图象的顶点坐标、对称轴及开口方向； （2）请在所给的坐标系中画出此二次函数的图象． 19. 如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场一边靠墙，墙对面有一个米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长米，围成的长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙． （1）若墙长为米，要围成的鸡场的面积为平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？ （2）围成的鸡场的面积可能达到平方米吗？ （3）若墙长为米，对建平方米面积鸡场有何影响？ 20. 某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额（万元）与销售量x（吨）的函数解析式为；成本（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点． （1）求出成本关于销售量x的函数解析式； （2）当成本最低时，销售产品所获利润是多少？ （3）当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？（注：利润=销售额成本） 21. 如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接交抛物线的对称轴于点，是抛物线的顶点． （1）求此抛物线的解析式； （2）直接写出点和点的坐标； （3）若点在第一象限内的抛物线上，且，求点坐标． 22. 已知：如图，三角形ABM与三角形ACM关于直线AF成轴对称，三角形ABE与三角形DCE关于点E成中心对称，点E、D、M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P． （1）求证：AC=CD； （2）若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD数量关系，并说明理由． 23. 综合与实践 问题情境： 如图①，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接． 猜想证明： （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明； 解决问题： （3）如图①，若，，请直接写出的长． 24. 如图甲，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P． （1）求该抛物线的解析式； （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE面积有最大值（图乙、丙供画图探究）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上学期期中综合练习题2025—2026学年度人教版（第21—23章） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 在下列四款国产汽车的车标图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形的概念即可判断 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，故不符合题意； B、该图形是中心对称图形，故符合题意； C、该图形不是中心对称图形，故不符合题意； D、该图形不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 2. 一元二次方程 的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．求出根的判别式即可解答． 【详解】解：∵， ∴方程无实数根． 故选C． 3. 若方程的两根为和，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系：设一元二次方程的两个根为、，则，．据此求解即可． 据此 【详解】解：∵方程的两根为和， ∴，， ∴ ， 故选：A． 4. 为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了300个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，请列出方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；因此此题可根据增长率问题进行求解． 【详解】解：由题意可列方程为； 故选C． 5. 抛物线向右平移3个单位长度得到的抛物线对应的函数关系式为（　　） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：抛物线向右平移3个单位长度得到的抛物线对应的函数关系式为， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键． 6. 河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y=﹣x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（ ） A. ﹣20m B. 10m C. 20m D. ﹣10m 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据题意，把y=﹣4直接代入解析式y=﹣x2 解得x=±10， 所以A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4）， 即可得水面宽度AB为20m． 故选C. 【点睛】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用． 7. 关于二次函数，下列说法中正确的是（ ） A. 图象开口向上 B. 图象的对称轴是直线 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 函数的最大值为3 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质即可进行判断． 【详解】解：， 抛物线开口向下，故A错误； ， 抛物线的对称轴为直线，故B错误； 当时，函数值随自变量的增大而减小，故C正确； ， 函数有最大值4，故D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟知二次函数的性质是解题的关键． 8. 如图，△ABC绕着点O逆时针旋转转到△DEF的位置，则旋转中心及旋转角分别是(　　) A. 点B， B. 点O， C. 点B， D. 点O， 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转的定义和性质可知，两组对应点连线的交点是旋转中心，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即可得出答案． 【详解】解：由题给图形得：△ABC绕着点O逆时针旋转到△DEF的位置，则旋转中心及旋转角分别是点O和∠AOD． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转，旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合． 9. 如图，在等腰直角三角形中，，一个三角尺的直角顶点与边的中点重合，且两条直角边分别经过点和点，将三角尺绕点按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与，分别交于点，时，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接AO，易证△EOA≌△FOC（ASA），利用全等三角形的性质可得出EA=FC，进而可得出AE+AF=AC，选项A正确；由三角形内角和定理结合∠B+∠C=90°，∠EOB+∠FOC=90°可得出∠BEO+∠OFC=180°，选项B正确；由△EOA≌△FOC可得出S△EOA=S△FOC，结合图形可得出S四边形AEOF=S△EOA+S△AOF=S△FOC+S△AOF=S△AOC=S△ABC，选项D正确．综上，此题得解． 【详解】连接AO，如图所示． ∵△ABC为等腰直角三角形，点O为BC的中点， ∴OA=OC，∠AOC=90°，∠BAO=∠ACO=45°． ∵∠EOA+∠AOF=∠EOF=90°，∠AOF+∠FOC=∠AOC=90°， ∴∠EOA=∠FOC． 在△EOA和△FOC中， ， ∴△EOA≌△FOC（ASA）， ∴EA=FC， ∴AE+AF=AF+FC=AC，选项A正确； ∵∠B+∠BEO+∠EOB=∠FOC+∠C+∠OFC=180°，∠B+∠C=90°，∠EOB+∠FOC=180°-∠EOF=90°， ∴∠BEO+∠OFC=180°，选项B正确； ∵△EOA≌△FOC， ∴S△EOA=S△FOC， ∴S四边形AEOF=S△EOA+S△AOF=S△FOC+S△AOF=S△AOC=S△ABC，选项D正确． 故选C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰直角三角形以及三角形内角和定理，逐一分析四个选项的正误是解题的关键． 10. 如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，且，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（ ） A 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象和性质及判别式和根的关系是解题的关键． 根据二次项系数a判定开口方向和大小，一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，常数项c决定抛物线与y轴的交点，抛物线与x轴的交点个数有判别式决定，由以上进行判断即可． 【详解】解：由抛物线图象可知：抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴的交点在y轴的正半轴上， ，对称轴为，即，， ，故①正确； 抛物线与x轴有两个交点， ， ，故②错误； ， 点A的坐标为，代入解析式得， ∵，等式两边同时除以得，故③正确； 设，， 二次函数的图象与x轴交于A，B两点， 和是方程的两根， ， ， ，故④正确； 综上所述：正确的有①③④，共3个， 故选：B． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 把方程配方，化为的形式为________． 【答案】 【解析】 【分析】先把常数项－6移到等号的右边，再把二次项系数化为1，最后在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，然后配方即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴一元二次方程2x2－x－6＝0化为的形式是：． 答案为：． 【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 12. 设x1，x2是方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根．若x1+x2＝3，则x1x2＝_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，根据已知可得，进而即可求解． 【详解】解：∵x1，x2是方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根， ∴，， ∵x1+x2＝3， ∴， ∴， 故答案为：2. 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，． 13. 如图是二次函数图像的一部分，该图在y轴右侧与x轴交点的坐标是______ 【答案】（1，0） 【解析】 【分析】根据抛物线的对称性，进行求解即可． 【详解】由可知对称轴，根据对称性， 图象在对称轴左侧与轴交点为， 所以该图在对称轴右侧与轴交点坐标是． 故答案为：（1，0） 【点睛】本题考查抛物线的对称性，解题的关键是熟练掌握抛物线上的点关于抛物线对称． 14. 二次函数的图象如图，对称轴为直线．若关于x的一元二次方程（b，t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像与性质，数形结合是解决问题的关键．根据二次函数的对称轴为直线，可知，由关于的一元二次方程：（为实数）在的范围内有解，得到在范围内，函数与有交点，从而得到的取值范围． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ，即二次函数， 当时，； 当时，； 当时，； 关于的一元二次方程：（为实数）在的范围内有解， 在范围内，函数与有交点，如图所示： ， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，将绕点A 按顺时针方向旋转到的位置，点 B、O分别落在点、处，点在x轴上．再将绕点按顺时针方向旋转到的位置，点在x轴上．将绕点按顺时针方向旋转到 的位置，点 在x轴上，依次进行下去……， 若点A，B，则点的横坐标为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形的变换，勾股定理． 根据图形和旋转规律得出点的坐标变换规律，结合三角形的周长得出结论即可． 【详解】解：在 中，，， ∴， ∴的周长为：， 由题意及旋转的规律可知： 当n为偶数时，在最高点；当n为奇数时，在x轴上， 横坐标规律为：当n为奇数时，横坐标为：； 当n为偶数时，横坐标为：； ∵9是奇数， ∴点的横坐标为：． 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共75分． 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）首先将方程展开，然后合并同类项，最后使用因式分解或求根公式求解． （2）先将方程展开并整理成标准形式，然后尝试因式分解或使用求根公式求解． 本题主要考查了一元二次方程的解法，包括方程的展开、整理、因式分解以及求根公式的应用．熟练掌握一元二次方程的解法和求根公式的使用是解题的关键． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴； 【小问2详解】 解： 整理得 ∴， ∴ ， ． 17. 关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2． （1）求m的取值范围． （2）若2（x1+x2）+ x1x2+10=0．求m的值. 【答案】（1）m≤．　 （2）m=-3 【解析】 【分析】（1）方程有两个实数根，必须满足△=b2﹣4ac≥0，从而求出实数m的取值范围； （2）先由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=3，x1x2=m-1．再代入等式2（x1+x2）+ x1x2+10=0，即可求得m的值． 【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2．∴　　⊿≥0． 　　即　32-4（m-1）≥0，解得,m≤．　 （2）由已知可得　x1+x2=3　　 x1x2=m-1 　 又2（x1+x2）+ x1x2+10=0 ∴2×（-3）+m-1+10=0　　∴m=-3 18. 已知二次函数． （1）直接写出二次函数图象的顶点坐标、对称轴及开口方向； （2）请在所给的坐标系中画出此二次函数的图象． 【答案】（1）顶点坐标为，对称轴为直线，开口向上 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象，掌握相关知识是解决问题的关键。 （1）把函数表示为顶点式即可解答； （2）利用列表，描点，连线画出函数图象即可。 【小问1详解】 解：， 顶点坐标为，对称轴为直线，开口向上； 【小问2详解】 解：列表如下： 0 2 4 6 0 0 图象如下： 19. 如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长米，围成的长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙． （1）若墙长为米，要围成的鸡场的面积为平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？ （2）围成的鸡场的面积可能达到平方米吗？ （3）若墙长为米，对建平方米面积的鸡场有何影响？ 【答案】（1）鸡场的长为米，宽为米 （2）鸡场面积不可能达到平方米，见解析 （3）当时，不能围成一个长方形养鸡场；当时，可以围成一个长方形养鸡场；当时，可以围成两个长宽不同的长方形养鸡场 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找到等量关系列出方程是解决问题的关键． （1）先设养鸡场的宽为，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，求出的值即可，注意要符合题意； （2）先设养鸡场的宽为，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，判断出的值，即可得出答案； （3）根据实际问题当时，当时，当时，三种情况进行讨论，得出符合条件的值即可． 【小问1详解】 解：设养鸡场的宽为，根据题意得： ， 解得：，， 当时，， 当时，，（舍去）， 则养鸡场的宽是，长为； 【小问2详解】 解：设养鸡场的宽为，根据题意得： ， 整理得：， ， ∵方程没有实数根， ∴围成养鸡场的面积不能达到； 【小问3详解】 解：当时，不能围成一个长方形养鸡场； 当时，可以围成一个长方形养鸡场； 当时，可以围成两个长宽不同的长方形养鸡场． 20. 某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额（万元）与销售量x（吨）的函数解析式为；成本（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点． （1）求出成本关于销售量x的函数解析式； （2）当成本最低时，销售产品所获利润是多少？ （3）当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？（注：利润=销售额成本） 【答案】（1） （2）销售产品所获利润是万元； （3）当销售量吨时，获得最大利润，最大利润为：万元； 【解析】 【分析】（1）设抛物线为：，再利用待定系数法求解即可； （2）先求解当时，成本的最小值为，再计算销售额，从而可得答案； （3）设销售利润为万元，可得，再利用二次函数的性质解题即可； 【小问1详解】 解：∵成本（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点． ∴设抛物线为：， 把代入可得：， 解得：， ∴抛物线为； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，成本最小值为， ∴， ∴销售产品所获利润是（万元）； 【小问3详解】 解：设销售利润为万元， ∴ ， 当时，获得最大利润， 最大利润为：（万元）； 【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，一次函数的应用，二次函数的性质，待定系数法的含义，熟练的建立二次函数的关系式是解本题的关键． 21. 如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接交抛物线的对称轴于点，是抛物线的顶点． （1）求此抛物线的解析式； （2）直接写出点和点的坐标； （3）若点在第一象限内的抛物线上，且，求点坐标． 【答案】（1）； （2），； （3）． 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数解析式求图象与交点坐标，顶点坐标即可， （3）设点坐标，然后根据数量关系列一元二次方程，求解即可． 【小问1详解】 解：由点和点得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 由（1）得：， 当时，， ∴点， 由， ∴顶点； 【小问3详解】 设， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：（不合题意，舍去），， ∴点． 【点睛】此题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及其性质的应用． 22. 已知：如图，三角形ABM与三角形ACM关于直线AF成轴对称，三角形ABE与三角形DCE关于点E成中心对称，点E、D、M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P． （1）求证：AC=CD； （2）若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由． 【答案】见解析 【解析】 【分析】（1）利用中心对称图形的性质以及轴对称图形的性质得出全等三角形进而得出对应线段相等； （2）利用（1）中所求，进而得出对应角相等，进而得出答案． 【详解】(1)证明：∵△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称， ∴△ABM≌△ACM， ∴AB=AC， 又∵△ABE与△DCE关于点E成中心对称， ∴△ABE≌△DCE， ∴AB=CD， ∴AC=CD； (2)∠F=∠MCD. 理由：由(1)可得∠BAE=∠CAE=∠CDE，∠CMA=∠BMA， ∵∠BAC=2∠MPC，∠BMA=∠PMF， ∴设∠MPC=α，则∠BAE=∠CAE=∠CDE=α， 设∠BMA=β，则∠PMF=∠CMA=β， ∴∠F=∠CPM−∠PMF=α−β， ∠MCD=∠CDE−∠DMC=α−β， ∴∠F=∠MCD. 【点睛】本题主要考查轴对称、中心对称性质和全等三角形的判定及性质.通过轴对称与中心对称的性质得出全等三角形的判定条件是解题的关键. 23. 综合与实践 问题情境： 如图①，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接． 猜想证明： （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明； 解决问题： （3）如图①，若，，请直接写出的长． 【答案】（1）四边形是正方形，理由详见解析；（2），证明详见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）由旋转可知：，,再说明可得四边形是矩形，再结合即可证明； （2）过点作，垂足为，先根据等腰三角形的性质得到，再证可得，再结合、即可解答； （3）过E作EG⊥AD，先说明∠1=∠2，再设EF=x、则BE=FE＇=EF=BE＇=x、CE＇=AE=3+x，再在Rt△AEB中运用勾股定理求得x，进一步求得BE和AE的长，然后运用三角函数和线段的和差求得DG和EG的长，最后在Rt△DEG中运用勾股定理解答即可． 【详解】解：（1）四边形是正方形 理由：由旋转可知：，， 又， 四边形是矩形． ∵． 四边形正方形； （2）． 证明：如图，过点作，垂足为， 则， ． 四边形是正方形， ，． ， ． ． ∵， ； （3）如图：过E作EG⊥AD ∴GE//AB ∴∠1=∠2 设EF=x，则BE=FE＇=EF=BE＇=x，CE＇=AE=3+x 在Rt△AEB中，BE=x，AE=x+3，AB=15 ∴AB2=BE2+AE2，即152=x2+（x+3）2，解得x=-12（舍），x=9 ∴BE=9,AE=12 ∴sin∠1= ,cos∠1= ∴sin∠2= ,cos∠2= ∴AG=7.2,GE=9.6 ∴DG=15-7.2=7.8 ∴DE=． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转变换、勾股定理、解三角形等知识，综合应用所学知识是解答本题的关键． 24. 如图甲，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P． （1）求该抛物线的解析式； （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）． 【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）E点坐标为（， ）时，△CBE的面积最大． 【解析】 【分析】（1）由直线解析式可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）由抛物线解析式可求得P点坐标及对称轴，可设出M点坐标，表示出MC、MP和PC的长，分MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，可分别得到关于M点坐标的方程，可求得M点的坐标； （3）过E作EF⊥x轴，交直线BC于点F，交x轴于点D，可设出E点坐标，表示出F点的坐标，表示出EF的长，进一步可表示出△CBE的面积，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的坐标． 【详解】（1）∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C， ∴B（3，0），C（0，3）， 把B、C坐标代入抛物线解析式可得 ，解得， ∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3； （2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1， ∴抛物线对称轴为x=2，P（2，﹣1）， 设M（2，t），且C（0，3）， ∴MC=，MP=|t+1|，PC=， ∵△CPM为等腰三角形， ∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况， ①当MC=MP时，则有=|t+1|，解得t= ，此时M（2，）； ②当MC=PC时，则有=2，解得t=﹣1（与P点重合，舍去）或t=7，此时M（2，7）； ③当MP=PC时，则有|t+1|=2，解得t=﹣1+2或t=﹣1﹣2，此时M（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）； 综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）； （3）如图，过E作EF⊥x轴，交BC于点F，交x轴于点D， 设E（x，x2﹣4x+3），则F（x，﹣x+3）， ∵0＜x＜3， ∴EF=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x， ∴S△CBE=S△EFC+S△EFB=EF•OD+EF•BD=EF•OB=×3（﹣x2+3x）=﹣（x﹣）2+， ∴当x=时，△CBE的面积最大，此时E点坐标为（，）， 即当E点坐标为（，）时，△CBE的面积最大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $