1.3一元二次方程的根与系数的关系课时训练-2025-2026学年数学九年级上册苏科版

1.3一元二次方程的根与系数的关系课时训练-2025-2026学年数学九年级上册苏科版 一、单选题 1．若实数满足，且，则的值为（　　） A． B． C．或 D．或 2．设m，n是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 3．方程的根是，，则的值为（    ） A．2 B． C． D．24 4．嘉嘉在求解关于的一元二次方程时，抄错了值的正负号，解出的一个根为，则下列结论说法正确的是（   ） 结论一：原方程有两个不相等的实数根； 结论二：原方程的两根之和． A．结论一正确、结论二不正确 B．结论一不正确、结论二正确 C．结论一正确、结论二正确 D．结论一不正确、结论二不正确 5．已知一元二次方程的两根为，，则的值为（  ） A．3 B． C．9 D． 6．已知实数a，b满足，，若关于x的一元二次方程．的两个实数根分别为，，则的值为（  ） A． B． C． D． 7．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则（） A．或1 B．1 C．3或 D． 8．已知关于的一元二次方程有一个实数根为，且，则下列说法错误的是（   ） A．当时， B．当，时， C．方程的另一个实数根不可能是 D．方程的另一个实数根有可能是1 9．如果关于的一元二次方程（均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．若一元二次方程（均为常数）为“邻根方程”，下列选项符合满足的数量关系的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 10．关于的方程有一个根是，则方程的另一个根是 ． 11．已知关于的一元二次方程的两实数根为，，则 ． 12．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 13．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则两根之积为 14．若m和n是关于x的一元二次方程的两根，则代数式的值是 ． 15．若关于的两个方程都有实数根，其中为实数，则代数式的最小值等于 ． 16．若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为，则该菱形的边长为 ． 三、解答题 17．已知，是方程的两实数根，求下列各式的值． (1)； (2)． 18．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、． (1)求m的取值范围； (2)当时，求另一个根的值． 19．已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)若，求的值． 20．已知关于的一元二次方程，如果满足，我们就称这个一元二次方程为“和谐方程”． (1)判断方程是否为“和谐方程”，并说明理由． (2)已知关于的“和谐方程”的一个根是，求这个方程的另一个根． 21．已知的一条边的长为5，另两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； (2)当m为何值时，是以为斜边的直角三角形； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《1.3一元二次方程的根与系数的关系课时训练-2025-2026学年数学九年级上册苏科版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 C B C A D A B D C 1．C 【分析】由题意，实数、满足方程且，即、是该方程的两个不同根．利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再利用完全平方公式的变形解答即可． 【详解】解：∵实数满足， ∴实数可以看作是方程的实数根， ∴，， ∴， ∴或． 故选C． 2．B 【分析】本题考查了一元二次方程的根和一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出和是解答本题的关键． 根据m，n是方程的两个实数根，可得，即，根据一元二次方程根与系数的关系可知，将变形为，然后整体代入求解即可． 【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 3．C 【分析】本题考查了根与系数的关系，使用是解决本题的关键． 根据二次方程根与系数的关系直接求解即可． 【详解】解：对于方程，其二次项系数，常数项， 根据二次方程根与系数的关系，两根的乘积为， 因此，的值为． 故选：C． 4．A 【分析】本题考查的是一元二次方程解的含义，根的判别式，根与系数的关系，根据嘉嘉抄错k的正负号后得到错误方程，代入已知根求出错误k值，进而确定原方程的系数，计算判别式判断结论一，利用根与系数关系验证结论二. 【详解】解：嘉嘉抄错后的方程为，代入根得： ， 解得：， 因此，原方程为， ∴，故原方程有两个不相等的实数根，结论一正确； 根据根与系数关系，两根之和为，但结论二写为，符号错误，故结论二不正确； 综上，结论一正确、结论二不正确， 故选A 5．D 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故选：． 6．A 【分析】此题考查了非负数的性质和一元二次方程的根与系数的关系，分式的化简求值，解题的关键是熟悉非负数和的性质和一元二次方程根与系数的关系． 由非负数的性质求出a、b的值，再利用根与系数的关系将所求代数式转化为关于根的和与积的表达式，代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴， 解得， ∴方程为 ∴， ∴ ． 故选：A． 7．B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，解得，，结合根的判别式作答即可． 【详解】解：由根与系数关系可得，， 代入得， 即 解得：， ∵原方程有实数根， ∴， 解得 因此不满足，舍去， 综上，， 故选：B． 8．D 【分析】此题主要 考查了一元二次方程根与系数关系、一元二次方程根的定义等知识．根据已知条件，将根代入方程得到关系式，并结合分析各选项的正确性． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个实数根为， ∴， 即， ∵， ∴与符号相反， 当时，，，即，得到，故选项A正确； 当，时，则，则，即，得到，故选项B正确； 若方程的另一个实数根是，则方程有两个相等的实数根，则，即， 即，则，与已知矛盾， ∴方程的另一个实数根不可能是， 故选项C正确； 若方程的另一个实数根是1，则，即，， ∴，与已知矛盾， 即方程的另一个实数根不可能是1， 故选项D错误，符合题意． 故选：D 9．C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，根据题意，设方程的两个根分别为，利用根与系数的关系建立方程组，消去即可得到满足的数量关系，熟记一元二次方程根与系数关系，理解题中新定义方程概念是解决问题的关键． 【详解】解：设关于的一元二次方程（均为常数，）有两个实数根为， ①，②， 则由①得，将其代入②得， 化简可得， 故选：C． 10． 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根据两根之和等于解答即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． 【详解】解：设方程的另一个根是， 由一元二次方程根和系数的关系得，， ∴， 即方程的另一个根是， 故答案为：． 11．5 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，能熟记知识点的内容是解此题的关键．根据根与系数的关系得出，即可求出答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两实数根为，， ∴， 故答案为：5 12． 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系． 根据一元二次方程的根与系数的关系，可得和的值，代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴， ∴， 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查根据一元二次方程根的情况求参数，一元二次方程根与系数的关系；由有两个相等的实数根，可得，进而根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， ∴两根之积为 故答案为：． 14．1 【分析】本题考查一元二次方程的解、根与系数关系，利用根与系数关系得到，将方程的根m代入方程中得到，再利用整体代入求出答案即可． 【详解】解：∵m和n是关于x的一元二次方程的两根， ∴，，则， ∴， 故答案为：1． 15．3 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，二次根式有意义的条件，配方的应用等知识，根据二次根式有意义的条件得出根据一元二次方程根的判别式得出，则可求出，进而求出，即可求解． 【详解】解∶ 根据题意，得 关于x的两个方程都有实数根， 解得： 当时，取得最小值3． 故答案为∶3． 16． 【分析】本题主要考查了根与系数的关系及菱形的性质，掌握菱形对角线与菱形的面积、边长间的关系，根与系数的关系及等式的变形是解决本题的关键． 设菱形的两条对角线长分别为a、b，利用根与系数的关系及对角线与菱形面积的关系得等式，再根据菱形的边长与对角线的关系求出菱形的边长． 【详解】解：设菱形的两条对角线长分别为a、b， ∵一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵菱形面积为12， ∴， 解得：， ∴菱形的边长为 故答案为：． 17．(1)； (2)． 【分析】本题考查了根与系数的关系； （1）先利用根与系数的关系得到，，利用因式分解法变形得到，然后利用整体代入的方法计算； （2）利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解：，， 原式； （2）解：． ． 18．(1) (2)3 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则；式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根．掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式即可求出答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系即可求出答案． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， ∴的取值范围是； （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ， ， ∴， 另一个根的值是3． 19．(1)； (2)． 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． （1）根据一元二次方程；有两个不相等的实数根，则，列出关于k的不等式求解即可； （2）先由根与系数的关系得到，，再根据得到． 【详解】（1）解：，   ∵原一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴； （2）解：∵，是关于的方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∵， ∴．     ∴． 解得，． 又∵， ∴． 20．(1)是和谐方程，理由见解析 (2) 【分析】（1），先明确方程中、、的值，再将其代入计算，根据结果判断是否为和谐方程． （2）先把已知根代入方程得到一个等式，再结合和谐方程的条件得到另一个等式，联立求解出、的值，进而得到方程，最后求解方程得到另一个根． 本题主要考查了新定义下一元二次方程的相关知识，熟练掌握方程的解的定义以及解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：是和谐方程 理由：∵， ， 故此方程为和谐方程． （2）解：将代入方程，得① ∵方程为和谐方程， ∴， 由①②得， ∴这个和谐方程为， 解得， ∴这个方程的另一个根为 21．(1)见详解 (2) 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，勾股定理： （1）求出判别式的符号，即可得证； （2）根据勾股定理结合根与系数的关系进行求解即可； 【详解】（1）证明：， ； ∴无论为何值，方程总有两个实数根； （2）解：由题意，得：， ∵是以为斜边的直角三角形， ， ， 解得：或（不合题意，舍去）； ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $