1.2一元二次方程的解法课时训练-2025-2026学年数学九年级上册苏科版

1.2一元二次方程的解法课时训练-2025-2026学年数学九年级上册苏科版 一、单选题 1．一元二次方程 的解是（   ） A． B． C．， D．， 2．已知a，b，c分别是三角形的三边长，则关于x的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．可能有且只有一个实数根 D．没有实数根 3．用配方法解方程，配方正确的是（    ）． A． B． C． D． 4．若关于x的方程 有实数根，则k的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 5．如图，在矩形中，，先以顶点B为圆心，以边为半径作弧交对角线于点E，再以顶点D为圆心，以边为半径作弧交对角线于点 F，则方程 的一个正根是（     ）      A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 6．关于的一元二次方程的一个解是0，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D． 7．用公式法解方程时，二次项系数、一次项系数和常数项的值依次是（   ） A．0，， B．1，， C．1，3， D．1，， 8．A，B是数轴上不同的两点，其表示的数分别为，．若，两点到原点的距离相等．则的值为（   ） A．-2 B．0 C．2 D．0或2 二、填空题 9．方程的解为 ． 10．一元二次方程的解是 ． 11．关于x的方程有解，则a的取值范围是 ． 12．等腰三角形的底和腰是方程的两根，则该三角形的周长是 13．定义运算：．例如：．则方程的根的情况为 ． 14．已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则它的另一个根是 ． 15．实数，满足，则的最小值等于 ． 16．在平面直角坐标系中，，，P为y轴上一点，连接，，当，则P点坐标为 ． 三、解答题 17．用适当的方法解方程 (1) (2) 18．解方程： (1) (2)． 19．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程有一个根为2，求该方程的另一个根． 20．如图，A、B为两个海上基地，基地B位于基地A正东方向，一艘海警快艇航行至C处，测得基地A位于其南偏西方向，距离20海里处，基地B位于其东南方向． (1)基地A与基地B相距多少海里？（结果保留一位小数） (2)一艘可疑船只从基地B出发以每小时10海里的速度沿正北方向航行，快艇接到通知（忽略接收信息的时间）马上从C点出发以每小时20海里的速度沿北偏东某方向进行追击，并在D处成功追上可疑船只，求追上可疑船只时快艇追击距离是多少海里？ （参考数据：，，） 21．关于 x 的一元二次方程有实数根． (1)求 k 的取值范围； (2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时 m 的值． 22．阅读下面的材料： 解方程这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，则，∴原方程可化为，解得，当时， ，当时，．∴原方程有四个根是： ， ，，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题． (1)解方程：． (2)已知实数a，b满足，试求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《1.2一元二次方程的解法课时训练-2025-2026学年数学九年级上册苏科版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D C B C A C C 1．D 【分析】本题考查了一元二次方程的因式分解法，正确掌握相关性质内容是解题的关键．方程移项后，运用提公因式法进行因式分解，即可求出方程的解． 【详解】解：∵， ∴移项后得：， ∴ 解得：， 故选：D． 2．D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，三角形三边关系的应用，先求出，再由三角形三边关系得到，则，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，，则 ， ∵a，b，c分别是三角形的三边长， ∴ ， ∴ ∴原方程没有实数根， 故选：D． 3．C 【分析】本题考查利用配方法解一元二次方程，解题的关键是明确配方法，会用配方法对方程进行变形．根据配方法的步骤求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 4．B 【分析】本题考查了根的判别式，方程为一元二次方程，根的情况要通过判别式来判定． 【详解】解：关于x的方程有实数根， ∴，解得， 故选：B． 5．C 【分析】本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出，利用求根公式解方程，比较即可． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴ 在中，由勾股定理得，， ∴， 解方程得， ∴线段的长是方程的一个根． 故选：C． 6．A 【分析】本题考查一元二次方程的定义、一元二次方程的解及解一元二次方程，根据一元二次方程的定义得出是解题的关键． 把代入方程得，，求得或，再根据，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是0， ∴把代入得，， ∴ 解得或， ∵，即， ∴． 故选：A． 7．C 【分析】本题主要考查了一元二次方程公式法，一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解答本题的关键． 首先转化成一元二次方程的一般形式，然后求解即可． 【详解】解： 整理得， ∴二次项系数、一次项系数和常数项的值依次是1，3，． 故选：C． 8．C 【分析】本题考查了相反数的定义，解一元二次方程，由相反数的定义得，解方程，即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 解得：，， A，B是数轴上不同的两点， ， ， 故选：C． 9． 【分析】本题考查解一元二次方程，根据直接开方法求解即可． 【详解】解：， 移项，得， 直接开方，得． 故答案为： 10． 【分析】本题考查的是解一元二次方程，用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：， 或， ， 故答案为：． 11． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的个数的判断等相关知识的理解与应用能力，分和两种情况，利用解一元一次方程的方法及根的判别式进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程有解， ∴当时，方程为，解得，方程有解，符合题意， 当时，方程为一元二次方程， ， 即， 解得． 综上所述：a的取值范围是． 故答案为： 12．10 【分析】本题考查了一元二次方程的解法、等腰三角形的定义，三角形的三边关系和求三角形的周长，掌握一元二次方程的解法、利用三角形的三边关系进行判断是否构成三角形是解题的关键． 先解一元二次方程，再利用三角形的三边关系确定等腰三角形的腰长，最后求出三角形的周长即可． 【详解】解：， 得，， 当底边为2，腰为4时，此时能组成三角形， ∴该三角形的周长是； 当底边为4，腰为2时，由于，故此时不能组成三角形， 综上，该三角形的周长是10． 故答案为：10． 13．有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 根据定义列出一元二次方程，化为一般式，根据根的判别式作答即可. 【详解】解：∵ ∴ 即 ∴ ∴方程的根的情况为有两个不相等的实数根 故答案为：有两个不相等的实数根 14． 【分析】主要考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解的意义和解一元二次方程的方法是解题的关键． 把代入，得到关于k的方程，再求解即可求得k值，然后用因式分解法求解方程即可． 【详解】解：把代入， 得：， 解得：， 设另一个根为x，则 ， 解得或， 故答案为：． 15．/ 【分析】本题考查的是一元二次方程的根的判别式的应用，先整体代入将原式化为，再根据一元二次方程根的判别式求出，即可求出最小值． 【详解】解：， ， ， ， ， 实数，满足， ， 当时，， 当时， 有2个实数根， ， 解得：且， ， ， 的最小值为； 综上所述，的最小值为． 16．或 【分析】本题考查坐标与图形、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、解一元二次方程，设点P的坐标为，若点P在y轴的正半轴，画出相应图形，利用勾股定理和等腰直角三角形，结合一元二次方程的解法求得y值即可；若点P在y轴的负半轴，同理求解即可． 【详解】解：设点P的坐标为， 若点P在y轴的正半轴，过交延长线于Q，如图，则， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，，即， 又， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，由得， 解得， 解得或（舍去）， 则或（舍去）， 同理，若点P在y轴的负半轴，， 综上，P点坐标为或． 故答案为：或． 17．(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，准确计算． （1）用配方法解一元二次方程即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， 解得：； （2）解：， ， ， 解得：． 18．(1)， (2)，． 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． （1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可； （2）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴． ∴或， ∴，． （2）解： ∴． ∴ ∴或． ∴，． 19．(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，方程解的定义，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）因为一元二次方程有两个不相等的实数根，所以 ，求解即可． （2）该方程有一个根为2，代入方程可解出的值，将之代入原方程再求出另一个解即可． 【详解】（1）解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ， ， ； （2）方程有一个根为2，代入得： ， ， 解得， ∵， ． 当时，原方程为． 解得或． 原方程另一个根为． 20．(1)海里 (2)11海里 【分析】（1）过点作于点，由题意知：海里，，，在直角三角形中，依次求出海里，海里，海里，进而求出海里，即可得解； （2）过点作于点，则四边形为矩形，得到海里，海里，设快艇的追及时间为小时，由题意知：海里，海里，则海里，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 由题意知：海里，，， 在中，，， ∴， ∴（海里）， 在中，由勾股定理得： ∴（海里）， 在中，，， ∴海里， ∴海里， ∴基地A与基地B相距海里． （2）解：如图，过点作于点， 在四边形中，， ∴四边形为矩形， ∴海里，海里， 设快艇的追及时间为小时， 由题意知：海里，海里， ∴海里， 在中，， ∴由勾股定理得：， ∴， 解得：，（舍去）， ∴（海里）， ∴追上可疑船只时快艇的追击距离为11海里． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，一元二次方程的应用，作辅助线构造直角三角形是解题关键． 21．(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解与根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式得到，求解即可； （2）根据（1）中结论得到符合条件的最大整数，解方程得到，，分别代入方程中，即可求出m的值，注意要满足． 【详解】（1）解：∵关于 x 的一元二次方程有实数根， ∴， ∴． （2）解：∵k是符合条件的最大整数， ∴， ∴为， 解得，， 当是一元二次方程的解时， ， 解得， ∵， ∴不合题意，舍去； 当是一元二次方程的解时， ， 解得． 综上所述，m的值为． 22．(1)， (2) 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，代数式求值，熟练掌握换元法是解题的关键． （1）设，则，整理，得，解关于y的一元二次方程，然后解关于x的一元二次方程即可求解； （2）设，则，整理得，解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：设，则， 整理得：， 解得：， 当，即时， 解得； 当，即时， 解得． 综上，原方程的解为，． （2）设，则， 整理得：， 解得： (舍去)， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $