专题08二次函数与图形面积6大题型（压轴题专项训练）数学浙教版九年级上册

专题08 二次函数与图形面积六类题型 典例详解 类型一、公式法计算二次函数中图形面积 类型二、割补法计算二次函数中图形的面积 类型三、铅垂法计算二次函数中图形的面积 类型四、平行转化法计算二次函数中图形面积 类型五、面积转化法计算二次函数中图形面积 类型六、二次函数中图形的面积最值 压轴专练 类型一、公式法计算二次函数中图形面积 二次函数中 “公式法” 求面积的本质是“坐标量化几何量，公式计算面积”，核心是： 1. 利用二次函数求出关键坐标（交点、顶点、动点）； 2. 根据图形类型选择适配的面积公式； 3. 代入坐标计算底、高，最终得面积。 例1．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，点C为二次函数的顶点，直线与该二次函数图象交于两点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交于点D． (1)求m的值及点C坐标； (2)连接，求； 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)3 【分析】 本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰三角形的性质，两点距离公式等知识．关键是对函数性质的理解和三角形面积计算方法的运用． （1）将点A坐标代入解析式可求m的值，利用待定系数法可求抛物线解析式； （2）先求出，然后根据三角形的面积公式即可得到结论 【详解】 解：（1）∵直线过点， ， ， ， ， 二次函数解析式为， 顶点坐标为； （2）由（1）知，直线的解析式为，二次函数对称轴为， ∵直线与二次函数图象的对称轴交于点D， ∴设点， ， ， 的面积 变式1-1．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式及点A，B的坐标． (2)点P为第一象限内抛物线上一点，且的面积等于6，求点P的坐标． 【答案】(1)，， (2)点P的坐标为 【分析】本题考查求二次函数解析式，二次函数图象与x轴的交点坐标，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与面积等，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，熟练运用数形结合的解题方法． （1）由对称轴为直线可得，求出的值，再将C代入求出的值，即可求出抛物线的解析式，令即可求出点A，B的坐标； （2）设，根据即可求解． 【详解】（1）抛物线与y轴交于点C， ， 对称轴为直线， ， ， 抛物线的解析式为， 令，得， 解得，， ，， 即抛物线的解析式为，，； （2） ，， ， 点P为第一象限内抛物线上一点， 设，其中， 的面积等于6， ， 解得，（舍去）， 当时，， 点P的坐标为． 变式1-2．（22-23九年级上·福建福州·阶段练习）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），在抛物线上有一动点P． (1)若，求抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下，若的面积为10，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)点P的坐标是或或或 【分析】本题考查了解二元一次方程组，求二次函数的解析式，二次函数的面积问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先列出方程组，再运用加减消元法解方程，得出，，即可得出抛物线的解析式是； （2）先理解题意，得出，故，再进行分类讨论，即或，分别算出对应的值，即可作答． 【详解】（1）解：依题意得， 则得， 解得， 把代入得， 解得， ∴抛物线的解析式是； （2）解：将代入， 得， 解得，． ∵抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧）， ∴． 设点P的坐标是 ∵的面积为10， ∴， 即， 解得， 当时，则， ∴， ∴， 解得，， 即点P的坐标是，或； 当时，则， ∴， 解得，， 即点P的坐标是或 综上：点P的坐标是或或或 变式1-3．（19-20九年级上·广东广州·阶段练习）在直角坐标平面内，点为坐标原点，二次函数的图象交轴于点、，且． (1)求二次函数的解析式； (2)将上述二次函数图象沿轴向右平移个单位，设平移后的图象与轴的交点为，顶点为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用一元二次方程根和系数的关系可得，，进而代入求出的值即可求解； （）求出平移后的函数解析式，进而得到点和点的坐标，再根据三角形的面积公式计算即可； 本题考查了二次函数与轴的交点问题，二次函数图象的平移，二次函数的几何应用等，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：（）∵二次函数的图象交轴于点、， ∴，， ∵， ， 解得， ； （2）由（）知，， ∴二次函数的图象沿轴向右平移个单位后的解析式为， 当时，， 的图象与轴的交点为，顶点为， 点的坐标为，点的坐标为， ，点到的距离是， ． 类型二、割补法计算二次函数中图形的面积 割补法的通用步骤 1.“描点定位”： 求不规则图形所有顶点的坐标（二次函数与坐标轴 / 直线的交点、顶点、动点），在坐标系中标记。 2.“选择策略”： 若图形内部可沿水平 / 垂直线拆成多个规则图形（如三角形、矩形），选分割法； 若图形外围可补成大规则图形，且多余部分规则，选补形法。 3.“划分图形”： 分割法：用水平 / 垂直线（平行于坐标轴）将不规则图形拆成规则图形，标注每个规则图形的底、高（用坐标差计算）； 补形法：确定大规则图形的边界（覆盖原图形），标注周围多余的规则图形。 4.“计算求和 / 差”： 分割法：计算每个规则图形的面积，求和得原图形面积； 补形法：计算大规则图形面积，减去多余图形面积，得原图形面积。 5.“验证合理性”： 检查面积是否为正（避免坐标计算错误导致负面积），必要时用公式法交叉验证。 例2．（24-25九年级下·福建龙岩·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点．已知，点P是第一象限抛物线上对称轴右侧的一个点，且点P的横坐标为． (1)求抛物线的函数表达式，并求出点的坐标； (2)连接，求面积． 【答案】(1)；； (2)的面积为 【分析】本题考查了二次函数解析式的待定系数法求解、抛物线的对称轴及与坐标轴交点计算，以及平面直角坐标系中三角形面积的割补法计算（初中基础方法）．解题的关键是利用抛物线与x轴的交点确定函数表达式，再通过构造梯形和直角三角形，用“总面积减部分面积”的思路求的面积． （1）将、代入抛物线解析式列方程组求b、c；令求C点坐标，用对称轴公式求D点坐标． （2）先求P点坐标（横坐标代入抛物线解析式）；再过P作x轴垂线，构造梯形和直角三角形，用“梯形面积两个直角三角形面积”计算的面积． 【详解】（1）解：∵抛物线过点、， 将两点坐标代入解析式，得方程组 化简得： ②①消去，即， 将代入①：，解得， ∴抛物线的函数表达式为． 令，则， ∴． 抛物线对称轴，且D在x轴上， ∴． （2）解：∵P横坐标为，代入，， 过P作轴于E，则；C在y轴上，故轴，四边形为直角梯 形．的面积可表示为： ∵梯形上底，下底，高， ∴ ∵直角边， ∴， ∵直角边 ∴ ∴ ∴的面积为 变式2-1．（2025·宁夏银川·一模）如图，已知抛物线过点，，且它的顶点坐标为． (1)求此抛物线的解析式，并求a的值； (2)若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当的面积为15时，求B的坐标； (3)在(2)的条件下，P是抛物线上的动点，当的值最大时，求P的坐标以及的最大值． 【答案】(1)， (2)点B的坐标为 (3)，3 【分析】本题考查了二次函数解析式的求解、三角形面积的坐标计算及抛物线上动点的最值问题，解题的关键是熟练运用二次函数顶点式求解析式，利用坐标公式计算三角形面积，结合几何性质分析的最大值． （1）设抛物线顶点式解析式，代入点O求参数确定解析式，再代入点A求a的值； （2）根据抛物线对称轴设B点坐标，利用“面积割补法”求出B的纵坐标； （3）求出直线的解析式，联立抛物线方程得交点，结合几何性质确定最大时P的坐标及最大值． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线过点， ∴，即，解得， ∴抛物线解析式为． ∵点在抛物线上， ∴． （2）解：抛物线对称轴为，设点B的坐标为， 由（1）知，， 过A作轴于，过B作轴于， 则， 即 化简得， 解得， ∴B的坐标为． （3）解：设直线的解析式为， 代入、得： 解得，，即直线方程． 联立直线与抛物线方程：， 整理得，解得（即点或． 当时，，即． 此时的最大值为的长度，． 变式2-2．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）二次函数的图象过，两点，与y轴相交于点C． (1)求二次函数的解析式； (2)若点P是抛物线上顶点，求四边形的面积． (3)当二次函数的自变量x满足时，函数的最大值为p，最小值为q，，求m的值． 【答案】(1) (2)9 (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，割补法求四边形的面积，分类讨论是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）连接，过点作轴交于点，分别求出，，，再根据四边形的面积的面积的面积，即可求解； （3）分四种情况讨论：当时，，；当时，；当时，，；当时，，；分别求出满足条件的的值即可． 【详解】（1）解：将，代入， ∴， 解得：， ∴； （2）解：连接，过点作轴交于点，如图： 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 直线的解析式为， ∴， ∴， ∴的面积 ， 由题可得：，， ∴， 的面积， ∴四边形的面积的面积的面积； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 时，， 时，， 时，， 当时，，， ∴， 解得：（舍弃）， 当时，， ， ∴， 解得：（舍弃）， 当时，，， ∴， 解得：或（舍弃）， 当时，，， ∴， 解得：（舍弃）或， 综上所述：或； 类型三、铅垂法计算二次函数中图形的面积 铅垂法的核心原理 1. 关键概念 水平宽：平面内两点在x 轴方向上的水平距离，即两点横坐标之差的绝对值，记为W=|x2-x1|。 （若两点连线平行于 x 轴，水平宽就是两点间的线段长度；若不平行，仍取横坐标之差的绝对值作为 “基准宽度”）。 铅垂高：过第三个点作垂直于 x 轴的直线（铅垂线），该点到另外两点所在直线的垂直距离，记为 H = |y0 - yQ|（其中 yQ 是铅垂线与另外两点连线的交点纵坐标）。 2. 面积公式 对于任意三点构成的三角形，面积 S 满足：S= ×水平宽×铅锤高 本质：将三角形面积转化为 “以水平宽为底、铅垂高为高” 的直角三角形面积，简化计算。 例3．（21-22九年级上·四川泸州·期中）如图①，抛物线交x轴于点A，B，交y轴于点C，连接，，若，． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是第一象限抛物线上的一点，连接，，若的面积最大时，求D点的坐标． (3)如图②，设点M是抛物线上一点，点N是直线上一点，是否存在点M、N，使以点O、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M，N的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，、点坐标见解析 【分析】（1）由题意可得点A，B的坐标分别为，，再利用待定系数法求解即可； （2）过点D作y轴的平行线交于点H，求出点C的坐标为，利用待定系数法求出直线解析式为，设点，则点，表示出 ，再由，得出当最大时，最大，最后由二次函数的性质求解即可； （3）分两种情况：①当是边时，②当是对角线时，分别利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴点A，B的坐标分别为，， 将点A，B的坐标代入得， 解得， 故抛物线的解析式为； （2）解：过点D作y轴的平行线交于点H， ∵抛物线交y轴于点C， ∴在中，当时，， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线解析式为， 设点，则点， ∴ ， ∵， ∴当最大时，最大． 由可得，当 时，最大．此时， ∴点D坐标为； （3）解：①当是边时，由平行四边形的性质可得，且， 设点M的坐标为，则点， ∴， 解得， ∴点，，点，， ②当是对角线时，设点M的坐标为，则点， 由平行四边形的性质可得，， 解得：或， 此时点，，点，， 综上所述：，，，，点，，，． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、求一次函数的解析式，二次函数综合—面积问题，二次函数综合—特殊的四边形问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 变式3-1．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，点坐标，点坐标，其中实数分别是方程两根．抛物线经过三点，线段交轴于．若为线段上一个动点（不与重合），直线与抛物线交于两点（在轴右边），连接 (1)求抛物线解析式； (2)求面积的最大值，并求出此时点坐标； (3)当为等腰三角形时，直接写出点坐标． 【答案】(1)抛物线的表达式为； (2)面积有最大值为，此时点； (3)或或． 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的性质，解一元二次方程，二次函数的最值，等腰三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键 （）由得或，故点的坐标分别为，，设抛物线的表达式为，将点的坐标代入上式，即可求解； （）过点作轴的平行线交于点，面积，然后通过二次函数的性质即可求解； （）分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：由得，， ∴点的坐标分别为，， 设抛物线的表达式为，将点的坐标代入上式得， 解得， 故抛物线的表达式为； （2）解：设直线的表达式为， ∵点的坐标分别为，， ∴将点的坐标代入一次函数表达式得， 解得：， ∴直线的表达式为， ∴点， 同理可得：直线的表达式为， 过点作轴的平行线交于点， 设点，则点， ∴面积= ， ∵， ∴当时，面积有最大值为，， 此时点； （3）解：由（）得，直线的表达式为，点，直线的表达式为， ∵为等腰三角形， ∴或或， 设， （）当时，， 解得，（舍去）， ∴； 当时，点在线段的中垂线上， ∴； 当时，由， 解得，（舍去）， ∴； 综上，点坐标为或或． 变式3-2．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，已知抛物线过点，，，顶点为． (1)该抛物线的解析式是________； (2)若点P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值． (3)设点，当的值最小时，求的值． 【答案】(1)； (2)当 时， 有最大值为 ； (3)． 【分析】（1）利用抛物线经过的三个点的坐标，代入抛物线的一般式，通过解方程组求出抛物线的解析式． （2）先求出直线 的解析式，然后设出抛物线上动点 的坐标，用 点坐标表示出 的面积，再根据二次函数的性质求出面积的最大值． （3）利用对称点的性质，找到点 关于直线 的对称点 ，连接 ，与直线 的交点即为使得 最小的点 ，进而求出 的值． 【详解】（1）解：将 ，， 代入 得： 将 代入前两个方程得： 化简得： 用 减去 得： 将 代入 得： ∴抛物线解析式为 （2）解：设直线 的解析式为 ，将 ， 代入得： 解得 ∴直线 的解析式为 设 ，过 作 轴交 于 则 ∴ ∵ ∴当 时， 有最大值为 ； （3）解：抛物线 ，顶点 点 关于直线 的对称点 ， 设直线 的解析式为 ，将 ， 代入得： 解得 ∴直线 的解析式为 当 时， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，包括求抛物线解析式、求三角形面积最大值以及利用对称求最短路径，熟练掌握二次函数的性质、一次函数的解析式求解以及对称点的性质是解题的关键． 变式3-3．（22-23九年级上·江苏扬州·期末）已知抛物线交x轴于点，，交y轴于点，直线交抛物线于点M，N（M在N的左侧），抛物线顶点为P． (1)求该抛物线的解析式： (2)求的面积； (3)若，则此时横坐标的取值范围是______．（直接写出结果） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，正确的求出二次函数的解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出抛物线的顶点坐标，联立解析式求出的坐标，分割法求出三角形的面积即可； （3）图象法求出自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于点，，交y轴于点， ∴， 把代入，得：， ∴， ∴； （2）∵， ∴， 联立， 解得：或， ∴， 作轴，交直线于点，则：， ∴， ∴； （3）由（2）可知：， 由（2）图可知：当时，， 当时， 解得：， 综上：． 类型四、平行转化法计算二次函数中图形面积 核心原理 依据两条平行线之间的距离处处相等，进行顶点转化，用于求面积或者等面积问题。 例4．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期末）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接． (1)直接写出抛物线与x轴的交点坐标及直线的解析式； (2)点P是上方抛物线上一点，当时，求出点P的坐标（不与点A重合）； (3)在抛物线的对称轴上存在点M，使是等腰三角形，请直接写出此时点M的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)或或( )或( )或 【分析】本题是二次函数综合题，考查了抛物线的性质及解析式的确定，三角形的面积，两点间的距离公式以及等腰三角形的判定等知识，在判定等腰三角形时，一定要根据不同的腰和底分类进行讨论，以免漏解． （1）令，则，解方程得到，令，则，得到，设直线的解析式为，解方程组得到直线的解析式为； （2）如图，设，过P作轴交于Q，得到，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论； （3）设M的坐标为，根据勾股定理得到， ， ，①当时，②当时，③当时，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：令，则， 解得， ∴， 令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； （2）如图，设，过P作轴交于Q， ∴， ∵， ∴ ， 解得 或(不合题意舍去)， 当时， ∴点P的坐标为； （3）∵抛物线的对称轴为直线， ∴设M的坐标为， ∵， ∴ ， ， ， ∵是等腰三角形， ∴①当时，即， ∴， ∴或； ②当时，即， 解得 ， ∴( )或( )； ③当时，即， 解得， ∴， 综上所述，点M的坐标为或或( )或( )或． 变式4-1．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过点B、C，与x轴另一交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)若点M是抛物线上的一点，使得，请求出点M的坐标； 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合、二次函数的几何应用等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）先根据一次函数的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）分两种情况：①当点在下方的抛物线上时，②当点在上方的抛物线上时，分别求出与点到的距离相等的直线的解析式，再与抛物线的解析式联立求解即可得． 【详解】（1）解：将代入直线得：，解得， ∴， 将代入直线得：， ∴， 将点，代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵， ∴分以下两种情况： ①当点在下方的抛物线上时， 如图，过点作直线，直线与抛物线的交点即为点， ∵直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴此时点的坐标为或； ②当点在上方的抛物线上时， ∵将直线向右平移3个单位长度可得到直线， ∴将直线向右平移3个单位长度得到直线，即， ∴直线与抛物线的交点即为点， 联立得：， 这个方程根的判别式为，方程没有实数根， 即此时不存在满足条件的点； 综上，点的坐标为或． 变式4-2．（24-25九年级上·天津河北·阶段练习）如图，二次函数的图象交轴于点，点与点关于该二次函数图象的对称轴对称，已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点及点． (1)求二次函数与一次函数的解析式、 (2)点P是该抛物线上一动点，点从点沿抛物线向点运动（点不与、重合），过点作轴，交直线于点．请求出点在运动的过程中，线段的长度的最大值以及此时点的坐标： (3)抛物线上是否存在点，使，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)最大值为，点 (3)或；或或 【分析】（1）将点A代入抛物线解析即可确定二次函数解析式；再确定点C的坐标，然后由抛物线的对称性得出点，利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）根据题意设点，则点，表示出长度的函数解析式，然后根据二次函数的基本性质求解即可； （3）分两种情况讨论：①当点在上方时，②当点在下方时，作出，然后利用平行线间的距离距离相等，分别先求出直线的解析式，然后求直线与抛物线的交点即为点的坐标． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为：， 当时，， ∴， 抛物线的对称轴为：， ∴， 设直线的解析式为，将点，代入得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：如图所示，过点作轴，点从点沿抛物线向点运动（点不与、重合）， 设点，则点， ∴， ∵， ∴当时，最大值为， 当时，， ∴点； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴点Q到的距离为， ①当点在上方时，作，如图所示，交y轴于点，过点F作，使得，过点作轴，设与y轴交于点，则， ∴， 当点与点重合时， ∴， ∴，不符合题意； ∴点一定在轴正半轴上， ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，将点F代入得：， 联立二次函数与一次函数得： 解得：或， 此时点或； ②当点在下方时，作，如图所示，交轴于点，过点作，交于点，使得，过点作轴，设与轴交于点，则， ∴， ∴，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴点， 设直线的解析式为：，将点M代入得：， 联立二次函数与一次函数得： 解得：或， 此时点或； 综上所述，或；或或． 【点睛】题目主要考查二次函数与一次函数的综合问题，包括待定系数法求解析式，线段最值问题及面积问题，直线平行等，理解题意，作出相应图象，综合运用这些知识点是解题关键． 类型五、面积转化法计算二次函数中图形面积 核心原理 多用于面积关系问题，将面积比转化为底的比或高的比。 例5．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、两点，与轴交于点，顶点的坐标为，点是第一象限抛物线上的一动点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图2，连接，，，线段与相交于点，设，求出的最大值； (3)如图3，点为第四象限抛物线上的另一动点，连接交轴于点，线段与轴的交点记为G，，试探究直线是否过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)直线过定点． 【分析】（1）由待定系数法求解即可． （2）求出A，B，C点的坐标，再用待定系数法求出的解析式，设，过点P作轴交于点G，过点A作轴交于点H． 则，，利用两点之间的距离求出，，再由平行线的性质可得出，利用三角形等高可得出，最后利用二次函数的性质求最值即可． （3）设直线的解析式为，，，用m表示的长，用n表示的长，设直线的解析式为，直线的解析式为，可分别得出，，，，由即，进一步即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于A、两点，与轴交于点，顶点的坐标为， ∴， ∴，， 解得：，， ∴抛物线的函数表达式为： （2）∵ ∴，， ∴，， 另，则， ∴点， 设的解析式为：， ∴， 解得： ∴的解析式为：． 设， 过点P作轴交于点G，过点A作轴交于点H． ∴，， ∴，， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， 当时，w有最大值为； （3）直线过定点，理由如下∶ 设直线的解析式为，，， 当时， 整理得： ，， ∵交轴于点，线段与轴的交点记为G， 设的长为m，用表示的长为n， ∴设直线的解析式为，直线的解析式为， 当时， 整理得： ，， 当时， 整理得∶ ， ，， ∵， ∴， ∴， 整理得，， ∴直线经过点． 【点睛】本题主要考查了二次函数与面积综合，二次函数的图像和性质，二次函数的解析式以及一次函数的解析式．平行线的性质等知识，此题运算量大，准确计算是解题的关键． 变式5-1．（24-25九年级下·江苏苏州·期末）已知抛物线与x轴交于点A，B． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，抛物线与y轴交于点C，点P为线段上一点（不与端点重合），直线分别交抛物线于点E，D，设面积为，面积为，求的值． (3)如图2，点K是抛物线对称轴与x轴的交点，过点K的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点M，N，过抛物线顶点G作直线轴，点Q是直线l上一动点．求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，“将军饮马“问题等，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）把代入解得b,c的值，可得抛物线的解析式为； （2）设，求出直线解析式为，联立得 ，可解得，同理可得，即可得，，故； （3）作点N关于直线l的对称点，连接，过M点作于F，求出，设直线解析式为，把代入即可知直线解析式为，设，，则，求出，，又，故，，可得，即知当时，有最小值80，此时，从而的最小值为． 【详解】解：（1）把，代入得：解得， ∴抛物线的解析式为； （2）设，直线解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴直线解析式为， 联立得， 解得或， ∴，同理可得， ∴ ， ∴； ∴的值为； （3）作点N关于直线l的对称点，连接，过M点作于F，如图： ∵ ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， 设直线解析式为， 把代入得：， ∴， ∴直线解析式为， 设，， 联立，可得， ∴，， ∵，关于直线l：对称， ∴， ∴， ∵， ∴，， 在中， ， ∴当即时，最小值80，此时， ∴， ∴的最小值为． 类型六、二次函数中图形的面积最值 例6．（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接，，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积最大时点E的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，面积最值问题，运用数形结合的思想是解题的关键． （1）根据抛物线的对称轴公式求出的值，由可得，代入到抛物线的解析式求出的值，即可得出答案； （2）过点E作轴交于点，根据二次函数的性质求出B，C的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，设，利用三角形的面积公式表示出的面积，再利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴， 代入到抛物线得，， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点E作轴交于点， 令，则， 解得：，， ∴， 令，则， ∴， 设直线的解析式为， 代入和得，， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴ ， 当时，有最大值， 此时， ∴点E的坐标为． 变式6-1．（24-25九年级上·广西钦州·阶段练习）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线下方抛物线上的一动点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标； (3)是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标是或或 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （１）由直线求出B，C坐标，再运用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）首先过点E作y轴的平行线交直线于点G，交x轴于点F，然后设点E的坐标是，则点G的坐标是，求出的值是多少；最后根据三角形的面积的求法，求出，进而判断出当面积最大时，点E的坐标； （3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形．然后分三种情况讨论，根据平行四边形的特征，求出使得以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形的点P的坐标是多少即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与y轴交于点B， ∴点B，C的坐标分别为，． 把点，代入抛物线， 得：， 解之，得 ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，过点E作轴，交直线于点G，交x轴于点F， 设点E的坐标为，则点的坐标为， ∴． ∴． ∴当时，的面积就最大． 此时点E的坐标为． （3）解：存在．由抛物线 ∴对称轴是直线． ∵Q是抛物线对称轴上的动点， ∴点Q的横坐标为1． ①当为边时，点B到点C的水平距离是4， ∴点Q到点P的水平距离也是4． ∴点P的横坐标是5或， ∴点P的坐标为或； ②当为对角线时，点到点C的水平距离是3， ∴点B到点P的水平距离也是3， ∴点P的坐标为． 综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是或或． 变式6-2．（23-24九年级上·青海西宁·期中）已知：二次函数的图像与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上 (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一动点P，若最小，求P的坐标； (3)在直线下方的抛物线上是否存在动点Q，使得的面积有最大值？若存在，请求出点Q坐标，及的最大面积；若不存在，请明理由． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）采用待定系数法即可求解； （2）先求出B点坐标，再证明当P、D、B三点共线时，最小，最小值为BD，接着求出直线的解析式为：，问题随之得解； （3）过点Q作轴交于点H，设点，则点，根据表示出三角形的面积，然后求出最大值即可． 【详解】（1）解：把，代入， ∴， 解得：， 则抛物线的解析式为：； （2）解：令，可得：， 解得：，， ∴B点坐标为：， 抛物线的对称抽为：， A、B两点关于直线对称， 抛物线的对称轴上有一动点P，如图， ∴， ∴， 即当P、D、B三点共线时，最小，最小值为， 如图， ∵，， 设直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴直线的解析式为：， ∴当时，， ∴P点坐标为：； （3）解：过点Q作轴交于点H，点H在上，如图所示： 设点 ，则点， 则， 则 ， ∵， ∴当时，面积的最大值为， 此时， ∴． 【点睛】本题是二次函数的综合题，难度中等，考查了二次函数的图象与性质，轴对称，待定系数法求解抛物线解析式，二次函数的最值等知识，掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键． 变式6-3．（24-25九年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）综合与探究： 如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过点A，B，与x轴的另一个交点为点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是第二象限内抛物线上一动点，连接，求四边形面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点G，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，，，， 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、两点之间线段最短、勾股定理、等腰三角形的判定、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． （1）由一次函数解析式确定，再由待定系数法确定二次函数解析式即可； （2）根据题意得出∴，设点P的横坐标为，得出，，，作轴于点，交于点，然后表示出，利用二次函数的性质求解即可； （3）根据题意得出对称轴为， 设，根据等腰三角形的性质及勾股定理分情况求解即可． 【详解】（1）解：直线，当时，， 当时，， 解得， ， 抛物线经过点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：对于， 又∵， ∴， ∴， 设点P的横坐标为， ，，， 如图2，作轴于点，交于点，   ， ∴， 即， ∴当时，取得最大值为， ， ∴四边形面积的最大值为：； （3）解：存在， ∵, ∴对称轴为， ∵点G在对称轴上， ∴设， ∵， ∴，，， ∵是等腰三角形， ∴当时，， 解得：， ∴点G的坐标为或； ∴当时，， 解得：， ∴点G的坐标为或； ∴当时，， 解得：， ∴点G的坐标为； 综上可得，点G的坐标为，，，，． 1．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点（点A在点B左侧），与轴交于点C，其顶点为D． (1)点E为轴上的动点，当周长最小时，求点E的坐标； (2)若E为中点，P为抛物线上一点，当时，求点P的坐标． (3)点B右侧抛物线上一动点Q，满足，求点Q的横坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，利用数形结合的思想，进行求解是解题的关键： （1）求出的坐标，作点C关于轴的对称点，连接交轴于E，此时周长最小，求出直线的解析式，进而求出点坐标即可； （2）分两种情况，①点不在直线上，设直线交轴于N，直线交轴于M，证明，得到，求出直线的解析式，进而求出的坐标，进而求出点坐标，求出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出点的坐标即可；②点在直线上，联立直线和抛物线的解析式，进行求解即可； （3）设，交轴于H，过Q作轴于G，分割法求出三角形和四边形的面积，进而得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 当时，则：，当时，， ∴， 作点C关于轴的对称点，连接交轴于E，则，周长最小． 设直线的解析式为，把代入，则有， ∴ ∴直线的解析式为， 令，则，解得： ∴点E的坐标为； （2）①点不在直线上时，如图，设直线交轴于N，直线交轴于M， ∵， ∴，   ∵轴   ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴中点， 设直线解析式为， ∵， ∴，解得：， ∴直线解析式为． ∴当时，， ∴，      同法可得：直线解析式为， 由解得或， ∴P的坐标为． ②当点在直线上时，则：，解得：解得或， ∴P的坐标为； 故或． （3）设，交轴于H，过Q作轴于G． ∵ 则，， ∵， ∴， 设直线解析式为，     则有， 消去，解得：， ∴， ∴． ∵， ∴，解得：或（舍去）， ∴点Q的横坐标为． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴相交于点． (1)求抛物线的解析式和顶点的坐标； (2)的面积； 【答案】(1)， (2)3 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，涉及到了二次函数的图象性质，割补法求三角形面积，等腰三角形的判定等知识点，熟悉掌握各知识点是解题的关键． （1）把，代入运算求解即可； （2）利用割补法运算求解即可； 【详解】（1）解：把，代入可得： ， 解得：， ∴， ∵， ∴顶点坐标； （2）解：过点D作，交轴于点，，垂足为如图所示： ∵， ∴， 把代入可得：， 解得：或， ∴， ∴， ∴，，，，，， ∴ 3．（24-25九年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，抛物线过点，与x轴交于，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点C为抛物线的顶点，直接写出点C的坐标； (3)求（2）中四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3)四边形的面积为30 【分析】本题考查了二次函数解析式的求法(交点式)、顶点坐标的求解及不规则四边形面积的计算，解题的关键是利用待定系数法确定抛物线解析式，通过分割法将四边形面积转化为三角形和梯形面积之和求解． (1)根据抛物线与x轴的交点设交点式，代入D点坐标求出系数a，得到解析式； (2)将解析式配方为顶点式，直接得出顶点C的坐标； (3)过顶点C作x轴垂线，将四边形分割为两个三角形和一个梯形，分别计算面积后求和． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为[交点式，因抛物线过、]． 将代入解析式得：，即，解得． ∴抛物线的解析式为． （2）将解析式化为顶点式：． ∴顶点C的坐标为． （3）过点C作轴于点为． 四边形的面积可分割为：． 当， ∴， ； ； ． ∴总面积． 4．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于O、A两点，其中点O为坐标原点． (1)求二次函数的解析式； (2)在第四象限内的抛物线上有一点B，使的面积等于6，求点B的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数与几何综合，正确求出二次函数解析式是解题的关键． （1）把原点坐标代入二次函数解析式中计算求解即可； （2）根据（1）所求求出点A坐标，进而得到的长，再根据三角形面积公式求出点B的纵坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴相交于O，点O为坐标原点， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为； （2）解：在中，当时，解得或， ∴， ∴， ∵在第四象限内的抛物线上有一点B，使的面积等于6， ∴， ∴， 在中，当时， 解得或， ∴点B的坐标为． 5．（24-25九年级上·广东·期末）如图，已知抛物线经过点和点，为第二象限内抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)结合图像，直接写出满足的的取值范围； (3)连接，当时，求出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、二次函数的应用、一元二次方程的应用，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键． （1）将点和点代入计算即可得； （2）根据表示的是二次函数的图像位于轴下方，结合函数图像求解即可得； （3）设点的坐标为，先求出，再根据建立方程，解方程求出的值，由此即可得． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点 和点， ∴， 解得， 则抛物线的解析式为． （2）解：表示的是二次函数的图像位于轴下方， 则由函数图像可知，满足的的取值范围为或． （3）解：设点的坐标为， ∵点为第二象限内抛物线上一点， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， 则， 所以点的坐标为． 6．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）一次函数 的图像如图所示，它与二次函数的图像交于A、B两点（其中点A在点B的左侧），与这个二次函数图像的对称轴交于点C． (1)求点C的坐标； (2)设二次函数图像的顶点为D．若点D与点C关于x轴对称，且的面积等于，求此二次函数的关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数与一次函数综合问题，熟练掌握二次函数的性质，灵活处理二次函数中的面积问题是解题关键． （1）根据题意可求解出抛物线的对称轴，然后结合一次函数即可求解C的坐标； （2）由题可结合C的坐标求出D的坐标，从而以为底边，通过三角形的面积求解A的坐标，最后利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：， ∴抛物线的对称轴． 将代入得： 所以点C的坐标为； （2）∵点D与点C关于x轴对称， ∴点D的坐标为， ∴， 设的边上的高为h，则， 解得， ∴点A的横坐标为， 则点A的纵坐标为， 即； 设抛物线的解析式为， 将点代入得，， ∴抛物线的解析式为． 7．（24-25九年级上·四川德阳·期中）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与二次图象交于轴上的一点，二次函数的顶点在轴上，且． (1)求二次函数的解析式； (2)设一次函数的图象与二次函数图象另一交点为． ①在抛物线上是否存在点，使面积与面积相等，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由． ②已知为轴上一个动点，且为直角三角形，求点坐标． 【答案】(1) (2)①点P的坐标为，，；②点P的坐标为：和． 【分析】（1）根据交x轴于点A，与y轴交于点B，即可得出A，B两点坐标，二次函数的顶点C在x轴上，且．得出可设二次函数，进而求出即可； （2）①分点P在直线上方和点P在直线下方两种情况，如图，当点P在直线下方时，过点C作，当点P在直线上方时，记与轴的交点为，在轴上取点，且，可得，过点K作直线交抛物线于，利用平行关系和对称性求出直线，解析式再分别和抛物线解析式联立求出点P坐标． ②先求解，根据当B为直角顶点，当D为直角顶点，以及当P为直角顶点时，设，分别利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵交x轴于点A，与y轴交于点B， ∴令，则，解得，即， 令，则，即， ∵二次函数的顶点C在x轴上，且， ∴由图可得， ∴可设二次函数， 把代入得： ∴二次函数的解析式：； （2）解：①∵面积与面积相等， ∴点在过点且与平行的直线上或与平行且点到的距离与到的距离相等的直线上； 如图，当点P在直线下方时，过点C作， 由（1）知，直线解析式为，故设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的解析式：， 联立①②得，（舍）或， ∴； 当点P在直线上方时，记与轴的交点为， ∴， ∵， ∴， 在轴上取点，且， ∴， 过点K作直线交抛物线于， 同理可得：直线解析式为， 联立②③得，或， ∴或， 综上所述：使面积与面积相等的点P的坐标为，，； ②∵， ∴， 解得：，， 当时，， ∴， 如图，设，而， ∴， ， ， 当B为直角顶点时， ∴， ∴， 解得：， ∴， 当为直角顶点时， ∴， ∴， 解得：， ∴， 当P为直角顶点时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴方程无解， ∴此时不存在． ∴点P的坐标为：和． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数面积问题、勾股定理的应用，一元二次方根的判别式的应用、求一次函数的解析式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 8．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）已知二次函数与一次函数的图象相交于A、B两点，如图所示，其中，求： (1)求a和k． (2)求点B坐标． (3)的面积． 【答案】(1)， (2) (3)3 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，解题的关键是正确的求出点的坐标． （1）利用点的坐标可求出直线与抛物线的解析式； （2）由一次函数与二次函数联立后求解方程即可； （3）求出点的坐标，利用求解即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象过点， ，解得， 一次函数表达式为， 过点， ，解得， 二次函数表达式为； （2）解：由一次函数与二次函数联立可得， 解得或 ∵， ∴； （3）解：在中，令，得， ， ∴， ∴ ． 9．（24-25九年级下·广东惠州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点，，与y轴相交于点C． (1)求这个二次函数的表达式． (2)二次函数的图象的对称轴与直线 相交于点D，若点M是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数的综合．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据待定系数法可进行求解； （2）作于Q，作于F，交于E，先求出抛物线的对称轴，进而求得C，D坐标及时长，从而得出过M的直线与抛物线相切时，的面积最大，根据的求得m的值，进而求得M的坐标，进一步求得上的高的值，进一步得出结果． 【详解】（1）解∶ 二次函数的图象与x轴相交于点，，由题意可得∶ 解得∶ 该二次函数的解析式为； （2）解：作于Q，作于F，交于E，如图 二次函数的图象与y轴相交于点C， ． 点C的坐标为． ． ， ． ． ． 抛物线的对称轴是直线∶， 二次函数的图象的对称轴与直线 相交于点D， 当时，． 则点D的坐标为． ． 故只需的边上的高最大时，的面积最大． 设过点M与平行的直线的解析式为∶， 当直线与抛物线相切时，的面积最大． 由得 ， 由得， ，得． ，解得． ，． ． ． ． 10．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点 ，且，直线与抛物线交于、两点，与轴交于点 ，点是抛物线的顶点，设直线上方抛物线上的动点的横坐标为. (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)连接、，当为何值时，； (3)在直线上是否存在一点使为等腰直角三角形，若存在请直接写出点的坐标，不存在请说明理由. 【答案】(1)；顶点Q坐标为 (2)或1 (3)存在；或 【分析】（1）分别求出点A，B的坐标，设抛物线的解析式为交点式，代入点C的坐标，求出抛物线的解析式即可； （2）根据题意将的面积和的面积表示出来，令，即可解出m的值； （3）分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴点的坐标为，点A的坐标为， 设抛物线的表达式为，将点的坐标代入，得， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∵， ∴抛物线的顶点Q坐标为：． （2）解：联立， 解得：，， ∴点的坐标为， 如图1，过点作轴的平行线，交于点，设点，则点， ∴， 解得：或1． （3）解：存在； 设点，点，，而点， ①当时，如图2，过点作轴的平行线，过点，点作轴的平行线，交过点且平行于轴的直线于点，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 即，， 解得：或， 当时，，解得，（舍去） ∴点； ②当时，如图3所示， 此时，则点P、H关于抛物线对称轴对称，即垂直抛物线的对称轴，而对称轴与x轴垂直，故轴，则， 同理可得，（舍去）， 故点坐标为． ③当时， （Ⅰ）当点P在抛物线对称轴右侧时，如图所示： 点P在AD下方，与题意不符，故舍去； （Ⅱ）当点P在抛物线对称轴左侧时，同理可得， 解得：（舍去），， 点； 综上可得，点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，难度较大，涉及到一次函数、二次函数、三角形全等、图形的面积计算等，要注意分类求解，避免遗漏，熟练掌握这些性质、判定，二次函数的图像和性质是解决本题的关键． 11．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴的负半轴交于点C，顶点为D，且． (1)求点B、D的坐标； (2)在y轴左侧的抛物线上存在一点E，使得的面积是面积的倍． ①求直线的函数表达式； ②设直线交y轴于点M，点P在线段上运动，点Q在射线上运动，是否存在这样的点P、Q，使得为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)①；②存在， 【分析】（1）由题意，再由，可得，把B代入二次函数解析式得到关于a的一元二次方程，解方程得到a值，即可算出抛物线的解析式，由此即可解决问题． （2）①如图1中，设，作，，连接，．想办法构建方程，求出点E的坐标即可解决问题． ②存在．如图2中，设．作于H，于E．由，可知， ，推出，把点Q坐标代入直线的解析式为，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意， ∴， ∵， ∴， ∴得， 解得或0（舍弃）， ∴抛物线的解析式为， ∴，． （2） 解：①如图1中，设，作，，连接，． 由（1）可知，，， ∴ 由题知， ∴， ∴ ， 整理得， 解得或， ∴ 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为． ②存在．如图2中，设．作于H，于E． ∵， ， ∴直线的解析式为， ∵是等腰直角三角形， ∴，，则， ∴， ， 易知， 把点Q坐标代入直线的解析式为，得到， 解得． 此时点P坐标． 【点睛】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、三角形的面积、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用此方法构建方程解决问题，属于中考压轴题． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 二次函数与图形面积六类题型 典例详解 类型一、公式法计算二次函数中图形面积 类型二、割补法计算二次函数中图形的面积 类型三、铅垂法计算二次函数中图形的面积 类型四、平行转化法计算二次函数中图形面积 类型五、面积转化法计算二次函数中图形面积 类型六、二次函数中图形的面积最值 压轴专练 类型一、公式法计算二次函数中图形的面积 二次函数中 “公式法” 求面积的本质是“坐标量化几何量，公式计算面积”，核心是： 1. 利用二次函数求出关键坐标（交点、顶点、动点）； 2. 根据图形类型选择适配的面积公式； 3. 代入坐标计算底、高，最终得面积。 例1．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，点C为二次函数的顶点，直线与该二次函数图象交于两点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交于点D． (1)求m的值及点C坐标； (2)连接，求； 变式1-1．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式及点A，B的坐标． (2)点P为第一象限内抛物线上一点，且的面积等于6，求点P的坐标． 变式1-2．（22-23九年级上·福建福州·阶段练习）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），在抛物线上有一动点P． (1)若，求抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下，若的面积为10，求点P的坐标． 变式1-3．（19-20九年级上·广东广州·阶段练习）在直角坐标平面内，点为坐标原点，二次函数的图象交轴于点、，且． (1)求二次函数的解析式； (2)将上述二次函数图象沿轴向右平移个单位，设平移后的图象与轴的交点为，顶点为，求的面积． 类型二、割补法计算二次函数中图形的面积 割补法的通用步骤 1.“描点定位”： 求不规则图形所有顶点的坐标（二次函数与坐标轴 / 直线的交点、顶点、动点），在坐标系中标记。 2.“选择策略”： 若图形内部可沿水平 / 垂直线拆成多个规则图形（如三角形、矩形），选分割法； 若图形外围可补成大规则图形，且多余部分规则，选补形法。 3.“划分图形”： 分割法：用水平 / 垂直线（平行于坐标轴）将不规则图形拆成规则图形，标注每个规则图形的底、高（用坐标差计算）； 补形法：确定大规则图形的边界（覆盖原图形），标注周围多余的规则图形。 4.“计算求和 / 差”： 分割法：计算每个规则图形的面积，求和得原图形面积； 补形法：计算大规则图形面积，减去多余图形面积，得原图形面积。 5.“验证合理性”： 检查面积是否为正（避免坐标计算错误导致负面积），必要时用公式法交叉验证。 例2．（24-25九年级下·福建龙岩·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点．已知，点P是第一象限抛物线上对称轴右侧的一个点，且点P的横坐标为． (1)求抛物线的函数表达式，并求出点的坐标； (2)连接，求面积． 变式2-1．（2025·宁夏银川·一模）如图，已知抛物线过点，，且它的顶点坐标为． (1)求此抛物线的解析式，并求a的值； (2)若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当的面积为15时，求B的坐标； (3)在(2)的条件下，P是抛物线上的动点，当的值最大时，求P的坐标以及的最大值． 变式2-2．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）二次函数的图象过，两点，与y轴相交于点C． (1)求二次函数的解析式； (2)若点P是抛物线上顶点，求四边形的面积． (3)当二次函数的自变量x满足时，函数的最大值为p，最小值为q，，求m的值． 类型三、铅垂法计算二次函数中图形的面积 铅垂法的核心原理 1. 关键概念 水平宽：平面内两点在x 轴方向上的水平距离，即两点横坐标之差的绝对值，记为W=|x2-x1|。 （若两点连线平行于 x 轴，水平宽就是两点间的线段长度；若不平行，仍取横坐标之差的绝对值作为 “基准宽度”）。 铅垂高：过第三个点作垂直于 x 轴的直线（铅垂线），该点到另外两点所在直线的垂直距离，记为 H = |y0 - yQ|（其中 yQ 是铅垂线与另外两点连线的交点纵坐标）。 2. 面积公式 对于任意三点构成的三角形，面积 S 满足：S= ×水平宽×铅锤高 本质：将三角形面积转化为 “以水平宽为底、铅垂高为高” 的直角三角形面积，简化计算。 例3．（21-22九年级上·四川泸州·期中）如图①，抛物线交x轴于点A，B，交y轴于点C，连接，，若，． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是第一象限抛物线上的一点，连接，，若的面积最大时，求D点的坐标． (3)如图②，设点M是抛物线上一点，点N是直线上一点，是否存在点M、N，使以点O、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M，N的坐标；如果不存在，请说明理由． 变式3-1．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，点坐标，点坐标，其中实数分别是方程两根．抛物线经过三点，线段交轴于．若为线段上一个动点（不与重合），直线与抛物线交于两点（在轴右边），连接 (1)求抛物线解析式； (2)求面积的最大值，并求出此时点坐标； (3)当为等腰三角形时，直接写出点坐标． 变式3-2．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，已知抛物线过点，，，顶点为． (1)该抛物线的解析式是________； (2)若点P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值． (3)设点，当的值最小时，求的值． 变式3-3．（22-23九年级上·江苏扬州·期末）已知抛物线交x轴于点，，交y轴于点，直线交抛物线于点M，N（M在N的左侧），抛物线顶点为P． (1)求该抛物线的解析式： (2)求的面积； (3)若，则此时横坐标的取值范围是______．（直接写出结果） 类型四、平行转化法计算二次函数中图形面积 核心原理 依据两条平行线之间的距离处处相等，进行顶点转化，用于求面积或者等面积问题。 例4．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期末）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接． (1)直接写出抛物线与x轴的交点坐标及直线的解析式； (2)点P是上方抛物线上一点，当时，求出点P的坐标（不与点A重合）； (3)在抛物线的对称轴上存在点M，使是等腰三角形，请直接写出此时点M的坐标． 变式4-1．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过点B、C，与x轴另一交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)若点M是抛物线上的一点，使得，请求出点M的坐标； 变式4-2．（24-25九年级上·天津河北·阶段练习）如图，二次函数的图象交轴于点，点与点关于该二次函数图象的对称轴对称，已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点及点． (1)求二次函数与一次函数的解析式、 (2)点P是该抛物线上一动点，点从点沿抛物线向点运动（点不与、重合），过点作轴，交直线于点．请求出点在运动的过程中，线段的长度的最大值以及此时点的坐标： (3)抛物线上是否存在点，使，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型五、面积转化法计算二次函数中图形面积 核心原理 多用于面积关系问题，将面积比转化为底的比或高的比。 例5．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、两点，与轴交于点，顶点的坐标为，点是第一象限抛物线上的一动点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图2，连接，，，线段与相交于点，设，求出的最大值； (3)如图3，点为第四象限抛物线上的另一动点，连接交轴于点，线段与轴的交点记为G，，试探究直线是否过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 变式5-1．（24-25九年级下·江苏苏州·期末）已知抛物线与x轴交于点A，B． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，抛物线与y轴交于点C，点P为线段上一点（不与端点重合），直线分别交抛物线于点E，D，设面积为，面积为，求的值． (3)如图2，点K是抛物线对称轴与x轴的交点，过点K的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点M，N，过抛物线顶点G作直线轴，点Q是直线l上一动点．求的最小值． 类型六、二次函数中图形的面积最值 例6．（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接，，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积最大时点E的坐标． 变式6-1．（24-25九年级上·广西钦州·阶段练习）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线下方抛物线上的一动点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标； (3)是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式6-2．（23-24九年级上·青海西宁·期中）已知：二次函数的图像与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上 (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一动点P，若最小，求P的坐标； (3)在直线下方的抛物线上是否存在动点Q，使得的面积有最大值？若存在，请求出点Q坐标，及的最大面积；若不存在，请明理由． 变式6-3．（24-25九年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）综合与探究： 如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过点A，B，与x轴的另一个交点为点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是第二象限内抛物线上一动点，连接，求四边形面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点G，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点（点A在点B左侧），与轴交于点C，其顶点为D． (1)点E为轴上的动点，当周长最小时，求点E的坐标； (2)若E为中点，P为抛物线上一点，当时，求点P的坐标． (3)点B右侧抛物线上一动点Q，满足，求点Q的横坐标． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴相交于点． (1)求抛物线的解析式和顶点的坐标； (2)的面积； 3．（24-25九年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，抛物线过点，与x轴交于，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点C为抛物线的顶点，直接写出点C的坐标； (3)求（2）中四边形的面积． 4．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于O、A两点，其中点O为坐标原点． (1)求二次函数的解析式； (2)在第四象限内的抛物线上有一点B，使的面积等于6，求点B的坐标． 5．（24-25九年级上·广东·期末）如图，已知抛物线经过点和点，为第二象限内抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)结合图像，直接写出满足的的取值范围； (3)连接，当时，求出点的坐标． 6．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）一次函数 的图像如图所示，它与二次函数的图像交于A、B两点（其中点A在点B的左侧），与这个二次函数图像的对称轴交于点C． (1)求点C的坐标； (2)设二次函数图像的顶点为D．若点D与点C关于x轴对称，且的面积等于，求此二次函数的关系式． 7．（24-25九年级上·四川德阳·期中）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与二次图象交于轴上的一点，二次函数的顶点在轴上，且． (1)求二次函数的解析式； (2)设一次函数的图象与二次函数图象另一交点为． ①在抛物线上是否存在点，使面积与面积相等，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由． ②已知为轴上一个动点，且为直角三角形，求点坐标． 8．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）已知二次函数与一次函数的图象相交于A、B两点，如图所示，其中，求： (1)求a和k． (2)求点B坐标． (3)的面积． 9．（24-25九年级下·广东惠州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点，，与y轴相交于点C． (1)求这个二次函数的表达式． (2)二次函数的图象的对称轴与直线 相交于点D，若点M是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值 10．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点 ，且，直线与抛物线交于、两点，与轴交于点 ，点是抛物线的顶点，设直线上方抛物线上的动点的横坐标为. (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)连接、，当为何值时，； (3)在直线上是否存在一点使为等腰直角三角形，若存在请直接写出点的坐标，不存在请说明理由. 11．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴的负半轴交于点C，顶点为D，且． (1)求点B、D的坐标； (2)在y轴左侧的抛物线上存在一点E，使得的面积是面积的倍． ①求直线的函数表达式； ②设直线交y轴于点M，点P在线段上运动，点Q在射线上运动，是否存在这样的点P、Q，使得为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $