专题07二次函数与线段、角度综合5大题型（压轴题专项训练）数学浙教版九年级上册

专题07 二次函数与线段、角度综合类题型 典例详解 类型一、二次函数与线段长度求值 类型二、二次函数与线段的最值 类型三、二次函数与线段的位置关系 类型四、二次函数与角度定值问题 类型五、二次函数中角度的数量关系 压轴专练 类型一、二次函数与线段长度求值 例1．（2025·安徽芜湖·三模）已知抛物线的顶点始终在直线上，且与直线的另一个交点为，抛物线与轴的交点为． (1)用含的代数式表示，并求出的最小值； (2)已知点在第一象限，过点作轴于点，过点作于点，连接，，． ①的长是否为定值？请说明理由． ②若的面积是的面积的倍，求的值． 变式1-1．（2025·湖北·模拟预测）在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，，．抛物线与轴交于点和点． (1)如图，若抛物线过点，求抛物线的表达式； (2)如图，在（）的条件下，连接，线段与抛物线交于点，与交于点，求线段的长； (3)用含的式子表示顶点坐标； 若抛物线与正方形恰有两个交点，直接写出的取值范围． 变式1-2．（2025·甘肃平凉·二模）如图，抛物线（a、b为常数，）与x轴交于、两点，与y轴交于点C．点P是抛物线上的一个动点，且在第四象限． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，若点P与点C关于抛物线的对称轴对称，作直线与y轴交于点M，连接，交y轴于点N，求线段的长； (3)如图2，连接，两线段交于点E．在线段上取点F，使．连接，求的最小值． 变式1-3．（2025·河北承德·一模）如图1，抛物线交x轴于O，两点，顶点为B． (1)直接写出点B的坐标________； (2)求抛物线的表达式； (3)点C为的中点， ①过点C作，垂足为H，交抛物线于点E．求线段的长． ②点D为线段上一动点（O点除外），在右侧作平行四边形．如图2，当点F落在抛物线上时，直接写出点D的坐标； 类型二、二次函数与线段的最值 例2．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，抛物线经过点，与x轴交于A，B两点，连接，M为线段上的一个动点，过点M作轴，交抛物线于点P，交于点Q．过点P作，垂足为N，设点M的坐标为，则的最大值 ． 变式2-1．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴、轴分别交于，，三点，是其顶点，已知点的坐标为，点的坐标为． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使最小，求出点的坐标． 变式2-2．（2023·青海西宁·一模）如图，抛物线的顶点为，与y轴交于点，与轴交于两点（点在点的左侧）． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P在对称轴上，求的最小值，并写出此时P点坐标； (3)若点E在直线上方的抛物线上，求面积的最大值，并写出此时点E的坐标． 变式2-3．（24-25九年级下·宁夏吴忠·期中）如图，抛物线与直线相交于，两点，与x轴相交于另一点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一个动点（不与A、B重合），过点P作直线轴于点D，交直线于点E，当线段的长度最大时，求P点坐标． 类型三、二次函数与线段的位置关系 例3．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，且，与y轴交于点C，连接，抛物线对称轴为直线，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作于点E，与交于点F，设点D的横坐标为m． (1)求抛物线的表达式； (2)当线段的长度最大时，求D点的坐标； 变式3-1．（2025·湖北孝感·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上不与重合的一动点，过点作直线的平行线交轴于点，交轴于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图①，当点在第二象限时，若，求的值； (3)将，两点间的距离记为，当两点重合时其距离为． ①求关于的函数解析式； ②当时，请直接写出的取值范围及对应的的取值范围． 变式3-2．（24-25九年级下·天津静海·阶段练习）已知抛物线（b，c为常数，）的顶点为，与轴相交于两点（点在点的左侧），与轴相交于点，连接交抛物线的对称轴于点． (1)若，． ①求点和点的坐标； ②为上一点(不与点重合)，过点作轴的垂线，交抛物线于点，若，求点的坐标； (2)若，过点作交抛物线于点M，点M的横坐标为m，过点M作轴的垂线交于点N，交轴于点H，当时，求b，m的值． 变式3-3．（24-25九年级上·全国·期末）已知抛物线交轴于，两点，顶点为点，点为的中点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，点为线段的中点，过点作，垂足为点，交抛物线于点，求线段的长； (3)点为线段上一动点（点除外），在右侧作平行四边形． ①如图2，当点落在抛物线上时，求点的坐标； ②如图3，连接，，直接写出的最小值． 类型四、二次函数与角度定值问题 例4．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为． (1)求此抛物线的函数解析式． (2)点是直线上方抛物线上一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为点，请探究是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时点的坐标；若没有最大值，请说明理由． (3)点为该抛物线上的点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 变式4-1．（2025·青海西宁·三模）如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是，与y轴交于点 (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点P是抛物线上一点，连接使得，求出点P坐标； 变式4-2．（2025·江苏常州·三模）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为． (1)求抛物线与直线l的函数表达式； (2)若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接、，求当面积最大值时点P的坐标及该面积的最大值； (3)若点Q是y轴上的点，且，求点Q的坐标． 类型五、二次函数中角度的数量关系 例5．（2025·江苏徐州·模拟预测）在平面直角坐标系中中，二次函数的图象与轴交于点、（在的左侧），与轴交于点，其顶点的横坐标是． (1) ________， ________； (2)已知一次函数（k为常数）的图象为直线，直线与x轴交于点． ①连接，若，求的取值范围； ②当直线与该抛物线有且只有一个公共点时，在该抛物线上是否存在点，使得直线与所夹的锐角是的2倍？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 变式5-1．（2025·河南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)抛物线上有一点P，其横坐标为5． ①点Q为第四象限内抛物线上一点，连接．若射线平分，求点Q的坐标； ②连接，将线段沿着射线平移得到线段，点A的对应点为M，点C的对应点为N，若线段与抛物线无交点，请直接写出点N的横坐标的取值范围． 变式5-2．（2025·四川南充·一模）如图，顶点为的拋物线经过．Rt的顶点在轴正半轴上． (1)求抛物线的解析式． (2)求点的坐标． (3)在拋物线上求出点，使． 变式5-3．（2025·山东淄博·二模）二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图1，点是第三象限内的抛物线上的动点，过作轴，交轴于点，四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由； (3)如图2，点是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与轴交于点，已知点，连接，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（2025·山东济南·模拟预测）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点，与轴负半轴交于点，长度为的线段在直线上滑动，以为对角线作正方形． (1)求抛物线的解析式； (2)当正方形与抛物线有公共点时，求点横坐标的取值范围； (3)连接，直接写出的最小值． 2．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，其对称轴为直线． (1)求a，b的值，并根据图象写出时x的取值范围； (2)把点A向上平移m个单位得点．若点向右平移n个单位，将与抛物线上的点重合；若点向右平移个单位，将与抛物线上的点重合，其中， ，求m，n的值； (3)抛物线上是否存在点P，使得最小，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 3．（2025·河北邯郸·二模）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为；抛物线与抛物线相交于点，顶点为． (1)直接写出的值； (2)说明抛物线恒过定点； (3)连接，当时，求的长； (4)设是实数，连接，，，的面积为，若，直接写出的取值范围． 4．（2025·天津西青·一模）在平面直角坐标系中，点，点，抛物线（，为常数，）的顶点为． (1)若抛物线经过点，，连接． ①求此抛物线的解析式； ②过点作直线，与抛物线相交于点，求线段的长． (2)若，连接点和点，分别过点画直线轴，，在直线上截取（点在直线下方），当的最小值为时，求抛物线解析式． 5．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D为第一象限内抛物线上一点，轴交BC于点E． (1)若，求点D的坐标； (2)求的最大值． 6．（24-25九年级下·山东聊城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标． 7．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图1，抛物线与坐标轴交于O，B两点，直线与抛物线交于A，B两点，已知点B的坐标为． (1)求抛物线和一次函数的表达式． (2)如图2，P为抛物线上位于上方的一点，过点P作x轴的垂线交于点C，求的最大值． 8．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线交轴于两点，交轴于C． (1)直接写出点B，C的坐标； (2)如图1，设点在轴上，满足，求点的坐标； (3)如图2，将抛物线平移得到抛物线，抛物线的顶点为坐标原点，直线 与抛物线交于O，M两点，过OM的中点作直线RQ（异于直线OM）交抛物线于R，Q两点，直线QO与直线MR交于点．探究：点是否一定在某条确定直线上？若是，求出该直线的解析式；若不是，请说明理由． 9．（2025·内蒙古赤峰·三模）已知抛物线，与轴交于点和点（在的左侧），与轴交于点，且，抛物线的顶点为． (1)直接写出这条抛物线的解析式_____和顶点的坐标_____； (2)若点在此抛物线上，轴于点，与直线相交于点，设点的横坐标为，且，求点的坐标； (3)在（2）的基础上，在直线上是否存在一点，使直线与直线的夹角等于的2倍．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线，该对称轴与x轴的交点为点A，且经过点B、C两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为抛物线对称轴上一动点，当的值最小时，请你求出点M的坐标； 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 二次函数与线段、角度综合类题型 典例详解 类型一、二次函数与线段长度求值 类型二、二次函数与线段的最值 类型三、二次函数与线段的位置关系 类型四、二次函数与角度定值问题 类型五、二次函数中角度的数量关系 压轴专练 类型一、二次函数与线段长度求值 例1．（2025·安徽芜湖·三模）已知抛物线的顶点始终在直线上，且与直线的另一个交点为，抛物线与轴的交点为． (1)用含的代数式表示，并求出的最小值； (2)已知点在第一象限，过点作轴于点，过点作于点，连接，，． ①的长是否为定值？请说明理由． ②若的面积是的面积的倍，求的值． 【答案】(1)，的最小值为； (2)①的长为定值，理由见解答过程；②的值为． 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，函数图象上点坐标的特征等，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）由，可得顶点的坐标为，又点始终在直线上，故，即得，可知取得最小值为； （2）①由（1）知，可得，，令，解得或，求出点的坐标为，点的坐标为，故为定值； ②延长交轴于点，则点的坐标为，求出，，，，根据，且，可得，而，，故，可解得的值为． 【详解】（1）解：， 顶点的坐标为， 点始终在直线上， ， ， ， 当时，取得最小值为； （2）①的长为定值，理由： 如图： 由（1）知， 令得， ，， 令， ， ， ， 或， 或， 把代入，得， 点的坐标为， 轴，， 点的坐标为， ， 为定值； ②如图，延长交轴于点，则点的坐标为， ，，，， ，且， ， ， 而， ， ， 解得或不合题意，舍去， 的值为． 变式1-1．（2025·湖北·模拟预测）在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，，．抛物线与轴交于点和点． (1)如图，若抛物线过点，求抛物线的表达式； (2)如图，在（）的条件下，连接，线段与抛物线交于点，与交于点，求线段的长； (3)用含的式子表示顶点坐标； 若抛物线与正方形恰有两个交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)顶点坐标为； 或． 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）由二次函数性质可得，然后求出直线的表达式，则当时，，即点坐标为；当时，，则点坐标为，从而求出即可； （）四边形是正方形，，则，，由点和点的横坐标为，点和点的横坐标为，则有，然后通过配方即可求出顶点坐标； （）当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点，（）当抛物线与直线交点在点下方，且与直线交点在点上方时两种情况分析即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得：， ∴； （2）解：令，， ∴， 解得：，， ∴， 设直线的表达式为过点，， ∴， 解得：， ∴， 当时，， ∴点坐标为； 当时，， ∴点坐标为； ∴； （3）解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∴点和点的横坐标为，点和点的横坐标为， 将代入，得， ∴， ∴顶点坐标为； （）如图，当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点， ∴， ∴； （）如图，当抛物线与直线交点在点下方，且与直线交点在点上方时， 与正方形有两个交点，， ∴， 综上，的取值范围为或． 【点睛】本题考查了二次函数、一次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，解一元一次不等式组等知识，利用分类讨论的思想，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 变式1-2．（2025·甘肃平凉·二模）如图，抛物线（a、b为常数，）与x轴交于、两点，与y轴交于点C．点P是抛物线上的一个动点，且在第四象限． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，若点P与点C关于抛物线的对称轴对称，作直线与y轴交于点M，连接，交y轴于点N，求线段的长； (3)如图2，连接，两线段交于点E．在线段上取点F，使．连接，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，勾股定理，轴对称的性质，求最短线段，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）将点、代入抛物线，利用待定系数法求解即可； （2）求出抛物线的对称轴为直线，根据点P与点C关于抛物线的对称轴对称，得点，运用待定系数法求出的解析式，可得的坐标，从而可求出的长； （3）根据勾股定理求出，过点C作轴，使得，过点T作轴于点G，证明得，当O、E、T共线时，最小，最小值为的长，由勾股定理求出的长即可解决问题． 【详解】（1）解：将代入中， 得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：在中，当时，， ， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点P与点C关于抛物线的对称轴对称，且 ∴点， 设直线的函数表达式为（m、n为常数，）， 将，代入上式，得， 解得， ∴直线的函数表达式为， 当时，． ． 同理可求得直线的函数表达式为， 当时，． ． ． （3）解：， ． 如图2，过点C作轴，使得，过点T作轴于点G， 轴， ， ， . ， 故O、E、T共线时，最小，最小值为的长， ， ， 故的最小值为． 变式1-3．（2025·河北承德·一模）如图1，抛物线交x轴于O，两点，顶点为B． (1)直接写出点B的坐标________； (2)求抛物线的表达式； (3)点C为的中点， ①过点C作，垂足为H，交抛物线于点E．求线段的长． ②点D为线段上一动点（O点除外），在右侧作平行四边形．如图2，当点F落在抛物线上时，直接写出点D的坐标； 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、平移、平行四边形的性质等知识，数形结合是解题的关键． （1）根据顶点式写出坐标即可； （2）利用待定系数法解答即可； （3）①由中点坐标公式得点，求出点E的坐标为，即可得到答案；②点C向下平移个单位，向左平移1个单位，即可到达点O，求出点，根据平移规律即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线 ∴顶点为B的坐标为． 故答案为： （2）由题意得：， 将点A的坐标代入上式得：， 解得：， 抛物线的表达式为 即为； （3）①由（1）知，， 由中点坐标公式得点， 当时，， ∴点E的坐标为， 则； ②由（2）知，， ∴点C向下平移个单位，向左平移1个单位，即可到达点O， 当时，， 则（不合题意的值已舍去）， 即点； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴根据点C平移的规律可得到 类型二、二次函数与线段的最值 例2．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，抛物线经过点，与x轴交于A，B两点，连接，M为线段上的一个动点，过点M作轴，交抛物线于点P，交于点Q．过点P作，垂足为N，设点M的坐标为，则的最大值 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，先利用待定系数法求出二次函数解析式，进而求出点B的坐标，则可证明，得到，进而证明是等腰直角三角形，得到；求出直线解析式为，得到，，则，据此可得，由此可得答案． 【详解】解：∵经过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 在中，当时，解得或， ∴， ∴， 又∵， ∴； ∵轴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∵， ∴，， ∴， ∴ ， ∵， ∴当，即时，有最大值，最大值为， 故答案为：． 变式2-1．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴、轴分别交于，，三点，是其顶点，已知点的坐标为，点的坐标为． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使最小，求出点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确求出二次函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）写出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）连接，与对称轴的交点即为点，求出直线的解析式，进而求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为， 抛物线对应的函数解析式为， 将代入，得，解得． 抛物线对应的函数解析式为． （2）由，得：抛物线的对称轴为直线 把代入，得， 解得或． 点的坐标为，点的坐标为， 如图，连接，交对称轴于点，则此时最小， 设直线对应的函数解析式为， 将，代入， 得， 解得， ∴， 把代入，得：． 点的坐标为 ． 变式2-2．（2023·青海西宁·一模）如图，抛物线的顶点为，与y轴交于点，与轴交于两点（点在点的左侧）． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P在对称轴上，求的最小值，并写出此时P点坐标； (3)若点E在直线上方的抛物线上，求面积的最大值，并写出此时点E的坐标． 【答案】(1)； (2)的最小值为，此时P点坐标为； (3)的最大值为，点E的坐标为． 【分析】（1）利用顶点式求解即可； （2）先求得，，再求得直线的解析式，当点P在直线上时，有最小值，最小值为的长，据此求解即可； （3）过点作轴交直线于点，设点坐标为，则点坐标为，利用三角形面积公式列式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：令，则， 解得或， ∴，， ∵， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点与点关于对称轴对称， ∴点P在直线上时，有最小值，最小值为的长， 当时，，， ∴的最小值为，此时P点坐标为； （3）解：过点作轴交直线于点， 设点坐标为，则点坐标为， ∴， ∴ ， ∵， ∴函数图象开口向下，当时，有最大值为， 当时，， ∴此时点E的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 变式2-3．（24-25九年级下·宁夏吴忠·期中）如图，抛物线与直线相交于，两点，与x轴相交于另一点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一个动点（不与A、B重合），过点P作直线轴于点D，交直线于点E，当线段的长度最大时，求P点坐标． 【答案】(1) (2)P点坐标为 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最大值，待定系数法求函数解析式，二次函数与一次函数的相交问题等知识，掌握二次函数的相关性质是解题的关键． （1）由点B在直线上，则可求得点B的坐标；再用待定系数法求解即可； （2）设点，则可得点E的坐标，从而求得关于t的函数式，即可求出当线段的长度最大时，P点坐标． 【详解】（1）解：由题意知，点B在直线上， ∴， 即； 把点A、B的坐标代入中，得：，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设点， ∵点P在直线上方，且不与A、B重合， ∴； ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值， 此时， ∴P点坐标为． 类型三、二次函数与线段的位置关系 例3．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，且，与y轴交于点C，连接，抛物线对称轴为直线，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作于点E，与交于点F，设点D的横坐标为m． (1)求抛物线的表达式； (2)当线段的长度最大时，求D点的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）求出A点的坐标为，B点的坐标为，利用待定系数法即可求解； （2）求出直线的表达式为：，设点D的横坐标为m，则点，则点，则，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设点A的坐标为， ∵，A在x轴正半轴上，B在x轴负半轴上， ∴点B的坐标为， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， 解得， ∴， ∴A点的坐标为，B点的坐标为， 将A、B两点的坐标代入抛物线，得 ， 解得． ∴抛物线的表达式为； （2）对于， 令，则，故点， 设直线的表达式为： 由点A、C的坐标得， 解得 直线的表达式为：， 设点D的横坐标为m，则点，则点， 则， ∵，， 故有最大值，最大时， ∴点； 变式3-1．（2025·湖北孝感·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上不与重合的一动点，过点作直线的平行线交轴于点，交轴于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图①，当点在第二象限时，若，求的值； (3)将，两点间的距离记为，当两点重合时其距离为． ①求关于的函数解析式； ②当时，请直接写出的取值范围及对应的的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；②当时，；当时， 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，中点的定义，两直线平行的性质是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）先求出直线的解析式为，再由，求出直线的解析式为，得到，，由题意可知P点是的中点，则，求出符合条件的m的值即可； （3）①根据点C、E（的坐标，直接可求；②分别求出，再由，得到，解得或，再由m的范围结合①即可求解． 【详解】（1）解：把，代入得， ， 解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：∵抛物线的函数解析式为， ∴， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵直线， ∴可设直线的解析式为， ∵点的横坐标为， ∴， 把代入，得， 解得， ∴直线的解析式为，， 当时，， 解得， ∴， ∵， ∴点为线段的中点， ∴， 整理得，， 解得，， ∵点在第二象限时， ∴， ∴； （3）解：①∵，， ∴ ②∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 在同一平面直角坐标中画出函数和，如图， 当时，解得或，， 借助图象可得的解集为或， ∴当时，；当时，． 变式3-2．（24-25九年级下·天津静海·阶段练习）已知抛物线（b，c为常数，）的顶点为，与轴相交于两点（点在点的左侧），与轴相交于点，连接交抛物线的对称轴于点． (1)若，． ①求点和点的坐标； ②为上一点(不与点重合)，过点作轴的垂线，交抛物线于点，若，求点的坐标； (2)若，过点作交抛物线于点M，点M的横坐标为m，过点M作轴的垂线交于点N，交轴于点H，当时，求b，m的值． 【答案】(1)①点C的坐标为，点P的坐标为②点G的坐标为或 (2)， 【分析】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式． （1）①把解析式配方为顶点式得到点P的坐标，令求出y值得到点的坐标即可； ②求出点B的坐标，然后根据待定系数法求出一次函数的解析式，即可得到点E的坐标，求出长，然后设点F的坐标为，点G的坐标为，表示，列方程求出n的值解答即可； （2）把变形代入得到解析式，求出点A，B，C的坐标，即可求出直线的解析式，设，表示和长，根据后股定理得到长，根据题意列方程求出b和m的值即可解题． 【详解】（1）①解：当，时，， ∴点P的坐标为， 当时，， ∴点C的坐标为； ②令，则， 解得，， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为，代入点的坐标得： ，解得， ∴解析式为， 当时，， ∴点E的坐标为， ∴ 设点F的坐标为，点G的坐标为， ∴， 解得：或， ∴点G的坐标为或；    （2）解：， ， ， 令，解得， ， ， ∵点A在点B的左侧， ， ， ∴抛物线的对称轴为直线， ， 当时， ， ， ， 设直线的解析式为，将点，代入，得： 解得， ∴直线的解析式为； ∵点在抛物线上且横坐标为，点直线上， ， ， ， ， ∴在中，， ， 如图，过点作对称轴的垂线，垂足为S， ， ， 易得， ，， ， ，    ， 整理得， ， ， ， ， ， ， 解得， ， ， ． 变式3-3．（24-25九年级上·全国·期末）已知抛物线交轴于，两点，顶点为点，点为的中点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，点为线段的中点，过点作，垂足为点，交抛物线于点，求线段的长； (3)点为线段上一动点（点除外），在右侧作平行四边形． ①如图2，当点落在抛物线上时，求点的坐标； ②如图3，连接，，直接写出的最小值． 【答案】(1)； (2) (3)①点；②最小值为 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，中点坐标公式，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，利用轴对称的性质求线段和的最小值，熟练掌握平行四边形的性质，轴对称的性质是解题的关键． （1）根据顶点为，设抛物线，把代入解析式，计算求解即可； （2）根据顶点为．点为的中点，得到，当时，，得到，结合，垂足为，得到． （3）①根据题意，得，结合四边形是平行四边形，，所以点的纵坐标和点相同，结合点落在抛物线上，得到，解得即可；②设点，则点，过点作直线轴，作点F关于直线l的对称点，连接，利用平行四边形的判定和性质，勾股定理，矩形判定和性质，计算解答即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 将点的坐标代入得， ， 解得，， ∴抛物线的解析式为， 即； （2）解：如图1，∵，，点是的中点， ∴点的坐标为， 当时，， ∴点， ∵点的坐标为， 则； （3）解：①如图2，∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点， ∴当时，， 解得：，（舍）， ∴点； ②设点，则点， 如图3，过点作直线轴， 作点F关于直线l的对称点，连接， 则， 当，，三点共线时，为最小， 由定点，的坐标得，直线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 解得，， 则点，点， 则最小值为：， 即最小值为． 类型四、二次函数与角度定值问题 例4．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为． (1)求此抛物线的函数解析式． (2)点是直线上方抛物线上一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为点，请探究是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时点的坐标；若没有最大值，请说明理由． (3)点为该抛物线上的点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为，点的坐标为 (3)点的坐标为或 【分析】（1）直接利用抛物线的交点式可得抛物线的解析式； （2）先求解，及直线为，设，可得，再建立二次函数求解即可； （3）如图，以为对角线作正方形，可得，与抛物线的另一个交点即为，如图，过作轴的平行线交轴于，过作于，则，设，则，求解，进一步求解直线为：，直线为，再求解函数的交点坐标即可. 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为． ∴； （2）解：当时，， ∴， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 设， ∴， ∴ ； 当时，有最大值； 此时； （3）解：如图，以为对角线作正方形， ∴， ∴与抛物线的另一个交点即为， 如图，过作轴的平行线交轴于，过作于，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则， ∴, ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 设为：， ∴， 解得：， ∴直线为：， ∴， 解得：或， ∴， ∵，，，正方形， ∴， 同理可得：直线为， ∴， 解得：或， ∴， 综上：点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线的性质，正方形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 变式4-1．（2025·青海西宁·三模）如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是，与y轴交于点 (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点P是抛物线上一点，连接使得，求出点P坐标； 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】本题考查二次函数与几何综合，涉及待定系数法求函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、坐标与图形等知识，熟练掌握数形结合与分类讨论思想，以及方程建模是解答的关键． （1）利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）过P作轴于H，证明是等腰直角三角形，得到，设，分P在x轴上方时和P在x轴下方时，利用坐标与图形性质列方程求解m值即可解答； 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是，与y轴交于点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过P作轴于H，则， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是， ∴， 当P在x轴上方时，有， 解得或（与B重合，舍去）， ， ∴； 当P在x轴下方时，有， 解得或（与B重合，舍去）， ， ∴， 综上，点P的坐标为或； 变式4-2．（2025·江苏常州·三模）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为． (1)求抛物线与直线l的函数表达式； (2)若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接、，求当面积最大值时点P的坐标及该面积的最大值； (3)若点Q是y轴上的点，且，求点Q的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为；直线l的函数表达式为 (2)的面积最大值为， (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线和直线的解析式即可； （2），过点作轴交于，设，则，表示出，从而可得，再由二次函数的性质即可得解； （3），将线段绕点逆时针旋转得到，连接交轴于，作轴于，轴于，则为等腰直角三角形，证明，得出，，求得，待定系数法求出直线的解析式为，当时，，即；作点关于直线的对称点，连接交轴于，由轴对称的性质可得，，证明出点为的中点，即可得出，同理可得，直线的解析式为，当时，，即，由此即可得解． 【详解】（1）解：将、、代入二次函数的解析式可得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 设直线l的函数表达式为， 将、代入解析式可得， 解得：， ∴直线l的函数表达式为； （2）解：如图，过点作轴交于， ∵点P是抛物线上的点且在直线l上方， ∴设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积最大，为，此时； （3）解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到，连接交轴于，作轴于，轴于， 则为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∵轴于，轴于，、， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，即； 作点关于直线的对称点，连接交轴于， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵，即， ∴，即点为的中点， ∴， 同理可得，直线的解析式为， 当时，，即， 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、求一次函数的解析式，二次函数综合—面积问题，等腰直角三角形的判定与性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 类型五、二次函数中角度的数量关系 例5．（2025·江苏徐州·模拟预测）在平面直角坐标系中中，二次函数的图象与轴交于点、（在的左侧），与轴交于点，其顶点的横坐标是． (1) ________， ________； (2)已知一次函数（k为常数）的图象为直线，直线与x轴交于点． ①连接，若，求的取值范围； ②当直线与该抛物线有且只有一个公共点时，在该抛物线上是否存在点，使得直线与所夹的锐角是的2倍？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2； (2)①或且；②或 【分析】（1）根据顶点横坐标可得对称轴为直线，再由对称轴计算公式可得b的值，把点C坐标代入解析式即可求出c的值； （2）①先求出，再求出，根据，可得；则可求出且，求出直线恰好经过点，点，点时，k的值即可得到答案； ②联立得，根据直线与该抛物线有且只有一个公共点，可得关于x的方程有两个相等的实数根，则可求出，据此可得到，取，作直线，可证明，得到，则，即可得到直线与抛物线的交点（不是C）即为点P的一个位置；求出直线解析式为，联立，解得或，则此时点P的坐标为；过点D作，过点D作交直线于I，则，，可推出直线与抛物线的交点（不是C）即为点P的一个位置；求出直线解析式为，得到设，由，得到，则，同理可得此时点P的坐标为；综上所述，点P的坐标为或． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点的横坐标是， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数的图象与轴交于点， ∴； （2）解：①∵， ∴， 由（1）可得抛物线解析式为， 在中，当时，解得或， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴且， 当直线恰好经过点时，则，解得， 当直线恰好经过点时，则，解得， 当直线恰好经过点时，则，解得， ∴当时，或且； ②联立得， ∵直线与该抛物线有且只有一个公共点， ∴关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴直线l解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴； 如图所示，取，作直线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴直线与直线所夹的锐角是的2倍， ∴直线与抛物线的交点（不是C）即为点P的一个位置； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴此时点P的坐标为； 如图所示，过点D作，过点D作交直线于I， ∴， ∴， ∵ ∴直线与直线所夹的锐角是的2倍， ∴直线与抛物线的交点（不是C）即为点P的一个位置； ∵， ∴可设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 设， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 同理可得直线解析式为， 联立，解得或， ∴此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，两点距离计算公式，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，解题的关键在于利用分类讨论的思想求解即可． 变式5-1．（2025·河南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)抛物线上有一点P，其横坐标为5． ①点Q为第四象限内抛物线上一点，连接．若射线平分，求点Q的坐标； ②连接，将线段沿着射线平移得到线段，点A的对应点为M，点C的对应点为N，若线段与抛物线无交点，请直接写出点N的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）①求出点坐标，作点关于的对称点，得到，根据平分，得到，进而得到点在射线上，求出的解析式，联立直线和抛物线的解析式，进行求解即可； ②求出直线的解析式，作，进而求出的解析式，联立的解析式和抛物线的解析式，得到直线经过点，求出与抛物线刚好有交点时，即交于点或点时，的值，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点， ∴，把，代入，得：， ∴， ∴； （2）①∵， ∴当时，， ∴， 作点关于的对称点，则：，， ∵平分，则：， ∴点在射线上， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 联立，解得：或； ∴； ②同①法可得：直线的解析式为， 作， ∵， ∴直线的解析式为， ∴点在射线上，点在射线上， 联立，得：或， 即：直线经过点， ∵与抛物线没有交点， ∴当点移动到点时，与抛物线交于点，此时， ∴时，满足题意， 当点于点重合时，此时与抛物线交于点， 此时点先向右移动个单位再向上移动3个单位， 故点先向右移动6个单位再向上移动3个单位得到点，即：， ∴时，与抛物线没有交点； 综上：或． 变式5-2．（2025·四川南充·一模）如图，顶点为的拋物线经过．Rt的顶点在轴正半轴上． (1)求抛物线的解析式． (2)求点的坐标． (3)在拋物线上求出点，使． 【答案】(1)抛物线解析式为 (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）已知抛物线上的点在轴上，可设抛物线的一般式，再将点、的坐标代入，得到关于、的方程组，求解方程组即可得到抛物线的解析式． （2）先根据（1）中求出的抛物线解析式确定顶点的坐标，结合图像可知，通过延长与轴交于点，作轴于，利用全等三角形的性质求出点的坐标，再求出直线的解析式，进而求出直线与轴正半轴的交点的坐标． （3）分两种情况讨论，一是当时，先求出直线的解析式，再根据两直线平行斜率相等求出直线的解析式，最后联立直线与抛物线的解析式求出点的坐标；二是利用角的关系，通过中点构造全等三角形，求出相关直线解析式，再联立直线与抛物线解析式求出点的坐标． 【详解】（1）解：在轴上， 可设抛物线为 将A,B的坐标代入，得． 解得． 抛物线解析式为． （2）解：由（1），． ． 如图1，由所给数据，结合图象，只能． 延长与轴交于，作轴于．则． 设直线表达式为．则 ， 解得， 直线表达式为． 当时，， ． ． ． ， ． ． （3）解：如图2，①当时，． 设直线表达式为．则 ，解得， 直线表达式为． 设直线表达式为． 则． ． 直线表达式为． 由， 整理，得， ，或． 当时，． ． ②由（2），得中点． 此时， ． 设直线表达式为．则 ， 解得． 直线表达式为． 由， 整理，得．解得，或． 当时，， ． 综上，点的坐标为，或 【点睛】本题主要考查了待定系数法求抛物线解析式、一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，以及直线与抛物线的交点问题．熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，能根据几何关系（如平行、垂直、角相等）构造全等三角形或利用直线斜率关系，以及联立函数解析式求交点坐标，是解题的关键． 变式5-3．（2025·山东淄博·二模）二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图1，点是第三象限内的抛物线上的动点，过作轴，交轴于点，四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由； (3)如图2，点是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与轴交于点，已知点，连接，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，最大值是6 (3)存在，或 【分析】（1）把，分别代入抛物线，确定解析式即可； （2）设，则，则， 则 ，根据抛物线的性质解答即可． (3) 取点，过点Q作轴，交于点M，确定，连接并延长交对称轴直线于点，确定一个位置；过点C作轴，过点N作轴，二线交于点G，则四边形是矩形，在上取一点，使得，则，连接并延长交对称轴直线于点，确定第二个位置，解答即可． 【详解】（1）解：把，分别代入抛物线，得 解得 抛物线的解析式为. （2）解：根据抛物线的解析式为， ∴，，， 设，则，则， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值，且最大值为6． （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为，将代入直线的解析式得：， 解得， ∴直线的解析式为：， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， ∴， ∴， 取点，过点Q作轴，交于点M， 则， ∴， 连接并延长交对称轴直线于点， 根据题意，，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴点符合题意， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， 当时，， 故； 过点C作轴，过点N作轴，二线交于点G， 则四边形是矩形， ∴,，， ∴， 在上取一点，使得， 则， ∴， 连接并延长交对称轴直线于点， 根据题意，，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴点符合题意， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， 当时，， 故； 综上所述，符合题意的点H坐标有，． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，三角形全等的判定和性质，构造二次函数求最值，角的和计算，平行线的函数思想判定，平行线的性质，一次函数解析式确定，解方程组，熟练掌握待定系数法，解方程组是解题的关键． 1．（2025·山东济南·模拟预测）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点，与轴负半轴交于点，长度为的线段在直线上滑动，以为对角线作正方形． (1)求抛物线的解析式； (2)当正方形与抛物线有公共点时，求点横坐标的取值范围； (3)连接，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出直线与坐标轴的交点坐标，再由待定系数法求抛物线的解析式即可得到答案； （2）根据，四边形是正方形，得，设，则；当正方形与抛物线有唯一公共点时，，可得此时；当正方形与抛物线有唯一公共点时，可得此时；画出图形求解可得答案； （3）令，解方程求出；设，则，，可看作轴上的点到点和点的距离之和，当共线时，取最小值，最小值为的长，求出即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，令得，则； 令得，则； 把，代入得 ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：，四边形是正方形， ， 设，则， 当正方形与抛物线有唯一公共点时，如图所示： 把代入得 ， 解得或在左侧，舍去， 此时； 当正方形与抛物线有唯一公共点时，如图所示： 把代入得 ， 解得：或与重合，舍去， 此时； 由图可知，当时，正方形与抛物线有公共点， 当正方形与抛物线有公共点时，点横坐标的取值范围是； （3）解：在中，令得， 解得或， ∴； 设，则， ∴，， ∴， 当最小时，取最小值， 而可看作轴上的点到点和点的距离之和，如图所示： ∴当共线时，取最小值，最小值为的长， ∵， ∴的最小值为， ∵， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，综合性强、难度较大，涉及一次函数图象与性质、待定系数法求抛物线表达式、正方形性质及应用、解一元二次方程、两点之间距离公式、求最短路径等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 2．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，其对称轴为直线． (1)求a，b的值，并根据图象写出时x的取值范围； (2)把点A向上平移m个单位得点．若点向右平移n个单位，将与抛物线上的点重合；若点向右平移个单位，将与抛物线上的点重合，其中， ，求m，n的值； (3)抛物线上是否存在点P，使得最小，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)， (3)点P的坐标为或 【分析】（1）由题意可得， ，解方程可求a、b的值，再结合图象可求x的取值范围； （2）根据点平移的特点，分别求出， ， ，再结合题意即可求m、n的值； （3）当时最小值为0，此时点P为抛物线与线段的中垂线的交点，求出线段的中垂线的解析式为，再求直线与抛物线的交点即为P点． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ， ∴， 令，则， ∴或， ∴当时，； （2）解：由题可知， ， ，， ∵，关于直线对称， ∴， ∴， ∴点在抛物线上， ∴； （3）解：存在点P，使得最小，理由如下： ∵最小值为0， ∴，即点P为抛物线与线段的中垂线的交点， ∵， ∴线段的中垂线的解析式为， 由， 解得x， ∴点P的坐标为或， ∴满足条件的点有或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，点平移的特点，最短距离的求法是解题的关键． 3．（2025·河北邯郸·二模）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为；抛物线与抛物线相交于点，顶点为． (1)直接写出的值； (2)说明抛物线恒过定点； (3)连接，当时，求的长； (4)设是实数，连接，，，的面积为，若，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先得求得抛物线与轴交于点的坐标，再判断点在抛物线上； （3）分别求得和，再利用两点之间的距离公式求解即可； （4）先求得，和，过点作轴垂线，分别过点，作轴平行线，交过点的垂线于点，，求得，，，，，利用列式计算即可求解． 【详解】（1）解：将点代入抛物线中，得， 解得； （2）解：抛物线与轴相交于点， ， 抛物线， 当时，， 抛物线恒过定点； （3）解：当时，抛物线， 联立两抛物线解析式，得， 解得，或， ， 令抛物线， 解得，， ， ； （4）解：由（1）得抛物线， 顶点， 为抛物线的顶点， ， 联立抛物线，，得， 解得或， ， 如图，过点作轴垂线，分别过点，作轴平行线，交过点的垂线于点，， ，，，，， ， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，运用待定系数法求函数解析式，运用方程思想解决问题． 4．（2025·天津西青·一模）在平面直角坐标系中，点，点，抛物线（，为常数，）的顶点为． (1)若抛物线经过点，，连接． ①求此抛物线的解析式； ②过点作直线，与抛物线相交于点，求线段的长． (2)若，连接点和点，分别过点画直线轴，，在直线上截取（点在直线下方），当的最小值为时，求抛物线解析式． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）①待定系数法求出函数解析式即可；②求出点坐标，根据两直线平行，值相同，待定系数法求出函数解析式，联立直线和抛物线的解析式求出点坐标，进而求出的长即可； （2）求出点，进而得到直线为，把点向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到点，连接，，，易得四边形为平行四边形，得到，作点关于直线的对称点，连接，则，得到，进而得到当点，，共线时，的值最小，最小值为线段的长，过点作轴，垂足为，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：①把点，点坐标代入， 则：解得． 抛物线的解析式为． ②解：由得点坐标为． 设直线的解析式为，把， 分别代入，得解得 直线的解析式为． 由可设的解析式为． 把点代入解得． 的解析式为． 由解得，． 故点的坐标为． ∴． （2）解：由得， 故点，直线为． 把点向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到点． 连接，则，且． ，， ，． 连接，，则四边形为平行四边形， ∴． 作点关于直线的对称点，则． 连接，则． ． 即当点，，共线时，的值最小，最小值为线段的长． 过点作轴，垂足为，则，． 由勾股定理知，即 解得，． ， 应舍去． 抛物线的解析式为． 5．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D为第一象限内抛物线上一点，轴交BC于点E． (1)若，求点D的坐标； (2)求的最大值． 【答案】(1)点D的坐标为或 (2)的最大值为 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，关键是对二次函数性质的应用． （1）根据抛物线解析式求出B，C坐标，再用待定系数法求直线的解析式，设，则，然后根据得出关于m的一元二次方程，解方程求出m的值即可； （2）根据（1）中关于m的解析式和m的取值范围，由二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：令，则， 解得， ∴， 令，则， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 设， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴点D的坐标为或； （2）解：由（1）知，， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． ∴的最大值为． 6．（24-25九年级下·山东聊城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2)最大值， 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数关系式，求二次函数的最值，勾股定理等知识，利用割补法表示出的面积是解题的关键． （1）把代入，得，根据对称轴公式得出，然后联立方程组求解即可； （2）连接，再设点，再根据表示，然后根据抛物线的对称性得 ，即可得出二次函数，再配方讨论极值即可. 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，且对称轴是， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）当时，，当时，， 解得， ∴， 根据勾股定理，得. 连接，设点， 由，得 ， ， ∵点P与D关于直线对称， ， ， ∴当时，取得最大值，此时点． 7．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图1，抛物线与坐标轴交于O，B两点，直线与抛物线交于A，B两点，已知点B的坐标为． (1)求抛物线和一次函数的表达式． (2)如图2，P为抛物线上位于上方的一点，过点P作x轴的垂线交于点C，求的最大值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】此题考查了二次函数和一次函数的交点问题，二次函数的图象和性质，正确求出函数表达式是关键． （1）把分别代入抛物线和一次函数解析式，求出，，即可得到答案； （2）设点的坐标为，则，得到，根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入，得：， 解得：， ∴二次函数解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴一次函数解析式为； （2）设点的坐标为，则， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为． 8．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线交轴于两点，交轴于C． (1)直接写出点B，C的坐标； (2)如图1，设点在轴上，满足，求点的坐标； (3)如图2，将抛物线平移得到抛物线，抛物线的顶点为坐标原点，直线 与抛物线交于O，M两点，过OM的中点作直线RQ（异于直线OM）交抛物线于R，Q两点，直线QO与直线MR交于点．探究：点是否一定在某条确定直线上？若是，求出该直线的解析式；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)是，点一定在某直线上，直线为 【分析】（1）把点坐标代入抛物线解析式求出，进而得到抛物线表达式，再分别求与轴、轴交点坐标． （2）分点在轴正、负半轴两种情况．利用角度关系构造全等三角形，求出相关点坐标，进而得到直线解析式，确定点坐标． （3）先确定抛物线解析式，求出、坐标，设出、坐标，求出直线、、解析式，联立求解坐标，探究其所在直线． 【详解】（1）解：将代入，得 ， ， ， ． 抛物线解析式为． 令，，解得或， ∴． 令，， ∴． 故答案为：； （2）解： 由（1）已求得 ∴抛物线，，， ． 要满足，分点在轴正半轴、负半轴两种情况讨论： ① 当点在轴正半轴时 ∵，，（轴与轴垂直 ），且（到原点距离为，到原点距离为 ）， ∴，即 ． ∵，过点作的垂线交直线于点，过作轴于 ． ∵（所作垂线 ），， ∴在中，， ∴ ． ∵（轴，轴与轴垂直 ）， ∴，（ ）， ∴ ． 在和中： ∴ ． ∴， ． ∵，， ∴，， ∴， ． ∵，且在轴左侧， ∴点纵坐标为，点横坐标为（且轴 ），即 ． 设直线的解析式为（为斜率，为截距 ）， 把，代入得： 解得 ，． ∴直线的解析式为． ∵点在轴上，令，则， ∴ ． ② 当点在轴负半轴时 根据对称性（轴正负半轴关于原点对称，角度关系、构造全等的逻辑类似 ），同理 ∴ ． 综上，点的坐标为或 ． （3）解：抛物线的解析式为， 联立解得，或 设，直线RQ的解析式为， 将，代入，得 ， 解得， ； 将代入得，，即； 同理可求，直线MR的解析式为，直线OQ的解析式为， 联立直线、直线解析式，得，， 解得 设点在直线上，则， 整理得，， 比较系数得，， 解得，． 当时，无论m，n为何值时，恒成立， 点一定在直线上， 直线解析式为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质、全等三角形的判定与性质、一次函数解析式求解及直线交点问题，熟练掌握二次函数与坐标轴交点求法、全等三角形构造、函数解析式联立求解是解题的关键． 9．（2025·内蒙古赤峰·三模）已知抛物线，与轴交于点和点（在的左侧），与轴交于点，且，抛物线的顶点为． (1)直接写出这条抛物线的解析式_____和顶点的坐标_____； (2)若点在此抛物线上，轴于点，与直线相交于点，设点的横坐标为，且，求点的坐标； (3)在（2）的基础上，在直线上是否存在一点，使直线与直线的夹角等于的2倍．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在点的坐标为， 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的判定与性质，两点间距离公式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）先求出，再将其代入，即可求解，得到抛物线解析式，再配方求解顶点坐标即可； （2）先求出 设，则，由建立方程求解即可； （3）先求，设，当时，导角得到，由两点间距离公式建立方程求解；当时，则，由两点间距离公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：当， ∴， ∴， ∵， ∴， 将代入， 则： 解得：或（舍）， ∴抛物线解析式为； 而， ∴； （2）解：当，则， 解得：， ∴， 设直线表达式为：， 代入点得， ， 解得：， ∴ 设，则 ， ， 解得：，（舍） ； （3）解：存在，理由如下： ∵，， ∴同理可求，设， 如图：当时， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：   ∴； ②当时， 即， ∴， ∴， 解得：（舍），   ∴ 综上所述，存在点的坐标为或． 10．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线，该对称轴与x轴的交点为点A，且经过点B、C两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为抛物线对称轴上一动点，当的值最小时，请你求出点M的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，三角形三边关系定理求线段差的最大值，利用线段和差求最值问题是解题的关键． （1）利用待定系数法直接得出结论； （2）先判断出最小时，，建立方程求解即可得出结论； 【详解】（1）解：对于， 令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∵点C在抛物线上， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵最小， ∴， ∴， ∴， 设点， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴点． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $