重难点01：特殊平行四边形（6大类型+拔优特训）2025-2026学年北师大版数学九年级上册

重难点01：特殊平行四边形专题训练 导 航 类型1：添加条件使平行四边形成为特殊平行四边形………………1 类型2：菱形的性质与判定……………………………………………2 类型3：矩形的性质与判定……………………………………………4 类型4：正方形的性质与判定…………………………………………7 类型5：利用四边形的相关性质进行证明……………………………9 类型6：特殊平行四边形性质的理解…………………………………11 拔 优 特 训……………………………………………………………12 类 型 类型1：添加条件使平行四边形成为特殊平行四边形 1．若添加一个条件，使得是矩形，则这个条件可以是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，．再添加一个条件，仍不能判定四边形是正方形的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在中，，是两条对角线，如果添加一个条件，可推出是菱形，那么这个条件可以是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，请添加一个条件 ，使平行四边形为菱形． 5．四边形中，，要使四边形是正方形，则添个条件是 ． 6．如图，已知四边形为平行四边形，对角线与交于点，试添加一个条件 ，使为矩形． 类型2： 菱形的性质与判定 1．如图，在菨形中，过顶点作交对角线于点，已知，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，以点B为圆心以任意长为半径画弧，分别交的两边于点D、E，分别以D、E为圆心以的长为半径画弧，两弧相交于点F，作射线，过点F作交于点G．若射线上存在点M，使，则当时，的度数是（　　）    A． B． C． D．或 3．如图，数学活动课上，老师给每位同学发放两根长度相等的木条和一根橡皮筋，要求大家根据所给的材料在平面内制作一个菱形．小明先用两根木条钉成一个角形框架，然后将橡皮筋两端分别固定在点处，拉动橡皮筋上到处．当四边形是菱形时，小明量得橡皮筋是固定时长的倍，则 ． 4．如图所示，E，F分别在和上，，则 ． 5．如图，在中，，D，E分别是，的中点，，，若，，则四边形的面积为 ． 6．小美同学按如下步骤作四边形：第一步：画；第二步：以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；第三步：分别以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；第四步：连接． (1)由以上作图可知，四边形的形状是___________； (2)若，求的大小． 7．如图．在四边形中，，对角线与相交于点．点B，点D关于所在直线对称． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点D作的垂线交延长线于点E．若，，求线段长． 8．如图，在中，为对角线上的中点，连接，且，垂足为．延长至，使，连接，，且交于点． (1)求证：是菱形； (2)若，求的面积． 类型3：矩形的性质与判定 1．如图，在中，对角线、相交于点O，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，矩形中，，点是上一点，且，的垂直平分线交的延长线于点，交于点，连接交于点．若是的中点，则的长是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．如图，在矩形 中， 平分交于点 E，点 F 为 的中点，过点 F 作 交 于点 G，若，，则矩形的面积是（   ） A．28 B．30 C．32 D．34 4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC．若∠AOB＝60°，则∠COE的大小为 ． 5．如图，将一组邻边长分别为5和12的两个矩形和矩形拼成“”形图案，则线段的长为 ． 6．如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的动点，点不与，重合，且，是五边形内满足且的点．现给出以下结论：①与一定互补；②点到边，的距离一定相等；③点到边，的距离可能相等． 其中正确的是 ．(写出所有正确结论的序号) 7．如图，菱形 的面积为，O为对角线 ，的交点，点E，F，G分别为 ，，的中点，连接 ，，则四边形 的面积为 ． 8．如图，在四边形中，，，，，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)求的度数． 9．如图，在中，点在边上，和分别是和的角平分线，以为对角线向外作四边形，使，． (1)求证：四边形是矩形； (2)已知，，求四边形的面积． 10．如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，，求的长度． 类型4：正方形的性质与判定 1．如图，将正方形绕点A顺时针旋转，得到正方形，的延长线交于点H，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2．如图，正方形的对角线相交于点，点在边上，点在上，过点作，垂足为点，若，，则的长为（   ） A． B．2 C． D．3 3．如图，在五边形中，，，，，连结，．若，则的面积为（    ） A．15 B．20 C．25 D．30 4．如图，在矩形中，．若点P满足，且，则 ．    5．如图，正方形边长为6，，M、N分别是和的中点，则长为 ． 6．如图，正方形的对角线相交于点O，，．若，则四边形的面积是 ． 7．如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且． (1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由： (2)当点是的中点时，连接，求的度数． 8．如图所示，为等边三角形，在外部作，且，连接．分别以点C，点F为圆心，线段长为半径画弧，两弧交于点M，连接． (1)求证：四边形为正方形． (2)若，求阴影部分的面积．（面积记为S） 9．如图，在矩形中，的平分线交于点于点于点与交于点O． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，已知，求的长． 类型5：利用四边形的相关性质进行证明 1．如图，的对角线、交于点，平分交于点，且，，连接．下列结论：①平分；②；③；④平分；⑤，正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．如图，在矩形中，相交于点O，过点B作交于点F，交于点M，过点D作交于点E，交于点N，连接．则下列结论：①；②；③；④当时，四边形是菱形．其中，正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，在矩形中，，．把沿折叠，使点恰好落在边上的处，再将绕点顺时针旋转，得到，使得恰好经过的中点．设交于点，连接．有如下结论：①；②；③的长度是；④．上述结论中，正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，在正方形中，是边上一动点（不与、重合），对角线、相交于点，过点分别作、的垂线，分别交、于点、，交．于点、，下列结论：①；②；③；④当是的中点时，．其中正确的结论有 ． 5．如图，在菱形中，分别是的中点． 相交于点，连接． 有下列结论：①；②；③；④． 正确的结论有 ．（填加序号）    类型6：特殊平行四边形性质的理解 1．下列选项中，矩形具有而菱形不具有的性质是（   ） A．每条对角线平分一组对角 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相平分 2．下列命题错误的是（   ） A．平行四边形的对角相等 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．两条对角线相等的平行四边形是矩形 D．正方形的对角线相等 3．下列命题中，错误的是（　　） A．平行四边形的对角线互相平分 B．菱形的对角线互相垂直 C．矩形的对角线相等 D．对角线相等的四边形是矩形 4．下列结论中正确的是（    ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．正方形的对角线相等且互相垂直 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．矩形、菱形、正方形都是关于其对角线所在直线对称的轴对称图形 5．下列说法正确的是（    ） A．菱形的四个内角都是直角 B．矩形的对角线互相垂直 C．平行四边形是轴对称图形 D．正方形的每一条对角线平分一组对角 6．下列说法正确的是（   ） A．矩形的对角线互相垂直且平分 B．菱形的对角线也是这组对角的角平分线 C．正方形被对角线分割后所得的三角形都是等边三角形 D．连接菱形各边中点得到的四边形是正方形 7．下列命题正确的是（  ） A．对角互补的四边形是平行四边形 B．正方形的对角线相等且互相平分 C．矩形的对角线互相垂直 D．一组邻边相等的四边形是菱形 拔优特训 1．如图，在中，点F为上一点，连接并延长到点E，使，连接，，连接交于点G．若． (1)求证：； (2)若，求证：平分． 2．在四边形中，，点在边上，，过点作，交的延长线于点． (1)求证：四边形为菱形； (2)连接交于点，若，求的长． 3．如图，，平分，且交于点，平分，且交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求四边形的面积． 4．如图，四边形ABCD是平行四边形，AC和BD相交于点O，过点O作AC的垂线分别交AD，BC于点E，点F，连接AF，CE． (1)求证：四边形AFCE是菱形； (2)若，，求四边形AFCE的周长． 5．如图，四边形中，对角线，相交于点，，，且．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的度数． 6．如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作且，连接、，连接交于点F． (1)求证：； (2)若菱形的边长为2，，求的长． 7．如图，菱形中，、相交于点，于点，连接并延长交于点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若交于点，交点，连接，，求证：四边形是菱形． 8．如图.，在中，对角线、相交于点O， (1)求证：； (2)若点E、F分别为线段、的中点，连接，，，求的长及四边形的面积 9．如图，在平行四边形中，连接，E为线段的中点，延长与的延长线交于点F，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的面积． 10．如图（1），已知矩形纸片的面积为，相邻两边长之比为，将四张同样大小的矩形纸片拼接成一个正方形，中间留有空隙正方形，如图（2）所示． (1)求图（1）矩形纸片相邻的两边长； (2)求图（2）正方形与正方形的面积． 11．如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形： (1)长为的线段，其中、都在格点上 (2)面积为5的正方形，其中、、、都在格点上 12．如图，在平行四边形中，M、N分别为和的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当与满足条件：________，四边形是矩形； 当与满足条件：________，四边形是菱形． 13．如图，在矩形中，M是对角线上的一个动点（M与A、C点不重合），作于E，于F． (1)试说明四边形是矩形； (2)连接，当点M运动到使为何值时，矩形为正方形？请写出你的结论． 14．已知：在中，分别过点B、D作于点E，于点F，如图．请从以下四个关系式中：①；②；③；④选择一个合适的作为已知条件，使是菱形． (1)你选择的条件是______． (2)添加了条件后，请证明为菱形． 15．如图，在矩形中，的平分线交于点于点于点与交于点O． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，已知，求的长． 16．综合与实践 问题情境：如图1，在正方形中，点是对角线上的一点，点在的延长线上，且，交于点．问题解决： （1）求证：； （2）求的度数； 探索发现： （3）如图2，若点在边上，且，求的度数． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $重难点01：特殊平行四边形专题训练 导航 类型1：添加条件使平行四边形成为特殊平行四边形…1 类型2：菱形的性质与判定… …2 类型3：矩形的性质与判定… 0…3 类型4：正方形的性质与判定… ……6 类型5：利用四边形的相关性质进行证明…8 类型6：特殊平行四边形性质的理解…9 拔优特训… …23 类型 类型1：添加条件使平行四边形成为特殊平行四边形 1.若添加一个条件，使得☐ABCD是矩形，则这个条件可以是() A.AB=CD B.AC=BD C.AC⊥BD D.AB=BC 【答案】B 【解析】解：A选项，□ABCD中有AB=CD,添加该条件不能证明☐ABCD是矩形， 不符合题意； B选项，添加AC=BD后可证口ABCD是矩形，符合题意； C选项，添加AC⊥BD后证明口ABCD是菱形，而非矩形，不符合题意； D选项，添加AB=BC后证明□ABCD是菱形，而非矩形，不符合题意. 故选：B. 2.如图，在☐ABCD中，AC=BD,再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是正方 形的是() 1/61 A.AB=BCB.∠ABC=90°C.AC⊥BD D.∠ABD=∠CBD 【答案】B 【解析】解：在□ABCD中，AC=BD, :四边形ABCD是矩形， A、当AB=BC时，四边形ABCD是正方形，正确，故A不符合题意； B、当∠ABC=90°时，无法确定矩形ABCD就是正方形，故B符合题意； C、当AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，正确，故C不符合题意： D、当∠ABD=∠CBD时，则∠ABD=∠CBD=45°，∠BOC=90·,所以ABCD是正 方形，正确，故D不符合题意； 故选：B. 3.如图，在口ABCD中，AC,BD是两条对角线，如果添加一个条件，可推出☐ABCD 是菱形，那么这个条件可以是() D B A.AB=CD B.AC=BD C.AC⊥BD D.AB⊥BC 【答案】C 【解析】解：由题意知，A中AB=CD,不能推出☐ABCD是菱形，故不符合要求； B中AC=BD,不能推出□ABCD是菱形，故不符合要求； C中AC⊥BD,能推出☐ABCD是菱形，故符合要求； D中AB⊥BC,不能推出□ABCD是菱形，故不符合要求； 故选：C 4.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,请添加一个条件 使平行四边形ABCD为菱形. D B 【答案】AB=AD(或AC⊥BD,答案不唯一) 【解析】解：根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形，可以添加：AB=AD: 2/61 根据对角线互相垂线的平行四边形为菱形，可以添加：AC⊥BD; 故答案为：AB=AD(或AC⊥BD,答案不唯一). 5.四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA,要使四边形ABCD是正方形，则添个条件 是 【答案】∠BAD=90°（答案不唯一） 【解析】添加条件为：∠BAD=90 :四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA, 四边形ABCD是菱形 :添加条件∠BAD=90· :四边形ABCD是正方形 故答案为：∠BAD=90°（答案不唯一）. 6.如图，己知四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O,试添加一个条 件 使□ABCD为矩形. 【答案】AC=BD或∠ABC=90·(或∠BCD=90°或∠ADC=90·或∠BAD=90° )(答案不唯一) 【解析】解：：四边形ABCD是平行四边形， :当AC=BD时，平行四边形ABCD是矩形： 当∠ABC=90·(或∠BCD=90°或∠ADC=90°或∠BAD=90°)时，平行四边形 ABCD是矩形： 故答案为：AC=BD或∠ABC=90·(或∠BCD=90°或∠ADC=90°或 ∠BAD=90·)(答案不唯一)· 3/61 类型2： 菱形的性质与判定 1.如图，在荽形ABCD中，过顶点C作CE⊥BC交对角线BD于E点，己知∠A=134°， 则∠BEC的大小为() A.67o B.57o C.33o D.230 【答案】A 【解析】解：：四边形ABCD为菱形， ∴ADIBC, ∠ABC=180°-∠A=46°，则∠CBE=号∠ABC=23°， :CE⊥BC, .∠BEC=90°-∠CBE=67o, 故选：A 2.如图，以点B为圆心以任意长为半径画弧，分别交∠ABC的两边BA、BC于点D、E,分 别以D、E为圆心以DE的长为半径画弧，两弧相交于点F,作射线BF,过点F作FGAB交 BC于点G.若射线BA上存在点M,使FM=FG,则当∠ABC=40°时，∠FMB的度数 是() A GE A.140o B.40o C.20o D.40°或1400 【答案】D 【解析】解：如图，分两种情况画图， 4/61 B GE 由作图过程可知：BF平分∠ABC, ∠ABF=∠CBF, :FG‖AB, :∠ABF=∠GFB, .∠GBF=∠GFB, :.BG=FG, 当FM‖BG时，四边形BGFM是菱形，满足条件FM=FG,此时 ∠FMB=180°-∠ABC=180°-40°=140°， 当FM=FM时，∠FMB=40, :满足条件的∠FMB=40°或140°. 故选：D 3.如图，数学活动课上，老师给每位同学发放两根长度相等的木条和一根橡皮筋，要求大 家根据所给的材料在平面内制作一个菱形.小明先用两根木条钉成一个角形框架∠A0B, 然后将橡皮筋两端分别固定在点AB处，拉动橡皮筋上到C处.当四边形OACB是菱形时， 小明量得橡皮筋是固定时长的2倍，则∠A0B=· 【答案】60 【解析】解：：四边形AOBC为菱形， ·AC=BC=OB=AO, AC+BC=2AB, ·AC=AB=BC, ·∠C=60°， :四边形AOBC为菱形， 5/61 ÷∠A0B=∠C=60°， 故答案为：60. 4.如图所示，E,F分别在BC和CD上，AB=AE=AF=AD=BC=CD=EF,则 ∠D= D 【答案】80 【解析】解：：AB=BC=CD=AD, ·四边形ABCD为菱形， ·∠ABC=∠ADC,ADJBC, :∠DCB十∠ADC=180°， AD AF, ·∠ADF=∠AFD, :∠AFC+∠AFD=180°，∠ABC=∠ADC, 又：∠DCB+∠ADC=180°， ·∠AFC=∠BCD, 同理∠BCD=∠AFC, ·∠BCD=∠AEC=∠AFC, :△AEF是等边三角形， :∠EAF=60°， ÷∠EAF+∠AEC+∠ECF+∠AFC=360°，∠EAF=60°， :∠AEC+∠ECF+∠AFC=300°， :∠ECF=100°， :∠D+∠C=180°， ÷∠D=180°-100°=80°， 故答案为：80. 5.如图，在△ABC中，AB=AC,D,E分别是AB,BC的中点，BFIDE,EFDB, 6/61 若BC=8,AC=2W5,则四边形BDEF的面积为】 B 【答案】4 【解析】解：如图，连接DF交BE于M,连接AE, E D BF DE,EF DB, ·四边形BDEF是平行四边形， :点D,E分别是AB,BC的中点， ·DE为△ABC的中位线， ·DEAC, :∠DEB=∠C, AB=AC, :∠C=∠DBE, ·∠DEB=∠DBE, :BD=DE :四边形BDEF为菱形， ·BM=EM,DM=FM, :AB=AC=2V5,点E为BC的中点， .AE⊥BC, 在Rt△ABE中，AB=2W5,BE=号BC=4, 由勾股定理得AE=VAB2-BE2=2, :又点D为AB的中点， :DM为△ABE的中位线， 7/61 :DM=AE=1, ·DF=2DM=2, :菱形BDEF的面积=专BE·DF=4, 故答案为：4. 6.小美同学按如下步骤作四边形ABCD:第一步：画∠MAN;第二步：以点A为圆心，1 个单位长度为半径画弧，分别交AM,AN于点B,D;第三步：分别以点B,D为圆心，1个 单位长度为半径画弧，两弧交于点C;第四步：连接BC,CD,BD. M B D (1)由以上作图可知，四边形ABCD的形状是 (2)若∠A=44°，求∠CBD的大小 【答案】(1)菱形 (2)68· 【解析】(1)解：四边形ABCD是菱形， 证明：由作图可得AB=AD=BC=DC, .四边形ABCD是菱形， (2)解：四边形ABCD是菱形， ∴AD II BC,∠ABD=∠CBD, ∠A=440, ∴∠MBC=∠A=44°， .∠CBD=克(180°-∠MBC)=(180°-44°)=68° 7.如图.在四边形ABCD中，AB‖CD,对角线AC与BD相交于点O.点B,点D关于 AC所在直线对称. 8/61 B (1)求证：四边形ABCD是菱形： (2)过点D作BC的垂线交BC延长线于点E.若CE=3,AD=5,求线段0C长， 【答案】(1)见解析 2W5 【解析】(1)证明：：点B,点D关于AC所在直线对称， .OD=OB,AC⊥BD, AB CD, :.∠OAB=∠OCD,∠OBA=∠ODC, :.△AOB≌△COD(AAS), :AB=CD, :四边形ABCD是平行四边形， 又：AC⊥BD, :四边形ABCD是菱形； (2)解：：四边形ABCD是菱形， .AD=CD=BC=5, 由题意得：DE⊥CE, :DE=VCD2-CE2=V52-32=4, :BE=BC+CE=5+3=8, :.BD=DE2+BE2=4V5, :AC⊥BD, “.专BDXOC=专BCXDE, :0c=0=治=5 BD 45 8.如图，在□ABCD中，E为对角线AC上的中点，连接BE,且BE⊥AC,垂足为E.延 长BC至F,使CF=CE,连接EF,FD,且EF交CD于点G. 9/61 D (1)求证：☐ABCD是菱形； (2)若BE=EF,EC=4,求△DCF的面积. 【答案】(1)见解析 2)85 【解析】(1)证明：：E为对角线AC上的中点，且BE⊥AC, .BE垂直平分AC, :BA=BC, :四边形ABCD是平行四边形， :☐ABCD是菱形； (2)解：如图： G B EB=EF,CE=CF=4, .∠3=∠2=∠1， 设∠3=∠2=∠1=x ∴∠4=∠1十∠2=2， :BE⊥AC, ∠3十∠4=90°， a十2a=90°， 解得：《=30o ∠4=60°， BE⊥AC, .BC=2CE=2×4=8, 10/61