22.1二次函数的图像与性质 讲义 2025-2026学年人教版九年级上册数学

二次函数的图像与性质1 知识点一 二次函数 1.二次函数的概念 一般地，形如 (a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.例如： 等都是二次函数. 2.二次函数的一般式 任何一个二次函数的解析式都可化成 (a,b,c是常数,a≠0)的形式，因此，把 (a,b,c是常数,a≠0)叫做二次函数的一般式. 提示：在二次函数中，b，c可以为0，所以它的特殊形式有：①y= ax²(a≠0);②y= ax²+ bx (a≠0,b≠0);③y= ax²+c(a≠0,c≠0). 注意：一个函数若是二次函数，则必须同时满足下列条件：①函数解析式是整式；②化简整理后自变量的最高次数是2；③二次项系数不等于 0.三者缺一 【题1】若函数 是关于x的二次函数，则a的值为 。 【题2】关于x 的函数 甲说：“此函数不一定是二次函数.”乙说：“此函数一定是二次函数.”丙说：“此函数是不是二次函数与a的取值有关.”你认为谁的说法正确?为什么? 【题3】关于函数 y=(500-10x)(40+x),下列说法不正确的是（ ） A. y是x的二次函数 B.二次项系数是-10 C.一次项是100 D.常数项是20 000 知识点二 二次函数 的图象和性质 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最大(小)值 a>0 向上 y轴 (0,0) 在对称轴的左侧(即当x<0时),y随x的增大而减小；在对称轴的右侧(即当x>0时),y随x的增大而增大 x=0时, a<0 向下 y轴 (0,0) 在对称轴的左侧(即当x<0时),y随x的增大而增大；在对称轴的右侧(即当x>0时),y随x的增大而减小 x=0时, 【题1】若二次函数 的图象经过点P(-2,4),则该函数的图象必经过点( ) A.(2,4) B.(-2,-4) C.(-4,2) D.(4,-2) 【题2】抛物线 的共同性质是 ( ) A.开口向上 B.对称轴是y轴 C.都有最高点 D. y随x的增大而增大 【题3】已知二次函数 当x>0时,y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是（ ） A. a>0 B. a>1 C. a≠1 D. a<1 【题4】如图，在同一平面直角坐标系中，作出了二次函数① x² 的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是 .(填序号) 【题5】如图所示，四个二次函数的图象中，分别对应的解析式是(①y=ax²;②y=bx²;③y=cx²; 则a,b,c,d的大小关系为 . 【题6】已知二次函数 当x=3时,y=3. (1)当x=-2时,求y的值; (2)写出该函数图象的开口方向和对称轴； (3)当x为何值时，y随x的增大而增大? 提升训练 1.在同一平面直角坐标系中，二次函数 与一次函数y=ax+a的图象大致是( ) 2. 当 ab>0时,函数y=ax²的图象与函数y=bx+a的图象大致是( ) 3.如图，圆的半径为2，C₁是二次函数的图象，C₂是二次函数 的图象，则阴影部分的面积 . 4. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别为(1,1),(1,4),(4,4).若抛物线 的图象与正方形ABCD有公共点，则a的取值范围是 5. 如图，正方形OABC的顶点 B 在二次函数 的第一象限的图象上，若点 B 的横坐标与纵坐标之和等于6，则对角线AC 的长为 6. 已知抛物线 过点A(-4,8). (1)求该抛物线的解析式. (2)抛物线上与点 A 关于y轴对称的点 B 的坐标是 ;△AOB 的面积是 . (3)点C在抛物线上，且满足 求点 C 的坐标. 7. 在平面直角坐标系xOy中，直线l:y=a(x+2)(a>0)与x轴交于点A，与抛物线E: 交于B，C两点(B 在 C的左边). (1)求A 点的坐标; (2)如图(1),若B 点关于x轴的对称点为 B'点，当以点A，B'，C为顶点的三角形是直角三角形时，求实数a的值； (3)定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫做整点,如(-2,1),(2,0)均为整点.如图(2)，直线l与抛物线 E 所围成的封闭图形(即阴影部分，不包含边界)内的整点数恰好是26个，求a的取值范围. 知识点三 二次函数的图象和性质 1.二次函数的图象和性质 a>0 a<0 图象 k>0 k<0 k>0 k<0 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴(或直线x=0) 顶点坐标 (0,k) 最大(小)值 当x=0时, 当x=0时, 增减性 当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增大 当x<0时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增大而减小 2.二次函数 与 的图象之间的关系 向上平移|k|个单位长度，k>0 向下平移|k|个单位长度，k<0 a>0 a<0 【题1】函数 与 2的图象的不同之处是 ( ) A.顶点坐标 B.对称轴 C.开口方向 D.形状 【题2】写出一个开口向上，且过点(0，1)的抛物线的解析式是 【题3】已知点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)在抛物线 上，且 则y₁ y₂.(填“ >”“<”或“ =”) 【题4】抛物线 上有两点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),若 则下列结论正确的是 （ ） 或 D.以上都不对 【题5】对于二次函数 当-1≤x≤2时，y的取值范围 【题6】将抛物线 向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式是 （ ） 【题7】如果将抛物线 y= 向下平移a个单位长度后，恰好经过点(1,4),那么a的值为 . 【题8】已知抛物线 (5-m)x+m-3 与y轴交于点 C,与x轴正半轴交于点A，与x轴负半轴交于点 B，且OA=OB. (1)求m的值; (2)求抛物线的顶点坐标； (3)求△ABC 的面积. 提升训练 1.函数 与y=ax-a(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是（ ） 2. 在同一坐标系中，一次函数 与二次函数 的图象可能是（ ） 3. 如图，抛物线 经过正方形 OABC 的三个顶点 A,B,C,点B在y轴上,则 ac的值为( ) A.-1 B.-2 C.-3 D.-4 4. 如图，两条抛物线 与分视频解题别经过点( -2,0),(2,0)且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为 . 5. 如图,抛物线 和 都经过x轴上的A，B两点，两条抛物线的顶点分别为C,D.当四边形 ACBD 的面积为 24 时,求 a的值. 6. 如图，已知点 P 是抛物线 上的任意一点，设点 P 到直线y=-1的距离为d₁,点 P 到点 F(0,3)的距离为d₂. (1)求抛物线的顶点坐标和对称轴； (2)判断d₁，d₂的大小关系并证明； (3)若线段 PF 的延长线交抛物线于点 Q，且线段 PQ 的长度是 m,线段 PQ 的中点 M 到x轴的距离是 n.直接写出m与n的函数关系式. 知识点四 二次函数 的图象和性质 1.二次函数 的图象和性质 a>0 a<0 图象 对称轴 直线x=h(平行于y轴或与y轴重合) 顶点坐标 (h,0) 增减性 在对称轴左侧(x<h)，y随x的增大而减小，在对称轴右侧(x>h),y随x的增大而增大 在对称轴左侧(x<h)，y随x的增大而增大，在对称轴右侧(x>h)，y随x的增大而减小 最大(小)值 当x=h时, 当x=h时, 2.二次函数 与 的图象之间的关系 向左平移|h|个单位长度，h<0 向右平移|h|个单位长度，h>0 a>0 a<0 y=a(x-h)² y=a(x-h)² 【题1】对于函数 的图象，下列说法不正确的是 ( ) A.开口向下 B. x>5时,y随x的增大而增大 C.最大值为0 D.与y轴交点在x轴下方 【题2】已知A(-4,y₁),B(-3,y₂),C(3,y₃)三点都在二次函数 的图象上，则y₁，y₂，y₃的大小关系为 .(用“<”连接) 【题3】已知抛物线y= 上有两点A (-4.4,y₁)和B(-3.3,y₂)，则下列结论一定成立的是（ ) 【题4】已知二次函数 当x>2 时,y 随x 的增大而增大，则a的取值范围是 . 【题5】有一个二次函数，三位同学分别说出了它的一些特点： A：函数图象的顶点在x轴上； B：当x>1时，y随x的增大而减小； C：该函数图象的形状与函数 的图象相同. 【题6】已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数解析式： 【题7】将抛物线 通过一次平移可得到抛物线y=(x-3)²,对这一平移过程描述正确的是（ ） A.向右平移3个单位长度 B.向左平移3个单位长度 C.向上平移3个单位长度 D.向下平移3个单位长度 【题8】已知二次函数的图象是由抛物线向左平移3个单位长度得到的，则a= ,h= . 【题9】已知二次函数 当x=2时，有最大值，且函数图象过点(1，-3). (1)求此二次函数的解析式. (2)当x为何值时，y随x的增大而增大? (3)求二次函数图象与y轴的交点坐标. 提升训练 1. 在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数 的图象大致为（ ） 2. 已知抛物线 经过(m,n)和(m+4,n)两点,则n的值是 （ ） A. - 4 B. - 2 C.2 D.4 3. 已知二次函数 当自变量x的值满足 1≤x≤3时，与其对应的函数值y的最大值为-2，则常数h的值为（ ） A.1或3 B.-1或1 C.3或5 D. - 1或5 4. 已知二次函数y=(x-h)²(h为常数),当自变量x的值满足1≤x≤3时，其对应的函数值y的最小值为1，则h 的值为( ) A.2或4 B.0或4 C.2或3 D.0或3 5. 如图，抛物线 与平行于x轴的直线交于点A，B(点A 在点 B 的左侧)，抛物线的顶点为C,△ABC 为等边三角形,求△ABC 的面积. 6. 如图，抛物线 的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B,且OB=OA. (1)求抛物线的解析式； (2)若点 C( - 3,b)在该抛物线上,求△ABC的面积. 7. 如图，在 Rt△OAB 中，∠OAB=90°,O 为坐标原点,边OA 在x轴上,OA=AB=1,现把△OAB沿x轴的正方向平移1个单位长度后得△AA₁B₁. (1)求以A为顶点，且经过点 B₁ 的抛物线的解析式； (2)若(1)中的抛物线与OB 交于点 C,与y轴交于点D，求点C，D的坐标. 课后提升 1. 把抛物线 向左平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为 ( ) 2. 对于抛物线 ,当-1≤x≤2时,y 的取值范围是 （ ） A.1≤y≤4 B.0<y≤4 C.0≤y≤4 D.1<y<4 3. 若点P(m,n)在抛物线 上，则下列各点在抛物线 上的是（ ） A.(m,n+1) B.(m+1,n) C.(m,n-1) D.(m-1,n) 4. 设函数 直线x=1 与函数y₁,y₂的图象分别交于点A(1,a₁),B(1,a₂),下列判断正确的是( ) A.若1<m<n,则 B.若m<1<n,则 C.若m<n<1,则 D.若m<n<1,则 5. 如果将抛物线 y= 向下平移a个单位长度后，恰好经过点(1,4),那么a的值为 . 6. 已知二次函数y=3(x-3)²,当x分别取 时，函数值相等，则当x取时，函数值为 . 7. 如图，已知P 是函数 图象上的动点，当点 P 在x轴上方时，作 PH⊥x轴于点H，连接PO.小华用几何画板软件对PO，PH 的数量关系进行了探讨，发现 PO-PH 是个定值，则这个定值为 8. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与y轴交于点A，过点A 与x轴平行的直线交抛物线 于B,C两点,则BC 的长为 9. 已知函数y=(m + 是关于x的二次函数，求： (1)满足条件的m的值. (2)m为何值时，抛物线有最低点?求出这个最低点的坐标；此时x 为何范围时，y随x的增大而增大. (3)m为何值时，二次函数有最大值?最大值是多少?此时x为何范围时，y随x的增大而减小. 10.如图，已知二次函数 的图象与x轴交于点A，与y轴交于点 B. (1)写出点A,B的坐标. (2)求△AOB 的面积. (3)在对称轴上是否存在一点P,使以P,A,O,B为顶点的四边形为平行四边形?若-存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $