第六章 图形初步 导学案-2025-2026学年人教版七年级数学上册

北京中学科技分校学历案 第六章 图形初步 考点及课标要求 中考考点 核心素养 课标要求 掌握基本事实，尺规作图，理解线段的和、差、中点 几何直观、推理能力 会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义。掌握基本事实：两点确定一条直线。 掌握基本事实：两点之间线段最短 计算角的和、差 几何直观、推理能力 理解角的概念，能比较角的大小；认识度、分、秒等角的度量单位，能进行简单的单位换算，会计算角的和、差 知识体系构建 课时学历案 课题 6.1.1 几何图形(1) 学习 目标 1.能从现实物体中抽象得出几何图形，正确区分立体图形与平面图形； 2.能把一些立体图形的问题，转化为平面图形进行研究和处理，�探索平面图 形与立体图形之间的关系． 学习 重点 从现实物体中抽象出几何图形，把立体图形转化为平面图形． 学习 难点 立体图形与平面图形之间的转化． 学习环节 要点摘要 依据 目标 自学 思考 阅读课本第150页—154页，完成以下问题： 1． 几何图形可以分为 与 . 二．几何图形主要研究物体的 、 和 . 三．列举你所学过的几何图形 平面图形（不少于5个） ； 立体图形（不少于4个） . 合作 展示 交流 解疑 四．柱体分为 和 ；锥体分为 和 . 例1.下图中实物的形状对应哪些立体图形？把相应的实物与图形用线连起来 例2.下列各图中包含哪些简单平面图形？请再举出一些平面图形的例子。 虽然立体图形与平面图形是两类不同的几何图形，但它们是相互联系的.立体图形中某些部分是平面图形. 例3.图中的各立体图形的表面中包含哪些平面图形?试指出这些平面图形在立体图形中的位置. 练习: 1.一个铁球有下列性质:铁质,坚硬,灰黑色,球形,直径为5cm,质量为4110g，摸上去较凉，等等.几何研究其中的哪些性质？ 2. 找出下面图形中的圆柱． 3. 说出下列立体图形的名称． 4．把图形与对应图形名称用线连接起来. 圆锥 圆柱 棱柱 棱锥 球 质疑 深化 巩固 提升 你能把一张正方形纸片折叠成一个三菱锥吗？动手试一试. 收获 反思 巩固作业 1. 写出下列立体图形的名称． 2.下列图形中属于棱柱的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 课题 6.1.1 几何图形(2) 学习 目标 （1）从不同的方向看立体图形，认识立体图形从不同的方向看得到的图形，知道立体图形的展开图（100%） （2）能把立体图形的展开图还原为立体图形，探索平面图形与立体图形之间的关系.（100%)； 学习 重点 从现实物体中抽象出几何图形，把立体图形转化为平面图形． 学习 难点 立体图形与平面图形之间的转化． 学习环节 要点摘要 依据 目标 自学 思考 1. 从不同的方向看立体图形，往往会得到不同形状的平面图形.请举出一些例子说明. 2.下面左图是由7块小正方体木块堆成的物体，请同学们说出右面图（1）（2）（3）分别是从哪一个方向看得到的？ 3.从不同方向看立体图形 如图 ，试着画出立体图形从正面、左面、上面看得到的图形. 从正面看： 从左面看： 从上面看： 合作 展示 交流 解疑 练习： 1.下图是一个由9个大小相同的正方体组成的立体图形，分别从前面、左面、上面观察这个图形，各能得到什么平面图形？请你画出来. 2.如图，右面三幅图分别是从哪个方向看这个棱柱得到的？ 立体图形的平面展开图 有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当展开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的平面展开图. 请自己动手把一个粉笔盒剪开铺平，看看它的展开图由哪些平面图形组成，再把展开的纸板复原为粉笔画，体会粉笔盒与它的展开图的关系. 探究：下图是一些立体图形的展开图，用它们能围成什么样的立体图形？把它们画在一张硬纸片上，剪下来，折叠、粘贴，看看得到的图形和你想象的是否相同. 练习： 1.如图，把相应的立体图形与它的展开图用线连起来。 2．指出下列平面展开图分别对应的是怎样的立体图形？ 3.如图，这些图形都是正方体的看开图吗？如果不能确定，折一折，试一试，你还能再画出一些正方体的展开图吗？ 质疑 深化 巩固 提升 例.如图，左面的图形可能是右面哪些图形的展开图？ 探究一 1.如图是某一正方体的侧面展开图,则该正方体是( ) A． B． C． D． 2．如图是一个自制骰子的展开图，请根据要求回答问题： （1）如果6点在多面体的底部，那么哪一点会在上面？ （2）如果1点在前面，从左面看是2点，那么哪一点会在上面？ （3）如果从右面看是4点，5点在后面，那么哪一点会在上面？ ※探究二 如图，由一些小正方体木块堆成的物体，从两个方向看的视图，请问这些小正方体木块最多有_______块，最少有_______块. 收获 反思 巩固作业 1. 写出下列立体图形的名称． 2．下图中几何体从左面看得到的图形为（ ） 3.如图，下列图形能折叠成什么图形？ 4．若要使图中平面展开图按虚线折叠成正方体后，相对面上 两个数之和为8，x=____，y=______. 1 2 3 x y 5．右图所示是一个三棱柱纸盒，在下面四个图中，只有一个是这个纸盒的展开图，那么这个展开图是（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 6.将如右图所示的圆心角为90°的扇形纸片AOB围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA与OB重合(接缝粘贴部分忽略不计)，则围成的圆锥形纸帽是( ) 7． 美术课上，老师要求同学们将右图所示的白纸只沿虚线裁开，用裁开的纸片和白纸上的阴影部分围成一个立体模型，然后放在桌面上，下列四个示意图中，只有一个符合上述要求( ) A B C D 课题 6.1.2 点、线、面、体 学习 目标 （1）能从现实物体中抽象得出几何图形，认识点、线、面、体(100%)； （2）能把一些立体图形的问题，转化为平面图形进行研究和处理，探索平面图形与立体图形之间的关系 (100%)． 学习 重点 正确判定围成立体图形的面是平面还是曲面，探索点、线、面、�体之间的关系． 学习 难点 探索点、线、面、体运动变化后形成的图形． 学习环节 要点摘要 依据 目标 自学 思考 1.阅读课本第155页——156页 2．下图是长方体的模型 （1）它有几个面？ （2）面与面相交的地方形成几条棱？ （3）棱和棱相交成几个顶点？ 3.完成以下问题： （1）几何体简称 ；包围着体的是 ，面分为两种： , （2）面和面相交的地方形成 ，线和线相交的地方是 ; 点运动成 ，分为 和 ； （2）点运动成 ，线运动成 ；面运动成 . （4） 是构成图形的基本元素. 合作 展示 交流 解疑 例1.围成下面这些立体图形的各个面中，哪些面是平的？哪些面是曲的？ 例2．如图，上面的线分别按箭头所示方向平移或绕定点旋转，可以得出下面的平面图形，把有对应关系的线与平面图形用线连起来. 例3.如图，上面的平面图形绕轴旋转一周，可以得出下面的立体图形，把有对应关系的平面图形与立体图形用线连起来. 练习: 1. 如下图所示的物体，可由哪个图形绕虚线旋转而成？ A B C D 2. 左图绕虚线旋转得到的实物图是（ ）． A B C D 质疑 深化 巩固 提升 3．如图，已知BC是圆柱底面的直径，AB是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是（ ） 4．如图，一只小昆虫要从正方体的一个顶点爬到距离它最远的一个顶点A，哪条路最短？ A D C B A1 B1 C1 D1 收获 反思 巩固作业 1． 笔尖在纸上划过就能写出汉字，这说明了______；汽车的雨刮器摆动就能刮去挡风玻璃上的雨滴，这说明了______；长方形纸片绕它的一边旋转形成了一个圆柱体，这说明了______． 2．下面现象说明“线动成面”的是（　　） A．天空划过一道流星 B．扔一块小石子，石子在空中飞行的路线 C．旋转一扇门，门在空中运动的痕迹 D．汽车雨刷在挡风玻璃上面画出的痕迹 3.下图，把左边的图形绕着给定直线旋转一周后可能形成的几何体是( ) 4.下面图形经折叠后可以围成一个棱柱的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 图中(1)-(4)各图都是正方体的表面展开图，若将他们折成正方体，各面图案均在正方体外面，则其中两个正方体各面图案完全一样，他们是（ ） A. (1)(2) B.（2）（3） C.（3）（4） D.（2）（4） 课题 6.2.1直线、射线、线段（1） 学习 目标 （1）了解直线、射线、线段的概念、联系和区别. （2）掌握直线的性质. （3）掌握直线、射线、线段的数学符号表示，能进行文字语言、图形语言和几何语言的转化. 学习 重点 三种概念的掌握，三种语言的转化. 学习 难点 确定直线、射线、线段的个数. 学习环节 要点摘要 依据 目标 自学 思考 阅读课本第162页——163页，完成以下问题： 经过一个点可以画_______条直线，经过两个点可以画________条直线. 合作 展示 交流 解疑 1、 直线 1. 直线的表示： 2.点与直线的位置关系： 3.两直线相交：当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称______________，这个公共点叫做它们的_______. 4.直线的性质 （1）把硬纸条固定在硬纸板上，需要几个图钉？ （2）如果把木条抽象成直线，把钉子抽象为点， 你能得到什么结论？ 直线的性质：_________________________________________ 2、 射线 表示方法： 3、 线段 表示方法： 思考：怎样由一条线段得到一条射线或一条直线？ 四、填写表格，归纳直线、射线、线段的联系与区别． 名称 图形 表示 延伸 端点 度量 直线 射线 线段 活动1：已知A、B、C三点，读下列语句，并分别画出图形： (1)画射线AC; (2)画直线BC; (3)连接AB; (4)延长线段AB (5)在直线BC外找一点D， 画射线CD交线段AB于点E. 活动2：判断下列图形中射线OA与射线OB表示的是否为同一条射线？ 例1： 按下列语句画图 1 直线EF经过点A； 2 点A在直线m外； 3 经过点P的三条线段a、b、c； 4 直线AB和直线CD相交于点O； 质疑 深化 巩固 提升 练习： 1. 如图所示： （1） 图中有几条射线？能用图中的字母表示出来的有几条？ （2） 图中有几条线段？如何表示？ 2. 如图所示，图中有直线_____条；射线______条；线段______条 3.（1）已知平面内一点A,过这点可画几条直线？ （2）已知平面内不共线三点A、B、C过其中两个点画直线可以画出几条？ （3）已知平面内任意不共线的四个点A、B、C、D，过其中两个点画直线可以画出几条? （4）已知平面内任意不共线的n个点，过其中两个点画直线可以画出几条？ 收获 反思 巩固作业 1．直线上有3个点,则共有线段的条数为( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 2．经过任意三点中的两点，可以画的直线条数是（ ） A.1条 B.3条 C.1条或3条 D.无数条 3. 下列四个生活、生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程.其中可用基本事实 “两点确定一条直线”来解释的现象有（ ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 4.判断题． ( )(1)两条线段最多有一个公共点． ( )(2)反向延长射线AB． ( )(3)延长直线AB到C． ( )(4)射线是直线长度的一半． ( )(5)在一条直线上取n个点可以得到2n条射线． ( )(6)三点能确定三条直线． ( )(7)如果直线a和b有两个公共点，那么它们一定重合． ( )(8)延长线段AB就得到直线AB． ( )(9)若三条直线两两相交，则交点有3个． 5．填表： 直线上的点的个数n 图例 射线总条数 线段总条数 2 4 1 3 4 5 ┆ n 课题 6.2.1直线、射线、线段（2） 学习 目标 1. 会估计线段的长度，能进行线段的比较和度量，会画有关线段的图形（100%）. 2. 理解“两点之间的距离”的概念，掌握线段的性质以及应用（100%）. 3. 掌握线段中点的定义及符号表示方法，能进行简单的线段计算（100%）. 学习 重点 两点之间的所有连线中线段最短; 线段中点的定义及计算 学习 难点 线段的和差的概念涉及形与数的结合. 学习环节 要点摘要 依据 目标 自学 思考 1． 如图，已知平面上三点，，，请按要求完成下列问题： （1）画射线，线段； （2）连接，并用圆规在线段的延长线上截取，连接（保留画图痕迹）； （3）利用刻度尺取线段的中点，连接. 2. 如图，有两条线段，我们可以通过_________ 或__________的方法比较两条线段的长短. 活动1：尺规作图：在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图. 作一条线段等于已知线段 （1）已知线段a，求作线段AB ，使线段AB=a. 作法：1.画射线AC 2.在射线AC上截取AB=a. 则线段AB即为所求作线段 这就是作一条线段等于已知线段的尺规作图. 练一练： （1）如图，已知线段a，b，作一条线段，使它的长度等于已知线段的长度的和. （2）如图，已知线段a，b，作一条线段，使它的长度等于已知线段的长度的差. 活动2：你能通过折纸的方法得到一条线段的中点吗？ 线段中点：线段上的一点把线段分成______的两条线段,这个点叫做这条线段的中点. 图形： 符号语言： 判断：若AM=BM，则M为线段AB的中点（ ） 请画图说明你判断的依据： 活动3：小明到小英家有三条路可走，如图，你认为走哪条路最近？ 关于线段的基本事实（公理）：_________________________________ 两点间的距离：___________________________________________ 合作 展示 交流 解疑 例1．（1）如图，点C是线段AB的中点，AB=6cm. AC=CB= (cm)， AB= + = , AC= AB. （2）如图，AB=10cm，点C是线段AB的中点， 点D是线段BC的中点， AC=CB= ， CD=DB= ， AD= + ____= ______ 例2．如图，已知线段a，b，尺规作一条线段，使它的长度等于2a-b． 练习： 1．如图，点B、C在线段AD上，则 AC =______+______ = ____________， BC =______ ______ = ____________. 2．如图，若ＡD=7cm，BD=4cm，且C为BD的中点， AC=__________cm． 质疑 深化 巩固 提升 例3． (1) 在直线a上顺次截取A，B，C三点，使得AB=4cm,BC=3cm.如果O是线段AC的中点，求线段OB的长. （3） 已知线段AB=3cm，在线段AB所在直线上作线段BC＝5cm，求线段AC的长度． 例4．某长方体的展开图中，P、A、B、C、D（均为格点）的位置如图所示，一只蚂蚁从点P出发，沿着长方体表面爬行．若此蚂蚁分别沿最短路线爬行到A、B、C、D四点，则蚂蚁爬行距离最短的路线是 A． P→A B． P→B C． P→C D． P→D 收获 反思 巩固作业 1．已知直线l上顺次三个点A、B、C，已知AB=10cm，BC=4cm. （1）如果D是AC的中点，那么AD= cm. （2）如果M是AB的中点，那么MD= cm. （3）如图，AB=AC _______, AM+MB=AD+________ 2．（1）已知线段AB=10cm,P是线段AB的中点,则PA=_____=_____cm （2）若O是线段MN的中点,且OM=4cm,则MN=2____=_____cm 3．已知线段AB=9cm,点P是线段AB的一个三等分点,则PA的长为( ) A.3cm B.6cm C.3cm或6cm D.不能确定 4.已知线段CD=4cm,在直线CD上画线段CA=6cm,则AD的长为( ) A. 2 cm. B.10cm C.2cm或10cm D无法确定 5．已知C为线段AB的中点，AB＝10cm，D是AB上一点，若CD＝2cm，求BD的长． 6．如图，延长线段AB到C，使D为AC的中点，DC＝2，求AB的长． 7．已知线段AB如图所示，延长AB至C，使BC=AB，反向延长AB至D，使AD=BC，点E是线段CD的中点． （1）依题意补全图形； （2）若AB的长为30，则BE的长为__________． 8.(1)如图(1)，一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬行到它正上方的点B处，怎样爬行路线最短? (2)如图(2)，如果蚂蚁从点A沿圆柱侧面爬行一圈到达点B，怎样爬行路线最短?从点A沿圆柱侧面爬行两圈到达点B呢?说出你的理由. 课题 6.2.1直线、射线、线段（3）—— 线段复习 目标 （1）数线段、射线方法（100%）. （2）线段中点定义的应用及计算（90%）. 重点 线段和差计算及几何推理书写格式 难点 线段和差计算及中点概念的应用 学习环节 要点摘要 依据 目标 自学 思考 知识回顾 文字语言：点A为线段BC中点 图形语言： 符号语言： 合作 展示 交流 解疑 线段中点应用 例1.已知：如图，D是线段AC的中点，E是线段BC的中点，AC=10cm，BC=4cm， 求：线段DE的长 思考： 变式1.若点C是线段AB上任一点，满足AC+CB=,其它条件不变，你能猜写出DE的长度吗（用含的式子表示）？. 变式2.若将原题中“点C在线段AB上”，改为“点C在直线AB上”，结果又如何？画出图形，并求出DE的长度. 练习1：如图所示，已知线段AB＝80cm，M为AB的中点，P在MB上，N为PB的中点，且NB＝14cm，则PA的长为_________cm 质疑 深化 巩固 提升 例2．如图所示，B、C两点把线段AD分成4：5：7三部分，E是线段AD的中点，CD=14cm. 求：（1）EC的长． （2）AB：BE的值． 例3. （1）直线AB上有一点C,则直线AB上共有_______条线段； （2）如图，直线AB上有两点C、D,则直线AB上共有_______条线段； （3）若直线AB上有三点C、D、E,则直线AB上共有_______条线段； 规律小结： 例4．在数轴上，四个不同的点，，，分别表示有理数，，，，且，． （1）如图，为线段的中点， ①当点与原点重合时，用等式表示与的关系为_________________ ②求点表示的有理数的值（用含，的式子表示）； 　　　　　　 （2）已知， ①若，，三点的位置如图所示，请在图中标出点的位置； ②，，，的大小关系为__________________．（用“ ”连接） 收获 反思 巩固 作业 1.如图，点C,D在线段AB上，且AC=CB,CD=DB. (1)点 是线段AB的中点，点C是线段_______的三等分点. (2)AB是DB的几倍?AB是CD的几倍? 第1题图 第2题图 2.已知：如图，BC=4cm，DB=7cm， 且D是AC的中点.则AC=________cm. 3.如图，已知M是线段AB的中点，N在AB上，MN=AM,若MN=2cm, 则AB的长为________ 4．点O为数轴的原点，点A，B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为5，线段AB的长为线段OA长的1.2倍．点C在数轴上，M为线段OC的中点． （1）点B表示的数为________； （2）若线段BM的长为4.5，则线段AC的长为__________； （3）若线段AC的长为x，求线段BM的长（用含x的式子表示）． 5．已知：如图，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点． （1）若线段AC＝6，BC＝4，则线段MN的长度为_________ （2）若AB＝a，则线段MN的长度为_________ （3）若将（1）小题中“点C在线段AB上”改为“点C在直线AB上”，（1）小题的结果会有变化吗?求出MN的长度． 6．如图，点C在线段上，点M为的中点，，．求的长． 请补全下面的解题过程（括号中填写推理依据）． 解：∵点M为的中点， ∴①_____________（②_____________）． ∵， ∴③_____________． ∵， ∴设，则④_____________． ∴⑤_____________． ∴． ∴． ∴． ∴⑥_____________． 7．如图，已知AB=7，点C在线段AB上，BC=3，D为AC的中点. （1）求AD的长； （2）点E在线段AB的延长线上，且. 请判断点B是否为线段CE的中点，并说明理由. 课题 6.3.1角 学习 目标 （1）知道角的大小的计量单位“度”“分”“秒”认识的角的大小并能够准确换算(100%). （2）会用两种方法比较两角的大小，知道两角的和、差的意义，了解角平分线的意义，并能用数学语言表示(100%). 学习 重点 “度”“分”“秒”的单位换算、角的大小的比较方法 学习 难点 角的平分线和角的和、差 学习环节 学习摘要 依据 目标 自学 思考 阅读课本P 1.用两种方法说明怎样的图形是角？ （1） 组成的图形叫做角， 是角的顶点，这两条射线是角的 . （2）角可以看作由一条射线 而形成的图形. 如图4.3-3,射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，形成 角.继续旋转，OB和OA重合时，形成 角. 2.将图中的角用不同方法表示出来并填写下表： 3. 1度=__ 分；1分=__ 秒；1秒= _分；1秒= 度. 合作 展示 交流 解疑 合作 展示 交流 解疑 例1计算: （1）45°等于多少分? 等于多少秒? （2）1800″等于多少分? 等于多少度? 例2计算 （1）10°45′＋50°40′30″ （2）45°18′－ 6°2′×3； （3） 45°－ 6°2′×3； （4）36°3′÷ 7 （5） 3 ° 15′ 与3 . 15°相等吗？如果不相等，哪一个大？ 思考：根据图形回答： · AOC + DOC= ； · BOD –BOC = ； · AOC是哪两个角的和？ · BOC是哪两个角的差？ 例3如图：已知点A、O、B共线，AOD=75º, BOC=132º，则 COD等于多少度？ 练习： 1.如图：已知 AOB是直角，AOD=66º, BOC=72º，则 COD等于多少度？ 质疑 深化 巩固 提升 探究：已知：∠AOB=，∠AOC=∠AOB，反向延长OC至D． （1）请用量角器和直尺画出图形； （2）求∠BOD的度数． 收获 反思 巩固 作业 1．下列四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是（ ） 2．如图1，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1=27°40′，∠2的大小是（ ） A．27°40′ B．57°40′ C．58°20′ D．62°20′ 3．如图2，点O在直线AB上，图中小于180°的角共有( )． A．7 B.8个 C.9个 D.10个 图1 图2 4．计算： (1)0.4°＝______'； (2)0.6′＝______″； (3)24′＝______°； (4)12″＝______′； (5)57.32°＝______°______′______″； (6)17°14′24″＝______°； (7)=_______． (8)17°40′÷3＝______°______′______″； (9)25°36′18″×6＝______°______′______″． (10)360°÷7(精确到1′) (11)180°－37°5′×4 5．5点整时，时钟的时针与分针之间的夹角是多少度? 6.如图，O是直线AB上一点，OC是∠AOB 的平分线,∠COD =31°28´, 求∠AOD是多少度？ 7．已知：如图，AOB是直线，∠1∶∠2∶∠3＝1∶3∶2，求∠DOB的度数． 8．如图，(1)中有______个角，(2)中有______个角；(3)中有______个角．以此类推，若一个角内有n条射线，则可有______个角． 课题 6.3.2角的比较与运算 学习 目标 （1）知道角的大小的计量单位“度”“分”“秒”认识的角的大小并能够准确换算(100%). （2）会用两种方法比较两角的大小，知道两角的和、差的意义，了解角平分线的意义，并能用数学语言表示(100%). 学习 重点 利用叠合法比较角的大小 学习 难点 角的平分线与角的和、差 学习环节 学习摘要 依据 目标 自学 思考 阅读课本P173-175 1.类比比较两条线段长短的方法，怎样比较两个角的的大小？ （1） （2） 2.角平分线定义 如图：若OB是∠AOC的角平分线， 则（1）∠AOB= ； （2）∠AOC=2 =2 ； （3）∠AOB =∠BOC = ∠AOC. 3.动手做一做：通过折纸作角平分线. 合作 展示 交流 解疑 合作 展示 交流 解疑 思考：根据图形回答： · AOC + DOC= ； · BOD –BOC = ； · AOC是哪两个角的和？ · BOC是哪两个角的差？ 例1.计算: 如图,O是直线AB上一点，∠AOC=53°17′，求∠BOC的度数 例2:把一个周角7等分，每一份是多少度的角（精确到分）？ 练习1.如图：点A、O、B共线，AOD=75º, BOC=132º，则COD等于多少度？ 练习2. 已知：如图，．若，平分，依题意补全图形并求的度数． 质疑 深化 巩固 提升 应用：如图①，O为直线AB上一点，作射线OC，使∠AOC＝120°，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点O处，一条直角边OP在射线OA上．将图①中的三角尺绕点O以每秒5°的速度按逆时针方向旋转（如图②所示），在旋转一周的过程中，第t秒时， OQ所在直线恰好平分∠BOC，则t的值为 . 练习：如图，OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线. 如∠AOB=130°，那么∠COE=______度. 思考：用一副三角板能够拼出哪些小于平角的角？度数分别是多少？ 收获 反思 巩固 作业 1.把一个圆形蛋糕等分成8份，每份中的角是多少度？如果要使每份中的角是15°，这个蛋糕应等分成多少份？ 2. 如图，OD、OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线，∠AOD＝40°，∠BOE＝25°，求∠AOB的度数． 解：∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC， ∴∠AOC＝2∠AOD，∠BOC＝2∠______． ∵∠AOD＝40°，∠BOE＝25°， ∴∠BOC＝______，∠AOC＝______． ∴∠AOB＝____． 3.根据题意， 补全解题过程： 如图，∠AOB=90°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC． 求∠EOF的度数. 解：因为OE平分∠AOC，OF平分∠BOC 所以∠EOC =∠AOC，∠FOC = . 所以∠EOF =∠EOC- =（∠AOC-_______） = = °. 4．如图所示,已知,OE平分,OF平分. (1)求的度数； (2)使条件中的,求的度数； (3)使条件中的,求的度数； (4)从(1)、(2)、(3)题的结论中你得出了什么结论？O A E B F C 5．已知，（，且OP不与OA重合）． （1）当时，若射线OP在∠AOB内，请用量角器在图1中画出射线OP，则∠AOP的度数为___________； （2）当时，OQ平分∠AOP，求∠BOQ的度数； 图1 备用图 课题 6.3.3 余角和补角(1) 学习 目标 （1）学会余角、补角的定义； （2）学会余角、补角性质； （3）会用上述知识解决相关问题. 学习 重点 认识角的互余、互补关系及其性质. 学习 难点 通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，并能用规范的语言描述性质. 学习环节 要点摘要 依据 目标 自学 思考 阅读课本第176页，完成以下问题： 1.画出下列各组角 （1）∠A=15°，∠B=75°； （2）∠A=45°，∠B=135° 问题：（1）中的两个角的度数和是 ； （2）中的两个角的度数和是 . 2.计算下列各组角的和 (1) (2) 学习新知识: 定义1：一般地， ，就说这两个角互为余角，简称 ,其中 ; 定义2：如果两个角的 ，就说这两个角互为补角 ，简称 ，其中 . 思考:1.你能把定义转化成几何的符号语言吗? 2.互为余角和互为补角的角分别指 角之间的关系; 3.互为余角和互为补角的角主要反映角的 关系,与角的 无关. 4．图中给出的各角中，哪些互为余角？哪些互为补角？ 合作 展示 交流 解疑 例1． 如图 ，点A，O，B在同一条直线上，射线OD 和射线OE分别平分 ∠AOC 和∠BOC.图中哪些角互为余角? 练习：判断题 （1）90°的角叫余角，180°的角叫补角. ( ) （2）若180°，则互补.( ) （3）锐角的余角是锐角，锐角的补角是钝角.（ ） （4）钝角没有余角，但一定有补角, 其补角是锐角. ( ) （5）若两个角互为补角，那么这两个角必定是一个锐角和一个钝角.( ) （6）一个角的补角一定大于这个角的余角. ( ) 例2 一个角的余角比它的补角的三分之一还少20º，求这个角. 例3 ①如图1, ∠1 与∠2 互补, ∠3与 ∠4互补,如果∠1＝∠3, 那么∠2与 ∠4相等吗？为什么？ 图1 图2 ②如图2，如果∠1与∠3互余，∠2与∠3互余，那么∠1与∠2相等吗？为什么？ 试一试：你能得到什么结论？ 性质: ； . 推理形式: 例4 填空，完成下列说理过程. 如图，∠AOB=90°，∠COD=90°，OA平分∠DOE，若∠BOC=20°，求∠COE的度数. 解：因为∠AOB=90°， 所以∠BOC+∠AOC=90°． 因为∠COD=90°， 所以∠AOD+∠AOC=90°． 所以∠BOC=∠AOD．（ ） 因为∠BOC=20°， 所以∠AOD=20°． 因为OA平分∠DOE， 所以∠ =2∠AOD= °．（ ） 所以∠COE=∠COD-∠DOE= °． 例5 已知：∠AOB=40°，∠BOC是∠AOB的补角，OD、OE分别是∠AOB和∠BOC的平分线，求∠DOE的度数. 质疑 深化 巩固 提升 练习1: （1）一个角是 ，则它的余角是_______；补角是_______；它的补角比它的余角大 ___ °； （2） 的余角可表示为 ；补角可表示为__________. （3）将一副三角板按如图所示位置摆放，其中与一定互余的是（ ） A. B. C. D. 练习2: （1）如图，已知∠AOB是直角，点C、O、D在一条直线上，∠AOC=25°，则∠BOC和∠AOD的度数分别是（ ） A.75°，155° B.65°，155° C. 25°，65° D. 90°，180° (2) 一个锐角和它的余角之比是5∶4，那么这个锐角的补角的度数是（ ） A．100 B．120 C．130 D．140 练习3: （1）若∠1+∠2=90°,∠3+∠2=90°,∠1=40°,则∠3= °,依据是_______ __ . （2）∠1与∠2互补，∠3+∠4=180，若∠2=∠4,则∠1与∠3的关系是____ . 练习4: 已知一个角的余角是这个角的 ，求这个角和这个角的补角的度数. 练习5: 收获 反思 巩固作 业 1．填空： (1)已知∠1=200,∠2=300,∠3=600,∠4=1500,则∠2是___ 的余角,___ 是∠4的补角. (2) 如图，点O在直线AB上，射线OD平分∠COA，∠DOF=∠AOE=90°，图中与∠1相等的角有 （请写出所有答案）． 2．若∠A=53°17′，则∠A的补角的度数为（ ） A．36°43′ B．126°43′ C．127°83′ D．126 °83′ 3．∠A的补角是∠C，∠C又是∠B的余角，则∠A一定是( )． (A)锐角 (B)钝角 (C)直角 (D)无法确定 4．下面说法中正确的是( )． (A)一个锐角的余角比这个角大 (B)一个锐角的余角比这个角小 (C)一个锐角的补角比这个角大 (D)一个钝角的补角比这个角大 5．如图，O是直线AB上一点，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOC，则图中互余的角共有_______ 对 6.（1）两个角的比是7∶3，它们的差是72°，求这两个角的度数． （2）若和互为补角，的度数比的2倍小．求的度数． 7．将一副三角尺的直角顶点重合在一起． （1）若∠DOB与∠DOA的比是2∶11，求∠BOC的度数． （2）若叠合所成的∠BOC=n°(0<n<90)，则∠AOD的补角的度数与∠BOC的度数之比是多少？ 8．如图，已知点O在直线AB上，作射线OC，点D在平面内，∠BOD与∠AOC互余． （1）若∠AOC:∠BOD=4:5，则∠BOD= ； （2）若∠AOC=α(0°<α≤45°)，ON平分∠COD． ①当点D在∠BOC内，补全图形，直接写出∠AON的值（用含α的式子表示）； ②若∠AON与∠COD互补，则α的值为 ． 9. 阅读下面材料： 小聪遇到这样一个问题：如图1，，请画一个，使与互补． 图1 图2 图3 小聪是这样思考的：首先通过分析明确射线OC在的外部，画出示意图，如图2所示；然后通过构造平角找到的补角，如图3所示；进而分析要使与互补，则需． 因此，小聪找到了解决问题的方法：反向延长射线OA得到射线OD，利用量角器画出的平分线OC，这样就得到了与互补． （1）小聪根据自己的画法写出了已知和求证，请你完成证明； 已知：如图3，点O在直线AD上，射线OC平分∠BOD. 求证：∠AOC与∠BOC互补. （2）参考小聪的画法，请在图4中画出一个，使与互余．（保留画图痕迹） （3）已知和互余，射线PM平分，射线PN平分. 若（），直接写出锐角的度数是__________ 10. 课题 6.3.3 余角和补角(2) 学习 目标 （1）掌握方位角的概念及其画法（100%）. （2）会利用方位角的知识确定物体的位置（100%）. 学习 重点 方位角的概念及其画法. 学习 难点 用方位角的知识解决在生活中遇到的问题. 学习环节 要点摘要 依据 目标 自学 思考 阅读书P138的例4，体会以下问题： 方位角—表示方向的角 ①明确四条方向线 一般是上北、下南、左西、右东 ②.方位角的表达形式：东西和南北方向线把平面分成四个区域，如果点P在右上部，且射线OP与正北方向线的夹角是m°，则称点P在点O北偏东m°的方向上.一般地，规定先说南或北，再说偏东或者偏西. ③按图中度数填空：OA是 方向，OB是 方向，OC是 方向，OD是 方向. ④东北——北偏东45° 西北——北偏西45° 东南——南偏东45° 西南——南偏西45° 合作 展示 交流 解疑 方位角的应用 例1 如图，货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它南偏东60°的方向上.同时,在它北偏东40°,南偏西10°,西北(即北偏西45°)方向上又分别发现了客轮B,货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法画出表示客轮B,货轮C和海岛D方向的射线. 练习：1.画出下列方位角 北偏东 南偏西 北偏西 东北方向 西北方向 东南方向 2. 北京西站和北京南站是北京的两个铁路客运中心，如图，A,B,C分别表示天安门、北京西站、北京南站，经测量，北京西站在天安门的南偏西77°方向，北京南站在天安门的南偏西18°方向.则∠BAC= °. 例2 如上图，一艘轮船从点A出发，沿南偏西60°方向航行到B点，再从B点出发沿北偏东15°方向航行到C点，则∠ABC=（ ） A. 45° B. 75° C. 105° D. 135° 练习.甲从A点出发向北偏东70°方向走50米至点B，乙从A出发向南偏西15°方向走80米至点C，则∠BAC的度数是 . 质疑 深化 巩固 提升 例3 在一张地图上，如图所示，有学校、医院、图书馆三地.图书馆被墨水污染了，具体位置看不清楚，但知道图书馆在学校的北偏东45°，在医院的南偏东60°，试确定图书馆的位置. 收获 反思 巩固作业 1.如图，OA方向表示什么？OB方向表示什么？OC方向表示什么？ 2.轮船航行到C处测得小岛A的方向为北偏西32°，那么从A观测此时的C处的方向为( )． (A)南偏东32° (B)东偏南32° (C)南偏东68° (D)东偏南68° 3. 若轮船甲自A岛沿北偏东45°的方向行驶30海里到达B岛，轮船乙自A岛沿南偏西70°的方向行驶50海里到达C岛，则∠BAC＝____________． 4.如图,某海域有三个小岛A,B,O,在小岛O处观测到小岛A在它北偏东60°的方向上,观测到小岛B在它南偏东38°的方向上,则∠AOB的度数是 5.如图，A，B表示笔直的海岸边的两个观测点，从A地发现它的北偏东75°方向有一艘船，同时，从B地发现这艘船在它的北偏东60°方向． （1）在图中画出这艘船的位置，并用点C表示； （2）若此图的比例尺为1：100 000，请你通过画图、测量，计算出这艘船到海岸线AB的实际距离（精确到1千米）． 38 学科网（北京）股份有限公司 A D B B C $