第四章专题：板块模型和传送带模型（拔高）讲义-2025-2026学年高一上学期物理人教版必修第一册

第15讲 滑块—木板模型和传送带模型 【教学目标】1．能够正确运用牛顿运动定律处理滑块—木板模型； 2．会对传送带上的物体进行受力分析，能正确解答传送带上的物体的运动问题． 【重、难点】以上两个模型都是重难点 考点一 滑块—木板模型 1．模型概述 一个物体在另一个物体表面上发生相对滑动，两者之间有相对运动，可能发生同向相对滑动或反向相对滑动．板块问题一般都涉及到受力分析、运动分析、临界问题、摩擦力的突变问题等，并且会涉及两物体的运动时间、速度、加速度、位移等各量的关系．在解决板块问题时基本上都会用到整体法和隔离法． 2．三个基本关系 加速度 关系 如果滑块与木板保持相对静止，可以用“整体法”求出它们一起运动的加速度 如果滑块与木板之间发生相对运动，应采用“隔离法”分别求出滑块与木板运动的加速度．应注意发掘滑块与木板是否发生相对运动等隐含条件 速度关系 滑块与木板保持相对静止时，二者速度相同，分析清楚此时的摩擦力作用情况 滑块与木板之间发生相对运动时，二者速度不相同，明确滑块与木板的速度关系，从而确定滑块与木板受到的摩擦力情况．应注意摩擦力发生突变的情况 位移关系 滑块和木板向同一方向运动时，它们的相对滑行距离等于它们的位移之差 滑块和木板向相反方向运动时，它们的相对滑行距离等于它们的位移之和 （一）为保持相对静止或相对滑动，求最大外力或最小外力．（已知内力求外力） 解题方法：往往求临界情况，即刚好没滑动（相对静止）时的外力． 此时隐含两个条件：①静摩擦力为fm；②a相同． 例1、如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m、2m的A、B两个物体，A、B间的最大静摩擦力为μmg，现用水平拉力F拉B，使A、B以同一加速度运动，则拉力F的最大值为（　　） A．μmg B．2μmg C．3μmg D．4μmg （二）给定外力，判断是否相对滑动（已知外力求内力） 例2、如图所示，质量为m1的足够长的木板静止在水平面上，其上放一质量为m2的物块．物块与木板的接触面是光滑的．从t＝0时刻起，给物块施加一水平恒力F．分别用a1、a2和v1、v2表示木板、物块的加速度和速度大小，下列图象符合运动情况的是（　　） 例3、如图所示，水平桌面上质量为m的物块放在质量为2m的长木板的左端，物块和木板间的动摩擦因数为μ，木板和桌面间的动摩擦因数为μ，接触面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力．开始时物块和木板均静止，若在物块上施加一个水平向右的恒力F，已知重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．当F>μmg时，物块和木板一定发生相对滑动 B．当F＝μmg时，物块的加速度大小为μg C．当F＝2μmg时，木板的加速度大小为μg D．不管力F多大，木板的加速度始终为0 （三）开始两物体不共速，那必然相对滑动，但一段时间之后可能共速（需分析） （1）如果会滑离，则找两者的位移关系 （2）如果不会滑离，两者一定会先共速，此后 ①系统无外力，则一起匀速；②系统有外力，则按照（二）的方法判断是否相对滑动． 例4、如图所示，长为L＝2m、质量为M＝8kg的木板，放在水平地面上，木板向右运动的速度v0＝6m/s时，在木板前端轻放一个大小不计，质量为m＝2kg的小物块．木板与地面、物块与木板间的动摩擦因数均为μ＝0.2，g＝10 m/s2.求： （1）物块及木板的加速度大小；（2）物块滑离木板时的速度大小． 例5、如图所示，质量M=2kg足够长的木板静止在水平地面上，另一个质量m=1kg的小滑块以v0＝6m/s的初速度滑上木板的左端．已知滑块与木板之间的动摩擦因数μ1=0.5，木板与地面的动摩擦因数μ2=0.1，g取l0m/s2．求： （1）求小滑块自滑上木板到相对木板处于静止的过程中，小滑块相对地面的位移大小； （2）求木板相对地面运动位移的最大值； （3）为使小滑块不能离开木板，则木板的长度至少多长． 例6、如图所示，一质量为M的木板，在粗糙地面上自由滑行，当速度变为v0=5m/s时，将一质量为m的小滑块（视为质点）轻放在木板的右端，已知M=m，小滑块与木板之间的动摩擦因数为μ1＝0.1，木板与地面之间的动摩擦因数为μ2＝0.15，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g＝10m/s2． 求：（1）为使小滑块不从木板上掉下来，木板的长度至少多大； （2）在满足（1）的条件下，物块最终将停在距木板右端多远处． 变式1、如图所示，质量为m=5kg的长木板放在水平地面上，在木板的最右端放一质量也为m=5kg的物块A．木板与地面间的动摩擦因数μ1=0.3，物块与木板间的动摩擦因数μ2=0.2．现用一水平力F=60N作用在木板上，使木板由静止开始匀加速运动，经过t=1s，撤去拉力．设物块与木板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s2．求： （1）拉力撤去时，木板的速度大小； （2）要使物块不从木板上掉下，木板的长度至少多大； （3）在满足（2）的条件下，物块最终将停在距板右端多远处． 求解“滑块—木板”类问题的方法技巧 1．搞清各物体初始状态相对地面的运动和物体间的相对运动（或相对运动趋势），根据相对运动（或相对运动趋势）情况，确定物体间的摩擦力方向． 2．正确地对各物体进行受力分析，并根据牛顿第二定律确定各物体的加速度，结合加速度和速度的方向关系确定物体的运动情况． 考点二 传送带问题 1．传送带的基本类型 一个物体以初速度 v0（v0≥0）在另一个匀速运动的物体上运动的力学系统可看成传送带模型．传送带模型按放置方向分为水平传送带和倾斜传送带两种，如图所示． 2．传送带问题的动力学分析 （1）水平传送带 图示 滑块可能的运动情况 滑块受（摩擦）力分析 一直加速 受力f＝μmg 先加速后匀速 先受力f＝μmg，后f＝0 v0>v，一直减速 受力f＝μmg v0>v，先减速再匀速 先受力f＝μmg，后f＝0 v0<v，一直加速 受力f＝μmg v0<v，先加速再匀速 先受力f＝μmg，后f＝0 传送带长度l<，滑块一直减速到达左端 受力f＝μmg（方向一直向右） 传送带长度l≥，v0<v，滑块先减速再向右加速，到达右端速度为v0 受力f＝μmg（方向一直向右） 传送带长度l≥，v0>v，滑块先减速再向右加速，最后匀速，到达右端速度为v 减速和反向加速时受力f＝μmg（方向一直向右），匀速运动f＝0 （2）倾斜传送带 图示 滑块可能的运动情况 滑块受（摩擦）力分析 一直加速 受摩擦力f＝μmgcos θ 先加速后匀速 先受摩擦力f＝μmgcos θ，后f＝mgsin θ 一直加速 受摩擦力f＝μmgcos θ 先加速后匀速 先受摩擦力f＝μmgcos θ，后f＝mgsin θ 先以加速度a1加速，后以加速度a2加速 先受摩擦力f＝μmgcos θ，后受反向的摩擦力f＝μmgcos θ 一直加速 受摩擦力f＝μmgcos θ 先加速后匀速 先受摩擦力f＝μmgcos θ，后f＝mgsin θ 一直匀速（v0>v） 受摩擦力f＝mgsin θ 一直匀速（v0＝v） 受摩擦力f＝mgsin θ 先以加速度a1加速，后以加速度a2加速 先受摩擦力f＝μmgcos θ，后受反向的摩擦力f＝μmgcos θ 一直加速 受摩擦力f＝μmgcos θ 一直匀速 受摩擦力f＝mgsin θ 先减速后反向加速 受摩擦力f＝μmgcos θ （一）水平传送带 例7、如图所示，物块m在传送带上向右运动，两者保持相对静止．则下列关于m所受摩擦力的说法中正确的是（　　） A．皮带传送速度越大，m受到的摩擦力越大 B．皮带传送的加速度越大，m受到的摩擦力越大 C．皮带速度恒定，m质量越大，所受摩擦力越大 D．无论皮带做何种运动，m都一定受摩擦力作用 例8、（多选）如图所示，传送带的水平部分长为L，传动速率为v，在其左端无初速度释放一小木块，若木块与传送带间的动摩擦因数为μ，则木块从左端运动到右端的时间可能是（　　） A．＋ B． C． D． 变式2、（多选）如图甲为应用于机场和火车站的安全检查仪，用于对旅客的行李进行安全检查．其传送装置可简化为如图乙模型，紧绷的传送带始终保持v＝1m/s的恒定速率运行．旅客把行李（可视为质点）无初速度地放在A处，设行李与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.1，A、B间的距离为2 m，g取10m/s2．若乘客把行李放到传送带的同时也以v＝1m/s的恒定速率平行于传送带运动到B处取行李，则（　　） 　　　 A．乘客与行李同时到达B处 B．乘客提前0.5s到达B处 C．行李提前0.5s到达B处 D．若传送带速度足够大，行李最快也要2s才能到达B处 例9、如图所示，A、B为水平传送带的两端，质量为m＝4 kg的物体，静止放在传送带的A端，并在与水平方向成37°角的力F＝20 N的力作用下，沿传送带向B端运动，物体与传送带间的动摩擦因数μ＝0.5，g取10 m/s2，则： （1）当传送带静止时，物体从A到B的运动时间8 s，求A、B间的距离； （2）当传送带以7.5m/s的速度顺时针转动时，求物体从A到B运动的时间．（计算结果可保留根式） 例10、如图所示，一条足够长的浅色水平传送带自左向右匀速运行．现将一个木炭包无初速度地放在传送带的最左端，木炭包在传送带上将会留下一段黑色的径迹．下列说法中正确的是（　　） A．黑色的径迹将出现在木炭包的左侧 B．木炭包的质量越大，径迹的长度越短 C．传送带运动的速度越大，径迹的长度越短 D．木炭包与传送带间的动摩擦因数越大，径迹的长度越短 （二）倾斜传送带 例11、如图所示，传送带与水平地面的夹角为θ＝37°，A、B两端相距L=64m，传送带以v＝20m/s的速度沿逆时针方向转动，在传送带上端A点无初速度地放上一个质量为m＝8kg的物体（可视为质点），它与传送带之间的动摩擦因数为μ＝0.5，（sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2）求： （1）物体从A点运动到B点所用的时间；（2）物体在传送带上留下的划痕长度． 物体沿着倾斜的传送带向下加速运动到与传送带速度相等时，若μ≥tanθ，物体随传送带一起匀速运动；若μ<tanθ，物体将以较小的加速度a＝gsinθ－μgcosθ继续加速运动． 变式3、（多选）三角形传送带以1m/s的速度逆时针匀速转动，两边的传送带长都是2m，且与水平方向的夹角均为θ=37°．现有两小物块A、B从传送带顶端都以1m/s的初速度沿传送带下滑，物块与传送带间的动摩擦因数均为0.5（g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8）．下列说法正确的是（ 　） A．物块A先到达传送带底端 B．物块A、B同时到达传送带底端 C．物块A、B运动的加速度大小不同 D．物块A、B在传送带上的划痕长度不相同 变式4、如图所示，传送带与水平地面的夹角θ＝37°，A、B两端相距L=12m，质量为m＝1kg的物体以v0＝14m/s的速度沿AB方向从A端滑上传送带，物体与传送带间的动摩擦因数为μ＝0.5，传送带顺时针转动的速度v＝4m/s，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，求：物体从A点到达B点所需的时间． 【能力展示】 【小试牛刀】 1．（多选）如图所示，一足够长的水平传送带以恒定的速度顺时针传动．将一物体轻轻放在传送带的左端，以v、a、s、F表示物体的速度大小、加速度大小、位移大小和所受摩擦力的大小．下列选项正确的是（　　） 2．如图所示，足够长的传送带与水平面间夹角为θ，以速度v0逆时针匀速转动．在传送带的上端轻轻放置一个质量为m的小木块，小木块与传送带间的动摩擦因数μ<tan θ，则下图中能客观地反映小木块的速度随时间变化关系的是（　　） 3．（多选）如图所示，水平传送带A、B两端点相距s＝3.5m，以v0＝2m/s的速度（始终保持不变）顺时针运转，今将一小煤块（可视为质点）无初速度地轻放在A端，已知小煤块与传送带间的动摩擦因数为0.4．由于小煤块与传送带之间有相对滑动，会在传送带上留下划痕，小煤块从A运动到B的过程中（g取10 m/s2）（　　） A．所用的时间是2 s B．所用的时间是2.25 s C．划痕长度是3 m D．划痕长度是0.5 m 4．（多选）如图所示，在山体下的水平地面上有一静止长木板，某次山体滑坡，有石块从山坡上滑下后，恰好以速度v1滑上长木板，石块与长木板、长木板与水平地面之间都存在摩擦。设最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力的大小，且石块始终未滑出长木板。下面给出了石块在长木板上滑行的v­t图象，其中可能正确的是（　　） 5．（多选）如图所示，长木板放置在水平面上，一小物块置于长木板的中央，长木板和物块的质量均为m，物块与木板间的动摩擦因数为μ，木板与水平面间动摩擦因数为μ，已知最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，重力加速度为g．现对物块施加一水平向右的拉力F，则木板加速度大小a可能是（　　） A．a＝μg　　 B．a＝μg C．a＝μg D．a＝－μg 6．（多选）如图所示，倾角为θ的足够长的传送带以恒定的速率v0沿逆时针方向运行．t＝0时，将质量m＝1 kg的小物块（可视为质点）轻放在传送带上，物块速度随时间变化的图象如图所示．设沿传送带向下为正方向，重力加速度g取10 m/s2．则（　　） A．摩擦力的方向始终沿传送带向下 B．1～2 s内，物块的加速度为2 m/s2 C．传送带的倾角θ＝37° D．物块与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.5 7．如图所示，完全相同的磁铁A、B分别位于铁质车厢竖直面和水平面上，A、B与车厢间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，小车静止时，A恰好不下滑，现使小车加速运动，为保证A、B无滑动，则（　　） A．加速度可能向右，大小小于μg B．加速度一定向右，大小不能超过（1＋μ）g C．加速度一定向左，大小不能超过μg D．加速度一定向左，大小不能超过（1＋μ）g 【大显身手】 8．如图所示，在光滑的水平面上有一质量为m1的足够长的木板，其上叠放一质量为m2的木块．假定木块和木板之间的最大静摩擦力和滑动摩擦力相等．现给木块施加一随时间t增大的水平力F＝kt（k是常数），木板和木块加速度的大小分别为a1和a2．下列反映a1和a2变化的图线中正确的是（　　） 9．如图所示，质量为M=2.5kg的一只长方体形空铁箱在水平拉力F作用下沿水平面向右做匀加速直线运动，铁箱与水平面间的动摩擦因数为μ1＝0.3．这时铁箱内有一个质量为m=0.5kg的木块（可视为质点）恰好能静止在后壁上．木块与铁箱内壁间的动摩擦因数均为μ2＝0.25．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g＝10m/s2．求： （1）水平拉力F的大小； （2）减小拉力F，经过一段时间，木块沿铁箱左侧壁落到底部且不反弹，之后某时刻当铁箱的速度为v＝6m/s时撤去拉力，又经1s时间木块从左侧到达右侧，则铁箱的长度是多少？ 10．如图所示，两个滑块A和B的质量分别为mA＝1kg和mB＝5kg，放在静止于水平地面上的木板的两端，两者与木板间的动摩擦因数均为μ1＝0.5；木板的质量为m＝4kg，与地面间的动摩擦因数为μ2＝0.1．某时刻A、B两滑块开始相向滑动，初速度大小均为v0＝3m/s．A、B相遇时，A与木板恰好相对静止．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小g＝10 m/s2．求： （1）B与木板相对静止时，木板的速度；（2）A、B开始运动时，两者之间的距离． 11．如图所示，一水平的足够长的传送带与平板紧靠在一起，且上表面在同一水平面。传送带上左端放置一质量为m＝1kg的煤块（视为质点），煤块与传送带及煤块与平板上表面之间的动摩擦因数均为μ1＝0.1．初始时，传送带与煤块及平板都是静止的。现让传送带以恒定的水平向右的加速度a＝3m/s2开始运动，当其速度达到v＝1.5m/s后，便以此速度做匀速运动。经过一段时间，煤块在传送带上留下了一段黑色痕迹后，煤块相对于传送带不再滑动，随后，在平稳滑上右端平板上的同时，在平板右侧施加一个水平恒力F＝17N，F作用了0.5 s时煤块与平板速度恰相等，此时刻撤去F．最终煤块没有从平板上滑下，已知平板质量M＝4 kg，重力加速度为g＝10 m/s2，问： （1）传送带上黑色痕迹的长度； （2）有F作用期间平板的加速度大小； （3）平板上表面至少多长？（计算结果保留两位有效数字） 第15讲 板块模型和传送带模型 答案 例1、C 例2、D 例3、B 例4、（1）2 m/s2　3 m/s2　（2）0.8 m/s 例5、（1）3.5m（2）1m （3）3m 例6、（1）2.5m （2）2.25m 变式1、（1）4m/s （2）1.2m（3）0.48m 例7、B 例8、ACD 变式2、BD 例9、（1）16 m　（2） 例10、D 例11、（1）4 s （2）20m 变式3、BD 变式4、 2s 【能力展示】 1．AB 2．D 3．AD 4．BD 5．CD 6．BCD 7．D 8．A 9．（1）129N（2）0.3m 10．[答案]（1）1 m/s　（2）1.9 m [解析]（1）滑块A和B在木板上滑动时，木板也在地面上滑动．设A、B和木板所受的摩擦力大小分别为f1、f2和f3，A和B相对于地面的加速度大小分别为aA和aB，木板相对于地面的加速度大小为a1，在物块B与木板达到共同速度前有 f1＝μ1mAg ① f2＝μ1mBg ② f3＝μ2（m＋mA＋mB）g ③ 由牛顿第二定律得 f1＝mAaA ④ f2＝mBaB ⑤ f2－f1－f3＝ma1 ⑥ 设在t1时刻，B与木板达到共同速度，其大小为v1，由运动学公式有 v1＝v0－aBt1 ⑦ v1＝a1t1 ⑧ 联立①②③④⑤⑥⑦⑧式，代入已知数据得v1＝1 m/s. ⑨ （2）在t1时间内，B相对于地面移动的距离为sB＝v0t1－aBt ⑩ 设在B与木板达到共同速度v1后，木板的加速度大小为a2，对于B与木板组成的整体，由牛顿第二定律有f1＋f3＝（mB＋m）a2 ⑪ 由①②④⑤式知，aA＝aB；再由⑦⑧式知，B与木板达到共同速度时，A的速度大小也为v1，但运动方向与木板相反．由题意知，A和B相遇时，A与木板的速度相同，设其大小为v2，设A的速度大小从v1变到v2所用的时间为t2，则由运动学公式，对木板有v2＝v1－a2t2 ⑫ 对A有v2＝－v1＋aAt2 ⑬ 在t2时间内，B（以及木板）相对地面移动的距离为s1＝v1t2－a2t ⑭ 在（t1＋t2）时间内，A相对地面移动的距离为sA＝v0（t1＋t2）－aA（t1＋t2）2 ⑮ A和B相遇时，A与木板的速度也恰好相同，因此A和B开始运动时，两者之间的距离为 s0＝sA＋s1＋sB ⑯ 联立以上各式，并代入数据得s0＝1.9 m. 11．[答案]（1）0.75 m　（2）2.0 m/s2　（3）0.65 m [解析]（1）煤块在传送带上发生相对运动时，根据牛顿第二定律可得μ1mg＝ma1， 则其加速度a1＝μ1g＝1 m/s2，方向水平向右 设经过时间t1，煤块速度达到v 经过时间t2，传送带速度达到v 即v＝a1t1＝at2 代入数据得t1＝1.5 s，t2＝0.5 s 则t1时间内，传送带发生的位移s＝＋v（t1－t2） 煤块发生的位移s′＝ 黑色痕迹长度即传送带与煤块发生的位移之差，即：Δs＝s－s′＝0.75 m （2）煤块滑上平板时的速度为v＝1.5 m/s 加速度为a1＝＝μ1g，方向水平向左 经过t0＝0.5 s，速度v′＝v－a1t0＝1.0 m/s 设平板的加速度大小为a2，依题意由v′＝a2t0＝1.0 m/s 解得a2＝2.0 m/s2 （3）设平板与地面间动摩擦因数为μ2，由a2＝2 m/s2 且Ma2＝（F＋μ1mg）－μ2（mg＋Mg） 代入数值得μ2＝0.2 由于μ2>μ1，共速后煤块将仍以加速度大小a1匀减速运动，直到停止，而平板以加速度大小a3匀减速运动 Ma3＝μ2（mg＋Mg）－μ1mg 得a3＝2.25 m/s2，运动时间为t3＝＝ s 所以全程，平板的位移为s板＝＝ m 煤块的位移s煤＝＝ m 煤块不从平板上滑下，则平板车的最短长度即煤块与平板的位移之差，即L＝s煤－s板≈0.65 m 2 学科网（北京）股份有限公司 $