2.4 圆的方程 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦圆的方程及其相关性质，系统构建从定义、标准方程到一般方程的完整知识体系，衔接点与圆的位置关系、对称问题和最值问题，形成由基础到综合的学习支架，帮助学生建立几何直观与代数运算的双向联系。 资料设计亮点突出，体现数学抽象、逻辑推理与建模意识的核心素养。例如通过“阿波罗尼斯圆”案例引导学生用代数方法探究轨迹规律，强化数形结合思想；在求动点轨迹时采用相关点法与消参法，提升运算能力和空间想象能力。课中可辅助教师精准讲解难点，课后便于学生查漏补缺，巩固圆的方程求解、位置判断及综合应用等关键技能。

2.4 圆的方程 【知识储备】 1．圆的定义 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径). 圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小. 2．圆的标准方程 (1)圆的标准方程：方程 (r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程. (2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径. (3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此 在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程. 3．圆的一般方程 (1)方程叫做圆的一般方程. (2) 圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因 此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程. 下列情况比较适用圆的一般方程： ①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F； ②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线 方程，求待定系数D，E，F. 4．二元二次方程与圆的方程 (1)二元二次方程与圆的方程的关系： 二元二次方程，对比圆的一般方程 ，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程. (2)二元二次方程表示圆的条件： 二元二次方程表示圆的条件是 5．点与圆的位置关系 (1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外. (2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为 .平面内一点. 位置关系 判断方法 几何法 代数法(标准方程) 代数法(一般方程) 点在圆上 |MA|=r (x0-a)2 +(y0-b) 2=r2 点在圆内 |MA|<r (x0-a)2 +(y0-b) 2<r2 点在圆外 |MA|>r (x0-a)2 +(y0-b) 2>r2 6．与圆有关的对称问题 (1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称. (2)圆关于点对称 ①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点. (3)圆关于直线对称 ①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线. 7．与圆有关的最值问题 (1)与圆的代数结构有关的最值问题 ①形如t=形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； ②形如t=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题； ③形如t=形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (2)与圆的几何性质有关的最值问题 ①记C为圆心，r为圆的半径，则圆外一点A到圆上距离的最小值为|AC|-r，最大值为|AC|+r； ②过圆内一点的最长弦为圆的直径，最短弦是以该点为中点的弦； ③记圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，直线与圆相离，则圆上的点到直线的最大距离为d+r，最小距离为d-r； ④过两定点的所有圆中，面积最小的圆是以这两个定点为直径端点的圆. 【题型精讲】 【题型一 圆的方程的求法】 方法技巧 1.几何法：找出圆心坐标和半径大小，求圆的标准方程.​​​​​​​ 2.待定系数法：圆的标准方程中含有三个参变量，必须具备三个独立的条件才能确定出圆的方程.当已知曲 线为圆时，一般用待定系数法. 【例1】分别根据下列条件，求圆的方程： (1)（已知圆心+圆过一点）过点，圆心为； (2)（圆心在某直线上+相切）已知圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，且圆心在直线y＝－x上，则圆C的方程； (3)（圆心在某直线上+过两点）圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程为； (4)（圆心在某直线上+弦长）圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程； （5）（圆过三点或外接圆）过点，和原点． （6）已知直线，，且满足，垂足为. (1)求的值及点的坐标. (2)（已知直径求圆）设直线与轴交于点，直线与轴交于点，求的外接圆方程. 【题型精练】 1．已知的顶点，直线的方程为，边上的高所在直线的方程. (1)求顶点和的坐标； (2)求的外接圆的方程. 2．在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并完成解答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 已知直线l过点，且__________． ①与直线平行；②与直线垂直；③直线l的方向向量为． (1)求直线l的一般式方程； (2)已知圆心为C的圆经过两点，且圆心C在直线l上，求此圆的标准方程． 3．求满足下列条件的圆的标准方程． (1)经过点、，且以线段AB为直径； (2) 圆心在直线y=-2x上，且与直线y=1-x相切于点。 4．圆过点，，且圆心在直线上，则圆的标准方程为 . 5．已知圆的圆心在轴上，且经过点. (1)求圆的标准方程； (2)若圆上存在一点满足的面积为5，求直线AP的方程. 6．在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=3x上在第三象限内的点，B(﹣10，0)，以线段AB为直径的圆C(C为圆心)与直线l相交于另一个点D，AB⊥CD，则圆C的标准方程为 . 【题型二 二元二次方程表示圆的条件】 【例2】已知表示的曲线是圆，则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型精练】 1.若方程表示的曲线为圆，则的取值范围是（    ）． A． B．或 C． D． 【题型三 点与圆的位置关系】 方法技巧 点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外. 根据具体条件，可以通过几何法或代数法进行判断. 【例3】(多选)下列各点中，不在圆的外部的是（    ） A． B． C． D． 【例4】若点在圆的外部，则实数的取值范围是 ． 【题型精练】 1.点P（m，3）与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝3的位置关系为（　　） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与m的值有关 2.已知点在圆的外部，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【题型四 圆有关的轨迹问题】 方法技巧 求曲线的轨迹方程，常用以下几种方法：直接法、代入法、定义法等. ①“轨迹”与“轨迹方程”有区别，“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小(范围)等特征；“轨迹方 程”是方程(等式)，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围. ②求动点的轨迹往往先求出动点的轨迹方程，然后由方程研究轨迹图形；求动点的轨迹方程有时需要先由 条件判断轨迹图形，再由图形求方程. 【例5】（定义法）已知点和点，动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【例6】（相关点法）已知点P在圆x2+y2＝5上，点Q（0，﹣1），则线段PQ的中点的轨迹方程是（　　） A．x2+y2﹣x＝0 B．x2+y2+y﹣1＝0 C．x2+y2﹣y﹣2＝0 D．x2+y2﹣x+y＝0 【例7】（含绝对值的圆的轨迹方程）（1）在数学中有这样形状的曲线：，关于这种曲线，下列结论正确的有（    ） A．该曲线的图像既是轴对称图形也是中心对称图形 B．该曲线恰好经过9个整点（即横、纵坐标均为整数的点） C．该曲线上任意两点之间的距离都不超过2 D．该曲线所围成的形状区域面积大于5 （2）（含根号的圆的方程）方程表示的曲线为（    ） A．圆 B．圆的右半部分 C．圆 D．圆的上半部分 【例8】（消参法）已知圆C的标准方程是（x﹣2）2+（y﹣4）2＝k（k＞0），若圆C与y轴交于A，B两点，且点A在点B的上方，圆C与x轴交于E，F两点，且点E在点F的右方，则AE中点M的轨迹方程是（　　） A．（y﹣2）2﹣（x﹣1）2＝3（x＞1，y＞2） B．（y﹣2）2﹣（x﹣1）2＝3 C．（x﹣2）2﹣（y﹣1）2＝3（y＞1，x＞2） D．（x﹣2）2﹣（y﹣1）2＝3 【题型精练】 1.已知点，动点P满足． (1)求动点P的轨迹方程： (2)若动点Q满足，求动点Q的轨迹方程； 2.已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上. (1)求圆C的标准方程； (2)设P为圆C上的一个动点，O为坐标原点，求OP的中点M的轨迹方程. 3．已知点在圆上运动，为坐标原点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．（1）曲线围成图形的面积为（    ） A． B． C． D．   （2）关于曲线：，下列说法正确的是（    ） A．曲线围成图形的面积为 B．曲线所表示的图形有且仅有条对称轴 C．曲线所表示的图形是中心对称图形 D．曲线是以为圆心，为半径的圆 5．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”. 后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，点P满足.设点P的轨迹为C，下列结论正确的是（    ） A．C的方程为 B．在x轴上存在异于的两定点，使得 C．当三点不共线时，射线是的平分线 D．在C上存在点M，使得 6. 方程|y|－1＝表示的曲线是(　　) A．一个椭圆 B．一个圆 C．两个圆 D．两个半圆 7. 如图，已知圆是圆上两个动点，点，则矩形的顶点的轨迹方程是 ． 8. 设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹． 【题型五 与圆有关的综合问题】 【例9】（与圆有关的对称问题）（1）点M、N在圆上，且M、N两点关于直线对称，则圆C的半径（    ） A．最大值为 B．最小值为 C．最小值为 D．最大值为 （2）圆关于直线对称的圆的方程为（   ） A．+=4 B． C． D． 【例10】（与圆有关的最值问题）（1）已知、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． （2）已知实数满足，则的最小值为 . （3）圆上的点到直线的最大距离是（    ） A． B． C． D． 【题型精练】 1.已知圆C：x2+y2+2x﹣2my﹣4﹣4m＝0（m∈R），则当圆C的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（　　） A． B．6 C． D． 2．若直线：始终平分圆：的周长，则的最小值为 . 3．动直线平分圆的周长，则的最小值（    ） A． B． C． D． 4．已知点关于直线对称的点在圆上，则（    ） A．4 B．5 C．-4 D．-5 5．圆关于直线对称的圆的标准方程为 . 6．已知从点发出的光线，经轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（ ） A． B． C． D． 7．已知直线与轴和轴分别交于，两点，且，动点满足，则当，变化时，点到点的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．已知半径为1的圆经过点，则其圆心到直线距离的最大值为 . 9．已知直线，圆，若圆C上存在两点关于直线l对称，则的最小值是（    ） A．5 B． C． D．20 10．我们都知道：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点和，且该平面内的点满足，若点的轨迹关于直线对称，则的最小值是（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 2.4 圆的方程 【知识储备】 1．圆的定义 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径). 圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小. 2．圆的标准方程 (1)圆的标准方程：方程 (r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程. (2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径. (3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此 在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程. 3．圆的一般方程 (1)方程叫做圆的一般方程. (2) 圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因 此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程. 下列情况比较适用圆的一般方程： ①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F； ②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线 方程，求待定系数D，E，F. 4．二元二次方程与圆的方程 (1)二元二次方程与圆的方程的关系： 二元二次方程，对比圆的一般方程 ，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程. (2)二元二次方程表示圆的条件： 二元二次方程表示圆的条件是 5．点与圆的位置关系 (1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外. (2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为 .平面内一点. 位置关系 判断方法 几何法 代数法(标准方程) 代数法(一般方程) 点在圆上 |MA|=r (x0-a)2 +(y0-b) 2=r2 点在圆内 |MA|<r (x0-a)2 +(y0-b) 2<r2 点在圆外 |MA|>r (x0-a)2 +(y0-b) 2>r2 6．与圆有关的对称问题 (1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称. (2)圆关于点对称 ①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点. (3)圆关于直线对称 ①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线. 7．与圆有关的最值问题 (1)与圆的代数结构有关的最值问题 ①形如t=形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； ②形如t=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题； ③形如t=形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (2)与圆的几何性质有关的最值问题 ①记C为圆心，r为圆的半径，则圆外一点A到圆上距离的最小值为|AC|-r，最大值为|AC|+r； ②过圆内一点的最长弦为圆的直径，最短弦是以该点为中点的弦； ③记圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，直线与圆相离，则圆上的点到直线的最大距离为d+r，最小距离为d-r； ④过两定点的所有圆中，面积最小的圆是以这两个定点为直径端点的圆. 【题型精讲】 【题型一 圆的方程的求法】 方法技巧 1.几何法：找出圆心坐标和半径大小，求圆的标准方程.​​​​​​​ 2.待定系数法：圆的标准方程中含有三个参变量，必须具备三个独立的条件才能确定出圆的方程.当已知曲 线为圆时，一般用待定系数法. 【例1】分别根据下列条件，求圆的方程： (1)（已知圆心+圆过一点）过点，圆心为； (2)（圆心在某直线上+相切）已知圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，且圆心在直线y＝－x上，则圆C的方程； (3)（圆心在某直线上+过两点）圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程为； (4)（圆心在某直线上+弦长）圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程； （5）（圆过三点或外接圆）过点，和原点． （6）已知直线，，且满足，垂足为. (1)求的值及点的坐标. (2)（已知直径求圆）设直线与轴交于点，直线与轴交于点，求的外接圆方程. 【答案】(1)；. (2) 【分析】（1）根据题意，求得两直线的斜率，结合，求得，得出直线的方程，联立方程组，求得交点坐标. （2）由（1）中的直线方程，求得，，得到的外接圆是以为直径的圆，求得圆心坐标和半径，即可求解. 【详解】（1）解：显然，可得，， 由，可得，即，解得， 所以直线：，直线：， 联立方程组，解得，所以点． （2）解：由直线：，直线：，可得，， 所以的外接圆是以为直径的圆，可得圆心，半径， 所以的外接圆方程是． 【题型精练】 1．已知的顶点，直线的方程为，边上的高所在直线的方程. (1)求顶点和的坐标； (2)求的外接圆的方程. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）联立直线，的方程求出点的坐标，由求出直线的斜率及方程，的方程与直线方程联立求出的坐标； （2）设圆的一般方程为，将三点坐标代入求出圆的一般方程求出的值即可求解. 【详解】（1）由，解得，所以， ∵，且， ∴，∴，又， ∴直线的方程是，， 由，解得， 所以， 所以，； （2）设的外接圆的方程是， 将，，三点坐标分别代入，得 ，， 的外接圆的方程是. 2．在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并完成解答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 已知直线l过点，且__________． ①与直线平行；②与直线垂直；③直线l的方向向量为． (1)求直线l的一般式方程； (2)已知圆心为C的圆经过两点，且圆心C在直线l上，求此圆的标准方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）三种选择均可确定直线斜率，然后由点斜式可得直线方程. （2）设圆心C的坐标为，由（1）可得，然后由可得圆心坐标，进而可得半径，即可得答案. 【详解】（1）若选①与直线平行，则直线l的斜率 又其过点，故直线l的方程为，整理得 若选②与直线垂直，则直线l的斜率k满足，解得 又其过点，故直线l的方程为，整理得 若选③直线l的方向向量为，则直线l的斜率 又其过点，故直线l的方程为，整理得 综上，直线方程为： （2）设圆心C的坐标为，因为C在上， 所以① 因为A，B是圆上两点，所以有 即②.由①②得 所以圆心C坐标为，圆的半径 综上，所求圆的标准方程是 3．求满足下列条件的圆的标准方程． (1)经过点、，且以线段AB为直径； (3) 圆心在直线y=-2x上，且与直线y=1-x相切于点。 4．圆过点，，且圆心在直线上，则圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】求出线段的中垂线方程，与直线的方程联立求出圆心坐标及半径即可得解. 【详解】线段的中点，直线的斜率为， 则线段的中垂线方程为，即， 由，解得，则圆的圆心，半径， 所以圆的标准方程为. 故答案为： 5．已知圆的圆心在轴上，且经过点. (1)求圆的标准方程； (2)若圆上存在一点满足的面积为5，求直线AP的方程. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用待定系数法即可代入求解半径和圆心坐标，即可求解； （2）根据两点坐标得直线AB的方程，以及A，B两点距离，根据点P到直线AB的距离公式可得P的坐标，即可求解直线AP的方程. 【详解】（1）由题意，设圆的标准方程为，代入点， 得，解得，故圆的标准方程为. （2）由可得斜率为， 故直线AB的方程为，， 由得点到直线AB的距离， 设，则，解得或， 即或， 当时，直线AP的方程为， 当时，直线AP的方程为. 6．在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=3x上在第三象限内的点，B(﹣10，0)，以线段AB为直径的圆C(C为圆心)与直线l相交于另一个点D，AB⊥CD，则圆C的标准方程为 . 【答案】(x+7)2+(y+6)2=45 【分析】设A(2a，6a)，a<0，用AB的坐标表示C的坐标，即可得圆C的方程，联立直线方程与圆的方程，求得D的坐标，由数量积的性质可得=(2a+10)(a﹣4)+6a(3a+3)=0，解可得a的值，即可得圆心C的坐标以及半径，由圆的标准方程的形式分析可得答案. 【详解】解：根据题意，设A的坐标为(2a，6a)，(a<0)， 又由B(﹣10，0)，则AB的中点C的坐标为(a﹣5，3a)， 则以AB为直径为圆的方程为(x﹣2a)(x+10)+y(y﹣6a)=0， 联立直线与圆的方程可得：， 解可得：或， 故D(﹣1，﹣3)， 又由AB⊥CD，则有=(2a+10)(a﹣4)+6a(3a+3)=0，解可得：a=﹣2或a=1， 又由a<0，故a=﹣2， 即C的坐标为(﹣7，﹣6)，圆C的半径， 故圆C的标准方程为(x+7)2+(y+6)2=45； 故答案为：(x+7)2+(y+6)2=45. 【点睛】关键点点睛：此题考查圆的方程的求法，考查直线与圆的位置关系，解题的关键是设A(2a，6a)，a<0，联立直线方程与圆的方程，求得D的坐标，由数量积的性质可得=(2a+10)(a﹣4)+6a(3a+3)=0，解可得a的值，考查计算能力，属于中档题 【题型二 二元二次方程表示圆的条件】 【例2】已知表示的曲线是圆，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方程配方后得，根据圆的半径大于0求解. 【详解】由方程可得， 所以当时表示圆，解得. 故选：C. 【题型精练】 1.若方程表示的曲线为圆，则的取值范围是（    ）． A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的一般式满足关系即可求解. 【详解】若方程表示的曲线为圆， 则， 即， 解得：， 故选:C． 【题型三 点与圆的位置关系】 方法技巧 点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外. 根据具体条件，可以通过几何法或代数法进行判断. 【例3】(多选)下列各点中，不在圆的外部的是（    ） A． B． C． D． 【例4】若点在圆的外部，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据点与圆的位置关系建立不等式，运算求解. 【详解】∵点在圆的外部，则，解得：且， ∴实数的取值范围是 故答案为：. 【题型精练】 1.点P（m，3）与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝3的位置关系为（　　） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与m的值有关 2.已知点在圆的外部，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由点在圆外以及方程表示圆得到不等式组，解不等式组即可. 【详解】由点在圆外知，即，解得， 又为圆，则， 解得，故. 故选：D. 【题型四 圆有关的轨迹问题】 方法技巧 求曲线的轨迹方程，常用以下几种方法：直接法、代入法、定义法等. ①“轨迹”与“轨迹方程”有区别，“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小(范围)等特征；“轨迹方 程”是方程(等式)，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围. ②求动点的轨迹往往先求出动点的轨迹方程，然后由方程研究轨迹图形；求动点的轨迹方程有时需要先由 条件判断轨迹图形，再由图形求方程. 【例5】（定义法）已知点和点，动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【例6】（相关点法）已知点P在圆x2+y2＝5上，点Q（0，﹣1），则线段PQ的中点的轨迹方程是（　　） A．x2+y2﹣x＝0 B．x2+y2+y﹣1＝0 C．x2+y2﹣y﹣2＝0 D．x2+y2﹣x+y＝0 【例7】（含绝对值的圆的轨迹方程）（1）在数学中有这样形状的曲线：，关于这种曲线，下列结论正确的有（    ） A．该曲线的图像既是轴对称图形也是中心对称图形 B．该曲线恰好经过9个整点（即横、纵坐标均为整数的点） C．该曲线上任意两点之间的距离都不超过2 D．该曲线所围成的形状区域面积大于5 【答案】ABD 【分析】分类讨论去绝对值，可得曲线方程，从而可得曲线图像，由图像结合方程分析对称性判断选项A；列举曲线经过的整点判断选项B；求曲线上和这两点间的距离判断选项C；分割法求面积判断选项D. 【详解】曲线：， 时，有； 时，有； 时，有； 时，有； 点也满足曲线方程， 曲线图像由四个圆的部分图像和原点组成，且四个圆都可过原点，圆的半径， 如图中实线部分和原点， 若点满足曲线方程，则点也都满足曲线方程， 该曲线的图像关于轴和轴对称，也关于原点对称，A选项正确； 曲线中，经过的整点有：，，，，，，，，共9个，B选项正确； 点和都在曲线上，这两点间的距离为，C选项错误； 曲线所围成的形状区域可看成四个半圆和一个正方形组成，设它的面积为，，D选项正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：通过分类讨论去绝对值，由曲线方程得出曲线图像，数形结合并经过计算判断命题是否正确. （2）（含根号的圆的方程）方程表示的曲线为（    ） A．圆 B．圆的右半部分 C．圆 D．圆的上半部分 【例8】（消参法）已知圆C的标准方程是（x﹣2）2+（y﹣4）2＝k（k＞0），若圆C与y轴交于A，B两点，且点A在点B的上方，圆C与x轴交于E，F两点，且点E在点F的右方，则AE中点M的轨迹方程是（　　） A．（y﹣2）2﹣（x﹣1）2＝3（x＞1，y＞2） B．（y﹣2）2﹣（x﹣1）2＝3 C．（x﹣2）2﹣（y﹣1）2＝3（y＞1，x＞2） D．（x﹣2）2﹣（y﹣1）2＝3 【题型精练】 1.已知点，动点P满足． (1)求动点P的轨迹方程： (2)若动点Q满足，求动点Q的轨迹方程； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两点距离公式代入整理即可得解； （2）利用相关点法与平面向量的坐标表示，结合（1）中结论即可得解. 【详解】（1）依题意，设点，又， 因为，即， 化简可得，即， 所以动点P的轨迹方程为； （2）设，又， 因为，所以， 即，得， 由（1）知，所以， 整理得动点Q的轨迹方程为. 2.已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上. (1)求圆C的标准方程； (2)设P为圆C上的一个动点，O为坐标原点，求OP的中点M的轨迹方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设圆心C的坐标为，可得，结合条件可得，进而求得圆心的坐标，半径，即得； （2）设，，进而可得，然后代入圆的方程，化简求得点的轨迹方程. 【详解】（1）设圆心C的坐标为，半径为r， ∵圆心C在直线上， ∴， ∵圆C经过，两点， ∴， 即， 化简得：，又， 所以， ∴圆心C的坐标为，， 所以圆C的标准方程为：； （2）设，， ∵M为OP的中点， ∴， ∴， ∵P在圆C上， ∴，即， ∴OP的中点M的轨迹方程为. 3．已知点在圆上运动，为坐标原点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出中点的坐标，利用中点坐标公式表示出点的坐标，代入圆的方程，化简即可. 【详解】设线段的中点，则，故， 化简得，即线段的中点的轨迹方程为. 故选：A. 4．（1）曲线围成图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据绝对值的性质，结合圆的面积公式，利用数形结合思想进行求解即可. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 曲线围成图形如下图所示：其中每个象限内半圆的半径为， 所以曲线围成图形的面积为：， 故选：D    （2）关于曲线：，下列说法正确的是（    ） A．曲线围成图形的面积为 B．曲线所表示的图形有且仅有条对称轴 C．曲线所表示的图形是中心对称图形 D．曲线是以为圆心，为半径的圆 【答案】AC 【分析】根据曲线解析式特征画出图形，逐一判断各选项即可. 【详解】曲线：如图所示： 对于A：图形在各个象限的面积相等，在第一象限中的图形，是以为圆心，为半径的圆的一半加一个直角三角形所得，，所以曲线围成图形的面积为,故A正确； 对于B，由图可知，曲线所表示的图形对称轴有轴，轴，直线，直线四条，故B错误； 对于C，由图可知，曲线所表示的图形是关于原点对称的中心对称图形，故C正确； 对于D，曲线的图形不是一个圆，故D错误. 故选：AC 5．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”. 后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，点P满足.设点P的轨迹为C，下列结论正确的是（    ） A．C的方程为 B．在x轴上存在异于的两定点，使得 C．当三点不共线时，射线是的平分线 D．在C上存在点M，使得 【答案】BC 【分析】设点，根据求出的轨迹方程可判断A；假设在x轴上存在异于的两定点使得，设，根据、点P的轨迹方程求出可判断B；由利用余弦定理可判断C；设，由、点M在C上解得无实数解可判断D. 【详解】设点，则，化简整理得， 即，故A错误； 假设在x轴上存在异于的两定点， 使得.设，则， 化简整理得， 由点P的轨迹方程为得， 解得或，因为点异于点，所以， 所以假设成立，故B正确； 由于， 只需证明， 即证， 化简整理得，又， 则 ，则，故C正确；    设，由得， 整理得①， 又点M在C上，故满足②，联立①②，解得无实数解，故D错误. 故选：BC. 9. 方程|y|－1＝表示的曲线是(　　) A．一个椭圆 B．一个圆 C．两个圆 D．两个半圆 10. 如图，已知圆是圆上两个动点，点，则矩形的顶点的轨迹方程是 ． 【答案】 【解析】设点，连接交于，可写出的坐标，再在直角中，，利用勾股定理列方程可得x, y的关系式，即顶点的轨迹方程. 【详解】设点，如图连接交于， 由矩形可知为的中点，， 连接，在直角中，，则 即，整理得， 所以顶点的轨迹方程是 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题考查求轨迹方程，解题的关键是求谁设谁，设点，然后再利用图像的几何关系找到x, y的关系式，即求得轨迹方程，考查学生的直观想象能力与运算求解能力，属于中档题. 11. 设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹． 【题型五 与圆有关的综合问题】 【例9】（与圆有关的对称问题）（1）点M、N在圆上，且M、N两点关于直线对称，则圆C的半径（    ） A．最大值为 B．最小值为 C．最小值为 D．最大值为 （2）圆关于直线对称的圆的方程为（   ） A．+=4 B． C． D． 【答案】C 【分析】写出已知圆的圆心坐标和半径，求出圆心坐标关于直线的对称点的坐标，然后代入圆的标准方程得答案． 【详解】圆的圆心坐标为，半径为2， 设关于直线：的对称点为， 则，解得． 所以，则圆关于直线对称的圆的方程为． 故选：C． 【例10】（与圆有关的最值问题）（1）已知、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． （2）已知实数满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据题意，先将转化为，从而将问题转化为圆上任一点到点与的距离之和，数形结合即可得解. 【详解】因为， 所以 ， 则， 相当于圆上的任一点到点与的距离之和，如图， 因为，当在线段与圆的交点处时，即为所求， 所以所求最小值为. 故答案为：. （3）圆上的点到直线的最大距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将圆的一般方程化为标准方程得圆心及半径，圆上点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加半径. 【详解】圆化为标准方程得， 圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为 所以圆上的点到直线的最大距离为. 故选:C. 【题型精练】 1.已知圆C：x2+y2+2x﹣2my﹣4﹣4m＝0（m∈R），则当圆C的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（　　） A． B．6 C． D． 2．若直线：始终平分圆：的周长，则的最小值为 . 3．动直线平分圆的周长，则的最小值（    ） A． B． C． D． 4．已知点关于直线对称的点在圆上，则（    ） A．4 B．5 C．-4 D．-5 【答案】B 【分析】先求出点的对称点，代入圆的方程求解即可. 【详解】设，则 所以 由题可知， 故选：B 5．圆关于直线对称的圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】把圆的方程化为标准形式，求出圆心关于直线的对称点的坐标，即为对称圆圆心，又因为关于直线对称的圆半径不变，从而求出对称圆的方程. 【详解】圆，即， 表示以为圆心，半径为1的圆， 设圆心关于直线对称点的坐标为， 由， 解得，， 故圆心关于直线对称点的坐标为， 故对称圆的圆心为， 因为对称圆半径不变，所以对称圆半径为1， 故所求对称圆方程为. 故答案为：. 6．已知从点发出的光线，经轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆的方程可得圆心坐标，根据反射光线经过圆心和关于轴对称的点，可利用两点式整理得到所求直线方程. 【详解】由圆的方程得：圆心为， 反射光线恰好平分圆的圆周，反射光线经过点； 关于轴对称的点为，反射光线所在直线经过点， 反射光线所在直线方程为，即. 故选：A. 7．已知直线与轴和轴分别交于，两点，且，动点满足，则当，变化时，点到点的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得，两点坐标，根据得到，再结合可得到轨迹为动圆，求得该动圆圆心的方程，即可求得答案. 【详解】由，得， 由，得， 由，得，设，则，即 ， 因此点的轨迹为一动圆， 设该动圆圆心为，即有， 则 代入，整理得：， 即轨迹的圆心在圆上（除此圆与坐标轴的交点外）， 点与圆上点连线的距离加上圆C的半径即为点到点的距离的最大值， 所以最大值为. 故选：B. 8．已知半径为1的圆经过点，则其圆心到直线距离的最大值为 . 【答案】3 【分析】先得出圆心的轨迹圆，再用轨迹圆的圆心到直线的距离减半径即可. 【详解】由题意知，半径为1的圆经过点， 所以圆心的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 而到直线的距离为， 所以圆心到直线距离的最大值为. 故答案为：3. 9．已知直线，圆，若圆C上存在两点关于直线l对称，则的最小值是（    ） A．5 B． C． D．20 【答案】D 【分析】由题意，直线l过圆心，有，则，利用配方法求最小值. 【详解】圆的圆心坐标为， 圆C上存在两点关于直线l对称，则直线l过圆心，即，有， ， 当时，有最小值20. 故选：D 10．我们都知道：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点和，且该平面内的点满足，若点的轨迹关于直线对称，则的最小值是（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】B 【分析】点的轨迹为圆，直线过圆心，得，利用基本不等式求的最小值. 【详解】设点的坐标为，因为，则， 即， 所以点的轨迹方程为， 因为点的轨迹关于直线对称， 所以圆心在此直线上，即， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故选：B. 学科网（北京）股份有限公司 $