22.1 二次函数的图像与性质同步 课时练习 2025-2026学年人教版九年级数学上册

22.1二次函数的图像与性质同步课时练习 一．选择题 1．下列是关于x的二次函数的是（　　） A．y＝2x3+3x B． C．y＝a（x﹣1）2+c D． 2．二次函数y＝x2+2的顶点是（　　） A．（0，2） B．（2，0） C．（1，3） D．（﹣1，3） 3．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，0），（3，0），（0，3），则该图象必经过点（　　） A．（﹣1，3） B．（1，3） C．（2，3） D．（﹣2，3） 4．已知二次函数y＝﹣5（x﹣3）2+2，下列说法正确的是（　　） A．其图象的项点坐标为（﹣3，﹣2） B．函数的最小值为2 C．其图象的开口向上 D．其图象的对称轴为直线x＝3 5．已知抛物线y＝2（x+1）2+1经过（2，y1），（1，y2）两点，则y1与y2的大小关系为（　　） A．y1＝y2 B．y1＞y2 C．y1＜y2 D．无法确定 6．二次函数y＝2x2﹣1先向右平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得函数解析式是（　　） A．y＝2（x﹣1）2﹣3 B．y＝2（x+1）2﹣3 C．y＝2（x﹣1）2+1 D．y＝2（x+1）2+1 7．已知抛物线L的解析式为y＝ax2﹣6ax+3（a≠0），则下列说法正确的是（　　） A．若点（﹣1，y1）与点（2，y2）都在抛物线L上，且y1＞y2，则有a＜0 B．若抛物线L的顶点A到原点的距离为5，则 C．若抛物线L只经过两个象限，则a＞3 D．当﹣1≤x≤4时，y有最小值为1，则a的值为或 8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2．下列说法：①abc＜0；②c﹣3a＞0；③当x＞﹣1时，y随x的增大而减小；④4a2﹣2ab≥a2t2+abt（t为任意实数）．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题 9．请写出一个开口向下，经过点（1，5）的二次函数表达式：　 　 ． 10．把抛物线y＝3x2先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则平移后的抛物线解析式为 　 　 ． 11．把二次函数y＝x2﹣4x+7化成y＝a（x﹣h）2+k的形式是　 　 ． 12．已知抛物线y＝x2+2x﹣3，经过（﹣2，y1）和（2，y2）两点，则y1　 　 y2（填“＞”“＜”或“＝”）． 13．已知抛物线y＝ax2+bx+c关于x＝1对称，其部分图象如图所示，则3a+c＝　 　 ． 14．在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t．当c＝2，m＝n时，t的值为　 　 ；若点（x0，m）（x0≠1）在抛物线上．若m＜n＜c，则x0的取值范围为　 　 ． 15．若二次函数y＝﹣ax2+bx+2有最大值为4，则y＝a（x+1）2﹣b（x+1）﹣2的最小值是　 　 ． 16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a，⑤点（﹣4，y1），，（1，y3）都在抛物线上，则有y1＜y2＜y3，其中正确的结论是　 　 ． 三．解答题 17．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（0，3），B（1，﹣2），C（2，﹣9）点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若（5，n），（m，n）是抛物线上不同的两点，求m的值； （3）当﹣3≤x≤3时，直接写出y的取值范围：　 　 ． 18．画图象并解决下列问题： （1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出二次函数y＝x2﹣2x﹣4的图象． （2）请结合图象写出3个相关的正确结论． 19．平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（0，﹣1），点B（6，y0）． （1）若AB∥x轴，求抛物线的对称轴； （2）点C（m，n）为抛物线在A、B之间的部分图象上的任意一点（包含A、B两点），都有n≥﹣1． ①求a的取值范围； ②若a＜0，点D（t，y1），E（3t+2，y2）在抛物线上，当1≤t≤2时，都有y1≥y2，求a的值． 20．已知二次函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … 5 a ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 … （1）a＝ 　 　 ； （2）求该二次函数的表达式； （3）当﹣2＜x＜2时，y的取值范围是 　 　 ． 21．在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+k和抛物线y＝ax2+bx﹣1都经过点A（2，﹣3），且抛物线y＝ax2+bx﹣1经过点B（﹣2，1）和点C（﹣2，9）中的一个点． （1）求k，a，b的值； （2）若将抛物线y＝ax2+bx﹣1沿y轴方向向上平移n个单位长度，其顶点恰好在直线y＝﹣x+k上，求n的值； （3）若点P是x轴上一动点，过点P作x轴的垂线交直线y＝﹣x+k于点M，交抛物线y＝ax2+bx﹣1于点N，是否存在点P，使得MN＝1？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A C D B A D C 二．填空题 9．y＝﹣x2+6（答案不唯一）． 10．y＝3（x+2）2﹣1． 11．y＝（x﹣2）2+3． 12．＜． 13．0． 14．2；2＜x0＜3． 15．﹣4． 16．①③． 三．解答题 17．解：（1）由条件可得， 解得， 所以抛物线的关系式为y＝﹣x2﹣4x+3； （2）当x＝5时，n＝﹣25﹣20+3＝﹣42， 当n＝﹣42时，﹣42＝﹣x2﹣4x+3， 解得x1＝﹣9，x2＝5， ∴m＝﹣9； （3）﹣18≤y≤7．理由如下： 抛物线的关系式为y＝﹣x2﹣4x+3＝﹣（x2+4x）+3＝﹣（x+2）2+7， ∴抛物线的开口向下，离对称轴越远函数值越小，当x＝﹣2时，函数有最大值7． ∵x＝﹣2在﹣3≤x≤3之间， ∴y的最大值为7， ∵|3﹣（﹣2）|＞|﹣3﹣（﹣2）|，当x＝3时，y＝﹣18， ∴y的最小值为﹣18， ∴y的取值范围是﹣18≤y≤7． 故答案为：﹣18≤y≤7． 18．解：（1）当x＝﹣1时，y＝﹣1，故图象经过（﹣1，﹣1）， 当x＝0时，y＝﹣4，故图象经过（0，﹣4）， 当x＝1时，y＝﹣5，故图象经过（1，﹣5）， 当x＝2时，y＝﹣4，故图象经过（2，﹣4）， 当x＝3时，y＝﹣1，故图象经过（3，﹣1）， 故函数图象图象如图所示： （2）结论：①抛物线的对称轴为直线x＝1； ②抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣4）； ③抛物线与x轴有两个交点． 19．解：（1）∵AB∥x轴， ∴点A（0，﹣1），点B（6，y0）关于对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线x3； （2）①∵抛物线y＝ax2+x+c经过点A（0，﹣1），点B（6，y0）， ∴c＝﹣1，对称轴为直线x， 当a＞0时，抛物线开口向上，0， ∴点A（0，﹣1），点B（6，y0）都在y轴的右侧， ∴点C（m，n）为抛物线在A、B之间的部分图象上的任意一点（包含A、B两点），都有n≥﹣1， 故a的取值范围是a＞0； 当a＜0时，抛物线开口向下，0， ∵点C（m，n）为抛物线在A、B之间的部分图象上的任意一点（包含A、B两点），都有n≥﹣1， ∴x＝6时，y≥﹣1， ∴36a+6﹣1≥﹣1，解得a， ∴a的取值范围是a＜0， 故a的取值范围是a＜0或a＞0； ②若a＜0，则抛物线开口向下， ∵点D（t，y1），E（3t+2，y2）在抛物线上，y1≥y2， ∴， 解得t， ∵1≤t≤2， ∴1， 解得a， 经检验a是原方程的解， ∴a的值是． 20．解：（1）∵x＝﹣2时，y＝﹣3；x＝0时，y＝﹣3， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， ∴点（﹣3，a）和（1，0）关于直线x＝﹣1对称， ∴a＝0； 故答案为：0； （2）设抛物线解析式为y＝m（x+3）（x﹣1）， 把（0，﹣3）代入得﹣3＝m×（0+3）×（0﹣1）， 解得m＝1， ∴抛物线解析式为y＝（x+3）（x﹣1）， 即y＝x2+2x﹣3； （2）∵x＝﹣2时，y＝﹣3；x＝2时，y＝x2+2x﹣3＝5， 而x＝﹣1时，y有最小值﹣4， ∴当﹣2＜x＜2时，y的取值范围为﹣4≤y＜5． 故答案为：﹣4≤y＜5． 21．解：（1）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+k经过点A（2，﹣3），将点A的坐标代入得： ﹣3＝﹣2+k， 解得：k＝﹣1； ∴直线y＝﹣x+k＝﹣x﹣1， 当x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）﹣1＝1， ∴点B（﹣2，1）在直线y＝﹣x﹣1上， ∵直线y＝﹣x﹣1与抛物线y＝ax2+bx﹣1都经过点（0，﹣1）和点A（2，﹣3）， ∴抛物线y＝ax2+bx﹣1不可能经过点B（﹣2，1），即抛物线y＝ax2+bx﹣1经过点C（﹣2，9），将点A，点C的坐标分别代入得： ， 解得； （2）由（1）得抛物线， ∴抛物线的顶点为， 对于y＝﹣x﹣1，当时，， ∴； （3）存在点P，使得MN＝1；理由如下： 设点P的坐标为（p，0）， ∴点M坐标为（p，﹣p﹣1），点N坐标为（p，p2﹣3p﹣1）． 分三种情况： ①当p＜0时，如图1，根据题意得（p2﹣3p﹣1）﹣（﹣p﹣1）＝1， 整理得p2﹣2p﹣1＝0， 解得，（舍去）， 此时点P坐标为； ②当0＜p＜2时，如图2，根据题意得（﹣p﹣1）﹣（p2﹣3p﹣1）＝1， 整理得p2﹣2p+1＝0， 解得p1＝p2＝1， 此时点P坐标为（1，0）； ③当p＞2时，如图3，根据题意得（p2﹣3p﹣1）﹣（﹣p﹣1）＝1， 整理得p2﹣2p﹣1＝0， 解得（不合题意，舍去），， 此时点P坐标为； 综上所述，点P坐标为或（1，0）或． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $