2025-2026学年人教版数学七年级上册 动角问题压轴专题训练

平行线背景下的动角问题 （一）无运动速度 【例1】 1．如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知∠MAC＝120°，∠NBE＝60°． （1）已知驱逐舰在AC方向上航行，巡洋舰在BE方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由； （2）已知驱逐舰到达点C后沿C﹣D继续航行，巡洋舰到达点E后沿E﹣F继续航行，且MN∥EF，∠ACD＝140°．若驱逐舰在原航向上向左转动α（0°＜α＜180°）后，才能与巡洋舰航向相同，求α的值． 【练】 2．如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起：如图2，其中∠ACB＝30°，∠DAE＝45°，∠BAC＝∠D＝90°，固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE＝α（0°＜α＜180°）． （1）当α为　 　 度时，AD⊥BC； （2）当△ADE的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，写出旋转角α的所有可能的度数； （3）当0°＜α＜45°时，连接BD，利用图4直接写出∠BDE+∠CAE+∠DBC的度数　 　 ． 3．如图直线AB，CD与直线MN分别交于E，F，且∠AEM与∠CFN互补，O为线段EF上一点． （1）求证：AB∥CD． （2）如图1，已知PE平分∠BEO，PF平分∠DFO，求∠EPF的大小． （3）将图1中的射线ON绕O点顺时针转一个角度α（0＜α＜90°）至ON′与CD交于F′，其它图线保持不变，如图2所示，作∠OF′D的平分线与∠BEO的平分线交于P′，求∠EP′F′的大小（用含α的代数式表示）． （2） 有运动速度 【例1】动三角形 1．如图，直线AB∥CD，直线PQ分别交AB、CD于点E、F．点M在直线AB上方，点N在直线CD上（在F点的右边），连接EM、MN，EP平分∠AEM． （1）如图1，若∠PEA＝62°，∠M＝50°，求∠MND的度数； （2）如图2，若NH平分∠MND，直线NH交PQ于点G，请探究∠M与∠PGH之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）问的条件下，连接NE并延长．若∠MND＝100°，∠ENM＝30°，将∠ENG绕着点N以每秒1°的速度逆时针旋转，设旋转时间为t秒（0＜t＜360），在旋转过程中，射线NR始终平分∠MNE，NI是∠ENG内部一条射线，NS平分∠ENI，当∠RNS＝60°，且∠ING的度数为射线NS与直线CD所夹锐角的4倍时，直接写出t的值（本题研究的所有角度均小于180°）． 2．如图1，AB∥CD，点E，F分别在直线CD，AB上，∠BEC＝2∠BEF，过点A作AG⊥BE的延长线交于点G，交CD于点N，AK平分∠BAG，交EF于点H，交BE于点M． （1）直接写出∠AHE，∠FAH，∠HFA之间的关系：　 　 ； （2）若，求∠AHE的度数． （3）如图2，在（2）的条件下，将三角形KHE绕着点E以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当KE边与射线ED重合时停止转动．则在旋转过程中，当三角形KHE的其中一边与三角形ENG的某一边平行时，直接写出此时t的值． 3．如图所示，AB∥CD，△EFM的顶点E，F分别在直线AB，直线CD上，点M在直线AB和直线CD之间，EF平分∠AEM． （1）如图1，FM平分∠EFD，∠BEM＝20°，求∠M的度数． （2）如图2，已知点N为MF延长线上一点，且∠BEM＝∠NEF＝∠N＝a°，请用含a的式子表示∠NFC的度数，并说明理由． （3）如图3，在（2）的条件下，∠BEM＝30°，将△FNE绕点F顺时针以每秒5°的速度旋转得到△FN'E'，将△EFM绕点E顺时针以每秒3°的速度旋转得到△EF'M'，当EF'首次旋转到直线AB上时，△EF'M'立刻绕点E逆时针以原速旋转，当EM'旋转到直线AB上时，两个三角形同时停止旋转，请直接写出当E'N'∥F'M'时的旋转时间t的值． 【练】 4．如图1，AB∥CD，点E，F分别在直线CD，AB上，∠BEC＝3∠BEF，过点A作AG⊥BE的延长线交于点G，交CD于点N，AK平分∠BAG，交EF于点H，交BE于点M． （1）直接写出∠AHE，∠FAH，∠KEH之间的关系：　 　 ． （2）若，求∠AHE． （3）如图2，在（2）的条件下，将△ENG绕着点E以每秒5°的速度顺时针旋转，旋转时间为t，当EN边与射线EC重合时停止，则在旋转过程中，当△ENG的其中一边与△KEH的某一边平行时，求出此时t的值． 5．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：2，将一直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，其中∠OMN＝30°． （1）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数； （2）将图1中的三角尺绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第　 　 秒时，边MN恰好与射线OC平行；在第　 　 秒时，边MN恰好与射线OC垂直．（直接写出结果）； （3）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由． 6．如图①，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM＝30°，∠OCD＝45°． （1）将图①中的三角板OMN沿BA的方向平移至图②的位置，MN与CD相交于点E，则∠CEN的度数是 　 　 ； （2）将图①中的三角板OMN绕点O按逆时针方向旋转至如图③，当∠CON＝5∠DOM时，MN与CD相交于点E，请你判断MN与BC的位置关系，并说明理由； （3）将图①中的三角板OMN绕点O按每秒5°的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，三角板MON运动几秒后直线MN恰好与直线CD平行． 7．如图所示，AB∥CD，三角形EFM的顶点E、顶点F分别在直线AB、直线CD上，点M在直线AB与直线CD之间，EF平分∠AEM， （1）如图1，已知FM平分∠EFD，∠BEM＝40°，则∠M＝　 　 °； （2）如图2，已知点N为MF延长线上一点，且∠BEM＝∠NEF＝∠N＝α°，请用含α的式子表示∠NFD的度数，并说明理由； （3）如图3，在（2）问的条件下，∠BEM＝30°，将三角形FNE绕点F顺时针以每秒5°的速度旋转得三角形FN′E′，将三角形EFM绕点E顺时针以每秒3°的速度旋转得三角形EF′M′，当EF′旋转到直线AB上时两个三角形同时停止旋转，请求出边E′N′与三角形EF′M′的边平行时的旋转时间t的值． 8．已知MN∥PQ，点A在MN上方，点D在PQ下方，分别以A、D为顶点作∠A＝∠D＝90°，∠A的两边交MN于B、C（点B在点C的左边），∠D的两边交PQ于E、F（点E在点F的左边），AB、DE交于点G，AC、DF交于点H． （1）如图1，若∠ABC＝45°，∠DFE＝30°，则∠G＝　 　 ，∠H＝　 　 ； （2）如图2，∠ABC、∠PEG的角平分线交于点I，BI交DG与J，∠NCH、∠QFH的角平分线交于点交K．试探索∠JIE、∠K之间的数量关系并说明理由； （3）在（1）的条件下，把△ABC绕点A顺时针方向旋转，每秒钟转3°，与此同时△DEF绕点F逆时针方向旋转，每秒钟转2°．当△ABC旋转到BC边首次与MN平行时，两个三角形都停止转动．在转动过程中，设旋转时间为t秒，当DE所在的直线与△ABC的边平行时，请直接写出t的所有可能的值． 9．已知AB∥CD，直线FE交AB于点E，交CD于点F，点M在线段EF上，过M作射线MR、MP分别交射线AB、CD于点N、Q． （1）如图1，当MR⊥MP时，求∠MNB+∠MQD的度数． （2）如图2，若∠DQP和∠MNB的角平分线交于点G，求∠NMQ和∠NGQ的数量关系． （3）如图3，当MR⊥MP，且∠EFD＝60°，∠EMR＝20°时，作∠MNB的角平分线NG．把三角板OKI的直角顶点O置于点M处，两直角边分别与MR和MP重合，将其绕点O点顺时针旋转，速度为10°每秒，当OI落在MF上时，三角板立即以相同速度逆时针旋转．三角板开始运动的同时∠BNG绕点N以6°每秒的速度顺时针旋转，记旋转中的∠BNG为∠B′NG′，当NG′和NA重合时，整个运动停止．设运动时间为t秒，当∠B'NG′的一边和三角板的一直角边互相平行时，请直接写出t的值． 【例2】动角综合 1．如图1，已知直线MN∥GH，点A在直线MN上，点B在直线GH上． （1）如图1，点C在直线MN、GH之间，连接AC、BC，若∠NAC＝24°，∠CBH＝40°，则∠ACB的度数为 　 　 °； （2）如图2，点C在直线MN的上方，AE平分∠CAN，BF平分∠GBC，延长CA与BF交于点D，若∠CAE＝21°，∠GBC＝100°，求∠BDC的度数； （3）如图3，点C在直线MN的上方，∠CAN＝40°，∠GBC＝100°，BF平分∠GBC交MN于点F，将∠CAN绕着点A以每秒1°的速度逆时针方向旋转得∠C'AN'，旋转时间为t秒；同时将射线BF绕着点B以每秒3°的速度顺时针方向旋转得射线BF'，当射线BF'与射线BG首次重合时，∠CAN和射线BF同时停止转动，在旋转过程中，作∠C′AN′的角平分线AP，作∠F′BH的角平分线BQ，请直接写出当AP∥BQ时t的值． 【练】 2．如图，已知直线PQ∥MN，点A在直线MN上，点B、C在直线PQ上，射线AD是∠CAN的三等分线，即∠CAN＝3∠DAN，AC平分∠BAE，∠BAC＝40°． （1）如图1，若∠BAD＝30°，求∠AEC的度数； （2）如图2，在AE上有一点F，满足CF∥AD，且FG平分∠AFC交AB于点G，试探究∠AGF与∠ACB的数量关系，并说明理由； （3）如图3，若∠ABC＝80°，∠BAC绕点A顺时针旋转，速度为6°每秒，记旋转中的∠BAC为∠B′AC′，∠C′AN的三等分线为AD′，即∠C′AN＝3∠D′AN，同时BA绕点B逆时针旋转至BA′，速度始终为4°每秒，当AC′与射线AM重合时，∠B′AC′立即以原来速度的一半逆时针旋转，当AC′运动到与射线AN重合时，整个运动停止，设旋转时间为t秒，在旋转过程中，当AD′∥BA′时，请直接写出t的值． 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简单动角问题（无运动速度）-答案 【例1】动线 1．如图1，已知∠AOB＝150°，∠AOC＝40°，OE是∠AOB内部的一条射线，且OF平分∠AOE． （1）若∠EOB＝10°，则∠COF＝　30°　 ； （2）若∠COF＝20°，则∠EOB＝　30°　 ； （3）若∠COF＝n°，则∠EOB＝　70°﹣2n°　 （用含n的式子表示）． （4）当射线OE绕点O逆时针旋转到如图2的位置时，请把图补充完整；此时，∠COF与∠EOB有怎样的数量关系？请说明理由． 【解答】解：（1）∵∠AOB＝150°，∠EOB＝10°， ∴∠AOE＝∠AOB﹣∠EOB＝150°﹣10°＝140°， ∵OF平分∠AOE， ∴∠AOF∠AOE140°＝70°， ∴∠COF＝∠AOF﹣∠AOC， ＝70°﹣40°， ＝30°； （2）∵∠AOC＝40°，∠COF＝20°， ∴∠AOF＝∠AOC+∠COF＝40°+20°＝60°， ∵OF平分∠AOE， ∴∠AOE＝2∠AOF＝2×60°＝120°， ∴∠EOB＝∠AOB﹣∠AOE＝150°﹣120°＝30°； （3）∵∠AOC＝40°，∠COF＝n°， ∴∠AOF＝∠AOC+∠COF＝40°+n°＝60°， ∵OF平分∠AOE， ∴∠AOE＝2∠AOF＝2（40°+n°）＝80°+2n°， ∴∠EOB＝∠AOB﹣∠AOE＝150°﹣（80°+2n°）＝70°﹣2n°； 故答案为：30°，30°，70°﹣2n°； （4）如图所示； ∠EOB＝70°+2∠COF． 证明：设∠COF＝n°，则∠AOF＝∠AOC﹣∠COF＝40°﹣n°， 又∵OF平分∠AOE， ∴∠AOE＝2∠AOF＝80°﹣2n°． ∠EOB＝∠AOB﹣∠AOE＝150°﹣（80°﹣2 n°）＝（70+2n）° 即∠EOB＝70°+2∠COF． 【练】 2．已知∠AOB是一个直角，作射线OC，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD、OE． （1）如图①，当∠BOC＝70°时，则∠DOE＝　45°　 ． （2）如图②，若射线OC在∠AOB内部绕O点旋转，当∠BOC＝α时，则∠DOE＝　45°　 ． （3）如图③，当射线OC在∠AOB外绕O点旋转时，在备用图中画出图形，判断∠DOE的大小是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求∠DOE的度数． 【解答】解：（1）∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC， ∴∠COE∠COB＝35°，∠COD∠AOC＝10°， ∴∠DOE＝45°； 故答案为：45°； （2）∵当∠BOC＝α时， 理由：∠DOE＝∠DOC+∠COE∠COB∠AOC （∠COB+∠AOC） ∠AOB ＝45°； 故答案为：45°； （3）∠DOE的大小发生变化，∠DOE＝45°或135°． 如图①，则∠DOE＝45°；如图②，则∠DOE＝135°． 3．在学习了几何中角平分线知识后，某校七年级数学学习小组对角平分线进行了一次合作探究活动．他们给出已知∠AOB＝110°，射线OD，OE分别是∠AOC和∠COB的平分线． （1）如图1，若射线OC在∠AOB的内部，且∠AOC＝30°，求∠DOE的度数； （2）如图2，若射线OC在∠AOB的内部绕点O旋转，则∠DOE的度数； （3）若射线OC在∠AOB的外部绕点O旋转（旋转中∠AOC，∠BOC，均指小于180°的角），其余条件不变，请借助图3探究∠DOE的大小，请直接写出∠DOE的度数．（不写探究过程） 【解答】解：（1）∵∠AOB＝110°，∠AOC＝30°， ∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝80°， ∵OD，OE分别是∠AOC 和∠COB的角平分线， ∴∠DOC，∠EOC40°， ∴∠EOD＝∠EOC+∠DOC＝15°+40°＝55°． （2）∵OD，OE分别是∠AOC 和∠COB的角平分线， ∴∠DOC，∠EOC， ∴∠EOD＝∠EOC+∠DOC55°． （3）①射线OE，OD只有1个在∠AOB外面，如图， ∠EOD＝∠DOC﹣∠COE55°； ②射线OE，OD两个都在∠AOB外面，如图， ∠EOD＝∠EOC+∠COD125°， 故∠EOD的度数是55°或125°． 【例2】动角 1．如图①，已知线段AB＝30cm，CD＝4cm，线段CD在线段AB上运动，E、F分别是AC、BD的中点． （1）若AC＝8cm，则EF＝　17　 cm； （2）当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？如果不变请求出EF的长度，如果变化，请说明理由； （3）我们发现角的很多规律和线段一样，如图②已知∠COD在∠AOB内部转动，OE、OF分别平分∠AOC和∠BOD，则∠EOF、∠AOB和∠COD有何数量关系，请直接写出结果不需证明． 【解答】解：（1）∵AB＝30cm，CD＝4cm，AC＝8cm， ∴DB＝18cm， ∵E、F分别是AC、BD的中点， ∴CEAC＝4cm，DFDB＝9cm， ∴EF＝4+4+9＝17cm； （2）EF的长度不变． ∵E、F分别是AC、BD的中点， ∴，， ∴EF＝EC+CD+DF； （3）． 理由：∵OE、OF分别平分∠AOC和∠BOD， ∴∠COE∠AOC，∠DOF∠BOD， ∴∠EOF＝∠COE+∠COD+∠DOF ∠AOC+∠COD∠BOD （∠AOC+∠BOD）+∠COD （∠AOB﹣∠COD）+∠COD （∠AOB+∠COD）． 故答案为：17． 【练】 2．将一副三角板的两个锐角顶点重合，∠AOB＝45°，∠COD＝30°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线． （1）如图①所示，当OB与OC重合时，则∠MON的大小为 　37.5°　 ； （2）当∠COD绕着点O旋转至如图②所示，当∠BOC＝14°，则∠MON的大小为多少？ （3）当∠COD绕着点O旋转至如图③所示，当∠BOC＝α时，求∠MON的大小． 【解答】解：（1）∵∠AOB＝45°，∠COD＝30°，OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线， ∴，， ∴∠MON＝∠BOM+∠CON＝37.5°． 故答案为：37.5°； （2）当∠BOC＝14°时，∠AOC＝45°﹣14°＝31°，∠BOD＝30°﹣14°＝16°， ∵OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线， ∴，， ∴∠MON＝∠MOC+∠BON+∠BOC＝15.5°+8°+14°＝37.5°； （3）当∠BOC＝α时，∠AOC＝45°+α，∠BOD＝30°+α， ∵OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线， ∴， ， ∴． 3．已知∠AOD＝130°，∠BOC＝50°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD． （1）如图1，若∠AOM：∠DON＝2：3，求∠NOC的度数； （2）将∠BOC顺时针旋转至图2的位置，求∠MON的度数． 【解答】解：（1）设∠AOM＝2x，则∠DON＝3x， ∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD， ∴∠AOC＝2∠AOM＝4x，∠BOD＝2∠DON＝6x， ∵∠AOC+∠BOD＝∠AOD+∠BOC＝130°+50°＝180°， ∴4x+6x＝180°， 解得x＝18°， ∴∠BOD＝6x＝108°，∠AOC＝4x＝72°，∠DON＝3x＝54°， ∵∠DOC＝∠BOD﹣∠BOC＝108°﹣50°＝58°， ∴∠NOC＝∠DOC﹣∠DON＝58°﹣54°＝4°， 答：∠NOC的度数是4°； （2）设∠AOB＝m，则∠BOD＝130°+m，∠AOC＝50°﹣m， ∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD． ∴∠AOM∠AOC（50°﹣m）＝25°m，∠BON（130°+m）＝65°m， ∴∠BOM＝∠AOB+∠AOM＝25°m， ∴∠MON＝∠BON﹣∠BOM＝（65°m）﹣（25°m）＝40°． 答：∠MON的度数是40°． 4．已知∠AOB＝120°，OC、OD是过点O的射线，射线OM、ON分别平分∠AOC和∠DOB． （1）如图①，若OC、OD是∠AOB的三等分线，则∠MON＝　80　 ° （2）如图②，若∠COD＝40°，∠AOC≠∠DOB，则∠MON＝　80　 ° （3）如图③，在∠AOB内，若∠COD＝a（0°＜a＜60°），则∠MON＝　（60α）　 ° （4）将（3）中的∠COD绕着点O逆时针旋转到∠AOB的外部（0°＜∠AOC＜180°，0°＜∠BOD＜180°），求此时∠MON的度数． 【解答】解：（1）∵OC、OD是∠AOB的三等分线， ∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB120°＝40°， ∵射线OM、ON分别平分∠ACO和∠DOB， ∴∠MOC∠AOC＝20°，∠DON∠DOB＝20°， ∴∠MON＝20°+40°+20°＝80°； （2）∵射线OM、ON分别平分∠ACO和∠DOB， ∴∠MOC∠AOC，∠DON∠DOB， ∴∠MOC+∠DON（∠AOC+∠DOB）， ∵∠AOB＝120°，∠COD＝40°， ∴∠AOC+∠DOB＝120°﹣40°＝80° ∴∠MOC+∠DON＝40°， ∴∠MON＝40°+40°＝80°； （3）∵射线OM、ON分别平分∠AOC和∠DOB， ∴∠MOC∠AOC，∠DON∠DOB， ∴∠MOC+∠DON（∠AOC+∠DOB）， ∵∠AOB＝120°，∠COD＝α， ∴∠AOC+∠DOB＝120°﹣α， ∴∠MOC+∠DON＝60°α， ∴∠MON＝60°α+α＝60°α； 故答案为80；80；（60α）； （4）反向延长OA、OB得到OA′、OB′，如图， 当OD、OC在∠AOB′内部， 设∠AOD＝x，则∠AOC＝α+x， ∴∠MOC∠AOC（α+x），∠DON∠DOB＝60°x， ∴∠MON＝∠BOC﹣∠COM﹣∠BON＝120°+α+x（x+α）﹣（60°x）＝60°α； 当OD、OC在∠A′OB′内部，可计算得到∠MON＝120°α； 当OD、OC在∠A′OB内部，可计算得到∠MON＝60°α； 当OD、OC在∠A′OB′内部，可计算得到∠MON＝120°α． 5．已知∠AOB、∠COD共顶点O，OM平分∠AOD，ON平分∠COB． （1）如图1，当OB与OD重合时，若∠AOB＝130°，∠MON＝25°，求∠BOC的度数； （2）将∠COD绕点O逆时针旋转至图2所示位置，若∠BOD＝60°，∠AOC＝10°，求∠MON的度数． 【解答】解：（1）设∠BOC＝x， ∵OM平分∠AOB，∠AOB＝130°， ∴∠MOB∠AOB＝65°， ∵ON平分∠COB， ∴∠BON∠COBx， ∵∠MON＝25°， ∴∠MOB﹣∠NOB＝25°， ∴65°x＝25°， 解得：x＝80°， ∴∠BOC的度数为80°； （2）∵OM平分∠AOD，ON平分∠COB， ∴∠AOM∠AOD，∠NOC∠COB， ∵∠BOD＝60°，∠AOC＝10°， ∴∠MON＝∠NOC﹣∠MOC ＝∠NOC﹣∠AOM﹣∠AOC ∠COB∠AOD﹣∠AOC （∠COB﹣∠AOD）﹣∠AOC （∠BOD+∠AOC）﹣∠AOC （60°+10°）﹣10° ＝35°﹣10° ＝25°， ∴∠MON的度数为25°． 6．已知：如图，OB、OC分别为定角∠AOD内部的两条动射线 （1）当OB、OC运动到如图1的位置时，∠AOC+∠BOD＝100°，∠AOB+∠COD＝40°，求∠AOD的度数； （2）在（1）的条件下（图2），射线OM、ON分别为∠AOB、∠COD的平分线，当∠COB绕着点O旋转时，下列结论：①∠AOM﹣∠DON的值不变；②∠MON的度数不变．可以证明，只有一个是正确的，请你作出正确的选择并求值． （3）在（1）的条件下（图3），OE、OF是∠AOD外部的两条射线，∠EOB＝∠COF＝90°，OP平分∠EOD，OQ平分∠AOF，当∠BOC绕着点A旋转时，∠POQ的大小是否会发生变化？若不变，求出其度数；若变化，说明理由． 【解答】解：（1）∵∠AOC+∠BOD＝∠AOB+∠COD+2∠BOC， ∠AOC+∠BOD＝100°，∠AOB+∠COD＝40°， ∴100°＝2∠BOC+40°， ∴∠BOC＝30°， ∴∠AOD＝∠BOC+∠AOB+∠COD＝70°． 答：∠AOD为70°； （2）②正确，∠MON＝50°， ∵OM、ON分别为∠AOB、∠COD的平分线， ∴∠CON+∠BOM ∴∠MON＝∠CON+∠BOM+∠BOC＝20°+30°＝50°． 故②正确，∠MON的度数为50°； （3）∠POQ的大小不变为110°， ∵∠DOE+∠AOF＝∠EOB+∠COF﹣∠BOC﹣∠AOD＝90°+90°﹣30°﹣70°＝80°． ∵OP平分∠EOD，OQ平分∠AOF， ∴∠POD+∠AOQ40° ∴∠POQ＝∠POD+∠AOQ+∠AOD＝40°+70°＝110° 故∠POQ的大小不变为110°． 7．如图1，射线OC，OD在∠AOB的内部，且∠AOB＝150°，∠COD＝30°，射线OM，ON分别平分∠AOD，∠BOC． （1）若∠AOC＝60°，试通过计算比较∠NOD和∠MOC的大小； （2）如图2，若将图1中∠COD在∠AOB内部绕点O顺时针旋转． ①旋转过程中∠MON的大小始终不变，求∠MON的值； ②如图3，若旋转后OC恰好为∠MOA的角平分线，试探究∠NOD与∠MOC的数量关系． 【解答】解：（1）∵∠AOC＝60°，∠DOC＝30°， ∴∠DOA＝90°， ∴∠DOM＝45°， ∴∠MOC＝45°﹣30°＝15°． ∵∠AOC＝60°，∠AOB＝150°， ∴∠BOC＝90°， ∴∠NOC＝45°， ∴∠NOD＝45°﹣30°＝15°． ∴∠MOC＝∠NOD， （2）①：∵OM平分∠AOD，ON平分∠BOC， ∴∠AOD＝2∠AOM，∠BOC＝2∠BON． ∴∠AOB＝∠AOD+∠BOC﹣∠COD＝2∠AOM+2∠BON﹣30°＝150° ∴∠AOM+∠BON＝90°， ∴∠MON＝150°﹣90°＝60° ②设∠MOC＝∠AOC＝x， ∵OC为∠MOA的角平分线， ∴∠AOM＝2x， ∵∠COD＝30° ∴∠DOM＝30°﹣x， ∵OM平分∠AOD， ∴∠AOM＝∠DOM＝30°﹣x， ∴30°﹣x＝2 x， 可得x＝10°， 则∠MOC＝∠AOC＝10°， ∠DOM＝30°﹣10°＝20°， ∵∠AOB＝150° ∴∠BOC＝150°﹣10°＝140° ∵射线ON平分∠BOC， ∴∠CON＝70° ∴∠NOD＝∠CON﹣∠COD＝70°﹣30°＝40°， ∴∠NOD＝4∠MOC． 8．已知O为直线AB上的一点，∠COE是直角，OF平分∠AOE（图中所说的角都是小于平角的角）． （1）如图1，若∠COF＝58°，求∠BOE的度数； （2）将∠COE绕点O顺时针旋转到如图2所示的位置时，若∠COF＝m°，求∠BOE的度数（用含字母m的代数式表示）． 【解答】解：（1）∵∠COE是直角，∠COF＝58°， ∴∠EOF＝90°﹣58°＝32°． ∵OF平分∠AOE， ∴∠AOE＝2∠EOF＝64°， ∴∠BOE＝180°﹣64°＝116°． 答：∠BOE的度数为116°； （2）∵∠COF＝m°， ∴∠EOF＝m°﹣90°． 又∵OF平分∠AOE， ∴∠AOE＝2∠EOF＝2m°﹣180°， ∴∠BOE＝180°﹣（2m°﹣180°）＝360°﹣2m°． 答：∠BOE的度数为360°﹣2m°． 9．已知O是AB上的一点，从O点引出射线OC、OE、OD，其中OE平分∠BOC． （1）如图1，若∠COD是直角，∠DOE＝15°，求∠AOE的度数； （2）如图1，若∠AOC＝∠BOD，∠DOE＝15°，求∠AOE的度数； （3）将图1中的∠COD（∠COD仍是直角）绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，若∠AOC＝α，∠DOE＝β，请猜想α与β之间存在什么样的数量关系，写出你的结论，并说明理由． 【解答】解：（1）∵∠COD是直角，∠DOE＝15°， ∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝90°﹣15°＝75°， ∵OE平分∠BOC， ∴∠BOC＝2∠COE＝2×75°＝150°， ∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣150°＝30°， ∴∠AOE＝∠AOC+∠COE＝30°+75°＝105°； （2）设∠BOE＝x， ∵OE平分∠BOC， ∴∠BOC＝2∠BOE＝2x， ∵∠AOC＝180°﹣2x， ∵∠BOD＝∠AOC， ∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝∠BOE﹣∠AOC＝x﹣（180°﹣2x）＝3x﹣180°， ∵∠DOE＝15°， ∴3x﹣180°＝15°， ∴x＝65°， ∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝180°﹣65°＝115°； （3）α＝2β， 理由如下： ∵∠COD是直角，∠DOE＝β， ∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝90°﹣β， ∵OE平分∠BOC， ∴∠BOC＝2∠COE＝2（90°﹣β）， ∵∠AOC+∠BOC＝180°， ∴α+2（90°﹣β）＝180°， 整理得：α＝2β． 10．如图，O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE是∠BOC的平分线． （1）如图1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度数； （2）在图1中，若∠AOC＝α，直接写出∠DOE的度数（用含α的代数式表示）； （3）将图1中的∠COD按顺时针方向旋转至图2所示的位置．探究∠AOC与∠DOE之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由； 【解答】解：（1）∵O是直线AB上一点（如图1）， ∴∠AOC+∠BOC＝180°． ∵∠AOC＝40°， ∴∠BOC＝140°． ∵OE平分∠BOC， ∴∠COE∠BOC140°＝70°． ∵∠DOE＝∠COD﹣∠COE，∠COD＝90°， ∴∠DOE＝20°； （2）∠DOEα， 理由是：∵O是直线AB上一点（如图1）， ∴∠AOC+∠BOC＝180°． ∵∠AOC＝α， ∴∠BOC＝180°﹣α． ∵OE平分∠BOC， ∴∠COE∠BOC（180°﹣α）＝90°， ∵∠DOE＝∠COD﹣∠COE，∠COD＝90°， ∴∠DOEα； （3）∠DOE∠AOC． 理由如下： ∵O是直线AB上一点（如图2）， ∴∠AOC+∠BOC＝180°． ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC． ∵OE平分∠BOC， ∴∠COE∠BOC（180°﹣∠AOC）， ∵∠DOE＝∠COD﹣∠COE，∠COD＝90°， ∴∠DOE＝90°（180°﹣∠AOC）∠AOC， ∴∠DOE∠AOC． 11．以直线AB上点O为端点作射线OC，使∠BOC＝60°，将直角△DOE的直角顶点放在点O处． （1）如图1，若直角△DOE的边OD放在射线OB上，则∠COE＝　30°　 ； （2）如图2，将直角△DOE绕点O按逆时针方向转动，使得OE平分∠AOC，说明OD所在射线是∠BOC的平分线； （3）如图3，将直角△DOE绕点O按逆时针方向转动，使得∠COD∠AOE．求∠BOD的度数． 【解答】解：（1）∵∠BOE＝∠COE+∠COB＝90°， 又∵∠COB＝60°， ∴∠COE＝30°， 故答案为：30°； （2）∵OE平分∠AOC， ∴∠COE＝∠AOECOA， ∵∠EOD＝90°， ∴∠AOE+∠DOB＝90°，∠COE+∠COD＝90°， ∴∠COD＝∠DOB， ∴OD所在射线是∠BOC的平分线； （3）设∠COD＝x°，则∠AOE＝5x°， ∵∠DOE＝90°，∠BOC＝60°， ∴6x＝30或5x+90﹣x＝120 ∴x＝5或7.5， 即∠COD＝5°或7.5° ∴∠BOD＝65°或52.5°． 12．如图，平面上顺时针排列射线OA、OB、OC、OD，∠BOC＝90°，∠AOD在∠BOC外部且为钝角，∠AOB：∠COD＝7：8，射线OM、ON分别平分∠AOC、∠AOD．（题目中所出现的角均小于180°且大于0°） （1）若∠AOD＝120°，则∠AOM＝　80°　 ，∠CON＝　140°　 ； （2）当∠AOD的大小发生改变时，∠AOM和7∠CON之间是否存在着固定的数量关系？如果存在、求出它们之间的数量关系；如果不存在，请说明理由； （3）在（1）的条件下，将∠AOB绕点O以每秒6°的速度顺时针旋转得到∠A1OB1（OA、OB的对应边分别是OA1、OB1），同时将∠COD绕点O以每秒2°的速度顺时针旋转得到∠C1OD1（OC、OD的对应边分别是OC1、OD1），当OA1第2次与OC1重合时结束，若旋转时间为t秒，求出t为何值时，∠A1OC1∠B1OD1？ 【解答】解：（1）设∠AOB＝7α，则∠COD＝8α，依题意得： 7α+90°+8α+120°＝360°， 解得：α＝10°， ∴∠AOB＝7α＝7×10°＝70°，∠COD＝8α＝8×10°＝80°， 又∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，∠BOC＝90°， ∴∠AOC＝70°+90°＝160°， 又∵OM是∠AOC的角平分线， ∠AOM∠AOC160°＝80°． 同理可得：∠CON＝140°． 故答案为：80°；140°； （2）存在． 设∠AOB＝7x，则∠COD＝8x， ∵∠AOB+∠BOC+∠COD+∠AOD＝360°， ∴7x+90°+8x+∠AOD＝360°， ∴∠AOD＝270°﹣15x， 又∵ON是∠AOD的角平分线， ∴∠DON∠AOD（270°﹣15x）＝135°x， 又∵∠CON＝∠COD+∠DON， ∴∠CON＝8x+135°x＝135°x， ∴7∠CON＝7（135°x）…① 同理可得：∠AOM＝45°x， ∴x② 由②代入①得：900°+∠AOM； （3）由（1）得，∠AOC＝160°，∠BOD＝170°， 则∠A1OC1＝4t﹣160°，∠B1OD1＝170°﹣4t， ∠B1OD1＝360°﹣4（t﹣42.5）＝530°﹣4t． 讨论：①0＜t＜40°，，解得t＝37.5； ②40°＜t＜42.5°，4t﹣160°（170°﹣4t），解得t； ③42.5°＜t＜85°，4t﹣160°（4t﹣170°），解得t＝37.5（舍去）； ④85°＜t＜87.5°，520°﹣4t（4t﹣170°），解得t（舍去）； ⑤87.5°＜t＜130°，520°﹣4t（530°﹣4t），解得t＝127.5． 故旋转时间为37.5秒或秒或127.5秒时，∠A1OC1∠B1OD1． 13．已知，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC． （1）如图1，若∠AOC＝37°，求∠DOE的度数； （2）将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置； ①探究∠AOD（小于平角）和∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②在∠AOC（小于平角）的内部有一条射线OF，满足∠AOD＝∠COF，试确定∠AOF与∠BOE的度数之间的关系，并说明理由． 【解答】解：（1）∵∠AOC＝37°，∠COD是直角， ∴∠BOC＝180°﹣37°＝143°， ∵OE平分∠BOC， ∴， ∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣71.5°＝18.5°； （2）①设∠COE＝∠BOE＝α，∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣2α， ∴∠AOD＝180°﹣∠DOB＝90°+2α， 又∵∠DOE＝90°﹣∠COE＝90°﹣α， ∴∠AOD+2∠DOE＝90°+2a+2×（90°﹣a）＝270°； ②∠AOF+4∠BOE＝90°， 理由：设∠AOF＝α，∠BOE＝β，则∠BOC＝2β， 如图， ∴∠COF＝180°﹣α﹣2β，∠AOD＝180°﹣∠BOD＝180°﹣（90°﹣2∠BOE）＝90°+2β， ∵∠AOD＝∠COF， ∴180°﹣α﹣2β＝90°+2β，整理得：α＝90°﹣4β， 即∠AOF+4∠BOE＝90°． 14．如图1，将一副三角板的两个锐角顶点放到一块，∠AOB＝45°，∠COD＝30°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线． （1）当∠COD绕着点O逆时针旋转至射线OB与OC重合时（如图2），则∠MON的大小为 　37.5°　 ； （2）如图3，在（1）的条件下，继续绕着点O逆时针旋转∠COD，当∠BOC＝15°时，则∠MON的大小为 　37.5°　 ； （3）在∠COD绕点O顺时针旋转到∠AOB内部时，请你画出图形，∠MON的度数是否发生变化，若变化请说明理由，若不变请求出∠MON的度数． 【解答】解：（1）如图1， ∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线， ∴∠BOM，， ∴∠BOM+∠BON， ∴∠MON（45°+30°）＝37.5°， 故答案为：37.5°； （2）如图2， ∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线， ∴∠AOM°+15°）＝30°，∠DON（30°+15°）＝22.5°， ∴∠MON＝∠AOD﹣∠AOM﹣∠DON＝（∠AOB+∠BOC+∠COD）﹣30°﹣22.5°＝90°﹣30°﹣22.5°＝37.5°， 故答案为：37.5°； （3）如图3， ∠MON＝37.5°，不发生变化，理由如下： ∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线， ∴∠AOM，， ∴∠MON＝∠AOB（AOC+∠BOD）＝45°（∠AOB﹣∠COD）＝45°（45°﹣30°）＝37.5°． 15．已知O为直线AB上的一点，射线OA表示正北方向，∠COE＝90°，射线OF平分∠AOE． （1）如图1，若∠BOE＝110°，则∠COF的补角度数＝　125°　 ； （2）若将∠COE绕点O旋转至图2的位置，试直接写出∠COF和∠BOE之间的数量关系 　∠BOE＝2∠COF　 ； （3）若将∠COE绕点O旋转至图3的位置，若3∠COF﹣2∠BOE＝36°，求∠FOC的度数． 【解答】解（1）∵∠BOE＝110°，∠AOE+∠BOE＝180°， ∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝70°， ∵OF平分∠AOE， ∴， ∵∠COE＝90°， ∴∠COF＝∠COE﹣∠EOF＝90°﹣35°＝55°， ∴∠COF的补角为：180°﹣55°＝125°， 故答案为：125°； （2）∠COF和∠BOE之间的数量关系为：∠BOE＝2∠COF， 理由如下： 如图， ， ∵OF平分∠AOE， ∴∠AOE＝2∠AOF， ∵∠COE＝90°，∠AOC+∠COE+∠BOE＝180°， ∴∠AOC+∠BOE＝90°， ∵∠AOE+∠BOE＝180°， ∴∠BOE＝180°﹣∠AOE ＝180°﹣2∠AOF ＝180°﹣2（∠AOC+∠COF） ＝180°﹣2（90°﹣∠BOE+∠COF） ＝180°﹣180°+2∠BOE﹣2∠COF ＝2∠BOE﹣2∠COF， ∴∠BOE＝2∠COF； （3）如图： ， ∵OF平分∠AOE， ∴∠FOE＝∠AOF， ∵∠BOE+∠AOE＝180°， ∴∠BOE＝180°﹣∠AOE， ∵3∠COF﹣2∠BOE＝36°，∠COF＝∠COE+∠EOF， ∴3（∠COE+∠EOF）﹣2（180°﹣∠EOA）＝36°， ∵∠COE＝90°，∠EOA＝2∠EOF， ∴3（90°+∠EOF）﹣2（180°﹣2∠EOF）＝36°， ∴∠EOF＝18°， ∴∠FOC＝∠COE+∠EOF＝90°+18°＝108°． 16．如图，∠COD在∠AOB的内部，且∠AOB＝150°，∠COD∠AOB，射线OE平分∠AOD． （1）如图1，若∠AOC＝70°，求∠COE的度数； （2）如图2，OF平分∠BOC，将∠COD绕着点O在∠AOB的内部旋转，若OD恰好平分∠BOF时，求∠AOE的度数． 【解答】解：∵∠AOB＝150°， ∵∠COD∠AOB， ∠COD＝30°， ∵∠AOC＝70°， ∴∠AOD＝∠COD+∠AOC＝100°， ∵OE平分∠AOD， ∴∠AOE＝∠EOD∠AOD＝50°， ∠COE＝∠EOD﹣∠COD＝20°． （2）OF，OD分别平分∠COB和∠BOF， ∴∠COF＝∠FOBr， ∴∠FOD＝∠BOD∠FOB， ∴∠COD＝∠COF+∠FOD＝3∠BOD， 又∵∠COD＝30°， ∴∠BOD＝10°， ∴∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD＝140°， ∵OE平分∠AOD， ∴∠AOE＝∠AOD＝70°． 【例3】动三角形 1．将直角三角板OMN的直角顶点O放在直线AB上，射线OC平分∠AON． （1）如图，若∠BON＝60°，求∠AOM的度数； （2）若∠AOM＝2∠COM，求∠AON的度数； （3）将直角三角板OMN绕顶点O按逆时针方向旋转，在旋转过程中：当∠BON＝120°时，求∠COM的度数． 【解答】解：（1）∵∠BON＝60°，∠MON＝90°， ∴∠AOM＝180°﹣60°﹣90°＝30°， （2）∵OC平分∠AON， ∴∠AOC＝∠CON， 又∵∠AOM＝2∠COM， 设∠COM＝x， ∴∠AOM＝2x， ∴∠CON＝∠AOC＝3x， ∵∠COM+∠CON＝90°， ∴x+3x＝90°， 解得x＝22.5°， ∴∠AON＝6x＝135°； （3）当ON在直线AB上方时， ∵∠BON＝120°， ∴∠AON＝60°， ∵OC平分∠AON， ∴∠CON＝30°， ∵∠MON＝90°， ∴∠COM＝60°， 当ON在直线AB下方时， ∵∠BON＝120°， ∴∠AON＝60°， ∵OC平分∠AON， ∴∠CON＝30°， ∵∠MON＝90°， ∴∠COM＝120°， 综上所述：∠COM的度数为60°或120°． 【练】 2．将一副直角三角板ABC，AED，按如图1放置，其中B与E重合，∠BAC＝45°，∠BAD＝30°． （1）如图1，点F在线段CA的延长线上，求∠FAD的度数； （2）将三角板AED从图1位置开始绕A点逆时针旋转，AM，AN分别为∠BAE，∠CAD的角平分线．如图2，当AE旋转至∠BAC的内部时，求∠MAN的度数． 【解答】解：（1）∵∠BAC＝45°，∠BAD＝30°， ∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝15°， ∵∠FAD+∠CAD＝180°， ∴∠FAD＝180°﹣∠CAD＝165° （2）∵AM，AN分别为∠BAE，∠CAD的角平分线， ∴，， ∵∠DAE＝30°、∠BAC＝45°， ∴∠CAD+∠CAE＝30°，∠CAE+BAE＝45°， ∴∠CAD＝30°﹣∠CAE，∠CAE＝45°﹣BAE， ∴∠MAN＝∠CAN+∠CAE+∠MAE37.5°． 3．已知O为直线AB上一点，将一直角三角板OMN的直角顶点放在点O处．射线OC平分∠MOB． （1）如图1，若∠AOM＝40°，求∠CON的度数； （2）在图1中，若∠AOM＝α，直接写出∠CON的度数（用含α的代数式表示）； （3）将图1中的直角三角板OMN绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，当∠AOC＝3∠BON时，求∠AOM的度数． 【解答】解：（1）因为O为直线AB上一点，且∠AOM＝40°，∠MON＝90°， 所以∠BOM＝140°，∠BON＝50°， 因为射线OC平分∠MOB， 所以， 因为∠CON＝∠BOC﹣∠BON， 所以∠CON＝70°﹣50°＝20°， （2）因为O为直线AB上一点，且∠AOM＝α，∠MON＝90°， 所以∠BOM＝180°﹣α，∠BON＝90°﹣α， 因为射线OC平分∠MOB， 所以， 因为∠CON＝∠BOC﹣∠BON， 所以， （3）设∠BOC＝x，则∠COM＝x，∠AOM＝180°﹣2x，∠BON＝90°﹣2x， 因为∠AOC＝∠AOM+∠COM， 所以∠AOC＝（180°﹣2x）+x＝180°﹣x， 因为∠AOC＝3∠BON， 所以180°﹣x＝3（90°﹣2x）， 解得x＝18°， 因为∠AOM＝180°﹣2x， 所以∠AOM＝180°﹣2×18°＝144°． 4．已知将一副三角板（直角三角板ABC和直角三角板CDE，∠ACB＝90°，∠ECD＝60°）如图1摆放，点D、A、C在一条直线上，将直角三角板CDE绕点C逆时针方向转动，变化摆放如图位置． （1）如图2，当∠ACD为多少度时，CB恰好平分∠ECD？ （2）如图3，当三角板CDE摆放在∠ACB内部时，作射线CF平分∠ACE，射线CG平分∠BCD，如果三角形CDE在∠ACB内绕点C任意转动，∠FCG的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由． （3）如图4，当三角板CDE转到∠ACB外部时，射线CF、CG仍然分别平分∠ACE、∠BCD，在旋转过程中，（2）中的结论是否成立？如果结论成立，请说明理由；如果不成立，请写出你的结论并根据图4说明理由． 【解答】解：（1）在图2中，∵CB平分∠DCE， ∴∠BCD∠DCE60°＝30°， ∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝90°﹣30°＝60°； （2）∠FCG不变，∠FCG＝15°， 理由是：如图3， ∵∠ACB＝90°，∠DCE＝60°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°﹣60°＝30°， ∵射线CF平分∠ACE，射线CG平分∠BCD， ∴∠FCE∠ACE45°， ∠BCG45°， ∴∠FCG＝∠BCF﹣∠BCG＝∠FCE+∠BCE﹣∠BCG＝45°∠BCE﹣45°∠ACD15°； （3）结论：在旋转的过程中，（2）中的结论不成立． 理由：∵∠ACB＝90°，∠DCE＝60°， ∴∠ACE+∠BCD＝360°﹣90°﹣60°＝210°， ∵射线CF平分∠ACE，射线CG平分∠BCD， ∴∠FCE∠ACE，∠DCG∠BCD， ∴∠FCE+∠DCG210°＝105°， ∴∠FCG＝∠FCE+∠DCE+∠DCG＝105°+60°＝165°． 【例4】告诉“旋转角度” 1．如图，已知∠AOC＝160°，OB是∠AOC内的射线，且∠AOB∠BOC，射线OD、OE将∠AOC分割，使得∠AOD：∠BOD：∠COE＝1：2：3． （1）求∠DOE； （2）如图2，作∠BOD，∠EOC的平分线OM，ON．求∠MON的值； （3）如图3，将图（1）中∠DOE绕点O逆时针旋转α°（60°＜α＜80°）得到∠D'OE'，作∠COE'，∠BOD'的角平分线OG，OH．请判断∠GOH的值是否会随着α改变而改变，如果不变，请直接写出∠GOH的值，如果改变请说明理由． 【解答】解：（1）设∠AOD＝x，则：∠BOD＝2x，∠COE＝3x， ∵∠AOB＝∠AOD+∠BO ∴∠AOB＝x+2x＝3x， ∵∠AOB∠BOC， ∴∠BOC∠AOB3x＝5x， 又∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，∠AOC＝160， ∴5x+3x＝160° 解得：x＝20°． ∵∠COE＝3x， ∴∠COE＝3×20°＝60°， 又∵∠DOE＝∠AOC﹣∠COE﹣∠AOD， ∴∠DOE＝160°﹣60°﹣20°＝80°． （2）∵OM、ON别是∠BOD和∠COE的角平分线， ∴∠BOM∠BOD，∠NOE∠COE， 又∵∠BOD＝40°，∠COE＝60°， ∴∠BOM∠BOD40°＝20°， ∠NOE∠COE60°＝30°， ∵∠BOC＝∠COE+∠EOB，∠BOC＝100°， ∴∠BOE＝100°﹣60°＝40°， 又∵∠MOD＝∠NOE+∠EOB+∠BOM， ∴∵∠MOD＝30°+40°+20°＝90°． （3）∵OG、OH分别是∠COE′和∠D′OB角平分线， ∴∠COG∠COE′，∠D′OH∠D′OB 在60°＜α＜80°的条件下 ∵∠BOD＝40°， ∴，∠D′OH， 又∵∠DOE＝80°， ∴∠EOD′＝80°﹣α， 又∵COE＝60°， ∴∠COG； ∴∠GOH＝∠GOC+∠COE+∠EOD′+∠D′OH ＝90° 【练】 2．已知点O是直线AB上一点，∠COE＝60°，OF是∠AOE的平分线． （1）当点C，E在直线AB的同侧，且OF在∠COE的内部时（如图1所示），设∠BOE﹣2∠COF＝α，求α的大小； （2）当点C与点E，F在直线AB的两旁（如图2所示），（1）中的结论是否仍然成立？请给出你的结论，并说明理由； （3）将图2中的射线OF绕点O顺时针旋转m°（0＜m＜180），得到射线OD，设∠AOC＝n°，若，则∠DOE的度数是　　 （用含n的式子表示）． 【解答】解：（1）设∠AOC＝β，则∠BOE＝180°﹣（60°+β）＝120°﹣β， ∵OF是∠AOE的平分线， ， ∴， 即α＝60°； （2）（1）中的结论不变，即α＝60°， ∠BOE＝180°﹣∠AOE， ∵OF是∠AOE的平分线， ∴， ∴∠BOE﹣2∠COF＝60°； （3）通过比较，可判断出射线OD只可能在∠BOE的内部，如图3所示 ∠DOE＝180°﹣∠BOD﹣∠AOE， ＝180°﹣（）°﹣（60°﹣n°）， ． 故答案为：． 3．（1）探究：哪些特殊的角可以用一副三角板画出？ 在①135°，②125°，③75°，④25°中，小明同学利用一副三角板画不出来的特殊角是 　②④　 ；（填序号） （2）在探究过程中，爱动脑筋的小明想起了图形的运动方式有多种．如图，他先用三角板画出了直线EF，然后将一副三角板拼接在一起，其中45°角（∠AOB）的顶点与60°角（∠COD）的顶点互相重合，且边OA、OC都在直线EF上固定三角板COD不动，将三角板AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α，当边OB与射线OF第一次重合时停止． ①当OB平分∠EOD时，求旋转角度α； ②是否存在∠BOC＝2∠AOD？若存在，求旋转角度α；若不存在，诸说明理由． 【解答】解：（1）∵135°＝90°+45°，75°＝30°+45°， ∴125°和25°不能写成90°、60°、45°、30°的和或差，故画不出； 故选②④； （2）①∵∠COD＝60°， ∴∠EOD＝180°﹣∠COD＝180°﹣60°＝120°， ∵OB平分∠EOD， ∴∠EOB∠EOD120°＝60°， ∵∠AOB＝45°， ∴α＝∠EOB﹣∠AOB＝60°﹣45°＝15°； ②当OA在OD的左侧时，如图②， 则∠AOD＝120°﹣α，∠BOC＝135°﹣α， ∵∠BOC＝2∠AOD， ∴135°﹣α＝2（120°﹣α）， ∴α＝105°； 当OA在OD的右侧时如图③，则∠AOD＝α﹣120°，∠BOC＝135°﹣α， ∵∠BOC＝2∠AOD， ∴135°﹣α＝2（α﹣120）， ∴α＝125°， 综上所述，当α＝105°或125°时，存在∠BOC＝2∠AOD． 4．已知O为直线AB上一点，将一直角三角板COD的直角顶点放在点O处． （1）如图1，若射线OE平分∠BOC，∠AOC＝40°，求∠DOE的度数； （2）如图2，将三角板绕点O顺时针旋转，若OC恰好平分∠AOE，试说明OD平分∠BOE； （3）如图3，当∠AOE＝120°时，将直角三角板COD绕顶点O顺时针旋转一个角度α（0°≤α≤180°），在旋转过程中，当时，直接写出∠DOE的度数． 【解答】解：（1）∵∠AOC＝40°， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣40°＝140°． ∵OE平分∠BOC， ∴∠COE＝∠BOE∠BOC140°＝70°， ∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣70°＝20°． （2）由题意可知，∠COE＝90°， ∴∠AOC+∠BOD＝∠COE+∠DOE＝90°， ∵OC平分∠AOE， ∴∠AOC＝∠COE， ∴∠BOD＝∠DOE，即OD平分∠BOE； （3）当0°≤α≤90°时，∠BOD＝90°﹣α，∠COE＝120°﹣α， ∵， ∴90°﹣α（120°﹣α）， 解得α＝75°； ∴∠DOE＝α﹣30°＝45°； 当90°＜α≤120°时，∠BOD＝α﹣90°，∠COE＝120°﹣α， ∵， ∴α﹣90°（120°﹣α）， 解得α＝97.5°； ∴∠DOE＝α﹣30°＝67.5°； 当120°＜α≤180°时，∠BOD＝α﹣90°，∠COE＝α﹣120°， ∵， ∴α﹣90°（α﹣120°）， 解得α＝75°（舍）； 综上，当时，∠DOE的度数为45°或67.5°． 5．如图1，直角三角形DEF与直角三角形ABC的斜边在同一直线上，∠EDF＝30°，∠ABC＝40°，CD平分∠ACB，将△DEF绕点D按逆时针方向旋转，记∠ADF为α（0°＜α＜180°），在旋转过程中； （1）如图2，当∠α＝　10°　 时，DE∥BC，当∠α＝　100°　 时，DE⊥BC； （2）如图3，当顶点C在△DEF内部时（不包含边界），边DF、DE分别交BC、AC的延长线于点M、N ①此时∠α的度数范围是　55°＜α＜85°　 ． ②∠BMD与∠AND度数的和是否变化？若不变，求出∠BMD与∠AND的度数和；若变化，请说明理由； ③若使得∠AND≥2∠BMD，求∠α的度数范围． 【解答】解：（1）∵∠B＝40°， ∴当∠EDA＝∠B＝40°时，DE∥BC， 而∠EDF＝30°， ∴30°+α＝40°， 解得：α＝10°； 当DE∥AC时，DE⊥AB， 此时∠A+∠EDA＝180°， ∠A＝90°﹣∠B＝50°， ∴50°+α+30°＝180°， 解得：α＝100°； 故答案为：10°，100°； （2）①∵∠ABC＝40°，CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝45°，∠A＝50°， ∴∠CDA＝85°， 当点C在DE边上时，α+30°＝85°， 解得：α＝55°， 当点C在DF边上时，α＝85°， ∴当顶点C在△DEF内部时，55°＜α＜85°； 故答案为：55°＜α＜85°； ②∠1与∠2度数的和不变； 理由如下： 连接MN，如图3所示： 在△CMN中， ∵∠CNM+∠CMN+∠MCN＝180°， ∴∠CNM+∠CMN＝90°， 在△MND中， ∵∠DNM+∠DMN+∠MDN＝180°， 即∠AND+∠CNM+∠CMN+∠BMD+∠MDN＝180°， ∴∠BMD+∠AND＝180°﹣90°﹣30°＝60°； ③∵∠AND≥2∠BMD，∠BMD+∠AND＝60°， ∴∠AND≥2（60°﹣∠AND）， ∴∠AND≥40°， ∵∠AND+∠NDM+α+∠A＝180°， 即∠AND+30°+α+50°＝180°， ∴∠AND＝100°﹣α， ∴100°﹣α≥40°， 解得：α≤60°， ∵当顶点C在△DEF内部时，55°＜α＜85°， ∴∠α的度数范围为55°＜α≤60°． 6．已知O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC． （1）如图①，若∠AOC＝46°，求∠DOE的度数； （2）在图①中，若∠AOC＝α，直接写出∠DOE的度数（用含α的代数式表示）； （3）将图①中的∠DOC绕顶点O顺时针方向旋转至图②所示的位置，探究∠AOC与∠DOE度数之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由． 【解答】解：（1）∠BOC＝180°﹣∠AOC＝134°， ∵OE平分∠BOC， ∴∠COE∠BOC， ∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣67°＝23°； （2）由（1）可知， ∴∠DOE； （3）∠AOC与∠DOE度数之间的数量关系为：∠AOC＝2∠DOE． 理由如下：∵∠BOC＝180°﹣∠AOC，CE平分∠BOC ∴∠COE∠BOC； ∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣（）， 即：∠AOC＝2∠DOE． 7．如图，已知∠AOC＝80°，∠BOD＝30°，若OM平分∠AOB，ON平分∠COD． （1）如图1，当OC与OB重合时，求∠MON的度数； （2）如图2，当∠BOD从图1位置开始绕点O顺时针旋转m（0＜m＜90）时，∠BOM﹣∠DON的值是否为定值？若是定值，求出∠BOM﹣∠DON的值；若不是定值，请说明理由； （3）如图2，当∠BOD从图1位置开始绕点O顺时针旋转m（30＜m＜70）时，满足∠AOD+∠MON＝7∠BOD，求m的值． 【解答】解：（1）∵OM平分∠AOB，ON平分∠COD， ∴∠AOM＝∠MOB∠AOB，∠DON＝∠NOC∠COD， ∵∠AOB＝80°，∠COD＝30°， ∴∠MOC＝40°，∠NOC＝15°， ∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝40°+15°＝55°； （2）∠BOM﹣∠DON为定值25°，理由如下： 由题意可知：∠AOD＝∠AOB+∠COD+m＝110°+m， 由（1）可知：∠AOM＝∠MOB∠AOB，∠DON＝∠NOC∠COD， ∴∠BOM＝∠AOM＝∠（∠AOC+m）（80°+m），∠DON（∠BOD+m）（30°+m）， ∴∠BOM﹣∠DON（80°+m）（30°+m）＝25°， ∴∠BOM﹣∠DON的值为25°； （3）由（2）知：∠AOD＝110°+m，∠AOM（80°+m），∠DON（30°+m）， ∴∠MON＝∠AOD﹣∠AOM﹣∠DON＝110°+m（80°+m）（30°+m）＝55°， ∵∠AOD+∠MON＝7∠BOD，∠BOD＝30°， ∴110°+m+55°＝7×30°， ∴m＝45°． 8．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起． （1）如图（1），若∠BOD＝35°，则∠AOC＝　145°　 ；若∠AOC＝135°，则∠BOD＝　45°　 ；（直接写出结论即可） （2）如图（2），若∠AOC＝140°，则∠BOD＝　40°　 ；（直接写出结论即可） （3）猜想∠AOC与∠BOD的大小关系，并结合图（1）说明理由； （4）三角尺AOB不动，将三角尺COD的OD边与OA边重合，然后绕点O按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度，当锐角∠AOD等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出∠AOD角度所有可能的值，不用说明理由． 【解答】解：（1）若∠BOD＝35°， ∵∠AOB＝∠COD＝90°， ∴∠AOC＝∠AOB+∠COD﹣∠BOD＝90°+90°﹣35°＝145°， 若∠AOC＝135°， 则∠BOD＝∠AOB+∠COD﹣∠AOC＝90°+90°﹣135°＝45°； 故答案为：145°；45°； （2）如图2，若∠AOC＝140°， 则∠BOD＝360°﹣∠AOC﹣∠AOB﹣∠COD ＝360°﹣140°﹣90°﹣90° ＝40°； 故答案为：40°； （3）∠AOC与∠BOD互补． ∵∠AOB＝∠COD＝90°， ∴∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC＝180°． ∵∠AOD+∠BOD+∠BOC＝∠AOC， ∴∠AOC+∠BOD＝180°， 即∠AOC与∠BOD互补． （4）OD⊥AB时，∠AOD＝30°， CD⊥OB时，∠AOD＝45°， CD⊥AB时，∠AOD＝75°， OC⊥AB时，∠AOD＝60°， CD⊥OA时，∠AOD＝45°． 即∠AOD角度所有可能的值为：30°、45°、60°、75°． 9．已知PQ∥MN，A为MN上一点，B为PQ上一点，C为PQ，MN之间的一点，过C作直线CH，过A作AG∥CH，分别交以B为顶点的∠EBF的两边于E、F两点． （1）如图（1）所示，当∠EBF＝90°，∠BEG＝45°，则∠CFB＝　135°　 ． （2）如图（2）所示，∠FBE为任意角时，若BF与AE恰好分别平分∠CBQ和∠CAM，且∠ACB＝60°，求∠CFB的度数． （3）如图（3）所示，在（2）的条件下，∠CAN＝40°，在∠FBE旋转的过程中，△BCF的三边与AC平行或垂直时，直接写出旋转的角度． 【解答】解：（1）过点B作BD∥AG， ∵AG∥CH， ∴AG∥BD∥CH， ∴∠BEG＝∠EBG，∠DBF+∠BFC＝180°， ∵∠BEG＝45°， ∴∠EBD＝45°， ∵∠EBF＝90°， ∴∠DBF＝90°﹣45°＝45°， ∴∠BFC＝180°﹣∠DBF＝135°． 故答案为：135°． （2）如图，过点B作BD∥AG，延长AG交PQ于点I， ∵AG∥CH， ∴AI∥CH，BD∥CH，AI∥BD， 设∠CAM＝2α，∠CBQ＝2β， ∵BF与AE恰好分别平分∠CBQ和∠CAM， ∴∠MAI＝∠CAI＝α，∠CBF＝∠QBF＝β， ∵AI∥BD， ∴∠DBQ＝∠AIB＝α， ∴∠OBC＝∠OBQ﹣∠CBQ＝α﹣2β，∠DBF＝∠OBQ﹣∠FBQ＝α﹣β， ∵BD∥CF， ∴∠ACF＝∠180°﹣∠CAI＝180°﹣α， ∴∠BCF＝∠ACF﹣∠ACB＝120°﹣α， ∴α﹣2β＝120°﹣α， ∴α﹣β＝60°， ∵BD∥CF， ∴∠CFB＝180°﹣∠DBF＝180°﹣（α﹣β）＝120°． （3）由（2）可知，当∠CAN＝40°时，∠α＝70°，∠β＝10°， ①如图，对BC分析， ∴∠ACB＝60°， ∴当旋转至C′时，∠C′BC＝60°， ∴BC′∥AC， 当旋转至C″时，即∠C″BC＝90°+60°时，有BC″⊥AC， 即旋转角为60°或150°； ②对BF分析， ∵∠AIB＝50°， 当∠F′BF＝50°时，有BF′∥AC ∠F″BF＝140°时，有BF″⊥AC 即旋转角为50°或140°； ③对CF分析， 当∠F′BF＝20°时，有 CF′⊥AC ∠C″BC＝110°时，有F″C″∥AC 即旋转角为20°或110°； 综上可知，旋转角度数为20°或50°或60°或110°或140°或150°． 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 复杂动角问题（有运动速度） 【例1】单动射线 1．已知∠AOB＝120°，OC、OD分别是∠AOB内部的两条射线． （1）如图1，若∠DOC＝20°，OC平分∠AOB，OE为∠BOC内部的一条射线，∠BOE∠BOC，求∠DOE的度数； （2）如图2，若OM、ON分别平分∠AOC，∠BOD，且∠MOC：∠DON＝2：3，若∠DOC＝20°，求∠MOD和∠CON的度数； （3）如图3，C1为射线OB的反向延长线上一点，将射线OB绕点O顺时针以6°/s的速度旋转，旋转后OB对应射线为OB1，旋转时间为t秒（0＜t≤40），OE平分∠AOB1，OF为∠C1OB1的三等分线，∠C1OF，若|∠C1OF﹣∠AOE|＝30°，求t的值． 【练】 2．已知∠AOB＝150°，OD为∠AOB内部的一条射线 （1）如图（1），若∠BOC＝60°，OD为∠AOB内部的一条射线，∠COD∠BOC，OE平分∠AOB，求∠DOE的度数． （2）如图（2），若OC、OD是∠AOB内部的两条射线，OM、ON分别平分∠AOD，∠BOC，且∠MOC≠∠NOD，求（∠AOC﹣∠BOD）/（∠MOC﹣∠NOD）的值． （3）如图（3），C1为射线OB的反向延长线上一点，将射线OB绕点O顺时针以6°/s的速度旋转，旋转后OB对应射线为OB1，旋转时间为t秒（0＜t≤35），OE平分∠AOB1，OF为∠C1OB1的三等分线，∠C1OF∠C1OB1，若|∠C1OF﹣∠AOE|＝30°，直接写出t的值为　 　 ． 3．已知：∠AOD＝160°，OB，OM，ON是∠AOD内的射线． （1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．当射线OB绕点O在∠AOD内旋转时，∠MON＝ 　 　 度． （2）OC也是∠AOD内的射线，如图2，若∠BOC＝20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，当∠BOC绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON的大小． （3）在（2）的条件下，若∠AOB＝10°，当∠BOC在∠AOD内绕O点以每秒2°的速度逆时针旋转t秒，如图3，若∠AOM：∠DON＝2：3，求t的值． 4．已知：OC、OD、OE是∠AOB内的射线，∠AOB＝140°． （1）如图1，OD是∠AOC的平分线，OE是∠BOC的平分线，∠DOE＝　 　 度； （2）如图2，OF也是∠AOB内的射线，若∠FOC＝20°，OD平分∠AOF，OE平分∠COB，求∠DOE的大小； （3）在（2）的条件下，射线OC从边OA开始绕O点以每秒2°的速度顺时针旋转t秒，如图3，若∠AOD：∠BOE＝2：3，求t的值． 5．点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝150°，OD平分∠AOC（如图1）．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，设直角三角板两直角边分别为OM、ON（ON＜OM，∠MON＝90°）．边OM在射线OB上． （1）在图1中，∠AOD＝　 　 ； （2）如图2所示，将直角三角板绕点O按每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当OM与OD垂直时，则旋转时间t的值为多少秒？ （3）将直角三角板绕点O顺时针旋转，当OM在∠AOC内部运动时，请直接写出此时∠CON与∠AOM的数量关系． 6．如图1，平面上顺时针排列射线OA，OB，OC，OD，∠BOC＝90°，∠AOD在∠BOC外部且为钝角，∠AOB：∠COD＝5：7，射线OM，ON分别平分∠AOC，∠AOD（题目中所出现的角均小于180°且大于0°）． （1）若∠AOD＝150°，∠AOM＝　 　 ，∠CON＝　 　 ； （2）5∠CON﹣2∠AOM的值是否随着∠AOD的改变而改变？若不变，求出该定值；若改变，请说明理由； （3）在（1）的条件下，将∠AOB绕点O以每秒4°的速度顺时针旋转得到∠A1OB1（OA，OB的对应边分别是OA1，OB1），若旋转时间为t秒（0＜t＜90），当∠A1OC+10°＝∠B1OD时，求出t的值． 【例2】双动射线 1．如图，∠AOB是直角，射线OC从OA出发，以每秒8度的速度顺时针方向转动；射线OD从OB出发，以每秒2度的速度逆时针方向转动．当OC与OA成一直线时停止转动． （1）　 　 秒时，OC与OD重合； （2）当OC与OD的夹角是30度时，求转动的时间是多少秒？ （3）若OB平分∠COD，求转动的时间是多少秒？ 【练】 2．如图所示，已知直线AB、CD相交于O，∠AOC＝60°，射线OP从OA位置起始，绕点O逆时针旋转，终边OP与始边OA形成的角度为α． 问题1：若OP逆时针旋转180°停止，则 （1）α＝　 　 时，OP平分∠AOC； （2）α＝　 　 时，OP⊥OC； （3）α＝　 　 时，∠AOP＝2∠POC； 问题2：若OP逆时针旋转的速度为每秒8°，在OP匀速旋转的同时，直线CD也从如图的位置开始绕点O逆时针匀速旋转，旋转速度为每秒5°，当OP完成旋转一周时，CD也同时停止旋转，设旋转时间为t（t＞0）秒． （1）旋转时间t为多少时，射线OP与OC重合，请写出求解过程． （2）观察旋转全过程，判断旋转时间t为多少时，射线OP平分∠AOC．请直接写出t的值，（注：∠AOC指大于0°且小于180°的角） 3．如图1，A，O，B三点在一条直线上，且∠AOC＝24°，∠BOD＝78°，射线OM，ON分别平分∠AOD和∠BOD．如图2，将射线OA以每秒8°的速度绕点O逆时针旋转一周，同时将∠COD以每秒6°的速度绕点O逆时针旋转，射线OM，ON分别平分∠AOD和∠BOD，当射线OC与射线OB重合时，∠COD停止运动．设射线OA的运动时间为t秒． （1）如图1，运动开始前，∠MON＝　 　 °； （2）若ON在OB上方，当t为何值时，射线OD平分∠BOM？ （3）旋转过程中，是否存在某一时刻使得∠MON＝46°？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 4．点O在直线MN上，在直线MN的下方作射线OA、OA'，满足∠AOM＝∠A'ON＝α（其中0°≤α≤180°），将射线OA绕着点O逆时针旋转90°得到射线OB． （1）①如图1，当α＝35°时，直接写出∠A'OB的度数； ②若∠AOM比∠A'OB大15°，求出∠AOM的值； （2）如图2，若∠AOM＝35°，射线OP从OA开始绕着O点以5°/s的速度逆时针旋转至ON结束，设旋转时间为t s，射线OQ是由射线OP绕O点逆时针旋转120°得到，作射线OC平分∠AOP，当∠CON∠QON为定值时，求t的取值范围及对应的定值． 5．如图1，O为直线AD上一点，射线OC在∠AOB内部，且∠AOB：∠BOD＝7：2． （1）若OC平分∠AOB，求∠COD的度数； （2）如图2，若∠BOC＝84°，有一条射线OP绕着点O旋转，当∠AOP＝∠AOC时，求∠BOP的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，射线OE从射线OC开始绕O点逆时针方向旋转，速度为6°/s，射线OF从射线OB开始绕着点O顺时针方向旋转，速度为4°/s．两条射线OE、OF同时开始运动，当射线OF与射线OD首次重合时，两射线都停止运动，运动时间为t秒．当t的取值范围为多少时，代数式的值是定值，请求出该范围和该定值．（本小题出现的角均小于平角） 6．如图，两条直线AB，CD相交于点O，且∠AOC＝90°，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s．两条射线OM，ON同时运动，运动时间为t秒．（本题出现的角均小于平角） （1）当t＝2时，∠MON＝　 　 ，∠AON＝　 　 ； （2）当0＜t＜12时，若∠AOM＝3∠AON﹣60°，试求出t的值； （3）当0＜t＜6时，探究的值，问：t满足怎样的条件是定值；满足怎样的条件不是定值？ 7．如图，两个形状、大小完全相同的含有30°、60°的三角板如图①放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P旋转． （1）直接写出∠DPC的度数； （2）若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转一定角度（如图②），若PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF的度数； （3）在图①基础上，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为6°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P顺时针旋转，转速为2°秒，（当三角板PAC旋转一周后，两块三角板停止运动），请直接写出在旋转过程中，当2∠CPD＝3∠BPM时的旋转时间． 8．已知∠AOB＝90°，∠COD＝80°，OE是∠AOC的角平分线． （1）如图1，若∠AOD∠AOB，则∠DOE＝　 　 ； （2）如图2，若OF是∠AOD的角平分线，求∠AOE﹣∠DOF的值； （3）在（1）的条件下，若射线OP从OE出发绕O点以每秒12°的速度逆时针旋转，射线OQ从OD出发绕O点以每秒8°的速度顺时针旋转，若OP、OQ同时开始旋转t秒（0＜t）后得到∠COP∠AOQ，求t的值． 9．已知：如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒3°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒6°的速度旋转，如图2，设旋转时间为t（0秒≤t≤30秒）． （1）则∠MOA＝　 　 度，∠NOB＝　 　 度（用含t的代数式表示）； （2）在运动过程中，当∠AOB达到81°时，求t的值； （3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得∠NOB＝2∠AOB，如果存在，直接写出t的值；如果不存在，请说明理由． 10．射线OM在∠AOB内部，射线OC从射线OM的位置开始以每秒10°的速度绕点O逆时针方向旋转；同时，射线OD从射线OB的位置开始以每秒20°的速度绕点O逆时针方向旋转： （1）若∠AOB＝100°，当射线OC、OD运动了2秒，求∠AOC+∠MOD的值； （2）若射线OC、OD在∠AOB内部时，总有∠MOD＝2∠AOC，试探究∠AOM与∠AOB之间满足什么等量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，过点O作射线ON，且∠AON﹣∠BON＝∠MON，求的值． 11．已知OC是∠AOB内部的一条射线，M，N分别为OA，OC上的点，线段OM，ON同时分别以20°/s，10°/s的速度绕点O逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒． （1）如图①，若∠AOB＝120°，当OM、ON逆时针旋转到OM'、ON'处， ①若OM，ON旋转时间t＝3时，则∠BON'+∠COM'＝　 　 ； ②若OM'平分∠AOC，ON'平分∠BOC，求∠M'ON'的值； （2）如图②，若∠AOB＝3∠BOC，OM，ON分别在∠AOC，∠BOC内部旋转时，请猜想∠COM与∠BON的数量关系，并说明理由． （3）若∠AOC＝70°，OM，ON在旋转的过程中，当∠MON＝20°，求t的值． 12．已知∠AOB＝120°，∠COD＝40°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD（图中的角均大于0°且小于180°）． （1）如图1，求∠MON的度数； （2）若OD与OB重合，OC从图2中的位置出发绕点O逆时针以每秒10°的速度旋转，同时OD从OB的位置出发绕点O顺时针以每秒5°的速度旋转，旋转时间为t秒． ①当8＜t＜24时，试确定∠BOM与∠AON的数量关系； ②当0＜t＜26且t时，若|∠MON﹣∠COD|∠AOB，求t的值． 13．为便于夜间航行船只查看长江航道及河床两岸的情况，长江航道管理局在如图所示MN水域地带的两岸M、N处分别安置了一盏可以不断匀速旋转地探照灯．设MN水域地带两岸AB∥CD，点N处探照灯射出的光线自ND开始顺时针旋转，点M处探照灯射出的光线自MB开始顺时针旋转，当两灯射出的光线旋转至各自岸边时立即反向旋转，旋转中常常出现交叉照射，若点N处射出的光线每秒旋转a度，点M处射出的光线每秒旋转b度．且． （1）求a，b的值； （2）如图2，设两灯同时开始旋转，点N处探照灯射出的光线在旋转到NC之前，若两盏探照灯射出的光线在点F处交叉照射，是否存在点F使得过F作FE⊥NF交AB于点E，且∠MFE＝30°，若存在，求∠MNF的度数；若不存在，说明理由； （3）设点M处探照灯先旋转15秒后，点N处探照灯才开始一起旋转，记两盏灯一起旋转的时间为t秒．当点M处探照灯射出的光线首次旋转至MA位置之前，能否出现两盏探照灯射出的光线互相平行，若能，直接写出所有t的值；若不能，说明理由． 14．汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看河水及两岸河堤的情况．如图，灯A射出的光束自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射出的光束自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A射出的光束转动的速度是a°/秒，灯B射出的光束转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0．假定这一带水域两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°． （1）求a、b的值； （2）如图2，两灯同时转动，在灯A射出的光束到达AN之前，若两灯射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，若∠BCD＝20°，求∠BAC的度数； （3）若灯B射线先转动30秒，灯A射出的光束才开始转动，在灯B射出的光束到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ 15．如图，已知直线AB与直线CD相交于点O，∠BOE＝90°，OF平分∠BOD，∠BOC：∠AOC＝1：3． （1）求∠DOE，∠COF的度数； （2）若射线OF，OE同时绕O点分别以2°/s，4°/s的速度，顺时针匀速旋转，当射线OE，OF的夹角为90°时，两射线同时停止旋转．设旋转时间为t，试求t值． 16．已知直线AB和CD交于O，∠AOC的度数为x，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD． （1）当x＝20°时，则∠EOC＝　 　 度；∠FOD＝　 　 度． （2）当x＝60°时，射线OE′从OE开始以10°/秒的速度绕点O逆时针转动，同时射线OF′从OF开始以8°/秒的速度绕点O顺时针转动，当射线OE′转动一周时射线OF′也停止转动，求至少经过多少秒射线OE′与射线OF′重合？ （3）在（2）的条件下，射线OE′在转动一周的过程中，当∠E′OF′＝90°时，请直接写出射线OE′转动的时间． 17．已知射线OC、OD在∠AOB的内部，∠AOB＝150°，∠COD＝20°． （1）如图1，求∠AOD+∠BOC的大小； （2）如图2，OM平分∠BOC，ON平分∠AOD，求∠MON的大小； （3）如图3，若∠AOC＝30°，射线OC绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转，当与射线OB重合后，再以每秒15°的速度绕点O逆时针旋转；同时射线OD以每秒30°的速度绕点O顺时针旋转．设射线OD，OC运动的时间是t秒（0＜t≤22），当∠COD＝120°时，直接写出t的值． 【例3】单动角 1．如图1，射线OB、OE分别是∠AOC，∠DOF的平分线，∠AOD＝3∠COD．∠COE＝2∠BOD，三点A，O，F在一直线上将∠COD从现在位置开始绕点O逆时针每秒5°旋转，当OC与OA重合时，立即再将∠COD绕点O顺时针每秒5°旋转，当OD与OE重合时，旋转停止． （1）若∠AOC＝n∠COD，求n； （2）求∠COD的度数； （3）当∠COD旋转时，∠COD的大小不变，设边OC对应射线OC'，边OD对应射线OD'，旋转时间为t（t＞0）秒，直接写出t为何值时，对于（1）中n，使∠AOC'＝n∠COD'成立． 【练】 2．如图1，平面上顺时针排列射线OA，OB，OC，OD，∠BOC＝90°，∠AOD在∠BOC外部且为钝角，∠AOB：∠COD＝6：7，射线OM，ON分别平分∠AOC，∠AOD（题目中所出现的角均小于180°且大于0°）． （1）若∠AOD＝140°，∠AOM＝　 　 ，∠CON＝　 　 ； （2）6∠CON﹣∠AOM的值是否随着∠AOD的变化而变化？若不变，求出该定值；若要变，请说明理由； （3）在（1）的条件下，将∠AOB绕点O以每秒2°的速度顺时针旋转得到∠A1OB1（OA，OB的对应边分别是OA1，OB1），若旋转时间为t秒（0＜t＜180），当∠A1OC+6°＝∠B1OD时，求出t的值． 3．如图，含有60°的直角三角板ABC（∠BAC＝60°）的边AC在直线DE上，∠BAF＝2∠FAD． （1）∠FAD＝　 　 ； （2）如图（2），射线AG平分∠BAD，射线AH平分∠CAF，求∠GAH的度数； （3）如图（3），将三角板ABC绕点A以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转t秒，AB旋转以后的射线记为AB′，AC旋转以后的线段记为AC′，当AB′落在AD上时停止转动，在运动的过程中，射线AG′平分∠B′AD，射线AH′平分∠C′AF，当∠DAH′＝3∠FAG′+60°时，求t的值． 【例4】双动角 1．平面上顺时针排列射线OA，OB，OC，OD，∠BOC＝30°，，射线OM，ON分别平分∠AOB，∠AOD（题目中所出现的角均小于180°）． （1）如图1，若∠AOD＝10°，则∠AOM＝　 　 ，∠CON＝　 　 ； （2）如图2，探究∠MON与∠BON的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若∠BON＝5°，将∠AOB绕点O以每秒2°的速度顺时针旋转，同时将∠COD绕点O以每秒3°逆时针旋转，若旋转时间为t秒（0＜t＜90），当∠MON＝5°时，直接写出t的值． 【练】 2．如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC＝60°．已知∠MON＝60°，∠MON绕点O在平面内旋转，旋转前，边OM与射线OB重合，边ON与射线OD重合．将∠MON绕点O按每秒12°的速度沿顺时针方向旋转一周． （1）如图1，从∠MON旋转开始至ON边与射线OC重合时，共需多少秒？ （2）∠MON旋转至如图2所示位置时，试说明∠CON与∠AOM有何数量关系，并说明理由； （3）如图3，已知∠POQ＝60°，∠POQ绕点O在平面内旋转，旋转前，边OP与射线OC重合，边OQ与射线OA重合．若在∠MON旋转过程中，∠POQ绕点O以每秒3°的速度绕点O沿逆时针方向旋转，当∠MON停止旋转时，∠POQ也停止旋转，旋转过程中，当边ON所在直线恰好平分锐角∠POQ时，求出旋转时间． 【例5】新定义+动角 1．新定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角． 如图1，若射线OC、OD在∠AOB的内部，且∠COD∠AOB，则∠COD是∠AOB的内半角． 根据以上信息，解决下面的问题： （1）如图1，∠AOB＝70°，∠AOC＝25°，若∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD＝ 　 　 °； （2）如图2，已知∠AOB＝60°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜60°）至∠COD．若∠COB是∠AOD的内半角，求α的值； （3）把一块含有30°角的三角板COD按图3方式放置．使OC边与OA边重合，OD边与OB边重合．如图4，将三角板COD绕顶点O以3度/秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为t秒，当射线OA、OB、OC、OD构成内半角时，直接写出t的值． 【练】 2．如图1，已知射线OC在∠AOB的内部，若∠AOB，∠AOC和∠BOC三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“神奇线”． （1）一个角的平分线 　 　 这个角的“神奇线”；（填“是”或“不是”） （2）如图2，∠MPN＝45°． ①若射线PQ是∠MPN的“神奇线”，则∠QPN的度数为 　 　 ； ②若射线PF从PN位置开始，以每秒旋转5°的速度绕点P按逆时针方向旋转，当∠FPN首次等于180°时停止旋转，设旋转的时间为t（s）．当t为何值时，射线PM是∠FPN的“神奇线”？ 3．如图1，在∠AOB的内部引一条射线OC，则图中共有3个角，分别是∠AOB、∠AOC和∠BOC．若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“定分线”． （1）一个角的角平分线 　 　 这个角的“定分线”（填“是”或“不是”）； （2）如图2，若∠MPN＝87°，其中射线PQ是∠MPN的“定分线”，请求出∠MPQ的度数； （3）如图3，若∠MPN＝140°，射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒15°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成105°时停止旋转，旋转的时间为t秒．同时射线PM绕点P以每秒10°的速度顺时针旋转，并与PQ同时停止旋转．请直接写出射线PQ是∠MPN“定分线”时t的值． 4．已知∠AOB＝120°，OC、OD是过点O的射线，射线OM、ON分别平分∠AOC和∠DOB． （1）如图①，若OC、OD是∠AOB的三等分线，则∠MON＝　 　 ° （2）如图②，若∠COD＝40°，∠AOC≠∠DOB，则∠MON＝　 　 ° （3）如图③，在∠AOB内，若∠COD＝a（0°＜a＜60°），则∠MON＝　 　 ° （4）将（3）中的∠COD绕着点O逆时针旋转到∠AOB的外部（0°＜∠AOC＜180°，0°＜∠BOD＜180°），求此时∠MON的度数． 5．已知射线OC、OD在∠AOB的内部，∠AOB＝150°，∠COD＝20°． （1）如图1，求∠AOD+∠BOC的大小； （2）如图2，OM平分∠BOC，ON平分∠AOD，求∠MON的大小； （3）如图3，若∠AOC＝30°，射线OC绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转，当与射线OB重合后，再以每秒15°的速度绕点O逆时针旋转；同时射线OD以每秒30°的速度绕点O顺时针旋转．设射线OD，OC运动的时间是t秒（0＜t≤22），当∠COD＝120°时，直接写出t的值． 6．已知∠AOB、∠COD共顶点O，OM平分∠AOD，ON平分∠COB． （1）如图1，当OB与OD重合时，若∠AOB＝130°，∠MON＝25°，求∠BOC的度数； （2）将∠COD绕点O逆时针旋转至图2所示位置，若∠BOD＝60°，∠AOC＝10°，求∠MON的度数． 7．已知：如图，OB、OC分别为定角∠AOD内部的两条动射线 （1）当OB、OC运动到如图1的位置时，∠AOC+∠BOD＝100°，∠AOB+∠COD＝40°，求∠AOD的度数； （2）在（1）的条件下（图2），射线OM、ON分别为∠AOB、∠COD的平分线，当∠COB绕着点O旋转时，下列结论：①∠AOM﹣∠DON的值不变；②∠MON的度数不变．可以证明，只有一个是正确的，请你作出正确的选择并求值． （3）在（1）的条件下（图3），OE、OF是∠AOD外部的两条射线，∠EOB＝∠COF＝90°，OP平分∠EOD，OQ平分∠AOF，当∠BOC绕着点A旋转时，∠POQ的大小是否会发生变化？若不变，求出其度数；若变化，说明理由． 【例6】动三角形 1．如图①，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠BOC＝120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方 （1）将图①中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图②，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．问：直线ON是否平分∠AOC？请说明理由． （2）将图①中的三角板绕点O按每秒6°的速度逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，直线ON恰好平分∠AOC，求旋转时间t的值． （3）将图①中的三角板绕点O按顺时针方向旋转至图③的位置，使ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠NOC之间的数量关系，请说明理由． 2．如图，O为直线MN上一点，将一副直角三角尺（分别含45°、45°、90°和30°、60°、90°的角）按图中方式放在点O处，使∠AOC＝150°．将三角尺AOB绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，旋转180°后停止设运动时间为t秒． （1）当t＝5时，∠BOC＝　 　 °； （2）若在三角尺AOB开始旋转的同时，三角尺COD也绕点O以每秒10°的速度逆时针旋转，当三角尺AOB停止旋转时，三角尺COD也停止旋转． ①在线段OA与OC第一次相遇前，t为何值时，OA平分∠COD； ②在旋转过程中，是否存在某一时刻使∠AOD＝2∠BOC．若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【练】 3．一副三角板按如图1所示放置，边OA，OC在直线MN上，∠AOB＝60°，∠COD＝45°． （1）求图1中∠BOD的度数； （2）如图2，将三角板AOB绕点O顺时针旋转，转速为5°/s，同时将三角板COD绕点O逆时针旋转，转速为10°/s，当OA旋转到射线ON上时，两三角板都停止转动．设转动时间为t s． ①在0＜t＜5范围内，当OB⊥OC时，求t的值； ②如图3，旋转过程中，作∠BOD的角平分线OE，当∠AOE＝15°时．直接写出t的值． 4．如图1，∠AOB＝40°，∠COD＝60°，OM、ON分别为∠AOB和∠BOD的角平分线． （1）若∠MON＝70°，则∠BOC＝　 　 °； （2）如图2，∠COD从第（1）问中的位置出发，绕点O逆时针以每秒4°的速度旋转；当OC与OA重合时，∠COD立即反向绕点O顺时针以每秒6°的速度旋转，直到OC与OA互为反向延长线时停止运动．整个运动过程中，∠COD的大小不变，OC旋转后的对应射线记为OC′，OD旋转后的对应射线记为OD′，∠BOD′的角平分线记为ON′，∠AOD′的角平分线记为OP．设运动时间为t秒． ①当OC′平分∠BON′时，求出对应的t的值； ②请问在整个运动过程中，是否存在某个时间段使得|∠BOP﹣∠MON′|的值不变？若存在，请直接写出这个定值及其对应的t的取值范围（包含运动的起止时间，角度都小于180°）；若不存在，请说明理由． 【例7】动角综合 1．如图1，点O为直线AB上一点，将两个含60°角的三角板MON和三角板OPQ如图摆放，使三角板的一条直角边OM，OP在直线AB上，其中∠OMN＝∠POQ＝60°． （1）将图1中的三角板OPQ绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边OP在∠MON的内部且平分∠MON，此时三角板OPQ旋转的角度为 　 　 °； （2）三角板OPQ在绕点O按逆时针方向旋转时，若OP在∠MON的内部，试探究∠MOP与∠NOQ之间满足的数量关系，并说明理由； （3）如图3，将图1中的三角板MON绕点O以每秒2°的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板OPQ绕点O以每秒3°的速度按逆时针方向旋转，将射线OB绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线OB记为OE，射线OC平分∠MON，射线OD平分∠POQ．当射线OC，OD重合时，射线OE改为绕点O以原速按顺时针方向旋转，在OC，OD第二次相遇前，当∠COE＝15°时，直接写出旋转时间t＝ 　 　 秒． 【练】 2．如图①，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，将一直角三角板AOB的直角顶点放在O处，∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周停止，设旋转时间为t秒，且∠AOC＝40°． （1）若射线OC的位置保持不变，则当旋转时间t＝　 　 秒时，边AB所在直线与OC平行； （2）如图②，在旋转的过程中，若射线OC的位置保持不变，是否存在某个时刻，使得射线OA，OC与OD中的某一条射线是另两条射线所成夹角的平分线？若存在，求出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由； （3）在三角板AOB旋转过程的同时，射线OC绕着点O按每秒4°的速度逆时针旋转，当∠BOE﹣∠AOC＝30°时，求出t的取值． 3．如图，OC是∠AOB的角平分线，OD⊥OB，OE是∠BOD的角平分线，∠AOE＝85°． （1）求∠COE； （2）∠COE绕O点以每秒5°的速度逆时针方向旋转t秒（0＜t＜13），t为何值时∠AOC＝∠DOE； （3）射线OC绕O点以每秒10°的速度逆时针旋转，射线OE绕O点以每秒5°的速度顺时针旋转，若射线OC、OE同时开始旋转m秒（0＜m＜24.5）后得到∠AOC∠EOB，求m的值． 4．如图1，O为直线MN上的一点，过点O作射线OA使∠MOA＝100°，将一直角三角板的顶点与点O重合，∠BOC＝60°，OB在射线OM上，另一边OC在直线MN上方．将三角板BOC绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转，当边OC与射线ON重合后，再以每秒15°的速度绕点O逆时针旋转，运动时间为t秒（0＜t≤22）． （1）如图2，在三角板顺时针旋转过程中，使边OC在∠AON内部，且OC平分∠AON．此时，∠AOB＝　 　 度； （2）在三角板逆时针旋转过程中，试探究∠BON与∠AOC之间满足什么等量关系，并说明理由； （3）若在三角板旋转的同时，射线OA绕点O以每秒30°的速度顺时针旋转，并与三角板同时停止转动．当∠AOC＝100°时，直接写出t的值． 5．如图，直线CD与EF相交于点O，∠COE＝60°，将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重合，OA平分∠COE． （1）求∠BOD的度数； （2）将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（0≤t≤40）． ①当t为何值时，直线EF平分∠AOB； ②若直线EF平分∠BOD，直接写出t的值． 6．如图，已知直线PQ∥MN，点A在直线MN上，点B、C在直线PQ上，射线AD是∠CAN的三等分线，即∠CAN＝3∠DAN，AC平分∠BAE，∠BAC＝40°． （1）如图1，若∠BAD＝30°，求∠AEC的度数； （2）如图2，在AE上有一点F，满足CF∥AD，且FG平分∠AFC交AB于点G，试探究∠AGF与∠ACB的数量关系，并说明理由； （3）如图3，若∠ABC＝80°，∠BAC绕点A顺时针旋转，速度为6°每秒，记旋转中的∠BAC为∠B′AC′，∠C′AN的三等分线为AD′，即∠C′AN＝3∠D′AN，同时BA绕点B逆时针旋转至BA′，速度始终为4°每秒，当AC′与射线AM重合时，∠B′AC′立即以原来速度的一半逆时针旋转，当AC′运动到与射线AN重合时，整个运动停止，设旋转时间为t秒，在旋转过程中，当AD′∥BA′时，请直接写出t的值． 7．已知：如图，AB∥CD，直线MN交AB于点M，交CD于点N，点E是线段MN上一点，P，Q分别在射线MB，ND上，连接PE，EQ，PF平分∠MPE，QF平分∠DQE． （1）如图1，当PE⊥QE时，请求出∠PFQ的度数； （2）如图2，求∠PEQ与∠PFQ之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（1）问的条件下，若∠APE＝45°，∠MND＝60°，过点P作PH⊥QF交QF的延长线于点H，将MN绕点N顺时针旋转，速度为每秒5°，直线MN旋转后的对应直线为M′N，同时将△FPH绕点P逆时针旋转，速度为每秒10°，△FPH旋转后的对应三角形为△F′PH′，当M′N首次落到CD上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过t（t≥0）秒后，M′N恰好与△F′PH′的其中一条边所在直线平行，请直接写出所有满足条件的t的值． 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 复杂动角问题（有运动速度）-答案 【例1】单动射线 1．已知∠AOB＝120°，OC、OD分别是∠AOB内部的两条射线． （1）如图1，若∠DOC＝20°，OC平分∠AOB，OE为∠BOC内部的一条射线，∠BOE∠BOC，求∠DOE的度数； （2）如图2，若OM、ON分别平分∠AOC，∠BOD，且∠MOC：∠DON＝2：3，若∠DOC＝20°，求∠MOD和∠CON的度数； （3）如图3，C1为射线OB的反向延长线上一点，将射线OB绕点O顺时针以6°/s的速度旋转，旋转后OB对应射线为OB1，旋转时间为t秒（0＜t≤40），OE平分∠AOB1，OF为∠C1OB1的三等分线，∠C1OF，若|∠C1OF﹣∠AOE|＝30°，求t的值． 【解答】解：（1）∵∠AOB＝120°，OC平分∠AOB， ∴∠AOC＝∠BOC∠AOB＝60°， ∵∠BOE∠BOC＝20°， ∴∠COE＝∠BOC﹣∠BOE＝40°， ∵∠DOC＝20°， ∴∠DOE＝∠DOC+∠COE＝20°+40°＝60°； （2）如图2中，设∠DOM＝x°，则∠MOC＝（x+20）°，∠DON（x+20）°， ∵OM、ON分别平分∠AOC，∠BOD， ∴∠AOM＝∠MOC＝（x+20）°，∠BON＝∠DON（x+20）°， ∵∠AOB＝120°， ∴（x+20）+x+3（x+20）＝120， 解得x＝8， ∴∠CON＝42°﹣20°＝22°，∠DOM＝8°； （3）①当∠BOB1≤60°时， ∵∠BOB1＝6t， ∴∠AOB1＝120°+6t， ∵OE平分∠AOB1， ∴∠AOEAOB1（120°+6t）＝60°+3t， ∵∠C1OB1＝360°﹣∠C1OB1＝180°﹣6t， ∵∠C1OF∠C1OB1， ∴∠C1OF＝60°﹣2t， ∵|∠C1OF﹣∠AOE|＝30°， ∴60°+3t﹣60°+2t＝30°或60°﹣2t﹣60°﹣3t＝30°， ∴t＝6或﹣6（舍弃）， ②当∠BOB1＞60°时， 同理t＝30 综上所述，满足条件 t的值为6或30． 【练】 2．已知∠AOB＝150°，OD为∠AOB内部的一条射线 （1）如图（1），若∠BOC＝60°，OD为∠AOB内部的一条射线，∠COD∠BOC，OE平分∠AOB，求∠DOE的度数． （2）如图（2），若OC、OD是∠AOB内部的两条射线，OM、ON分别平分∠AOD，∠BOC，且∠MOC≠∠NOD，求（∠AOC﹣∠BOD）/（∠MOC﹣∠NOD）的值． （3）如图（3），C1为射线OB的反向延长线上一点，将射线OB绕点O顺时针以6°/s的速度旋转，旋转后OB对应射线为OB1，旋转时间为t秒（0＜t≤35），OE平分∠AOB1，OF为∠C1OB1的三等分线，∠C1OF∠C1OB1，若|∠C1OF﹣∠AOE|＝30°，直接写出t的值为　3秒或15秒　 ． 【解答】解（1）分两种情况： ①当射线OD在∠BOC的内部时，如图1所示， ∵OE平分∠AOB， ∴∠BOE∠AOB， 又∠AOB＝150°， ∴∠BOE＝75°， 又∵∠COD∠BOC，且∠BOC＝60°， ∴∠BOD∠BOC60°＝40°， ∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝75°﹣40°＝35°； ②当射线OD在∠AOC的内部时， 如图2所示，同理得：∠BOE＝75°， ∵∠COD∠BOC60°＝20°， ∴∠DOE＝∠COD+∠BOC﹣∠BOE， ＝20°+60°﹣75°， ＝5°， 综上所述，∠DOE＝35°或5°； （2）∵OM、ON分别平分∠AOD，∠BOC， ∴∠MOD∠AOD，∠CON∠BOC， 又∠MOC＝∠MOD﹣∠COD，∠NOD＝∠CON﹣∠COD， ∴∠MOC﹣∠NOD＝（∠MOD﹣∠COD）﹣（∠CON﹣∠COD）， ∠AOD﹣∠COD﹣（∠BOC﹣∠COD）， （∠AOD﹣∠BOC）， 而∠AOD＝∠AOC+∠COD，∠BOC＝∠BOD+∠COD， ∴∠MOC﹣∠NOD（∠AOC+∠COD﹣∠BOD﹣COD）， （∠AOC﹣∠BOD）， ∴（∠AOC﹣∠BOD）/（∠MOC﹣∠NOD）2； （3）①当∠BOB1≤30°时， ∵∠BOB1＝6t， ∴∠AOB1＝150°+6t， ∵OE平分∠AOB1， ∴∠AOEAOB1（150°+6t）＝75°+3t， ∵∠C1OB1＝360°﹣∠C1OB1＝180°﹣6t， ∵∠C1OF∠C1OB1， ∴∠C1OF＝60°﹣2t， ∵|∠C1OF﹣∠AOE|＝30°， ∴75°+3t﹣60°+2t＝30°或60°﹣2t﹣75°﹣3t＝30°， ∴t＝3或﹣9（舍弃） ②当∠BOB1＞30°时， 同理t＝15 故答案为：3秒或15秒． 3．已知：∠AOD＝160°，OB，OM，ON是∠AOD内的射线． （1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．当射线OB绕点O在∠AOD内旋转时，∠MON＝ 　80　 度． （2）OC也是∠AOD内的射线，如图2，若∠BOC＝20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，当∠BOC绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON的大小． （3）在（2）的条件下，若∠AOB＝10°，当∠BOC在∠AOD内绕O点以每秒2°的速度逆时针旋转t秒，如图3，若∠AOM：∠DON＝2：3，求t的值． 【解答】解：（1）∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD， ∴∠BOM∠AOB，∠BON∠BOD， ∴∠MON＝∠BOM+∠BON （∠AOB+∠BOD） ∠AOD ＝80°， 故答案为：80； （2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD， ∴∠MOC∠AOC，∠BON∠BOD， 即∠MON＝∠MOC+∠BON﹣∠BOC ∠AOC∠BOD﹣∠BOC （∠AOC+∠BOD）﹣∠BOC （∠AOB+∠BOC+∠BOD）﹣∠BOC （∠AOD+∠BOC）﹣∠BOC 180°﹣20° ＝70°； （3）∵∠AOM （10°+2t+20°），∠DON （160°﹣10°﹣2t）， 又∵∠AOM：∠DON＝2：3， ∴3（30°+2t）＝2（150°﹣2t）， 得t＝21． 答：t为21秒． 4．已知：OC、OD、OE是∠AOB内的射线，∠AOB＝140°． （1）如图1，OD是∠AOC的平分线，OE是∠BOC的平分线，∠DOE＝　70　 度； （2）如图2，OF也是∠AOB内的射线，若∠FOC＝20°，OD平分∠AOF，OE平分∠COB，求∠DOE的大小； （3）在（2）的条件下，射线OC从边OA开始绕O点以每秒2°的速度顺时针旋转t秒，如图3，若∠AOD：∠BOE＝2：3，求t的值． 【解答】解：（1）∵OD是∠AOC的平分线，OE是∠BOC的平分线， ∴∠DOC∠AOC，∠COE∠BOC， ∴∠DOE∠AOC∠BOC∠AOB， ∵∠AOB＝140°， ∴∠DOE＝70°， 故答案为：70； （2）设∠AOC＝x°，则∠AOF＝（x+20）°，∠BOC＝（140﹣x）°， ∵OD平分∠AOF，OE平分∠COB， ∴∠DOF∠AOF（x+20）， ∠COE∠BOC（140﹣x）， ∵∠DOE＝∠DOF+∠FOE＝∠DOF+（∠COE﹣∠COF）＝∠DOF+∠COE﹣∠COF， ∴∠DOE（x+20）（140﹣x）﹣20＝60°； （3）由题可知：∠AOC＝2t， ∴∠AOF＝（2t+20）°，∠BOC＝（140﹣2t）°， ∵OD平分∠AOF，OE平分∠COB， ∴∠AOD∠AOF＝（t+10）°，∠BOE∠BOC＝（70﹣t）°， 又∠AOD：∠BOE＝2：3， ∴（t+10）：（70﹣t）＝2：3， 解得t＝22． 5．点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝150°，OD平分∠AOC（如图1）．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，设直角三角板两直角边分别为OM、ON（ON＜OM，∠MON＝90°）．边OM在射线OB上． （1）在图1中，∠AOD＝　15°　 ； （2）如图2所示，将直角三角板绕点O按每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当OM与OD垂直时，则旋转时间t的值为多少秒？ （3）将直角三角板绕点O顺时针旋转，当OM在∠AOC内部运动时，请直接写出此时∠CON与∠AOM的数量关系． 【解答】解：（1）∵∠BOC＝150°，∠AOB＝180°， ∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝180°﹣150°＝30°， 又∵OD平分∠AOC， ∴∠AOD∠AOC30°＝15°． 故答案为：15°； （2）当旋转时间为t秒时，∠BOM＝5t°， 根据题意得：180°﹣5t°﹣15°＝90°或5t°﹣（180°﹣15°）＝90°， 解得：t＝15或t＝51． 答：旋转时间t的值为15或51秒； （3）当OM在∠AOC内部运动时，∠COM＝∠AOC﹣∠AOM＝30°﹣∠AOM， 又∵∠COM+∠CON＝∠MON＝90°， ∴30°﹣∠AOM+∠CON＝90°， ∴∠CON＝∠AOM+60°． 6．如图1，平面上顺时针排列射线OA，OB，OC，OD，∠BOC＝90°，∠AOD在∠BOC外部且为钝角，∠AOB：∠COD＝5：7，射线OM，ON分别平分∠AOC，∠AOD（题目中所出现的角均小于180°且大于0°）． （1）若∠AOD＝150°，∠AOM＝　70°　 ，∠CON＝　145°　 ； （2）5∠CON﹣2∠AOM的值是否随着∠AOD的改变而改变？若不变，求出该定值；若改变，请说明理由； （3）在（1）的条件下，将∠AOB绕点O以每秒4°的速度顺时针旋转得到∠A1OB1（OA，OB的对应边分别是OA1，OB1），若旋转时间为t秒（0＜t＜90），当∠A1OC+10°＝∠B1OD时，求出t的值． 【解答】解：（1）∵∠BOC＝90°，∠AOD＝150°， ∴∠AOB+∠COD＝120°， ∵∠AOB：∠COD＝5：7， ∴∠AOB＝50°，∠COD＝70°； ∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝140°， ∵OM，ON分别平分∠AOC，∠AOD， ∴∠AOM∠AOC＝70°，∠DON∠AOD＝75°， ∴∠CON＝∠DON+∠COD＝145°， 故答案为：70°，145°； （2）5∠CON﹣2∠AOM的值不会随着∠AOD的改变而改变，理由如下： 设∠AOD＝α， ∵∠BOC＝90°，∠AOD＝α， ∴∠AOB+∠COD＝270°﹣α， ∵∠AOB：∠COD＝5：7， ∴∠AOB（270°﹣α），∠COD（270°﹣α）， ∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝202.5°α， ∵OM，ON分别平分∠AOC，∠AOD ∴∠AOM∠AOC＝101.25°α，∠DON∠AODα， ∴∠CON＝∠DON+∠COD＝157.5°α， ∴5∠CON﹣2∠AOM＝5（157.5°α）﹣2（101.25°α）＝585°， ∴5∠CON﹣2∠AOM的值不会随着∠AOD的改变而改变； （3）∵∠AOC＝90°+50°＝140°，∠BOD＝70°+90°＝160°， ①当∠A1OC＝140°﹣4t，∠B1OD＝160°﹣4t（t∠35）时， ∵∠A1OC+10°＝∠B1OD， ∴140°﹣4t+10°＝160°﹣4t， 此时，无解； ②当∠A1OC＝4t﹣140°，∠B1OD＝160°﹣4t（35∠t∠40）时， ∵∠A1OC+10°＝∠B1OD， ∴4t﹣140°+10°＝160°﹣4t， 解得，t； ③当∠A1OC＝4t﹣140°，＝B1OD＝4t﹣160°（t＞40）， ∵∠A1OC+10°＝∠B1OD， ∴4t﹣140°+10°＝4t﹣160°， 此时无解． ∴t． 【例2】双动射线 1．如图，∠AOB是直角，射线OC从OA出发，以每秒8度的速度顺时针方向转动；射线OD从OB出发，以每秒2度的速度逆时针方向转动．当OC与OA成一直线时停止转动． （1）　9　 秒时，OC与OD重合； （2）当OC与OD的夹角是30度时，求转动的时间是多少秒？ （3）若OB平分∠COD，求转动的时间是多少秒？ 【解答】解：（1）∵∠AOB是直角，射线OC从OA出发，以每秒8度的速度顺时针方向转动；射线OD从OB出发，以每秒2度的速度逆时针方向转动， ∴设x秒时，OC与OD重合，则8x+2x＝90， 解得：x＝9， 故答案为9 （2）设转动t秒时，OC与OD的夹角是30度 根据题意，得：8t+2t＝90﹣30或8t+2t＝90+30 解之得t＝6或t＝12 答：当转动6秒或12秒时，OC与OD的夹角是30度； （3）设转动m秒时，OB平分∠COD 则：8m﹣90＝2m 解之得：m＝15 答：转动15秒时，OB平分∠COD． 【练】 2．如图所示，已知直线AB、CD相交于O，∠AOC＝60°，射线OP从OA位置起始，绕点O逆时针旋转，终边OP与始边OA形成的角度为α． 问题1：若OP逆时针旋转180°停止，则 （1）α＝　30°　 时，OP平分∠AOC； （2）α＝　150°　 时，OP⊥OC； （3）α＝　40°或120°　 时，∠AOP＝2∠POC； 问题2：若OP逆时针旋转的速度为每秒8°，在OP匀速旋转的同时，直线CD也从如图的位置开始绕点O逆时针匀速旋转，旋转速度为每秒5°，当OP完成旋转一周时，CD也同时停止旋转，设旋转时间为t（t＞0）秒． （1）旋转时间t为多少时，射线OP与OC重合，请写出求解过程． （2）观察旋转全过程，判断旋转时间t为多少时，射线OP平分∠AOC．请直接写出t的值，（注：∠AOC指大于0°且小于180°的角） 【解答】解：问题1（1）∵∠AOC＝60°且射线OP从OA位置起始，绕点O逆时针旋转 当OP平分∠AOC时，α＝30° 故答案为30° （2）∵∠AOC＝60°且射线OP从OA位置起始，绕点O逆时针旋转 当OP⊥OC；α＝60°+90°＝150° 故答案为：150° （3）①当α＜60°时，∵∠AOP＝2∠POC且∠AOC＝60° ∴∠AOC＝∠AOP+∠POC＝60° 解得∠POC＝20° 所以α＝∠AOP＝2∠POC＝40° ②当α＞60°时，∵∠AOP＝2∠POC且∠AOC＝60° ∴∠AOP＝∠AOC+∠POC＝2∠POC 解得：∠POC＝60° ∴∠AOP＝2∠POC＝120° 综合①②α＝40°或120° 故答案为：40°或120° 问题2：（1）由题意8t＝5t+60， 解得t＝20， 答：旋转时间t为20秒时，射线OP与OC重合． （2）依题意列方程：2×8t＝5t+60 解得：t； 或2×（360﹣8t）＝180﹣（5t+60﹣180）， 解得：t． 答：旋转时间t为或秒时，射线OP平分∠AOC． 3．如图1，A，O，B三点在一条直线上，且∠AOC＝24°，∠BOD＝78°，射线OM，ON分别平分∠AOD和∠BOD．如图2，将射线OA以每秒8°的速度绕点O逆时针旋转一周，同时将∠COD以每秒6°的速度绕点O逆时针旋转，射线OM，ON分别平分∠AOD和∠BOD，当射线OC与射线OB重合时，∠COD停止运动．设射线OA的运动时间为t秒． （1）如图1，运动开始前，∠MON＝　90　 °； （2）若ON在OB上方，当t为何值时，射线OD平分∠BOM？ （3）旋转过程中，是否存在某一时刻使得∠MON＝46°？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵射线OM，ON分别平分∠AOD和∠BOD， ∴∠DOM∠AOD，∠DON∠BOD． ∴∠DOM+∠DON（∠AOD+∠BOD）180°＝90°， ∴∠MON＝90°， 故答案为：90． （2）∵射线OA以每秒8°的速度绕点O逆时针旋转一周，同时将∠COD以每秒6°的速度绕点O逆时针旋转， ∴∠AOD＝180°﹣78°+6°t﹣8°t＝102°﹣2°t， ∵射线OM平分∠AOD， ∴∠DOM＝∠AOD＝51°﹣t， ∵∠BOD＝78°﹣6°t， ∴51°﹣t＝78°﹣6°t， 解得：t＝5.4． 故当t＝5.4时，射线OD平分∠BOM． （3）存在某一时刻使得∠MON＝46°，理由如下： ①当ON在OB上方，此时有：∠DOM+∠DON＝46°， 即：（102°﹣2°t）（78°﹣6°t）＝46°， 解得：t＝11； ②当ON在OB下方，此时有：∠DOM﹣∠DON＝46°， 即：（102°﹣2°t）（6°t﹣78°）＝46°， 解得：t＝11； ③当∠COD停止运动，OA继续旋转时，此时有OA旋转272°，∠MON＝46°， t＝272°÷8°＝34． 综上所述：当t＝11或34时，∠MON＝46°． 4．点O在直线MN上，在直线MN的下方作射线OA、OA'，满足∠AOM＝∠A'ON＝α（其中0°≤α≤180°），将射线OA绕着点O逆时针旋转90°得到射线OB． （1）①如图1，当α＝35°时，直接写出∠A'OB的度数； ②若∠AOM比∠A'OB大15°，求出∠AOM的值； （2）如图2，若∠AOM＝35°，射线OP从OA开始绕着O点以5°/s的速度逆时针旋转至ON结束，设旋转时间为t s，射线OQ是由射线OP绕O点逆时针旋转120°得到，作射线OC平分∠AOP，当∠CON∠QON为定值时，求t的取值范围及对应的定值． 【解答】解：（1）①∵∠AOM+∠AOA′+∠A′ON＝180°， ∴∠AOA′＝180°﹣35°﹣35°＝110°， ∴∠A′OB＝∠AOA′﹣∠AOB＝110°﹣90°＝20°； ②当0°＜α≤45°时，OB在OA′左侧， ∴∠A′OB＝180°﹣∠AOM﹣∠AOB﹣∠A′ON＝180°﹣α﹣90°﹣α＝90°﹣2α， ∵∠AOM比∠A'OB大15°， ∴α＝90°﹣2α+15°， 解得：α＝35°； 当45°＜α＜90°时，OB在OA′右侧，如图： ∴∠A′OB＝∠AOB+∠AOM+∠A′ON﹣180°＝2α﹣90°， ∵∠AOM比∠A'OB大15°， ∴α＝2α﹣90°+15°， 解得：α＝75°，符合题意； 当90°≤α＜135°时，OB在MN上及上面时，如图： ∴∠A′OB＝∠A′ON﹣（180°﹣∠AOM）+90°＝2α﹣90°， ∵∠AOM比∠A'OB大15°， ∴α＝2α﹣90°+15°， 解得：α＝75°，不符合题意； 当135°≤α＜180°时，OB在MN上面时，如图： ∴∠A′OB＝360°﹣[∠AOM+∠AOB﹣（180°﹣∠A′ON）]＝450°﹣2α， ∵∠AOM比∠A'OB大15°， ∴α＝450°﹣2α+15°， 解得：α＝155°，符合题意； ∴∠AOM的值为35°或75°或155°； （2）∵∠AOM＝35°， ∴∠AON＝145°， 当OQ在MN下面时，即0＜t＜5时， ∠CON+∠QON＝180°﹣35°5°t（180°﹣120°﹣35°﹣5°t）＝157.5°﹣5°t； 当OQ在MN上面时，即5≤t≤29时， ∠CON+∠QON＝180°﹣35°5t（35°+5°t+120°﹣180°）＝132.5°． 5．如图1，O为直线AD上一点，射线OC在∠AOB内部，且∠AOB：∠BOD＝7：2． （1）若OC平分∠AOB，求∠COD的度数； （2）如图2，若∠BOC＝84°，有一条射线OP绕着点O旋转，当∠AOP＝∠AOC时，求∠BOP的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，射线OE从射线OC开始绕O点逆时针方向旋转，速度为6°/s，射线OF从射线OB开始绕着点O顺时针方向旋转，速度为4°/s．两条射线OE、OF同时开始运动，当射线OF与射线OD首次重合时，两射线都停止运动，运动时间为t秒．当t的取值范围为多少时，代数式的值是定值，请求出该范围和该定值．（本小题出现的角均小于平角） 【解答】解：（1）∵∠AOB：∠BOD＝7：2，∠AOB+∠BOD＝180°， 设∠AOB＝7x，∠BOD＝2x， ∴7x+2x＝180°， 解得x＝20°， ∴∠AOB＝140°，∠BOD＝40°， ∵OC平分∠AOB， ∴∠AOC＝∠BOC∠AOB＝70°， ∴∠COD＝∠COB+∠BOD＝70°+40°＝110°． （2）∵∠AOB＝140°，∠BOC＝84°， ∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝56°． 当射线OP在直线AD下方时， ∠BOP＝∠DOB+∠DOP＝40°+（180°﹣56°）＝164°； 当射线OP在直线AD上方时，此时OP与OC重合， ∠BOP＝∠BOC＝84°． 综上所述，∠BOP的度数为164°或84°． （3）∵∠BOD＝40°， ∴当t＝10s时，两射线停止运动． ∵∠BOE＝∠BOC+∠COE＝（84+6t）°， ∠DOF＝∠BOD﹣∠BOF＝（40﹣4t）°， ∴11∠BOE+39∠DOF＝11×（84+6t）°+39×（40﹣4t）°＝（2484﹣90t）°， 当∠EOF＝180°时， 即∠COE+∠BOC+∠BOF＝6t+84°+4t＝180°， 解得t＝9.6． ∵题中出现的角均小于平角， ∴t≠9.6． 当0≤t＜9.6时，∠EOF＝∠COE+∠BOC+∠BOF＝6t+84°+4t＝（84+10t）°， ∴，不是定值，不符合题意； 当9.6＜t≤10时，∠EOF＝360°﹣（84+10t）°＝（276﹣10t）°， ∴9，为定值， 综上所述，当9.6＜t≤10时，代数式是定值，定值为9． 6．如图，两条直线AB，CD相交于点O，且∠AOC＝90°，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s．两条射线OM，ON同时运动，运动时间为t秒．（本题出现的角均小于平角） （1）当t＝2时，∠MON＝　144°　 ，∠AON＝　66°　 ； （2）当0＜t＜12时，若∠AOM＝3∠AON﹣60°，试求出t的值； （3）当0＜t＜6时，探究的值，问：t满足怎样的条件是定值；满足怎样的条件不是定值？ 【解答】解：（1）由题意得：∠MON＝∠BOM+∠BOD+∠DON＝2×15°+90°+2×12°＝144°， ∠AON＝∠AOD﹣∠DON＝90°﹣24°＝66°， 故答案为：144°，66°； （2）当ON与OA重合时，t＝90÷12＝7.5（s）， 当OM与OA重合时，t＝180°÷15＝12（s）， ①如图所示，当0＜t≤7.5时，∠AON＝90°﹣12t°，∠AOM＝180°﹣15t°， 由∠AOM＝3∠AON﹣60°，可得180﹣15t＝3（90﹣12t）﹣60， 解得t， ②如图所示，当7.5＜t＜12时，∠AON＝12t°﹣90°，∠AOM＝180°﹣15t°， 由∠AOM＝3∠AON﹣60°，可得180﹣15t＝3（12t﹣90）﹣60， 解得t＝10， 综上，t的值为秒或10秒； （3）当∠MON＝180°时，∠BOM+∠BOD+∠DON＝180°， ∴15t+90+12t＝180，解得t， ①如图所示，当0＜t时，∠COM＝90°﹣15t°，∠BON＝90°+12t°， ∠MON＝∠BOM+∠BOD+∠DON＝15t°+90°+12t°， ∴1（定值）， ②如图所示，当t＜6时，∠COM＝90°﹣15t°，∠BON＝90°+12t°， ∠MON＝360°﹣（∠BOM+∠BOD+∠DON）＝360°﹣（15t°+90°+12t°）＝270°﹣27t°， ∴（不是定值）． 综上所述，当0＜t时，的值是1；当t＜6时，的值不是定值． 7．如图，两个形状、大小完全相同的含有30°、60°的三角板如图①放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P旋转． （1）直接写出∠DPC的度数； （2）若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转一定角度（如图②），若PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF的度数； （3）在图①基础上，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为6°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P顺时针旋转，转速为2°秒，（当三角板PAC旋转一周后，两块三角板停止运动），请直接写出在旋转过程中，当2∠CPD＝3∠BPM时的旋转时间． 【解答】解：（1）∵∠DPC＝180°﹣∠CPA﹣∠DPB，∠CPA＝60°，∠DPB＝30°， ∴∠DPC＝180°﹣30°﹣60°＝90°； （2）设∠CPE＝∠DPE＝x，∠CPF＝y， 则∠APF＝∠DPF＝2x+y， ∵∠CPA＝60°， ∴y+2x+y＝60°， ∴x+y＝30° ∴∠EPF＝x+y＝30°； （3）设旋转时间为t秒，则有：∠BPM＝2t°， ∵三角板PAC旋转一周后，两块三角板停止运动， ∴0≤t60， ①当PC与PD第一次重合时，2t+6t＝90， 解得：t， ∴0≤t时，如图3.1所示： ∠CPD＝90°﹣6t°﹣2t°＝90°﹣8t°， 由2∠CPD＝3∠BPM得：2（90﹣8t）＝3×2t， 解得：t； ②当t，如图3.2所示： ∠CPD＝6t°﹣（90°﹣2t°）＝（8t﹣90）°， 由2∠CPD＝3∠BPM得：2（8t﹣90）＝3×2t， 解得：t＝18； ③当PC与PD第二次重合时，2t+6t﹣90＝360， 解得：t， 当t时，如图3.3所示： ∠CPD＝360°﹣6t°+90°﹣2t°＝（450﹣8t）°， 由2∠CPD＝3∠BPM得：2（450﹣8t）＝3×2t， 解得：t； ④当t≤60时，如图3.4所示： ∠CPD＝2t°﹣90°+6t°﹣360°＝8t°﹣450°， 由2∠CPD＝3∠BPM得：2（8t﹣450）＝3×2t， 解得：t＝90（不合题意，舍去）； 综上所述：当2∠CPD＝3∠BPM，旋转的时间为秒或18秒或． 8．已知∠AOB＝90°，∠COD＝80°，OE是∠AOC的角平分线． （1）如图1，若∠AOD∠AOB，则∠DOE＝　25°　 ； （2）如图2，若OF是∠AOD的角平分线，求∠AOE﹣∠DOF的值； （3）在（1）的条件下，若射线OP从OE出发绕O点以每秒12°的速度逆时针旋转，射线OQ从OD出发绕O点以每秒8°的速度顺时针旋转，若OP、OQ同时开始旋转t秒（0＜t）后得到∠COP∠AOQ，求t的值． 【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°， ∴∠AOD∠AOB＝30°， ∵∠COD＝80°， ∴∠AOC＝∠AOD+∠COD＝30°+80°＝110°， ∵OE平分∠AOC， ∴∠AOE＝∠COE∠AOC＝55°， ∴∠DOE＝∠AOE﹣∠AOD＝55°﹣30°＝25°； 故答案为：25°； （2）∵OF平分∠AOD， ∴∠AOF＝∠DOF∠AOD， ∵OE平分∠AOC， ∴∠AOE∠AOC， ∴∠AOE﹣∠AOF∠AOC∠AOD（∠AOC﹣∠AOD）∠COD， ∵∠COD＝80°， ∴∠AOE﹣∠DOF80°＝40°； （3）分三种情况： ①当射线OP、OQ在∠AOC内部时， ∵30﹣8t≥0， ∴t≤3.75， 即0＜t≤3.75时， 由题意得：∠POE＝（12t）°，∠DOQ＝（8t）°， ∴∠COP＝∠COE﹣∠POE＝（55﹣12t）°，∠AOQ＝∠AOD﹣∠DOQ＝（30﹣8t）°， ∵∠COP∠AOQ， ∴55﹣12t（30﹣8t）， 解得：t（舍去）； ②当射线OP在∠AOC内部时，射线OQ在∠AOC外部时， ∵55﹣12t≥0， ∴t≤4.5， 即3.75＜t≤4.5时， 则∠COP＝∠COE﹣∠POE＝（55﹣12t）°，∠AOQ＝∠DOQ﹣∠AOD＝（8t﹣30）°， ∴55﹣12t（8t﹣30）， 解得：t； ③当射线OP、OQ在∠AOC外部时， ∵0＜t， ∴16.75， 即4.5＜t＜16.75时， 则∠COP＝∠POE﹣∠COE＝（12t﹣55）°，∠AOQ＝∠DOQ﹣∠AOD＝（8t﹣30）°， ∴12t﹣55（8t﹣30）， 解得：t； 综上所述，t的值为秒或秒． 9．已知：如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒3°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒6°的速度旋转，如图2，设旋转时间为t（0秒≤t≤30秒）． （1）则∠MOA＝　3t　 度，∠NOB＝　6t　 度（用含t的代数式表示）； （2）在运动过程中，当∠AOB达到81°时，求t的值； （3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得∠NOB＝2∠AOB，如果存在，直接写出t的值；如果不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）由题意得：∠MOA＝3t°，∠NOB＝6t°， 故答案为：3t，6t； （2）①当OA与OB重合前，有： 3t+6t+81＝180， 解得：t＝11， ②当OA与OB重合后，有： 3t+6t﹣81＝180， 解得：t＝29， 故t的值为11秒或29秒； （3）①当OA与OB重合前，有： 6t＝2（180﹣3t﹣6t）， 解得：t＝15， ②当OA与OB重合后，有： 6t＝2[3t﹣（180﹣6t）]， 解得：t＝30， 故t的值为15秒或30秒． 10．射线OM在∠AOB内部，射线OC从射线OM的位置开始以每秒10°的速度绕点O逆时针方向旋转；同时，射线OD从射线OB的位置开始以每秒20°的速度绕点O逆时针方向旋转： （1）若∠AOB＝100°，当射线OC、OD运动了2秒，求∠AOC+∠MOD的值； （2）若射线OC、OD在∠AOB内部时，总有∠MOD＝2∠AOC，试探究∠AOM与∠AOB之间满足什么等量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，过点O作射线ON，且∠AON﹣∠BON＝∠MON，求的值． 【解答】解：（1）由题意可得：∠COM＝2×10°＝20°，∠BOD＝2×20°＝40°， ∴∠AOC+∠MOD＝∠AOB﹣（∠COM+∠BOD）＝100°﹣60°＝40°， （2）∠AOB＝3∠AOM，理由如下： 由题意可知，在相同的时间内满足：∠BOD＝2∠COM， ∵∠MOD＝2∠AOC， ∴∠BOD+∠MOD＝2∠COM+2∠AOC＝2（∠COM+∠AOC）＝2∠AOM， 即：∠BOM＝2∠AOM， ∴∠AOB＝∠BOM+∠AOM＝2∠AOM+∠AOM＝3∠AOM； （3）解：如图①： ∵∠AON﹣∠BON＝∠MON，∠AON＝∠AOM+∠MON， ∴∠AOM+∠MON﹣∠BON＝∠MON， ∴∠AOM＝∠BON， 由（2）可知：∠AOB＝3∠AOM， ∴∠MON＝∠AOB﹣∠AOM﹣∠BON＝3∠AOM﹣∠AOM﹣∠AOM＝∠AOM， ∴∠AOB＝3∠MON， ∴． 如图②： ∵∠AON﹣∠BON＝∠MON，∠AON﹣∠BON＝∠AOB， ∴∠AOB＝∠MON ∴1． 综上，或1． 11．已知OC是∠AOB内部的一条射线，M，N分别为OA，OC上的点，线段OM，ON同时分别以20°/s，10°/s的速度绕点O逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒． （1）如图①，若∠AOB＝120°，当OM、ON逆时针旋转到OM'、ON'处， ①若OM，ON旋转时间t＝3时，则∠BON'+∠COM'＝　30°　 ； ②若OM'平分∠AOC，ON'平分∠BOC，求∠M'ON'的值； （2）如图②，若∠AOB＝3∠BOC，OM，ON分别在∠AOC，∠BOC内部旋转时，请猜想∠COM与∠BON的数量关系，并说明理由． （3）若∠AOC＝70°，OM，ON在旋转的过程中，当∠MON＝20°，求t的值． 【解答】解：（1）①∵线段OM、ON分别以20°/s、10°/s的速度绕点O逆时针旋转3s， ∴∠AOM'＝3×20°＝60°，∠CON'＝3×10°＝30°， ∴∠BON'＝∠BOC﹣30°，∠COM'＝∠AOC﹣60°， ∴∠BON'+∠COM'＝∠BOC﹣30°+∠AOC﹣60°＝∠AOB﹣90°， ∵∠AOB＝120°， ∴∠BON'+∠COM'＝120°﹣90°＝30°． 故答案为30°； ②∵OM'平分∠AOC，ON'平分∠BOC， ∴，， ∴， 即∠M′ON′＝60°； （2）∠COM＝2∠BON，理由如下： 设∠BOC＝x，则∠AOB＝3∠BOC＝3x，∠AOC＝2x， ∵旋转t秒后，∠AOM＝20t，∠CON＝10t， ∴∠COM＝2x﹣20t＝2（x﹣10t），∠NOB＝x﹣10t， ∴∠COM＝2∠BON； （3）设旋转t秒后， ①当OM与ON重合之前时， 可得：70°﹣20t+10t＝20°， 解得：t＝5； ②当OM与ON重合之后，且OM没有到达OA时， 可得：20t﹣10t﹣70°＝20°， 解得：t＝9； ③当OM旋转一周后，ON没有经过OA时， 10t+70°+20°＝360°， 解得：t＝27； ④当OM旋转一周后，ON经过OA后时， 10t+70°﹣20°＝360°， 解得：t＝31． 综上所述，所求t的值为5或9或27或31． 12．已知∠AOB＝120°，∠COD＝40°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD（图中的角均大于0°且小于180°）． （1）如图1，求∠MON的度数； （2）若OD与OB重合，OC从图2中的位置出发绕点O逆时针以每秒10°的速度旋转，同时OD从OB的位置出发绕点O顺时针以每秒5°的速度旋转，旋转时间为t秒． ①当8＜t＜24时，试确定∠BOM与∠AON的数量关系； ②当0＜t＜26且t时，若|∠MON﹣∠COD|∠AOB，求t的值． 【解答】解：（1）∵∠AOB＝120°，∠COD＝40°， ∴∠AOC＝120°﹣∠BOC，∠BOD＝40°﹣∠BOC， ∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD， ∴∠MOC∠AOC （120°﹣∠BOC），∠BON∠BOD （40°﹣∠BOC） ∴∠MON＝∠MOC+∠BOC+∠BON＝60°+20°＝80°； （2）①如图1， 则∠AOM∠AOC （10t﹣80°）＝5t﹣40°， ∠BON∠BOD5t t， ∴∠BOM＝∠AOB+∠AOM＝120°+5t﹣40°＝5t+80°． 当t＝20时，∠AOM＝5t﹣40°＝60°，∠BOM＝5t+80°＝180°（与题意不符）． 当8＜t＜20时， ∠BOM＝∠AOB+∠AOM＝120°+5t﹣40°＝5t+80°． ∠AON＝∠AOB+∠BON＝120° t， ∴2∠AON﹣∠BOM＝240°+5t﹣5t﹣80°＝160°； 当20＜t＜24时，如图2， 则∠BOM＝360°﹣（∠AOM+∠AOB）＝360°﹣（5t﹣40°+120°）＝280°﹣5t， ∠AON＝∠AOB+∠BON＝120° t， ∴2∠AON+∠BOM＝2（120° t）+（280°﹣5t）＝520°， 综上，当8＜t＜20时，2∠AON﹣∠BOM＝160°；当20＜t＜24时，2∠AON+∠BOM＝520°； ②若∠COD＝180°，则t s， 若∠MON＝180°，则t s， 若∠COD＝0°，则t s． 当0＜t时，如图3， ∠MON＝∠AOM+∠BON+∠AOB∠AOC∠BOD+∠AOB （10t﹣80°）5t+120° t+80°， ∠COD＝10t+40°+5t＝15t+40°， ∵|∠MON﹣∠COD|∠AOB， ∴|（ t+80°）﹣（15t+40°）|120°， ∴t，或t （舍去）， 当t 时，如图4， ∠MON∠AOC∠BOD+∠AOB （10t﹣80°）5t+120° t+80°， ∠COD＝360°﹣∠AOC﹣∠BOD﹣∠AOB＝360°﹣（10t﹣80°）﹣5t﹣120°＝320°﹣15t， ∵|∠MON﹣∠COD|∠AOB， ∴|（ t+80°）﹣（320°﹣15t）|120°， ∴t＝12，或t （舍去）， 当t 时，如图5， ∠MON＝360°∠AOC∠BOD﹣∠AOB＝360° （10t﹣80°）5t﹣120°＝280° t， ∠COD＝360°﹣∠AOC﹣∠BOD﹣∠AOB＝360°﹣（10t﹣80°）﹣5t﹣120°＝320°﹣15t， ∵|∠MON﹣∠COD|∠AOB， ∴|（ t+280°）﹣（320°﹣15t）|120°， ∴t （舍去），或t （舍去）， 当t＜26时， ∠MON＝360°∠AOC∠BOD﹣∠AOB＝360° （10t﹣80°）5t﹣120°＝280° t， ∠COD＝（10t+40°+5t）﹣360°＝15t﹣320°， ∵|∠MON﹣∠COD|∠AOB， ∴|280° t﹣（15t﹣320°）|120°， ∴t 或t＝28（舍去）． 综上，t 或12或． 故答案为： 或12或． 13．为便于夜间航行船只查看长江航道及河床两岸的情况，长江航道管理局在如图所示MN水域地带的两岸M、N处分别安置了一盏可以不断匀速旋转地探照灯．设MN水域地带两岸AB∥CD，点N处探照灯射出的光线自ND开始顺时针旋转，点M处探照灯射出的光线自MB开始顺时针旋转，当两灯射出的光线旋转至各自岸边时立即反向旋转，旋转中常常出现交叉照射，若点N处射出的光线每秒旋转a度，点M处射出的光线每秒旋转b度．且． （1）求a，b的值； （2）如图2，设两灯同时开始旋转，点N处探照灯射出的光线在旋转到NC之前，若两盏探照灯射出的光线在点F处交叉照射，是否存在点F使得过F作FE⊥NF交AB于点E，且∠MFE＝30°，若存在，求∠MNF的度数；若不存在，说明理由； （3）设点M处探照灯先旋转15秒后，点N处探照灯才开始一起旋转，记两盏灯一起旋转的时间为t秒．当点M处探照灯射出的光线首次旋转至MA位置之前，能否出现两盏探照灯射出的光线互相平行，若能，直接写出所有t的值；若不能，说明理由． 【解答】解：（1）由题意得：， 解得a＝5，b＝2， （2）如图（2）所示： 假设存在点F满足题目要求，设此时的旋转时间为t秒， 则必有 5t＜180，即t＜36，且∠EMF＝2t，∠FNC＝180﹣5t， 过点F作FG∥AB，由题意得FG∥CD， ∴∠MFG＝2t，∠GFN＝180﹣5t， 即∠MFN＝180﹣3t， ∵FE⊥NF，∠MFE＝30°， ∴∠MFN＝60°， 即 180﹣3t＝60，解得t＝40， 但40＞36，不合乎要求， 所以这样的点F不存在， （3）设N灯转动t秒，两灯的光束互相平行， 依题意得0＜t＜87， ①当0＜t＜18时，5t＝15×2+2t，解得：t＝10， ②当18＜t＜72时，5t﹣180+（15×2+2t）＝180，解得：t， ③当72＜t＜87时，5t﹣360＝2t+15×2，解得：t＝130＞87（不合题意，舍去）， 综上所述，当t＝10秒或秒时，两灯的光束互相平行． 14．汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看河水及两岸河堤的情况．如图，灯A射出的光束自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射出的光束自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A射出的光束转动的速度是a°/秒，灯B射出的光束转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0．假定这一带水域两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°． （1）求a、b的值； （2）如图2，两灯同时转动，在灯A射出的光束到达AN之前，若两灯射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，若∠BCD＝20°，求∠BAC的度数； （3）若灯B射线先转动30秒，灯A射出的光束才开始转动，在灯B射出的光束到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ 【解答】解：（1）∵|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0． 又∵|a﹣3b|≥0，（a+b﹣4）2≥0． ∴a＝3，b＝1； （2）设A灯转动时间为t秒， 又∵PQ//MN， ∴∠BCA＝∠CBD+∠CAN＝t+180°﹣3t＝180°﹣2t， ∵∠ACD＝90°， ∴∠BCD＝90°﹣∠BCA＝90°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣90°＝20°， ∴t＝55°， ∵∠CAN＝180°﹣3t， ∴∠BAC＝45°﹣（180°﹣3t）＝3t﹣135°＝165°﹣135°＝30°； （3）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行． 依题意得0＜t＜150 ①当0＜t＜60时，3t＝（30+t）×1， 解得t＝15； ②当60＜t＜120时，3t﹣3×60+（30+t）×1＝180， 解得t＝82.5； ③当120＜t＜150时，3t﹣360＝t+30， 解得t＝195＞150（不合题意） 综上所述，当t＝15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行． 15．如图，已知直线AB与直线CD相交于点O，∠BOE＝90°，OF平分∠BOD，∠BOC：∠AOC＝1：3． （1）求∠DOE，∠COF的度数； （2）若射线OF，OE同时绕O点分别以2°/s，4°/s的速度，顺时针匀速旋转，当射线OE，OF的夹角为90°时，两射线同时停止旋转．设旋转时间为t，试求t值． 【解答】解：（1）∵∠BOC：∠AOC＝1：3， ∴∠BOC＝180°45°， ∴∠AOD＝∠BOC＝45°， ∵∠BOE＝90°， ∴∠AOE＝90°， ∴∠DOE＝∠AOE+∠AOD＝90°+45°＝135°， ∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣45°＝135°， ∵FO平分∠BOD， ∴∠BOF∠BOD135°＝67.5°， ∴∠COF＝∠BOC+∠BOF＝45°+67.5°＝112.5°； （2）∠EOF＝∠EOB+∠BOF＝90°+67.5°＝157.5°， 根据题意得：4t﹣2t＝157.5﹣90， 解得：t＝33.75， 答：t的值为33.75s． 16．已知直线AB和CD交于O，∠AOC的度数为x，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD． （1）当x＝20°时，则∠EOC＝　70　 度；∠FOD＝　80　 度． （2）当x＝60°时，射线OE′从OE开始以10°/秒的速度绕点O逆时针转动，同时射线OF′从OF开始以8°/秒的速度绕点O顺时针转动，当射线OE′转动一周时射线OF′也停止转动，求至少经过多少秒射线OE′与射线OF′重合？ （3）在（2）的条件下，射线OE′在转动一周的过程中，当∠E′OF′＝90°时，请直接写出射线OE′转动的时间． 【解答】解：（1）∵∠BOE＝90°， ∴∠AOE＝90°， ∵∠AOC＝x＝20°， ∴∠EOC＝90°﹣20°＝70°， ∠AOD＝180°﹣20°＝160°， ∵OF平分∠AOD， ∴∠FOD∠AOD80°； 故答案为：70，80； （2）当x＝60°，∠EOF＝90°+60°＝150° 设当射线OE'与射线OF'重合时至少需要t秒， 10t+8t＝150， t， 答：当射线OE'与射线OF'重合时至少需要秒； （3）设射线OE'转动的时间为t秒， 由题意得：10t+90+8t＝150或10t+8t＝150+90或360﹣10t＝8t﹣150+90或360﹣10t+360﹣8t+90＝360﹣150， t或或或． 答：射线OE'转动的时间为秒或秒或秒或秒． 17．已知射线OC、OD在∠AOB的内部，∠AOB＝150°，∠COD＝20°． （1）如图1，求∠AOD+∠BOC的大小； （2）如图2，OM平分∠BOC，ON平分∠AOD，求∠MON的大小； （3）如图3，若∠AOC＝30°，射线OC绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转，当与射线OB重合后，再以每秒15°的速度绕点O逆时针旋转；同时射线OD以每秒30°的速度绕点O顺时针旋转．设射线OD，OC运动的时间是t秒（0＜t≤22），当∠COD＝120°时，直接写出t的值． 【解答】解：（1）∠AOD+∠BOC ＝∠AOC+∠COD+∠COD+∠D0B ＝（∠AOC+∠COD+∠DOB）+∠COD ＝∠AOB+∠COD ＝150°+20° ＝170° （2）∵OM平分∠BOC， ∴∠COM∠BOC， ∵ON平分∠AOD， ∴∠DON∠AOD， ∠MON＝∠CON+∠COM ＝∠DON﹣∠COD+∠COM ∠AOD∠BOC﹣∠COD （∠AOD+∠BOC）﹣∠COD 170°﹣20° ＝65°． （3）如图4，OC，OD的夹角是平角时，30t+20﹣10t＝180，t＝8， 如图5，30t+20﹣10t＝120， t＝5， 射线OC，OD运动5秒时∠COD＝120°． 如图6，30t+20﹣10t＝240， t＝11． 射线OC，OD运动11秒时∠COD＝120°． 如图7，OC和OB重合， 10t＝150﹣30， t＝12， ∠COD＝100°， 如图8，12秒以后OC以每秒15°的速度从OB绕点O逆时针旋转，OD顺时针转， 15（t﹣12）+30（t﹣12）﹣100＝120或15（t﹣12）+30（t﹣12）﹣100＝240． 解得：t＝16或19． 射线OC，OD运动5秒时∠COD＝120°． 所以，t＝5，11，16，19秒时∠COD＝120°． 【例3】单动角 1．如图1，射线OB、OE分别是∠AOC，∠DOF的平分线，∠AOD＝3∠COD．∠COE＝2∠BOD，三点A，O，F在一直线上将∠COD从现在位置开始绕点O逆时针每秒5°旋转，当OC与OA重合时，立即再将∠COD绕点O顺时针每秒5°旋转，当OD与OE重合时，旋转停止． （1）若∠AOC＝n∠COD，求n； （2）求∠COD的度数； （3）当∠COD旋转时，∠COD的大小不变，设边OC对应射线OC'，边OD对应射线OD'，旋转时间为t（t＞0）秒，直接写出t为何值时，对于（1）中n，使∠AOC'＝n∠COD'成立． 【解答】解：（1）∵∠AOD＝3∠COD， ∴∠AOD﹣∠COD＝2∠COD， ∴∠AOC＝2∠COD， ∴n＝2； （2）设∠COD＝α， 由（1）得∠AOC＝2α， 由∠COE＝2∠BOD， 得α+∠DOE＝4α， 故∠DOE＝3α， ∵三点A，O，F共线， ∴2α+α+3α×2＝180°， 得α＝20°， ∴∠COD＝20°； （3）由（2）得，∠AOC＝40°， ①当0≤t≤8时，∠AOC′＝40﹣5t，∠COD′＝|20﹣5t|， ∴40﹣5t＝2|20﹣5t|， 解得t或0（舍去）； ②当8＜t≤32时，∠AOC′＝5（t﹣8）＝5t﹣40，∠COD′＝|20﹣5（t﹣8）|＝|60﹣5t|， ∴5t﹣40＝2|60﹣5t|， 解得t或16． 综上，t为或或16． 【练】 2．如图1，平面上顺时针排列射线OA，OB，OC，OD，∠BOC＝90°，∠AOD在∠BOC外部且为钝角，∠AOB：∠COD＝6：7，射线OM，ON分别平分∠AOC，∠AOD（题目中所出现的角均小于180°且大于0°）． （1）若∠AOD＝140°，∠AOM＝　75°　 ，∠CON＝　140°　 ； （2）6∠CON﹣∠AOM的值是否随着∠AOD的变化而变化？若不变，求出该定值；若要变，请说明理由； （3）在（1）的条件下，将∠AOB绕点O以每秒2°的速度顺时针旋转得到∠A1OB1（OA，OB的对应边分别是OA1，OB1），若旋转时间为t秒（0＜t＜180），当∠A1OC+6°＝∠B1OD时，求出t的值． 【解答】解：（1）∵∠BOC＝90°，∠AOD＝140°， ∴∠AOB+∠COD＝130°， ∵∠AOB：∠COD＝6：7， ∴∠AOB＝60°，∠COD＝70°； ∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝150°， ∵OM，ON分别平分∠AOC，∠AOD， ∴∠AOM∠AOC＝75°，∠DON∠AOD＝70°， ∴∠CON＝∠DON+∠COD＝140°， 故答案为：75°，140°． （2）6∠CON﹣∠AOM的值不会随着∠AOD的改变而改变，理由如下： 设∠AOD＝α， ∵∠BOC＝90°，∠AOD＝α， ∴∠AOB+∠COD＝270°﹣α， ∵∠AOB：∠COD＝6：7， ∴∠AOB（270°﹣α），∠COD（270°﹣α）， ∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝214.6°α， ∵OM，ON分别平分∠AOC，∠AOD， ∴∠AOM∠AOC＝107.3°α，∠DON∠AODα， ∴∠CON＝∠DON+∠COD＝145.4°α， ∴6∠CON﹣∠AOM＝6（145.4°α）﹣（107.3°α）＝765°， ∴6∠CON﹣∠AOM的值不会随着∠AOD的改变而改变；是定值765°； （3）∵∠AOC＝90°+60°＝150°，∠BOD＝70°+90°＝160°， ①当∠A1OC＝150°﹣2t，∠B1OD＝160°﹣2t（t∠75）时， ∵∠A1OC+6°＝∠B1OD， ∴150°﹣2t+6°＝160°﹣2t， 此时，无解； ②当∠A1OC＝2t﹣150°，∠B1OD＝160°﹣2t（75∠t∠80）时， ∵∠A1OC+6°＝∠B1OD， ∴2t﹣150°+6°＝160°﹣2t， 解得，t＝76； ③当∠A1OC＝2t﹣150°，＝B1OD＝2t﹣160°（t＞80）， ∵∠A1OC+6＝∠B1OD， ∴360﹣（2t﹣150°）+6°＝2t﹣160°， t＝169 ④当165＜t＜180时，∠A1OC＝510°﹣2t，∠B1OD＝520°﹣2t，此时无解 ∴t＝76或169． 3．如图，含有60°的直角三角板ABC（∠BAC＝60°）的边AC在直线DE上，∠BAF＝2∠FAD． （1）∠FAD＝　40°　 ； （2）如图（2），射线AG平分∠BAD，射线AH平分∠CAF，求∠GAH的度数； （3）如图（3），将三角板ABC绕点A以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转t秒，AB旋转以后的射线记为AB′，AC旋转以后的线段记为AC′，当AB′落在AD上时停止转动，在运动的过程中，射线AG′平分∠B′AD，射线AH′平分∠C′AF，当∠DAH′＝3∠FAG′+60°时，求t的值． 【解答】解：（1）∵∠BAC＝60°， ∴∠BAD＝180°﹣∠BAC＝180°﹣60°＝120°， ∵∠BAF＝2∠FAD． ∴∠FAD∠BAD120°＝40°； 故答案为：40°； （2）∵AG平分∠BAD，∠BAD＝120°， ∴∠BAG∠BAD＝60°， ∵∠CAF＝180°﹣∠FAD＝140°，AH平分∠CAF， ∴∠HACCAF＝70°， ∴∠HAB＝∠HAC﹣∠BAC＝70°﹣60°＝10°， ∴∠GAH＝∠BAG﹣∠HAB＝60°﹣10°＝50°； （3）根据题意，∠C'AF＝140°﹣6t，∠B'AD＝120°﹣6t， ∵射线AG′平分∠B′AD，射线AH′平分∠C′AF， ∴∠G'AD＝∠G'AB'＝60°﹣3t，∠FAH'＝∠C'AH'＝70°﹣3t， ∴∠DAH'＝∠DAF+∠FAH'＝40°+（70°﹣3t）＝110°﹣3t， 当AG'在AF上方时，如图： ∠FAG'＝∠G'AD﹣∠DAF＝（60°﹣3t）﹣40°＝20°﹣3t， ∵∠DAH′＝3∠FAG′+60°， ∴110°﹣3t＝3（20°﹣3t）+60°， 解得t； 当AG'在AF下方时，如图： ∠FAG'＝∠DAF﹣∠G'AD＝40°﹣（60°﹣3t）＝3t﹣20°， ∵∠DAH′＝3∠FAG′+60°， ∴110°﹣3t＝3（3t﹣20°）+60°， 解得t； ∴t的值为或． 【例4】双动角 1．平面上顺时针排列射线OA，OB，OC，OD，∠BOC＝30°，，射线OM，ON分别平分∠AOB，∠AOD（题目中所出现的角均小于180°）． （1）如图1，若∠AOD＝10°，则∠AOM＝　40°　 ，∠CON＝　45°　 ； （2）如图2，探究∠MON与∠BON的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若∠BON＝5°，将∠AOB绕点O以每秒2°的速度顺时针旋转，同时将∠COD绕点O以每秒3°逆时针旋转，若旋转时间为t秒（0＜t＜90），当∠MON＝5°时，直接写出t的值． 【解答】解：（1）设∠COD＝α，则∠AOB＝2α， ∵∠BOC＝30°，∠AOD＝10°， ∴30°+α+10°＝2α， 解得α＝40°， ∴∠COD＝40°，∠AOB＝2α＝80°， ∵OM平分∠AOB， ∴∠AOM∠AOB＝40°， ∵ON平分∠AOD，∠AOD＝10°， ∴∠DON＝5°， ∴∠CON＝∠COD+∠DON＝45°， 故答案为：40°，45°； （2）∠MON﹣∠BON＝30°，理由如下： ∵OM，ON分别平分∠AOB，∠AOD， ∴∠DON＝∠AON∠AOD，∠AOM∠AOB， ∴∠MON＝∠AON﹣∠AOM（∠AOD﹣∠AOB）∠BOD（∠BOC+∠COD）， ∵∠BOC＝30°， ∴∠MON∠COD+15°， ∵∠BON＝∠DON﹣∠BOC﹣∠COD， ∴∠BON∠AOD﹣30°﹣∠COD（∠AOB+30°+∠COD）﹣30°﹣∠COD， ∵∠AOB＝2∠COD， ∴∠BON（2∠COD+30°+∠COD）﹣30°﹣∠COD∠COD﹣15°， ∴∠MON﹣∠BON＝（∠COD+15°）﹣（∠COD﹣15°）＝30°； （3）∵∠BON＝5°， ∴∠MON＝∠BON+30°＝35°， ∴∠BOM＝∠BON+∠MON＝40°＝∠AOM， ∴∠AOB＝2∠BOM＝80°， ∴∠AON＝∠AOB﹣∠BON＝80°﹣5°＝75°＝∠DON， ∴∠COD＝∠DON﹣∠BON﹣∠BOC＝75°﹣5°﹣30°＝40°，∠AOD＝2∠AON＝150°， 根据题意旋转后，若OA，OD未相遇，则∠AOD＝150°﹣2°t﹣3°t＝150°﹣5°t， ∴∠AON∠AOD＝75°﹣2.5°t， ∵∠AOM＝40°，∠MON＝5°， ∴|75°﹣2.5°t﹣40°|＝5°， 解得t＝12或t＝16， OA，OD相遇后， ∠AOD＝360°﹣（3°t﹣150°）﹣2°t＝510°﹣5°t， ∴∠AON∠AOD＝255°﹣2.5°t， ∵∠AOM＝40°，∠MON＝5°， ∴|255°﹣2.5°t﹣40°|＝5°， 解得t＝84或t＝88， 综上所述，t的值是12或16或84或88． 【练】 2．如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC＝60°．已知∠MON＝60°，∠MON绕点O在平面内旋转，旋转前，边OM与射线OB重合，边ON与射线OD重合．将∠MON绕点O按每秒12°的速度沿顺时针方向旋转一周． （1）如图1，从∠MON旋转开始至ON边与射线OC重合时，共需多少秒？ （2）∠MON旋转至如图2所示位置时，试说明∠CON与∠AOM有何数量关系，并说明理由； （3）如图3，已知∠POQ＝60°，∠POQ绕点O在平面内旋转，旋转前，边OP与射线OC重合，边OQ与射线OA重合．若在∠MON旋转过程中，∠POQ绕点O以每秒3°的速度绕点O沿逆时针方向旋转，当∠MON停止旋转时，∠POQ也停止旋转，旋转过程中，当边ON所在直线恰好平分锐角∠POQ时，求出旋转时间． 【解答】解：（1）∵∠COD＝180°， ∴从∠MON旋转开始至ON边与射线OC重合时，共旋转了180°， ∴所需时间是：180°¸12＝15（秒）， 答：∠MON旋转开始至ON边与射线OC重合时，共需15秒． （2）∠CON与∠AOM的数量关系是：∠CON＝∠AOM（相等），理由如下： ∵∠AOC＝∠MON＝60°， ∴∠AOC+∠AON＝∠MON+∠AON，即∠CON＝∠AOM； （3）设时间为t秒， ∵将∠MON绕点O按每秒12°的速度沿顺时针方向旋转一周． ∴当0＜t≤15时，∠BOM＝12t°，当15＜t≤30时，∠BOM＝360°﹣12t°． 又∵∠POQ绕点O以每秒3°的速度绕点O沿逆时针方向旋转， ∴∠COP＝3t°， ①如图，当ON平分∠POQ时，0＜t≤15，∠BOM＝12t°， ∵ON平分∠POQ，∠POQ＝60°， ∴∠PON＝∠NOQ∠POQ＝30°， ∴∠QOM＝∠MON﹣∠NOQ＝30°， 又∵∠BOM＝12t°，∠COP＝3t°，∠AOC＝60°， ∴∠COP+∠POQ+∠QOM+∠BOM＝3t°+60°+30°+12t°＝180°+∠AOC＝240°， 解得：t＝10； ②如图，当ON的反向延长线ON′平分∠POQ时，15＜t≤30，∠BOM＝360°﹣12t°， ∵ON的反向延长线ON′平分∠POQ，∠POQ＝60°， ∴∠PON′＝∠N′OQ∠POQ＝30°， 又∵∠COP＝3t°， ∴∠CON′＝∠COP+∠PON′＝3t°+30°， 又∵∠BOM＝360°﹣12t°，∠MON＝60°， ∴∠BON＝∠BOM﹣∠MON＝360°﹣12t°﹣30°＝330°﹣12t°， ∴∠CON＝180°﹣∠AOC﹣∠BON＝180°﹣60°﹣（330°﹣12t°）＝12t°﹣180°， 又∵∠CON+∠CON′＝180°，即（3t°+30°）+（12t°﹣180°）＝180°， ∴解得：t＝22； 综上所述：t＝10或22． 【例5】新定义+动角 1．新定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角． 如图1，若射线OC、OD在∠AOB的内部，且∠COD∠AOB，则∠COD是∠AOB的内半角． 根据以上信息，解决下面的问题： （1）如图1，∠AOB＝70°，∠AOC＝25°，若∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD＝ 　10　 °； （2）如图2，已知∠AOB＝60°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜60°）至∠COD．若∠COB是∠AOD的内半角，求α的值； （3）把一块含有30°角的三角板COD按图3方式放置．使OC边与OA边重合，OD边与OB边重合．如图4，将三角板COD绕顶点O以3度/秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为t秒，当射线OA、OB、OC、OD构成内半角时，直接写出t的值． 【解答】解：（1）∵∠COD是∠AOB的内半角，∠AOB＝70°， ∴∠COD∠AOB＝35°， ∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD＝70°﹣25°﹣35°＝10°， 故答案为：10°； （2）由旋转性质可知：∠AOC＝∠BOD＝α，∠COD＝∠AOB＝60°， ∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝α+60°，∠COB＝∠AOB﹣∠AOC＝60°﹣α， ∵∠COB是∠AOD的内半角， ∴∠AOD＝2∠COB，即α+60°＝2（60°﹣α）， 解得：α＝20°， ∴α的值为20°； （3）①如图4所示，此时∠COB是∠AOD的内半角， 由旋转性质可知：∠AOC＝∠BOD＝3t°，∠COD＝∠AOB＝30°， ∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝3t°+30°，∠COB＝∠AOB﹣∠AOC＝30°﹣3t°， ∵∠COB是∠AOD的内半角， ∴∠AOD＝2∠COB，即3t°+30°＝2（30°﹣3t°）， 解得：t； ②如图所示，此时∠BOC是∠AOD的半角， 由旋转性质可得：∠AOC＝∠BOD＝3t°，∠COD＝∠AOB＝30°， ∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝3t°+30°，∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝3t°﹣30°， ∵∠BOC是∠AOD的内半角， ∴∠AOD＝2∠BOC，即3t°+30°＝2（3t°﹣30°）， 解得：t＝30； ③如图所示，此时∠AOD是∠BOC的内半角， 由旋转性质可知：∠AOC＝∠BOD＝360°﹣3t°，∠COD＝∠AOB＝30°， ∴∠BOC＝∠BOD+∠COD＝390°﹣3t°，∠AOD＝∠AOC﹣∠COD＝330°﹣3t°， ∵∠AOD是∠BOC的内半角， ∴∠BOC＝2∠AOD，即390°﹣3t°＝2（330°﹣3t°）， 解得：t＝90； ④如图所示，此时∠AOD是∠BOC的内半角， 由旋转性质可知：∠AOC＝∠BOD＝360°﹣3t°，∠COD＝∠AOB＝30°， ∴∠BOC＝∠BOD+∠COD＝390°﹣3t°，∠AOD＝∠COD﹣∠AOC＝3t°﹣330°， ∵∠AOD是∠BOC的内半角， ∴∠BOC＝2∠AOD，即390°﹣3t°＝2（3t°﹣330°）， 解得：t； 综上所述：当射线OA、OB、OC、OD构成内半角时，t的值为或30或90或． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/6/20 20:40:19；用户：nsczsx3；邮箱：nsczsx3@xyh.com；学号：49576819 【练】 2．如图1，已知射线OC在∠AOB的内部，若∠AOB，∠AOC和∠BOC三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“神奇线”． （1）一个角的平分线 　是　 这个角的“神奇线”；（填“是”或“不是”） （2）如图2，∠MPN＝45°． ①若射线PQ是∠MPN的“神奇线”，则∠QPN的度数为 　15°或22.5°或30°　 ； ②若射线PF从PN位置开始，以每秒旋转5°的速度绕点P按逆时针方向旋转，当∠FPN首次等于180°时停止旋转，设旋转的时间为t（s）．当t为何值时，射线PM是∠FPN的“神奇线”？ 【解答】解：（1）∵一个角的平分线中，大角是小角的2倍， ∴角的平分线满足“神奇线”的定义， ∴一个角的平分线是这个角的“神奇线”， 故答案为：是； （2）①∵∠MPN＝45°，射线PQ是∠MPN的“神奇线”， 当∠QPN＝2∠MPQ时， ∴， ∴， 当∠MPQ＝2∠QPN时， ∴∠QPN+∠MPQ＝∠QPN+2∠QPN＝45°， ∴， 当∠NPM＝2∠QPN时， ∵∠MPN＝45°， ∴， ∴则∠QPN的度数为15°或22.5°或30°； 故答案为：15°或22.5°或30°； ②∵射线PM是∠FPN的“神奇线”， ∴PM是∠FPN的内部， ∴PF在∠NPM的外部； （Ⅰ）如图，当∠NPM＝2∠FPM时，如图所示： ∴， ∴∠FPN＝∠NPM+∠FPM＝45°+22.5°＝67.5°， ∴t＝67.5÷5＝13.5（s）； （Ⅱ）如图，当∠FPN＝2∠MPN时，如图所示： ∴∠FPN＝2×45°＝90°， ∴t＝90÷5＝18（s）； （Ⅲ）当∠FPN＝2∠NPM时，如图所示： ∵∠FPN＝2×45°＝90°， ∴∠FPN＝∠NPM+∠FPM＝45°+90°＝135°， ∴t＝135÷5＝27（s）； ∴当t为13.5s或18s或27s时，射线PM是∠FPN的“神奇线”． 3．如图1，在∠AOB的内部引一条射线OC，则图中共有3个角，分别是∠AOB、∠AOC和∠BOC．若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“定分线”． （1）一个角的角平分线 　是　 这个角的“定分线”（填“是”或“不是”）； （2）如图2，若∠MPN＝87°，其中射线PQ是∠MPN的“定分线”，请求出∠MPQ的度数； （3）如图3，若∠MPN＝140°，射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒15°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成105°时停止旋转，旋转的时间为t秒．同时射线PM绕点P以每秒10°的速度顺时针旋转，并与PQ同时停止旋转．请直接写出射线PQ是∠MPN“定分线”时t的值． 【解答】解：（1）∵角平分线是平分一个角， 而“定分线”是把一个角分成有一个角的度数是另一个角的度数的两倍， ∴一个角的角平分线是这个角的“定分线”． 故答案为：是． （2）当∠MPQ＝2∠QPN时， 又∠MPQ+∠QPN＝∠MPN＝87°， ∴2∠QPN+∠QPN＝∠MPN＝87°， ∴∠QPN＝29°， ∴∠MPQ＝58°． 当2∠MPQ＝∠QPN时， 又∠MPQ+∠QPN＝∠MPN＝87°， ∴∠MPQ+2∠MPQ＝∠MPN＝87°， ∴∠MPQ＝29°． 当∠PQ是∠MPN的角平分线，即∠MPO＝2∠MPQ＝2∠NPQ， ∴∠MPQ＝43.5°； 答：∠MPQ的度数为58°或29°或43.5°． （3）∵射线PQ以每秒15°的速度逆时针旋转， ∴∠QPN＝15t°， ∵射线PM以每秒10°的速度顺时针旋转， ∴∠NPM＝10t°， ∴∠MPN＝140°﹣10t°， ∠QPN＝15t°， ∴∠MPQ＝140°﹣10t°﹣15t°＝140°﹣25t°， 当∠MPQ＝2∠QPN时， 140°﹣25t°＝2（15t°）， ∴t． 当2∠MPQ＝∠QPN时， 2（140°﹣25t°）＝15t°， ∴t． 当PQ是∠MPN的角平分线时，140﹣25t（140﹣10t）， 解得t； 答：t的值为或或． 4．已知∠AOB＝120°，OC、OD是过点O的射线，射线OM、ON分别平分∠AOC和∠DOB． （1）如图①，若OC、OD是∠AOB的三等分线，则∠MON＝　80　 ° （2）如图②，若∠COD＝40°，∠AOC≠∠DOB，则∠MON＝　80　 ° （3）如图③，在∠AOB内，若∠COD＝a（0°＜a＜60°），则∠MON＝　（60α）　 ° （4）将（3）中的∠COD绕着点O逆时针旋转到∠AOB的外部（0°＜∠AOC＜180°，0°＜∠BOD＜180°），求此时∠MON的度数． 【解答】解：（1）∵OC、OD是∠AOB的三等分线， ∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB120°＝40°， ∵射线OM、ON分别平分∠ACO和∠DOB， ∴∠MOC∠AOC＝20°，∠DON∠DOB＝20°， ∴∠MON＝20°+40°+20°＝80°； （2）∵射线OM、ON分别平分∠ACO和∠DOB， ∴∠MOC∠AOC，∠DON∠DOB， ∴∠MOC+∠DON（∠AOC+∠DOB）， ∵∠AOB＝120°，∠COD＝40°， ∴∠AOC+∠DOB＝120°﹣40°＝80° ∴∠MOC+∠DON＝40°， ∴∠MON＝40°+40°＝80°； （3）∵射线OM、ON分别平分∠AOC和∠DOB， ∴∠MOC∠AOC，∠DON∠DOB， ∴∠MOC+∠DON（∠AOC+∠DOB）， ∵∠AOB＝120°，∠COD＝α， ∴∠AOC+∠DOB＝120°﹣α， ∴∠MOC+∠DON＝60°α， ∴∠MON＝60°α+α＝60°α； 故答案为80；80；（60α）； （4）反向延长OA、OB得到OA′、OB′，如图， 当OD、OC在∠AOB′内部， 设∠AOD＝x，则∠AOC＝α+x， ∴∠MOC∠AOC（α+x），∠DON∠DOB＝60°x， ∴∠MON＝∠BOC﹣∠COM﹣∠BON＝120°+α+x（x+α）﹣（60°x）＝60°α； 当OD、OC在∠A′OB′内部，可计算得到∠MON＝120°α； 当OD、OC在∠A′OB内部，可计算得到∠MON＝60°α； 当OD、OC在∠A′OB′内部，可计算得到∠MON＝120°α． 5．已知射线OC、OD在∠AOB的内部，∠AOB＝150°，∠COD＝20°． （1）如图1，求∠AOD+∠BOC的大小； （2）如图2，OM平分∠BOC，ON平分∠AOD，求∠MON的大小； （3）如图3，若∠AOC＝30°，射线OC绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转，当与射线OB重合后，再以每秒15°的速度绕点O逆时针旋转；同时射线OD以每秒30°的速度绕点O顺时针旋转．设射线OD，OC运动的时间是t秒（0＜t≤22），当∠COD＝120°时，直接写出t的值． 【解答】解：（1）∠AOD+∠BOC ＝∠AOC+∠COD+∠COD+∠D0B ＝（∠AOC+∠COD+∠DOB）+∠COD ＝∠AOB+∠COD ＝150°+20° ＝170° （2）∵OM平分∠BOC， ∴∠COM∠BOC， ∵ON平分∠AOD， ∴∠DON∠AOD， ∠MON＝∠CON+∠COM ＝∠DON﹣∠COD+∠COM ∠AOD∠BOC﹣∠COD （∠AOD+∠BOC）﹣∠COD 170°﹣20° ＝65°． （3）如图4，OC，OD的夹角是平角时，30t+20﹣10t＝180，t＝8， 如图5，30t+20﹣10t＝120， t＝5， 射线OC，OD运动5秒时∠COD＝120°． 如图6，30t+20﹣10t＝240， t＝11． 射线OC，OD运动11秒时∠COD＝120°． 如图7，OC和OB重合， 10t＝150﹣30， t＝12， ∠COD＝100°， 如图8，12秒以后OC以每秒15°的速度从OB绕点O逆时针旋转，OD顺时针转， 15（t﹣12）+30（t﹣12）﹣100＝120或15（t﹣12）+30（t﹣12）﹣100＝240． 解得：t＝16或19． 射线OC，OD运动5秒时∠COD＝120°． 所以，t＝5，11，16，19秒时∠COD＝120°． 6．已知∠AOB、∠COD共顶点O，OM平分∠AOD，ON平分∠COB． （1）如图1，当OB与OD重合时，若∠AOB＝130°，∠MON＝25°，求∠BOC的度数； （2）将∠COD绕点O逆时针旋转至图2所示位置，若∠BOD＝60°，∠AOC＝10°，求∠MON的度数． 【解答】解：（1）设∠BOC＝x， ∵OM平分∠AOB，∠AOB＝130°， ∴∠MOB∠AOB＝65°， ∵ON平分∠COB， ∴∠BON∠COBx， ∵∠MON＝25°， ∴∠MOB﹣∠NOB＝25°， ∴65°x＝25°， 解得：x＝80°， ∴∠BOC的度数为80°； （2）∵OM平分∠AOD，ON平分∠COB， ∴∠AOM∠AOD，∠NOC∠COB， ∵∠BOD＝60°，∠AOC＝10°， ∴∠MON＝∠NOC﹣∠MOC ＝∠NOC﹣∠AOM﹣∠AOC ∠COB∠AOD﹣∠AOC （∠COB﹣∠AOD）﹣∠AOC （∠BOD+∠AOC）﹣∠AOC （60°+10°）﹣10° ＝35°﹣10° ＝25°， ∴∠MON的度数为25°． 7．已知：如图，OB、OC分别为定角∠AOD内部的两条动射线 （1）当OB、OC运动到如图1的位置时，∠AOC+∠BOD＝100°，∠AOB+∠COD＝40°，求∠AOD的度数； （2）在（1）的条件下（图2），射线OM、ON分别为∠AOB、∠COD的平分线，当∠COB绕着点O旋转时，下列结论：①∠AOM﹣∠DON的值不变；②∠MON的度数不变．可以证明，只有一个是正确的，请你作出正确的选择并求值． （3）在（1）的条件下（图3），OE、OF是∠AOD外部的两条射线，∠EOB＝∠COF＝90°，OP平分∠EOD，OQ平分∠AOF，当∠BOC绕着点A旋转时，∠POQ的大小是否会发生变化？若不变，求出其度数；若变化，说明理由． 【解答】解：（1）∵∠AOC+∠BOD＝∠AOB+∠COD+2∠BOC， ∠AOC+∠BOD＝100°，∠AOB+∠COD＝40°， ∴100°＝2∠BOC+40°， ∴∠BOC＝30°， ∴∠AOD＝∠BOC+∠AOB+∠COD＝70°． 答：∠AOD为70°； （2）②正确，∠MON＝50°， ∵OM、ON分别为∠AOB、∠COD的平分线， ∴∠CON+∠BOM ∴∠MON＝∠CON+∠BOM+∠BOC＝20°+30°＝50°． 故②正确，∠MON的度数为50°； （3）∠POQ的大小不变为110°， ∵∠DOE+∠AOF＝∠EOB+∠COF﹣∠BOC﹣∠AOD＝90°+90°﹣30°﹣70°＝80°． ∵OP平分∠EOD，OQ平分∠AOF， ∴∠POD+∠AOQ40° ∴∠POQ＝∠POD+∠AOQ+∠AOD＝40°+70°＝110° 故∠POQ的大小不变为110°． 【例6】动三角形 1．如图①，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠BOC＝120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方 （1）将图①中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图②，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．问：直线ON是否平分∠AOC？请说明理由． （2）将图①中的三角板绕点O按每秒6°的速度逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，直线ON恰好平分∠AOC，求旋转时间t的值． （3）将图①中的三角板绕点O按顺时针方向旋转至图③的位置，使ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠NOC之间的数量关系，请说明理由． 【解答】解：（1）直线ON平分∠AOC．理由： 设ON的反向延长线为OD， ∵OM平分∠BOC， ∴∠MOC＝∠MOB， 又∵OM⊥ON， ∴∠MOD＝∠MON＝90°， ∴∠COD＝∠BON， 又∵∠AOD＝∠BON（对顶角相等）， ∴∠COD＝∠AOD， ∴OD平分∠AOC， 即直线ON平分∠AOC． （2）∵∠BOC＝120° ∴∠AOC＝60°， ∴∠BON＝∠COD＝30°， 即旋转60°时ON平分∠AOC， 由题意得，6t＝60或240， ∴t＝10或40； （3）∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°， ∴∠AOM＝90°﹣∠AON、∠NOC＝60°﹣∠AON， ∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°． 2．如图，O为直线MN上一点，将一副直角三角尺（分别含45°、45°、90°和30°、60°、90°的角）按图中方式放在点O处，使∠AOC＝150°．将三角尺AOB绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，旋转180°后停止设运动时间为t秒． （1）当t＝5时，∠BOC＝　80　 °； （2）若在三角尺AOB开始旋转的同时，三角尺COD也绕点O以每秒10°的速度逆时针旋转，当三角尺AOB停止旋转时，三角尺COD也停止旋转． ①在线段OA与OC第一次相遇前，t为何值时，OA平分∠COD； ②在旋转过程中，是否存在某一时刻使∠AOD＝2∠BOC．若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）如图1，记B旋转后的位置为B'， 由题意知，∠AOB＝45°， ∵∠AOC＝150°， ∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝105°， 当t＝5时，此时∠BOB'＝5×5°＝25°， ∴∠B'OC＝∠BOC﹣∠BOB'＝105°﹣25°＝80°， 故答案为：80； （2）解：①如图2，记A，C，D旋转后的位置分别为A'，C'，D'， ∵线段OA与OC第一次相遇前，OA平分∠COD， ∴， ∴∠AOA'+∠A'OC'+∠COC'＝150°，即5°t+15°+10°t＝150°， 解得t＝9， ∴在线段OA与OC第一次相遇前，t＝9时，OA平分∠COD； ②解：存在，t＝6或； 由题意知，，∠AOD＝∠AOC﹣∠DOC＝120°，当∠A'OD'＝2∠B'OC'，分三种情况求解： 情况一：如图3﹣1，当B在C左侧，A在D左侧时， ∠A'OD'＝∠AOD﹣∠A'OA﹣∠DOD'＝120°﹣5°t﹣10°t＝120°﹣15°t， ∠B'OC'＝∠BOC﹣∠B'OB﹣∠COC'＝105°﹣5°t﹣10°t＝105°﹣15°t； 令∠A'OD'＝2∠B'OC'，即120°﹣15°t＝2（105°﹣15°t）， 解得t＝6； 情况二：如图3﹣2，当B在C右侧，A在D左侧时， ∠A'OD'＝∠AOD﹣∠A'OA﹣∠DOD'＝120°﹣5°t﹣10°t＝120°﹣15°t， ∠B'OC'＝∠B'OB+∠COC'﹣∠BOC＝5°t+10°t﹣105°＝15°t﹣105°； 令∠A'OD'＝2∠B'OC'，即120°﹣15°t＝2（15°t﹣105°）， 解得； 情况三：如图3﹣3，当B在C右侧，A在D右侧时， ∠A'OD'＝∠A'OA+∠DOD'﹣∠AOD＝5°t+10°t﹣120°＝15°t﹣120°， ∠B'OC'＝∠B'OB+∠COC'﹣∠BOC＝5°t+10°t﹣105°＝15°t﹣105°； 令∠A'OD'＝2∠B'OC'，即15°t﹣120°＝2（15°t﹣105°）， 解得（不合题意，舍去）； 情况四：如图所示，在MN下方时，OC'在∠A'OD′外部， 此时∠A'OD′＝∠D'ON﹣∠A'ON＝360°﹣30°﹣（10t）°﹣[（5t）°﹣150°]＝480°﹣（15t）°， ∵∠A'OD'＝2∠B'OC'，且∠A'OD'+∠B'OD'＝45°，∠B'OC'+∠B'OD'＝30°， ∴∠A'OD'＝30°，∠B'OC'＝15°， 即480°﹣（15t）°＝30°， 解得t＝30； 情况五：如图所示，在MN下方时，OC'在∠A'OD′内部， 此时∠A'OD′＝∠D'ON﹣∠A'ON＝360°﹣30°﹣（10t）°﹣[（5t）°﹣150°]＝480°﹣（15t）°， ∵∠A'OD'＝2∠B'OC'，且∠A'OD'+∠B'OC'+∠C'OD'＝45°， ∴∠A'OD'＝10°，∠B'OC'＝5°， 即480°﹣（15t）°＝10°， 解得t； 综上所述，存在，当t＝6或或30或时，使∠AOD＝2∠BOC． 【练】 3．一副三角板按如图1所示放置，边OA，OC在直线MN上，∠AOB＝60°，∠COD＝45°． （1）求图1中∠BOD的度数； （2）如图2，将三角板AOB绕点O顺时针旋转，转速为5°/s，同时将三角板COD绕点O逆时针旋转，转速为10°/s，当OA旋转到射线ON上时，两三角板都停止转动．设转动时间为t s． ①在0＜t＜5范围内，当OB⊥OC时，求t的值； ②如图3，旋转过程中，作∠BOD的角平分线OE，当∠AOE＝15°时．直接写出t的值． 【解答】解：（1）由题知， ∠BOD＝180°﹣∠AOB﹣∠COD ＝180°﹣60°﹣45° ＝75°； （2）①∵∠BOC＝∠BOD+∠COD＝∠BOD+45°， ∴当OB⊥OC时，∠BOC＝45°， 即75°﹣5°t﹣10°t＝45°， 解得t＝2， ∴当OB⊥OC时，t的值为2； ②∵∠AOE＝15°， ∴∠DOB＝2∠EOB＝2（∠AOB﹣∠AOE）＝2×（60°﹣15°）＝90°， 或∠DOB＝2∠EOB＝2（∠AOB+∠AOE）＝2×（60°+15°）＝150°， 即10°t﹣75°+5°t＝90°或10°t+45°﹣360°+5°t﹣（180°﹣60°）＝90°或10°t﹣150°+5°t＝75°， 解得t＝11或35或15， ∴当∠AOE＝15°时．t的值为11或35或15． 4．如图1，∠AOB＝40°，∠COD＝60°，OM、ON分别为∠AOB和∠BOD的角平分线． （1）若∠MON＝70°，则∠BOC＝　40°　 °； （2）如图2，∠COD从第（1）问中的位置出发，绕点O逆时针以每秒4°的速度旋转；当OC与OA重合时，∠COD立即反向绕点O顺时针以每秒6°的速度旋转，直到OC与OA互为反向延长线时停止运动．整个运动过程中，∠COD的大小不变，OC旋转后的对应射线记为OC′，OD旋转后的对应射线记为OD′，∠BOD′的角平分线记为ON′，∠AOD′的角平分线记为OP．设运动时间为t秒． ①当OC′平分∠BON′时，求出对应的t的值； ②请问在整个运动过程中，是否存在某个时间段使得|∠BOP﹣∠MON′|的值不变？若存在，请直接写出这个定值及其对应的t的取值范围（包含运动的起止时间，角度都小于180°）；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵OM为∠AOB的角平分线、∠AOB＝40°， ∴∠MOB＝20°． ∵∠MON＝70°， ∴∠BON＝∠MON﹣∠MOB＝50°． ∵ON为∠BOD的角平分线， ∴∠BON＝∠DON＝50°． ∴∠CON＝∠COD﹣∠DON＝10° ∴∠BOC＝∠DON﹣∠CON＝40°． 故答案为：40°． （2）如图①：①逆时针旋转时： 当C′在B上方时，根据题意可知，∠BOC′＝40°﹣4t，∠BOD′＝∠BOD﹣4t＝100°﹣4t． ∠BON′∠BOD′50°﹣2t， ∵OC′平分∠BON′， ∴∠BOC′，即40°﹣4t（50°﹣2t）， 解得：t＝5（s）． 当C′在B下方时，此时C′也在N′下方，此时不存在OC′平分∠BON′． 顺时针旋转时：如图②， 同理当C′在B下方时，此时C′也在N′下方，此时不存在OC′平分∠BON′． 当C′在B上方时，即OC′与OB重合， 由题意可求OC′与OB重合用的时间＝∠AOC÷4+∠AOB÷6 ＝（∠AOB+∠BOC）÷4+∠AOB÷6 （s）． ∴OC′与OB重合之后，∠BOC′＝6（t）（s）． ∴∠BOD′＝∠BOC′+60°＝6（t）+60°＝6t﹣100°． ∴∠BON′（6t﹣100°）＝3t﹣50°， ∵OC′平分∠BON′， ∴∠BOC′， ∴6（t）（3t﹣50°）， 解得：t＝30（s） 综上所述t的值为5或30． ②逆时针旋转时：如图3中，当射线OP在射线OB的上方时， ∵∠POB（140°﹣4t）﹣40°＝30°﹣2t，∠BON′（100°﹣4t）＝50°﹣2t， ∴∠PON′＝∠BON′﹣∠POB＝20° ∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|∠BOM+∠PON′|＝40°， 当OP与OB重合时，（140°﹣4t）﹣40°＝0，解得t＝15． ∴0≤t≤15时，|∠BOP﹣∠MON′|的值不变，是40°． 当射线OP返回时与OB重合时．时间t＝20， 当运动到射线OD与OA共线时，60°+6（t﹣20）＝180°时，解得t＝40， 观察图象可知，t≤40时，|∠BOP﹣∠MON′|的值不变，是40°． 当射线OD运动到与射线OB共线时，20°+6（t﹣20）＝180°，解得t， 当t≤50时，如图4中，同法可得，∠PON′＝20°， ∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|∠BOM+∠PON′|＝40°， 综上所述，满足条件的t的值为：0≤t≤15或t≤40或t≤50． 【例7】动角综合 1．如图1，点O为直线AB上一点，将两个含60°角的三角板MON和三角板OPQ如图摆放，使三角板的一条直角边OM，OP在直线AB上，其中∠OMN＝∠POQ＝60°． （1）将图1中的三角板OPQ绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边OP在∠MON的内部且平分∠MON，此时三角板OPQ旋转的角度为 　135　 °； （2）三角板OPQ在绕点O按逆时针方向旋转时，若OP在∠MON的内部，试探究∠MOP与∠NOQ之间满足的数量关系，并说明理由； （3）如图3，将图1中的三角板MON绕点O以每秒2°的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板OPQ绕点O以每秒3°的速度按逆时针方向旋转，将射线OB绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线OB记为OE，射线OC平分∠MON，射线OD平分∠POQ．当射线OC，OD重合时，射线OE改为绕点O以原速按顺时针方向旋转，在OC，OD第二次相遇前，当∠COE＝15°时，直接写出旋转时间t＝ 　或或60或70　 秒． 【解答】解：（1）∵OP平分∠MON， ∴， ∴三角板OPQ旋转的角：∠BOP＝∠PON+∠NOB＝135°， 故答案为：135； （2）当OQ在∠MON外部时，∠MOP﹣∠NOQ＝30°，理由如下： ∵∠MON＝90°，∠POQ＝60°， ∴∠MOP＝90°﹣∠PON，NOQ＝60°﹣∠PON， ∴∠MOP﹣∠NOQ＝90°﹣∠PON﹣（60°﹣∠PON）＝30°， 当OQ在∠MON内部时，∠MOP+∠NOQ＝30°，理由如下： ∵∠MON＝90°，∠POQ＝60°， ∴∠MOP+∠NOQ＝90°﹣60°＝30°． （3）∵射线OC平分∠MON，射线OD平分∠POQ， ∴∠NOC＝45°，∠POD＝30°， ∴旋转前OC与OD的夹角为∠COD＝∠NOC+∠NOP+∠POD＝165°， ∴OC与OD第一次相遇的时间为165°÷（2°+3°）＝33（秒）， 此时OB旋转的角度为33×5°＝165°， ∴此时OC与OE的夹角为165°﹣（180°﹣45°﹣2°×33）＝96°， OC与OD第二次相遇的时间为33+360°÷（2°+3°）＝105（秒）， 第一次∠COE＝15°时，∠BOC﹣∠BOE＝15°， 即90°+45°﹣2t﹣5t＝15°， 解得：t； 第二次∠COE＝15°时，∠BOE﹣∠BOC＝15°， 即5t﹣（135°﹣2t）＝15°， 解得：t； 第三次∠COE＝15°时，96°+2（t﹣33）﹣5（t﹣33）＝15°， 解得：t＝60； 第四次∠COE＝15°时，5（t﹣33）﹣2（t﹣33）﹣96°＝15°， 解得：t＝70； 第五次∠COE＝15°时，96°+2（t﹣33）﹣5（t﹣33）+360°＝15°， 解得：t＝180＞105，不符合题意； 综上所述，t或或60或70． 【练】 2．如图①，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，将一直角三角板AOB的直角顶点放在O处，∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周停止，设旋转时间为t秒，且∠AOC＝40°． （1）若射线OC的位置保持不变，则当旋转时间t＝　7或25　 秒时，边AB所在直线与OC平行； （2）如图②，在旋转的过程中，若射线OC的位置保持不变，是否存在某个时刻，使得射线OA，OC与OD中的某一条射线是另两条射线所成夹角的平分线？若存在，求出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由； （3）在三角板AOB旋转过程的同时，射线OC绕着点O按每秒4°的速度逆时针旋转，当∠BOE﹣∠AOC＝30°时，求出t的取值． 【解答】解：（1）如图，∠AOD＝10°t，∠OAB＝30°，∠COD＝40°， ∵AB∥OC， ∴∠OAB＝∠AOC＝30°， ∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝30°+40°＝70°， ∴10t＝70， 解得：t＝7； 如图，∠COD+∠COE+∠AOE＝10°t，∠OAB＝30°，∠COD＝40°，∠AOB＝90°， ∴∠B＝60°， ∵AB∥OC， ∴∠COB＝∠B＝60°， ∴∠BOD＝∠COB﹣∠COD＝20°， ∵∠BOD＝360°﹣（∠COD+∠COE+∠AOE+∠AOB）＝360°﹣（10°t+90°）＝270°﹣10°t， ∴270°﹣10°t＝20°， 解得：t＝25； ∴当旋转时间t＝7或25秒时，边AB所在直线与OC平行， 故答案为：7或25； （2）当OA平分∠COD时，如图，∠AOD＝10°t， ∵OA平分∠COD， ∴∠AOD∠COD＝20°， ∴10t＝20， 解得：t＝2； 当OC平分∠AOD时，如图， ∵OC平分∠AOD， ∴∠AOD＝2∠COD＝80°，即10t＝80， 解得：t＝8； 当OD平分∠AOC时，如图， ∵OD平分∠AOC， ∴∠AOD＝∠COD＝40°， ∴10t＝360﹣40， 解得：t＝32； 综上所述，满足题意的t的取值为2或8或32． （3）当射线OA在∠COD的内部，且射线OB在∠COE的内部时， ∵10t＝4t+40， ∴0＜t， 则∠BOE＝（90﹣10t）°，∠AOC＝（4t+40﹣10t）°， ∵∠BOE﹣∠AOC＝30°， ∴（90﹣10t）﹣（4t+40﹣10t）＝30， 解得：t＝5； 当射线OA和射线OB均在∠COE的内部时，即t＜9时， 则∠BOE＝（90﹣10t）°，∠AOC＝（10t﹣4t﹣40）°， ∵∠BOE﹣∠AOC＝30°， ∴（90﹣10t）﹣（10t﹣4t﹣40）＝30， 解得：t（不符合题意，舍去）； 当射线OE在∠AOB内部，射线OA均在∠COE的内部时，即9＜t＜18时， 则∠BOE＝（10t﹣90）°，∠AOC＝（10t﹣4t﹣40）°， ∵∠BOE﹣∠AOC＝30°， ∴10t﹣90﹣（10t﹣4t﹣40）＝30， 解得：t＝20（不符合题意，舍去）； 当射线OE、OC均在∠AOB外部时，即18＜t＜36时， 则∠BOE＝（10t﹣90）°，∠AOC＝（10t﹣4t﹣40）°， ∵∠BOE﹣∠AOC＝30°， ∴10t﹣90﹣（10t﹣4t﹣40）＝30， 解得：t＝20； 综上所述，t的取值为5或20． 3．如图，OC是∠AOB的角平分线，OD⊥OB，OE是∠BOD的角平分线，∠AOE＝85°． （1）求∠COE； （2）∠COE绕O点以每秒5°的速度逆时针方向旋转t秒（0＜t＜13），t为何值时∠AOC＝∠DOE； （3）射线OC绕O点以每秒10°的速度逆时针旋转，射线OE绕O点以每秒5°的速度顺时针旋转，若射线OC、OE同时开始旋转m秒（0＜m＜24.5）后得到∠AOC∠EOB，求m的值． 【解答】解：（1）∵OD⊥OB，OE是∠BOD的角平分线 ∴∠BOD＝90°，∠BOE＝∠DOE∠BOD＝45° ∵∠AOE＝85° ∴∠AOB＝∠AOE+∠BOE＝130° ∵OC是∠AOB的角平分线 ∴∠AOC＝∠BOC∠AOB＝65° ∴∠COE＝∠BOC﹣∠BOE＝20°； （2）由原图可知：∠COD＝∠DOE﹣∠COE＝25° 故OC与OD重合时运动时间为：25°÷5°＝5s；OE与OD重合时的运动时间为45°÷5°＝9s；OC与OA重合运动时间为65°÷5°＝13s； ①当0＜t≤5时，如图所示 ∵∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD＝40°，∠COE＝20° ∴∠AOD≠∠COE ∴∠AOD+∠COD≠∠COE+∠COD ∴此时∠AOC≠∠DOE； ②当5＜t＜9时，如图所示 ∵∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD＝40°，∠COE＝20° ∴∠AOD≠∠COE ∴∠AOD﹣∠COD≠∠COE﹣∠COD ∴此时∠AOC≠∠DOE； ③当9＜t＜13时，如图所示 OC和OE旋转的角度均为5t 此时∠AOC＝65°﹣5t，∠DOE＝5t﹣45° ∵∠AOC＝∠DOE ∴65°﹣5t＝5t﹣45° 解得：t＝11 ∴当t＝11时，∠AOC＝∠DOE． （3）OE与OB重合时运动的时间为45°÷5°＝9s；OC与OA重合时运动时间为65°÷10°＝6.5s；OC为OA的反向延长线时运动时间为（180°+65°）÷10°＝24.5s； OE为OB的反向延长线时运动时间为（180°+45°）÷5°＝45s ①当0＜m＜6.5时，如图所示 OC旋转的角度均为10m，OE旋转的角度均为5m ∴∠AOC＝65°﹣10m°，∠BOE＝45°﹣5m° ∵∠AOC∠EOB ∴65﹣10m（45﹣5m） 解得：m； ②当6.5＜m＜9时，如图所示 OC旋转的角度均为10m，OE旋转的角度均为5m ∴∠AOC＝10m°﹣65°，∠BOE＝45°﹣5m° ∵∠AOC∠EOB ∴10m﹣65（45﹣5m） 解得：m； ③当9＜m＜24.5时，如图所示 OC旋转的角度均为10m，OE旋转的角度均为5m ∴∠AOC＝10m°﹣65°，∠BOE＝5m°﹣45° ∵∠AOC∠EOB ∴10m﹣65（5m﹣45） 解得：m，不符合前提条件，故舍去； 综上所述：m或． 4．如图1，O为直线MN上的一点，过点O作射线OA使∠MOA＝100°，将一直角三角板的顶点与点O重合，∠BOC＝60°，OB在射线OM上，另一边OC在直线MN上方．将三角板BOC绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转，当边OC与射线ON重合后，再以每秒15°的速度绕点O逆时针旋转，运动时间为t秒（0＜t≤22）． （1）如图2，在三角板顺时针旋转过程中，使边OC在∠AON内部，且OC平分∠AON．此时，∠AOB＝　20　 度； （2）在三角板逆时针旋转过程中，试探究∠BON与∠AOC之间满足什么等量关系，并说明理由； （3）若在三角板旋转的同时，射线OA绕点O以每秒30°的速度顺时针旋转，并与三角板同时停止转动．当∠AOC＝100°时，直接写出t的值． 【解答】解：（1）∵∠MOA＝100°， ∴∠AON＝80°， ∴OC平分∠AON， ∴∠AOC∠AON＝40°， ∵∠BOC＝60°， ∴∠AOB＝∠BOC﹣∠AOC＝20°； 故答案为：20； （2）∠BON+∠AOC＝140°或∠AOC﹣∠BON＝140°或∠BON﹣∠AOC＝220°；理由如下： ∵∠MOA＝100°， ∴∠AON＝80°， 当OB在OM上方，OC在∠NOA内部时， ∠BON＝15（t﹣12）+60°， ∠AOC＝80°﹣15（t﹣12）， ∴∠BON+∠AOC＝140°； 当OB在OM上方，OC在∠MOA内部时， ∠BON＝15（t﹣12）+60°， ∠AOC＝15（t﹣12）﹣80° ∴∠BON﹣∠AOC＝140°； 当OB在OM下方时， ∠BON＝360°﹣15（t﹣12）﹣60°， ∠AOC＝15（t﹣12）﹣80°， ∴∠BON+∠AOC＝220°； 综上所述，∠BON+∠AOC＝140°或∠BON﹣∠AOC＝140°或∠BON+∠AOC＝220°； （3）∵当OB在射线OM上时，∠MOA＝100°，∠BOC＝60°， ∴此时∠AOC＝40°， ∵三角板BOC绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转，射线OA绕点O以每秒30°的速度顺时针旋转， ∴∠AOC每秒增加的度数为30°﹣10°＝20°， ∴（100°﹣40°）÷20°＝3， 即当∠AOC＝100°时，t的值为3； 或（360°﹣100°﹣40°）÷20°＝11； 若边OC与射线ON重合后， （180°﹣60°）÷10°＝12秒，即当t＝12秒时，边OC与射线ON重合， 此时OA转动的角度为30°×12＝360°， t﹣124秒，t＝16，或t﹣12，秒，t， 综上所述，当∠AOC＝100°时，t的值为3或11或16或． 5．如图，直线CD与EF相交于点O，∠COE＝60°，将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重合，OA平分∠COE． （1）求∠BOD的度数； （2）将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（0≤t≤40）． ①当t为何值时，直线EF平分∠AOB； ②若直线EF平分∠BOD，直接写出t的值． 【解答】解：（1）∵∠COE＝60°，OA平分∠COE， ∴∠AOC＝30°， 又∵∠AOB＝90°， ∴∠BOD＝180°﹣30°﹣90°＝60°； （2）①分两种情况： Ⅰ当OE平分∠AOB时，∠AOE＝45°， 即9°t+30°﹣3°t＝45°， 解得t＝2.5； Ⅱ当OF平分∠AOB时，∠AOF＝45°， 即9°t﹣150°﹣3°t＝45°， 解得t＝32.5； 综上所述，当t＝2.5或32.5时，直线EF平分∠AOB； ②t的值为12或36． 分两种情况： Ⅰ．当OE平分∠BOD时，∠BOE∠BOD， 即9°t﹣60°﹣3°t（60°﹣3°t）， 解得t＝12； Ⅱ．当OF平分∠BOD时，∠DOF∠BOD， 即9°t﹣300°（3°t﹣60°）， 解得t＝36； 综上所述，若直线EF平分∠BOD，t的值为12或36． 6．如图，已知直线PQ∥MN，点A在直线MN上，点B、C在直线PQ上，射线AD是∠CAN的三等分线，即∠CAN＝3∠DAN，AC平分∠BAE，∠BAC＝40°． （1）如图1，若∠BAD＝30°，求∠AEC的度数； （2）如图2，在AE上有一点F，满足CF∥AD，且FG平分∠AFC交AB于点G，试探究∠AGF与∠ACB的数量关系，并说明理由； （3）如图3，若∠ABC＝80°，∠BAC绕点A顺时针旋转，速度为6°每秒，记旋转中的∠BAC为∠B′AC′，∠C′AN的三等分线为AD′，即∠C′AN＝3∠D′AN，同时BA绕点B逆时针旋转至BA′，速度始终为4°每秒，当AC′与射线AM重合时，∠B′AC′立即以原来速度的一半逆时针旋转，当AC′运动到与射线AN重合时，整个运动停止，设旋转时间为t秒，在旋转过程中，当AD′∥BA′时，请直接写出t的值． 【解答】解：（1）∵AC平分∠BAE，∠BAC＝40°， ∴∠CAE＝∠BAC＝40°， 又∠BAD＝30°， ∴∠CAD＝∠BAC+∠BAD＝70°， ∵∠CAN＝3∠DAN， ∴， ∴∠EAN＝∠CAE+∠CAN＝145°， ∵PQ∥MN， ∴∠AEC＝180°﹣∠EAN＝35°； （2）3∠AGF+∠ACB＝270°， 理由：如图， 设∠BAD＝2y， 则∠CAD＝40°+2y， ∵∠CAN＝3∠DAN， ∴，∠DAN＝20°+y， ∴∠EAN＝∠EAC+CAN＝100°+3y， ∵PQ∥MN， ∴∠AEC＝180°﹣∠EAN＝80°﹣3y，∠ADC＝∠DAN＝20°+y， ∵CF∥AD， ∴∠FCE＝∠ADC＝20°+y， ∴∠AFC＝∠AEC+∠FCE＝100°﹣2y，∠ACB＝∠AEC+∠EAC＝120°﹣3y， ∵FG平分∠AFC， ∴， ∴∠AGF＝180°﹣∠AFG﹣∠FAG＝180°﹣（50°﹣y）﹣40°×2＝50°+y， ∴3∠AGF+∠ACB＝3（50°+y）+120°﹣3y＝270°； （3）∵∠ABC＝80°，∠BAC＝40°， ∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝60°， ∵PQ∥MN， ∴∠CAN＝180°﹣∠ACB＝120°，∠CAM＝∠ACB＝60°，∠BAN＝∠ACB＝80°， ∵∠CAN＝3∠DAN， ∴∠DAN＝40°， 当AC′与射线AM重合时，t＝60°÷6°＝10，返回时，当AC′与AC重合，t＝10+60°÷3°＝30，当AC′与射线AN重合时，t＝10+180°÷3°＝70，当A′B在AB的延长线时，t＝180°÷4°＝45， 当0≤t≤10时，∠CAC′＝（6t）°， ∴∠C′AN＝∠CAC′+∠CAN＝（6t+120）°， ∵∠C′AN＝3∠D′AN， ∴∠D′AN＝（2t+40）°， ∴∠BAD′＝∠BAN﹣∠D′AN＝（40﹣2t）°， ∵AD′∥BA′， ∴∠ABA′＝∠BAD′， ∴（4t）°＝（40﹣2t）°， 解得； 当10＜t≤30时， 则∠CAC′＝60°﹣[3（t﹣10）]°＝（90﹣3t）°， ∴∠C′AN＝∠CAC′+∠CAN＝（210﹣3t）°， ∵∠C′AN＝3∠D′AN， ∴∠D′AN＝（70﹣t）°， ∴∠BAD′＝∠BAN﹣∠D′AN＝（10+t）°， ∵AD′∥BA′， ∴∠ABA′＝∠BAD′， ∴（4t）°＝（10+t）°， 解得（舍去）； 当30＜t≤45时， 则∠CAC′＝[3（t﹣10）]°﹣60°＝（3t﹣90）°， ∴∠C′AN＝∠CAC′﹣∠CAN＝（210﹣3t）°， ∵∠C′AN＝3∠D′AN， ∴∠D′AN＝（70﹣t）°， ∴∠BAD′＝∠BAN﹣∠D′AN＝（10+t）°， ∵AD′∥BA′， ∴∠ABA′＝∠BAD′， ∴（4t）°＝（10+t）°， 解得t（舍去）； 当45＜t≤70时， 则∠CAC′＝[3（t﹣10）]°﹣60°＝（3t﹣90）°， ∴∠C′AN＝∠CAC′﹣∠CAN＝（210﹣3t）°， ∵∠C′AN＝3∠D′AN， ∴∠D′AN＝（70﹣t）°， ∴∠BAD′＝∠BAN﹣∠D′AN＝（10+t）°， ∵AD′∥BA′， ∴∠ABA′＝∠BAD′， ∴（360﹣4t）°+（10+t）°＝180°， 解得（舍去）； 综上，t的值为或． 7．已知：如图，AB∥CD，直线MN交AB于点M，交CD于点N，点E是线段MN上一点，P，Q分别在射线MB，ND上，连接PE，EQ，PF平分∠MPE，QF平分∠DQE． （1）如图1，当PE⊥QE时，请求出∠PFQ的度数； （2）如图2，求∠PEQ与∠PFQ之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（1）问的条件下，若∠APE＝45°，∠MND＝60°，过点P作PH⊥QF交QF的延长线于点H，将MN绕点N顺时针旋转，速度为每秒5°，直线MN旋转后的对应直线为M′N，同时将△FPH绕点P逆时针旋转，速度为每秒10°，△FPH旋转后的对应三角形为△F′PH′，当M′N首次落到CD上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过t（t≥0）秒后，M′N恰好与△F′PH′的其中一条边所在直线平行，请直接写出所有满足条件的t的值． 【解答】解：（1）如图，过点E作EG∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EG， 设∠EQD＝α， ∴∠QEG＝180°﹣∠EQD＝180°﹣α， ∴∠PEG＝∠PEQ﹣∠QEG＝α﹣90°， ∴∠APE＝∠PEG＝α﹣90°， ∵PF平分∠MPE，QF平分∠DQE， ∴，， 如图，过点F作FH∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥FH， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过点E作EG∥AB，过点F作FH∥AB， 则可得AB∥CD∥EG，AB∥CD∥FH， 设∠EQD＝α，∠PEQ＝β， 根据上述原理可得，， ∴，， ∴， 即； （3）如图，当PF′∥NM′时， 设M′N交AB于I， ∴∠AIN＝∠APF′， ∵∠AMN＝∠MND＝60°，∠MNM′＝5t， ∴∠AIN＝∠AMN﹣∠MNM′＝60°﹣5t， 由题意可得， ∴∠APF′＝∠FPF′+∠APF＝10t+22.5°， ∵PF′∥NM′， ∴∠AIN＝∠APF′，即60﹣5t＝22.5+10t， ∴t＝2.5， 如图，当NM′∥PH′时， 同理可得：60﹣5t＝10t﹣22.5， ∴t＝5.5， 如图，当NM′∥F′H′时， 设H′F′的延长线交AB于W， ∵∠APF＝22.5°，∠FPF′＝10t， ∴∠BPF′＝180°﹣22.5°﹣10t＝157.5°﹣10t， ∵∠PF′H′＝45°， ∴∠PWF′＝45°﹣（157.5°﹣10t）＝10t﹣112.5°， 由∠AIN＝∠PWF′，得10t﹣112.5＝60﹣5t， ∴t＝11.5， 综上所述：t＝2.5或5.5或11.5． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/6/20 20:53:31；用户：nsczsx3；邮箱：nsczsx3@xyh.com；学号：49576819 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平行线背景下的动角问题-答案 （一）无运动速度 【例1】 1．如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知∠MAC＝120°，∠NBE＝60°． （1）已知驱逐舰在AC方向上航行，巡洋舰在BE方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由； （2）已知驱逐舰到达点C后沿C﹣D继续航行，巡洋舰到达点E后沿E﹣F继续航行，且MN∥EF，∠ACD＝140°．若驱逐舰在原航向上向左转动α（0°＜α＜180°）后，才能与巡洋舰航向相同，求α的值． 【解答】解：（1）不会，理由是： ∵∠MAC＝120°， ∴∠CAN＝60°， ∵∠NBE＝60°， ∴∠CAN＝∠NBE， ∴AC∥BE， ∴这两艘舰艇不会相撞； （2）如图，若要驱逐舰与巡洋舰航向相同， 则EF∥HG， ∵MN∥EF， ∴HG∥MN， ∴∠CHG+∠CAN+ACD＝360°， ∴∠CHG＝160° ∴α＝180°﹣∠CHG＝20°． 【练】 2．如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起：如图2，其中∠ACB＝30°，∠DAE＝45°，∠BAC＝∠D＝90°，固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE＝α（0°＜α＜180°）． （1）当α为　105　 度时，AD⊥BC； （2）当△ADE的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，写出旋转角α的所有可能的度数； （3）当0°＜α＜45°时，连接BD，利用图4直接写出∠BDE+∠CAE+∠DBC的度数　105°　 ． 【解答】解：（1）当AD⊥BC时，如图1所示： 则∠ACB+∠CAD＝90°， ∵∠ACB＝30°， ∴∠CAD＝90°﹣∠ACB＝60°， 又∵∠DAE＝45°， ∴旋转角∠CAE＝α＝∠CAD+∠DAE＝105°， 故答案为：105． （2）①当AD∥BC时，如图2所示，记DE与AC的交点为点F，DE与BC的交点为点G， ∵AD∥BC， ∴∠DAF＝∠C＝30°， ∵∠DAE＝45°， ∴∠CAE＝15°，即α＝15°， ②当DE∥BC时，如图3所示， ∵DE∥BC， ∴∠BFD+∠D＝180°． 又∠D＝90°， ∴∠BFD＝90°， ∴∠AFC＝90°． 又∵∠C＝30°， ∴∠CAF＝180°﹣∠AFC﹣∠C＝60°． ∴∠CAE＝∠EAD+∠CAF＝45°+60°＝105°． ∴α＝105°； ③当DE∥AB时，如图4所示，α＝45°； ④当DE∥AC时，如图5所示，α＝∠EAD+∠BAC＝45°+90°＝135°； ⑤如图6所示∠EAC+∠C＝180°， ∵∠C＝30°， ∴∠EAC＝150°，即α＝150°； 综上所述：旋转角α的所有可能的度数是：15°，45°，105°，135°，150°． （3）设AC，AE与BD交于M，N，如图7所示： ∵∠AMN是△MBC的一个外角，∠ACB＝30°， ∴∠AMN＝∠DBC+∠ACB＝∠DBC+30°， ∵∠ANM是△NDE的一个外角，∠E＝45°， ∴∠ANM＝∠BDE+∠E＝∠BDE+45°， 在△AMN中，∠AMN+∠ANM+∠CAE＝180°， ∴∠DBC+30°+∠BDE+45°+∠CAE＝180°， ∴∠BDE+∠CAE+∠DBC＝105°． 故答案为：105°． 3．如图直线AB，CD与直线MN分别交于E，F，且∠AEM与∠CFN互补，O为线段EF上一点． （1）求证：AB∥CD． （2）如图1，已知PE平分∠BEO，PF平分∠DFO，求∠EPF的大小． （3）将图1中的射线ON绕O点顺时针转一个角度α（0＜α＜90°）至ON′与CD交于F′，其它图线保持不变，如图2所示，作∠OF′D的平分线与∠BEO的平分线交于P′，求∠EP′F′的大小（用含α的代数式表示）． 【解答】（1）证明：∵∠AEM与∠CFN互补， ∴∠AEM+∠CFN＝180°， 又∵∠AEM+∠AEN＝180°， ∴∠CFN＝∠AEN， ∴AB∥CD． （2）解：由（1）得，AB∥CD， ∴∠BEO+∠DFO＝180°， ∵PE平分∠BEO，PF平分∠DFO， ∴∠PEO∠BEO，∠PFO∠DFO， ∴∠PEO+∠PFO（∠BEO+∠DFO）180°＝90°， ∴∠EPF＝180°﹣（∠PEO+∠PFO）＝180°﹣90°＝90°． （3）解：如图，过点O作OH∥AB，过点P′作P′Q∥AB， ∵AB∥CD，P′Q∥AB， ∴OH∥AB∥CD，P′Q∥AB∥CD， ∴∠EOH＝∠BEO，∠N′OH＝∠DF′O， ∠EP′Q＝∠BEP′，∠F′P′Q＝∠DF′P′， ∴∠EON′＝∠BEO+∠DF′O＝180°﹣α， ∠EP′F′＝∠BEP′+∠DF′P′， ∵EP′平分∠BEO，F′P′平分∠DF′O， ∴∠BEP′∠BEO，∠DF′P′∠DF′O， ∴∠EP′F′（∠BEO+∠DF′O）（180°﹣α）＝90°． （2） 有运动速度 【例1】动三角形 1．如图，直线AB∥CD，直线PQ分别交AB、CD于点E、F．点M在直线AB上方，点N在直线CD上（在F点的右边），连接EM、MN，EP平分∠AEM． （1）如图1，若∠PEA＝62°，∠M＝50°，求∠MND的度数； （2）如图2，若NH平分∠MND，直线NH交PQ于点G，请探究∠M与∠PGH之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）问的条件下，连接NE并延长．若∠MND＝100°，∠ENM＝30°，将∠ENG绕着点N以每秒1°的速度逆时针旋转，设旋转时间为t秒（0＜t＜360），在旋转过程中，射线NR始终平分∠MNE，NI是∠ENG内部一条射线，NS平分∠ENI，当∠RNS＝60°，且∠ING的度数为射线NS与直线CD所夹锐角的4倍时，直接写出t的值（本题研究的所有角度均小于180°）． 【解答】解：（1）设AB、MN交于点Q． ∵EP平分∠AEM， ∴∠AEM＝2∠PEA＝2×62°＝124°， ∵∠AEM＝∠M+∠EQM， ∴124°＝50°+∠EQM， ∴∠EQM＝74°． ∴∠BQN＝∠EQM＝74°， ∵AB∥CD， ∴∠QND+∠BQN＝180°， ∴∠MND＝106°， 答：∠MND＝106°． （2）∠M与∠PGH之间的数量关系：2∠PGH+∠M＝180°． ∵EP平分∠AEM，NH平分∠MND， ∴∠AEP＝∠MEP＝β，∠MNH＝∠DNH＝α， ∴∠M＝180°﹣∠MEQ﹣∠MQE＝180°﹣（180°﹣2β）﹣（180°﹣2α）＝2α+2β﹣180°． ∵AB∥CD， ∴∠CFE＝∠AEP＝β， ∴∠GFN＝∠CFE＝β， ∠FNG＝∠DNH＝α， ∴∠PGH＝180°﹣∠GFN﹣∠FNG＝180°﹣α﹣β， ∴2∠PGH＝360°﹣2（α+β）， ∵∠M＝2α+2β﹣180°． ∴2∠PGH+∠M＝180°． 答：∠M与∠PGH之间的数量关系：2∠PGH+∠M＝180°． （3）∵∠MND＝100°，NH平分∠MND， 则∠MNH＝∠HND＝50°， ∵未旋转前∠ENM＝30°， ∴∠ENG＝180°﹣∠ENM180°﹣30°﹣50°＝100°， ∠MNC＝180°﹣∠MND＝80°， ∵将∠ENG绕着点N以1°/秒的速度逆时针旋转， ∴∠ENM＝30°+t°， ①当NS在CD上方时，如图： 设∠INE＝4α，则∠SNC＝α， 根据题意，NR始终平分∠MNE，NS平分∠ENI， ∴∠RNE∠MNE（30+t）°， ∠SNE50°﹣2α， ∵∠RNS＝60°， ∴∠REN+∠ENS＝15°t°+50°﹣2α＝65°t°﹣2α＝60°， ∴2αt＝5（Ⅰ）， 又∵∠MNC＝80°， ∴∠SNC+∠MNS＝∠SNC+∠ENS+∠MNE＝α+50°﹣2α+30°﹣t°＝80°． ∴t＝α（Ⅱ）， 将（Ⅱ）代入（Ⅰ）得，2tt＝5， 解得t； ②当NS在CD下方时，如图： 此时∠MNS﹣∠SNC＝50°﹣2α+30°+t﹣α＝80°， ∴t＝3α， 将t＝3α代入（Ⅰ）得α＝10， ∴t＝30； ③如图，当t＞180时，且NS在CD下方时， 设∠ING＝4β，则∠SND＝β， 根据题意可得，NR始终平分∠MNE，NS平分∠ENI， ∴∠RNE∠MNE（360﹣30﹣t）°＝（165t）°， ∠SNE50°﹣2β， ∵∠RNS＝60°， ∴∠REN﹣∠ENS＝165°t°﹣50°+2β＝115°t°+2β＝60°， ∴t＝110+4β， 又∵∠MND＝100°， ∴（360﹣30﹣t）﹣（50﹣2β）﹣β＝100， 解得β＝t﹣180， 将β＝t﹣180代入t＝110+4β， 解得t； ④NS在CD上方时，则（360﹣30﹣t）﹣（50﹣2β）+β＝100， ∴3β＝t+180， 将3β＝t+180代入代入t＝110+4β， 解得t＝﹣1050（舍去）； 综上，t的值为或30或． 2．如图1，AB∥CD，点E，F分别在直线CD，AB上，∠BEC＝2∠BEF，过点A作AG⊥BE的延长线交于点G，交CD于点N，AK平分∠BAG，交EF于点H，交BE于点M． （1）直接写出∠AHE，∠FAH，∠HFA之间的关系：　∠AHE＝∠FAH+∠HFA　 ； （2）若，求∠AHE的度数． （3）如图2，在（2）的条件下，将三角形KHE绕着点E以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当KE边与射线ED重合时停止转动．则在旋转过程中，当三角形KHE的其中一边与三角形ENG的某一边平行时，直接写出此时t的值． 【解答】解：（1）∵∠AHE是△AHF的外角， ∴∠AHE＝∠FAH+∠HFA； 故答案为：∠AHE＝∠FAH+∠HFA． （2）设∠BEF＝x， ∵，∠BEC＝2∠BEF， ∴∠BAK＝∠BEC＝2x， ∵AK平分∠BAG， ∴∠BAK＝∠KAG＝2x， ∵∠AME为△MKE的外角， ∴∠AME＝2x+2x＝4x， ∵AB∥CD， ∴∠AFE＝∠FEK＝∠BEF+∠BEC＝3x， ∴∠AHE＝2x+3x＝5x， ∵AG⊥BE， ∴∠G＝90°， ∴∠AME+∠KAG＝2x+4x＝90°， ∴x＝15° ∴∠AHE＝5x＝75°； （3）由（2）可得，∠KHE＝180°﹣∠AHE＝105°，∠BEF＝15°，∠HEK＝3x＝45°，∠NEG＝∠BEC＝2x＝30°， ∵∠G＝90°， ∴∠ENG＝90°﹣∠NEG＝60°， ①当KH∥NG时，5°×t＝60°﹣30°， 解得：t＝6； ②当GN∥EH时，5°×t＝90°， 解得：t＝18； ③当HK∥EG时，5°×t＝180°﹣30°﹣30°， 解得：t＝24； ④当HK∥EN时，5°×t＝150°， 解得：t＝30； 综上所述，t的值为6或18或24或30． 3．如图所示，AB∥CD，△EFM的顶点E，F分别在直线AB，直线CD上，点M在直线AB和直线CD之间，EF平分∠AEM． （1）如图1，FM平分∠EFD，∠BEM＝20°，求∠M的度数． （2）如图2，已知点N为MF延长线上一点，且∠BEM＝∠NEF＝∠N＝a°，请用含a的式子表示∠NFC的度数，并说明理由． （3）如图3，在（2）的条件下，∠BEM＝30°，将△FNE绕点F顺时针以每秒5°的速度旋转得到△FN'E'，将△EFM绕点E顺时针以每秒3°的速度旋转得到△EF'M'，当EF'首次旋转到直线AB上时，△EF'M'立刻绕点E逆时针以原速旋转，当EM'旋转到直线AB上时，两个三角形同时停止旋转，请直接写出当E'N'∥F'M'时的旋转时间t的值． 【解答】解：（1）如图，过点M作MG∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥MG， ∴∠GME＝∠BEM＝20°，∠GMF＝∠MFD，∠AEF＝∠EFD， ∵∠EMF＝∠GME+∠GMF， ∴∠EMF＝∠BEM+∠DFM， ∵AEM＝180°﹣∠BEM＝160°，EF平分∠AEM， ∴∠AEF∠AEM＝80°＝∠DFE， ∵FM平分∠DFE， ∴∠DFM∠DFE＝40°， ∴∠EMF＝∠BEM+∠DFM＝60°； （2）∠NFC＝90°α，理由如下： 如图所示，过点N作NH∥AB， ∵AB∥CD，NH∥AB， ∴NH∥AB∥CD， ∴∠AEN＝∠HNE，∠CFN＝∠HNF， ∵∠BEM＝α， ∴∠AEM＝180°﹣∠BEM＝180°﹣α， ∵EF平分∠AEM， ∴∠AEF∠AEM＝90°， ∵∠NEF＝α， ∴∠AEN＝∠AEF﹣∠NEF＝90°∠HNE， ∵∠ENM＝α， ∴∠HNF＝∠HNE﹣∠ENM＝90°， ∴∠NFC＝∠HNF＝90°； （3）由题意得：EF'首次到AB的时间为：s，F'M'首次到AB的时间为：s， 当0≤t≤25时，如图所示，可以把线段E'N'、EF'、EM'、F'M'的端点放在同一个位置，当两线段平行的时候，即这两线段共线， 当E'N'∥F'M'，则5t+75+30+30+15﹣3t＝180， 解得t＝15； 当25＜t≤25时，如图所示，可以把线段E'N'、EF'、EM'、F'M'的端点放在同一个位置，当两线段平行的时候，即这两线段共线， 由（2）的结论可知∠MFD＝180°﹣（90°30°）＝15°， ∴∠EMF＝∠BEM+∠MFD＝45°， 当E'N'∥F'M'时，则5（t﹣25）+3（t﹣25）＝360﹣80﹣75﹣45， 解得t＝45， 或5（t﹣25）+3（t﹣25）＝360﹣80﹣75﹣45+180， 解得t＝67.5（舍去）； 综上，t的值为15或45． 【练】 4．如图1，AB∥CD，点E，F分别在直线CD，AB上，∠BEC＝3∠BEF，过点A作AG⊥BE的延长线交于点G，交CD于点N，AK平分∠BAG，交EF于点H，交BE于点M． （1）直接写出∠AHE，∠FAH，∠KEH之间的关系：　∠AHE＝∠FAH+∠HFA　 ． （2）若，求∠AHE． （3）如图2，在（2）的条件下，将△ENG绕着点E以每秒5°的速度顺时针旋转，旋转时间为t，当EN边与射线EC重合时停止，则在旋转过程中，当△ENG的其中一边与△KEH的某一边平行时，求出此时t的值． 【解答】解：（1）∵∠AHE是△AHF的外角， ∴∠AHE＝∠FAH+∠HFA； 故答案为：∠AHE＝∠FAH+∠HFA． （2）设∠BEF＝x， ∵，∠BEC＝3∠BEF， ∴∠BAK＝∠BEC＝3x， ∵AK平分∠BAG， ∴∠BAK＝∠KAG＝3x， ∵∠AME为△MKE的外角， ∴∠AME＝3x+3x＝6x， ∵AB∥CD， ∴∠AFE＝∠FEK＝∠BEF+∠BEC＝4x， ∴∠AHE＝3x+4x＝7x， ∵AG⊥BE， ∴∠G＝90°， ∴∠AME+∠KAG＝3x+6x＝90°， ∴x＝10° ∴∠AHE＝7x＝70°； （3）由（2）可得，∠KHE＝180°﹣∠AHE＝110°，∠BEF＝10°，∠HEK＝5x＝50°，∠NEG＝∠BEC＝3x＝30°， ∵∠G＝90°， ∴∠ENG＝90°﹣∠NEG＝60°， ①当KH∥NG时，5°×t＝60°﹣30°， 解得：t＝6； ②当KE∥GN时，5°×t＝60°， 解得：t＝12； ③当HE∥GN时5°×t＝40°+60°， 解得：t＝20， ④当HK∥EG时，5°×t＝180°﹣30°﹣30°， 解得：t＝24； ⑤当HK∥EN时，5°×t＝150°， 解得：t＝30； 综上所述，t的值为6或12或20或24或30． 5．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：2，将一直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，其中∠OMN＝30°． （1）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数； （2）将图1中的三角尺绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第　9或27　 秒时，边MN恰好与射线OC平行；在第　0或18或36　 秒时，边MN恰好与射线OC垂直．（直接写出结果）； （3）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由． 【解答】解：（1）∵∠AOC＝60°， ∴∠BOC＝120°， 又∵OM平分∠BOC， ∴∠COM∠BOC＝60°， ∴∠CON＝∠COM+90°＝150°； （2）∵∠OMN＝30°， ∴∠N＝90°﹣30°＝60°， ∵∠AOC＝60°， ∴当ON在直线AB上时，MN∥OC，此时旋转角为90°或270°， ∵每秒顺时针旋转10°， ∴时间为9或27， ∵当ON⊥AB时，MN⊥OC，此时旋转角为0°或180°或360°， ∵每秒顺时针旋转10°， ∴时间为0或18或36； 故答案为：9或27；0或18或36． （3）∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°， ∴∠AON＝90°﹣∠AOM，∠AON＝60°﹣∠NOC， ∴90°﹣∠AOM＝60°﹣∠NOC， ∴∠AOM﹣∠NOC＝30°， 故∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：∠AOM﹣∠NOC＝30°． 6．如图①，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM＝30°，∠OCD＝45°． （1）将图①中的三角板OMN沿BA的方向平移至图②的位置，MN与CD相交于点E，则∠CEN的度数是 　105°　 ； （2）将图①中的三角板OMN绕点O按逆时针方向旋转至如图③，当∠CON＝5∠DOM时，MN与CD相交于点E，请你判断MN与BC的位置关系，并说明理由； （3）将图①中的三角板OMN绕点O按每秒5°的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，三角板MON运动几秒后直线MN恰好与直线CD平行． 【解答】解：（1）在△CEN中，∠CEN＝180°﹣30°﹣45°＝105°． 故答案为：105°； （2）结论：MN∥BC． 理由：如图③中， ∵∠CON+∠DOM＝∠COD+∠DOM+∠DOM＝∠COD+∠MON＝180°， 又∵∠CON＝5∠DOM， ∴∠DOM＝30°， ∴∠COM＝∠M＝60°， ∴MN∥BC． （3）如图，当MN∥CD，设MN交OD于点K． ∵MN∥CD， ∴∠OKM＝∠D＝45°， ∵∠M＝60°， ∴∠MOK＝180°﹣60°﹣45°＝75°， ∴t＝75÷5＝15（秒）． 如图，当MN∥CD时，延长MO交CD于点T． 则有∠DTO＝∠M＝60°， ∴∠DOT＝180°﹣60°﹣45°＝75°， ∴旋转角为180°+75°＝255°， ∴t＝255°÷5＝51（秒）． 综上所述，当15秒或51秒时MN∥CD． 7．如图所示，AB∥CD，三角形EFM的顶点E、顶点F分别在直线AB、直线CD上，点M在直线AB与直线CD之间，EF平分∠AEM， （1）如图1，已知FM平分∠EFD，∠BEM＝40°，则∠M＝　75　 °； （2）如图2，已知点N为MF延长线上一点，且∠BEM＝∠NEF＝∠N＝α°，请用含α的式子表示∠NFD的度数，并说明理由； （3）如图3，在（2）问的条件下，∠BEM＝30°，将三角形FNE绕点F顺时针以每秒5°的速度旋转得三角形FN′E′，将三角形EFM绕点E顺时针以每秒3°的速度旋转得三角形EF′M′，当EF′旋转到直线AB上时两个三角形同时停止旋转，请求出边E′N′与三角形EF′M′的边平行时的旋转时间t的值． 【解答】解：（1）如图所示，过点M作MG∥AB， ∵AB∥CD，MG∥AB， ∴MG∥AB∥CD， ∴∠BEM＝∠GME，∠DFM＝∠GMF，∠AEF＝∠DFE， ∵∠EMF＝∠GME+∠GMF， ∴∠EMF＝∠BEM+∠DFM， ∵∠BEM＝40°， ∴∠AEM＝180°﹣∠BEM＝140°， ∵EF平分∠AEM， ∴， ∴∠DFE＝∠AEF＝70°， ∵FM平分∠DFE， ∴， ∴∠EMF＝∠BEM+∠DFM＝75°， 故答案为：75； （2），理由如下： 如图所示，过点N作NH∥AB， ∵AB∥CD，NH∥AB， ∴NH∥AB∥CD， ∴∠AEN＝∠HNE，∠CFN＝∠HNF， ∵∠BEM＝α， ∴∠AEM＝180°﹣∠BEM＝180°﹣α， ∵EF平分∠AEM， ∴， ∵∠NEF＝α， ∴， ∴， ∵∠ENM＝α， ∴， ∴， ∴， ∴， （3）由题意得，EF'到AB的时间为， 如图所示，可以把线段E'N'，EF'，EM'，F'M'的端点放在同一个位置，当两线段平行的时候，即这两条线段共线， ①当E'N∥F'M'时， 则5t+75+30+30+15﹣3t＝180， 解得t＝15； ②当E'N'∥EM'时， 则5t+30+75﹣3t＝180， 解得（舍去）； ③当E'N'∥EF'时， 则5t+30﹣2t＝180， 解得t＝75（舍去）； 综上，t值为15． 8．已知MN∥PQ，点A在MN上方，点D在PQ下方，分别以A、D为顶点作∠A＝∠D＝90°，∠A的两边交MN于B、C（点B在点C的左边），∠D的两边交PQ于E、F（点E在点F的左边），AB、DE交于点G，AC、DF交于点H． （1）如图1，若∠ABC＝45°，∠DFE＝30°，则∠G＝　105°　 ，∠H＝　75°　 ； （2）如图2，∠ABC、∠PEG的角平分线交于点I，BI交DG与J，∠NCH、∠QFH的角平分线交于点交K．试探索∠JIE、∠K之间的数量关系并说明理由； （3）在（1）的条件下，把△ABC绕点A顺时针方向旋转，每秒钟转3°，与此同时△DEF绕点F逆时针方向旋转，每秒钟转2°．当△ABC旋转到BC边首次与MN平行时，两个三角形都停止转动．在转动过程中，设旋转时间为t秒，当DE所在的直线与△ABC的边平行时，请直接写出t的所有可能的值． 【解答】（1）105°，75°． （2）∠JIE+∠K＝90°． 理由：在四边形AGDH中，∠A＝∠D＝90°， ∴∠AGD+∠AHD＝180°， 过H作HR∥MN，则HR∥PQ， ∴∠NCH＝∠CHR，∠QFH＝∠FHR． ∴∠CHF＝∠NCH+∠QFH，同理∠K＝∠NCK+∠QFK． ∵CK、FK分别平分∠NCH、∠QFH， ∴，， ∴ 设DG、MN交于点L，过L作LS∥EI交BJ于点S，则∠JIE＝∠JSL ∵MN∥PQ，∴∠PEG＝∠BLG ∵BI、EI分别平分∠ABC、∠PEG， ∴ ∴， ∴∠JIE＝∠JSL＝∠SBL+∠SLB， ∴ （3）t≤60 当DE∥AC时，t＝3 当DE∥BC时，t＝12 当DE∥AB时，t＝21 ∴t＝3，12，21 9．已知AB∥CD，直线FE交AB于点E，交CD于点F，点M在线段EF上，过M作射线MR、MP分别交射线AB、CD于点N、Q． （1）如图1，当MR⊥MP时，求∠MNB+∠MQD的度数． （2）如图2，若∠DQP和∠MNB的角平分线交于点G，求∠NMQ和∠NGQ的数量关系． （3）如图3，当MR⊥MP，且∠EFD＝60°，∠EMR＝20°时，作∠MNB的角平分线NG．把三角板OKI的直角顶点O置于点M处，两直角边分别与MR和MP重合，将其绕点O点顺时针旋转，速度为10°每秒，当OI落在MF上时，三角板立即以相同速度逆时针旋转．三角板开始运动的同时∠BNG绕点N以6°每秒的速度顺时针旋转，记旋转中的∠BNG为∠B′NG′，当NG′和NA重合时，整个运动停止．设运动时间为t秒，当∠B'NG′的一边和三角板的一直角边互相平行时，请直接写出t的值． 【解答】解：（1）过M作MH∥AB．如图： ∴∠MNB+∠NMH＝180°， ∵AB∥CD， ∴MH∥CD， ∴∠HMQ+∠MQD＝180°， ∴∠MNB+∠NMH+∠HMQ+∠MQD＝360°， ∵MR⊥MP， ∴∠NMQ＝90°， ∴∠MNB+∠MQD＝270°． （2）过点M作MH∥AB，过点G作GL∥AB，如图： 设∠BNG＝x，则∠BNM＝2x， ∵MH∥AB， ∴∠NMH＝180°﹣2x， 设∠DQG＝y，则∠DQP＝2y， ∵AB∥CD， ∴GL∥CD， ∴∠QGL＝x， ∴∠NGQ＝∠NGL﹣∠QGL＝x﹣y， ∠HMQ＝∠DPQ＝2y， ∴∠NMQ＝∠NMH+∠HMQ ＝180°﹣2x+2y ＝180°﹣2（x﹣y）， ∴∠NMQ＝180°﹣2∠NGQ； （3）①若OI∥NG'，则 ∠ION+∠ONG'＝180°， OI到达MF前，如图： ∵∠ION＝10°t+90°，∠ONG'＝∠ONG﹣∠GNG'＝140°﹣70°﹣6°t ∴10°t+90°+（140°﹣70°﹣6°t）＝180°， 解得t＝5； OI返回时，如图： ∵∠ION＝∠FON﹣∠FOI230﹣10°t，∠ONG'＝140°﹣70°﹣6°t， ∴230﹣10°t+（140°﹣70°﹣6°t）＝180°，解得； ②当OI∥NB'时，如图： ∵∠ION+∠ONB'＝180°， ∴230﹣10°t+140°﹣6°t＝180°，解得； ③当OK∥NG'时，如图： 同理可得：230﹣10°t﹣90＝6°t﹣70°， 解得：； ④当OK∥NB'，如图： ∴140°﹣6°t＝90°﹣（230°﹣10t）， 解得：， 综上所述，t的值为5或或或或． 【例2】动角综合 1．如图1，已知直线MN∥GH，点A在直线MN上，点B在直线GH上． （1）如图1，点C在直线MN、GH之间，连接AC、BC，若∠NAC＝24°，∠CBH＝40°，则∠ACB的度数为 　64　 °； （2）如图2，点C在直线MN的上方，AE平分∠CAN，BF平分∠GBC，延长CA与BF交于点D，若∠CAE＝21°，∠GBC＝100°，求∠BDC的度数； （3）如图3，点C在直线MN的上方，∠CAN＝40°，∠GBC＝100°，BF平分∠GBC交MN于点F，将∠CAN绕着点A以每秒1°的速度逆时针方向旋转得∠C'AN'，旋转时间为t秒；同时将射线BF绕着点B以每秒3°的速度顺时针方向旋转得射线BF'，当射线BF'与射线BG首次重合时，∠CAN和射线BF同时停止转动，在旋转过程中，作∠C′AN′的角平分线AP，作∠F′BH的角平分线BQ，请直接写出当AP∥BQ时t的值． 【解答】解：（1）过C作CP∥MN， ∵MN∥GH， ∴CP∥GH， ∴∠PCB＝∠CBH， ∵CP∥MN， ∴∠NAC＝∠ACP， ∴∠ACB＝∠ACP+∠PCB＝∠NAC+∠CBH＝24°+40°＝64°， 故答案为：64； （2）∵AE平分∠CAN，∠CAE＝21°， ∴∠CAN＝2∠CAE＝42°， ∵BF 平分∠GBC，∠GBC＝100°， ∴， 过D作DP∥MN， ∵MN∥GH， ∴DP∥GH， ∴∠GBF＝∠BDP＝50°， ∵DP∥MN， ∴∠CAN＝∠CDP＝42°， ∴∠BDC＝∠CDP+∠BDP＝42°+50°＝92°； （3）分两种情况进行讨论： ①当BF'位于MN与GH之间时，如图①， 由AP∥BQ得：∠PAN＝∠BQM， ∴∠CAN＝40°，经过时间t， 有∠CAC'＝t°， 则∠C'AN＝（t+40）°， 而∠C'AP∠C'AN'＝20°， ∴∠PAN＝∠C'AN﹣∠C'AP＝（t+40﹣20）°＝（t+20）°， 又∵∠CBG＝100°，BF平分∠GBC， ∴， 而∠FBF'＝（3t）°， ∴∠F'BH＝（180﹣50﹣3t）°＝（130﹣3t）°， ∵BQ平分∠F'BH， ∴∠QBH∠F'BH＝（65）°， ∵MN∥GH， ∴， 则， 解得：t＝18； ②当BF'位于GH下方时，如图②， ∵AP∥BQ， ∴∠PAM＝∠QBH， 经过时间t， 同理：∠C'AN＝（t+40）°， 则∠C'AM＝180°﹣（t+40）°＝（140﹣t）°， 而∠C'AP＝20°， ∴∠PAM＝∠C'AM+∠C'AP＝（160﹣t）°， 又∠GBF＝50°， ∴∠FBH＝130°， ∴∠F'BH＝（3t﹣130）°， ∴∠QBH∠F'BH＝（65）°， ∴160﹣t65， 解得t＝90， 综上：t＝18或90． 【练】 2．如图，已知直线PQ∥MN，点A在直线MN上，点B、C在直线PQ上，射线AD是∠CAN的三等分线，即∠CAN＝3∠DAN，AC平分∠BAE，∠BAC＝40°． （1）如图1，若∠BAD＝30°，求∠AEC的度数； （2）如图2，在AE上有一点F，满足CF∥AD，且FG平分∠AFC交AB于点G，试探究∠AGF与∠ACB的数量关系，并说明理由； （3）如图3，若∠ABC＝80°，∠BAC绕点A顺时针旋转，速度为6°每秒，记旋转中的∠BAC为∠B′AC′，∠C′AN的三等分线为AD′，即∠C′AN＝3∠D′AN，同时BA绕点B逆时针旋转至BA′，速度始终为4°每秒，当AC′与射线AM重合时，∠B′AC′立即以原来速度的一半逆时针旋转，当AC′运动到与射线AN重合时，整个运动停止，设旋转时间为t秒，在旋转过程中，当AD′∥BA′时，请直接写出t的值． 【解答】解：（1）∵AC平分∠BAE，∠BAC＝40°， ∴∠CAE＝∠BAC＝40°， 又∠BAD＝30°， ∴∠CAD＝∠BAC+∠BAD＝70°， ∵∠CAN＝3∠DAN， ∴， ∴∠EAN＝∠CAE+∠CAN＝145°， ∵PQ∥MN， ∴∠AEC＝180°﹣∠EAN＝35°； （2）3∠AGF+∠ACB＝270°， 理由：如图， 设∠BAD＝2y， 则∠CAD＝40°+2y， ∵∠CAN＝3∠DAN， ∴，∠DAN＝20°+y， ∴∠EAN＝∠EAC+CAN＝100°+3y， ∵PQ∥MN， ∴∠AEC＝180°﹣∠EAN＝80°﹣3y，∠ADC＝∠DAN＝20°+y， ∵CF∥AD， ∴∠FCE＝∠ADC＝20°+y， ∴∠AFC＝∠AEC+∠FCE＝100°﹣2y，∠ACB＝∠AEC+∠EAC＝120°﹣3y， ∵FG平分∠AFC， ∴， ∴∠AGF＝180°﹣∠AFG﹣∠FAG＝180°﹣（50°﹣y）﹣40°×2＝50°+y， ∴3∠AGF+∠ACB＝3（50°+y）+120°﹣3y＝270°； （3）∵∠ABC＝80°，∠BAC＝40°， ∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝60°， ∵PQ∥MN， ∴∠CAN＝180°﹣∠ACB＝120°，∠CAM＝∠ACB＝60°，∠BAN＝∠ACB＝80°， ∵∠CAN＝3∠DAN， ∴∠DAN＝40°， 当AC′与射线AM重合时，t＝60°÷6°＝10，返回时，当AC′与AC重合，t＝10+60°÷3°＝30，当AC′与射线AN重合时，t＝10+180°÷3°＝70，当A′B在AB的延长线时，t＝180°÷4°＝45， 当0≤t≤10时，∠CAC′＝（6t）°， ∴∠C′AN＝∠CAC′+∠CAN＝（6t+120）°， ∵∠C′AN＝3∠D′AN， ∴∠D′AN＝（2t+40）°， ∴∠BAD′＝∠BAN﹣∠D′AN＝（40﹣2t）°， ∵AD′∥BA′， ∴∠ABA′＝∠BAD′， ∴（4t）°＝（40﹣2t）°， 解得； 当10＜t≤30时， 则∠CAC′＝60°﹣[3（t﹣10）]°＝（90﹣3t）°， ∴∠C′AN＝∠CAC′+∠CAN＝（210﹣3t）°， ∵∠C′AN＝3∠D′AN， ∴∠D′AN＝（70﹣t）°， ∴∠BAD′＝∠BAN﹣∠D′AN＝（10+t）°， ∵AD′∥BA′， ∴∠ABA′＝∠BAD′， ∴（4t）°＝（10+t）°， 解得（舍去）； 当30＜t≤45时， 则∠CAC′＝[3（t﹣10）]°﹣60°＝（3t﹣90）°， ∴∠C′AN＝∠CAC′﹣∠CAN＝（210﹣3t）°， ∵∠C′AN＝3∠D′AN， ∴∠D′AN＝（70﹣t）°， ∴∠BAD′＝∠BAN﹣∠D′AN＝（10+t）°， ∵AD′∥BA′， ∴∠ABA′＝∠BAD′， ∴（4t）°＝（10+t）°， 解得t（舍去）； 当45＜t≤70时， 则∠CAC′＝[3（t﹣10）]°﹣60°＝（3t﹣90）°， ∴∠C′AN＝∠CAC′﹣∠CAN＝（210﹣3t）°， ∵∠C′AN＝3∠D′AN， ∴∠D′AN＝（70﹣t）°， ∴∠BAD′＝∠BAN﹣∠D′AN＝（10+t）°， ∵AD′∥BA′， ∴∠ABA′＝∠BAD′， ∴（360﹣4t）°+（10+t）°＝180°， 解得（舍去）； 综上，t的值为或． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/6/20 21:02:31；用户：nsczsx3；邮箱：nsczsx3@xyh.com；学号：49576819 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简单动角问题（无运动速度） 【例1】动线 1．如图1，已知∠AOB＝150°，∠AOC＝40°，OE是∠AOB内部的一条射线，且OF平分∠AOE． （1）若∠EOB＝10°，则∠COF＝　 　 ； （2）若∠COF＝20°，则∠EOB＝　 　 ； （3）若∠COF＝n°，则∠EOB＝　 　 （用含n的式子表示）． （4）当射线OE绕点O逆时针旋转到如图2的位置时，请把图补充完整；此时，∠COF与∠EOB有怎样的数量关系？请说明理由． 【练】 2．已知∠AOB是一个直角，作射线OC，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD、OE． （1）如图①，当∠BOC＝70°时，则∠DOE＝　 　 ． （2）如图②，若射线OC在∠AOB内部绕O点旋转，当∠BOC＝α时，则∠DOE＝　 　 ． （3）如图③，当射线OC在∠AOB外绕O点旋转时，在备用图中画出图形，判断∠DOE的大小是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求∠DOE的度数． 3．在学习了几何中角平分线知识后，某校七年级数学学习小组对角平分线进行了一次合作探究活动．他们给出已知∠AOB＝110°，射线OD，OE分别是∠AOC和∠COB的平分线． （1）如图1，若射线OC在∠AOB的内部，且∠AOC＝30°，求∠DOE的度数； （2）如图2，若射线OC在∠AOB的内部绕点O旋转，则∠DOE的度数； （3）若射线OC在∠AOB的外部绕点O旋转（旋转中∠AOC，∠BOC，均指小于180°的角），其余条件不变，请借助图3探究∠DOE的大小，请直接写出∠DOE的度数．（不写探究过程） 【例2】动角 1．如图①，已知线段AB＝30cm，CD＝4cm，线段CD在线段AB上运动，E、F分别是AC、BD的中点． （1）若AC＝8cm，则EF＝　 　 cm； （2）当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？如果不变请求出EF的长度，如果变化，请说明理由； （3）我们发现角的很多规律和线段一样，如图②已知∠COD在∠AOB内部转动，OE、OF分别平分∠AOC和∠BOD，则∠EOF、∠AOB和∠COD有何数量关系，请直接写出结果不需证明． 【练】 2．将一副三角板的两个锐角顶点重合，∠AOB＝45°，∠COD＝30°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线． （1）如图①所示，当OB与OC重合时，则∠MON的大小为 　 　 ； （2）当∠COD绕着点O旋转至如图②所示，当∠BOC＝14°，则∠MON的大小为多少？ （3）当∠COD绕着点O旋转至如图③所示，当∠BOC＝α时，求∠MON的大小． 3．已知∠AOD＝130°，∠BOC＝50°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD． （1）如图1，若∠AOM：∠DON＝2：3，求∠NOC的度数； （2）将∠BOC顺时针旋转至图2的位置，求∠MON的度数． 4．已知∠AOB＝120°，OC、OD是过点O的射线，射线OM、ON分别平分∠AOC和∠DOB． （1）如图①，若OC、OD是∠AOB的三等分线，则∠MON＝　 　 ° （2）如图②，若∠COD＝40°，∠AOC≠∠DOB，则∠MON＝　 　 ° （3）如图③，在∠AOB内，若∠COD＝a（0°＜a＜60°），则∠MON＝　 　 ° （4）将（3）中的∠COD绕着点O逆时针旋转到∠AOB的外部（0°＜∠AOC＜180°，0°＜∠BOD＜180°），求此时∠MON的度数． 5．已知∠AOB、∠COD共顶点O，OM平分∠AOD，ON平分∠COB． （1）如图1，当OB与OD重合时，若∠AOB＝130°，∠MON＝25°，求∠BOC的度数； （2）将∠COD绕点O逆时针旋转至图2所示位置，若∠BOD＝60°，∠AOC＝10°，求∠MON的度数． 6．已知：如图，OB、OC分别为定角∠AOD内部的两条动射线 （1）当OB、OC运动到如图1的位置时，∠AOC+∠BOD＝100°，∠AOB+∠COD＝40°，求∠AOD的度数； （2）在（1）的条件下（图2），射线OM、ON分别为∠AOB、∠COD的平分线，当∠COB绕着点O旋转时，下列结论：①∠AOM﹣∠DON的值不变；②∠MON的度数不变．可以证明，只有一个是正确的，请你作出正确的选择并求值． （3）在（1）的条件下（图3），OE、OF是∠AOD外部的两条射线，∠EOB＝∠COF＝90°，OP平分∠EOD，OQ平分∠AOF，当∠BOC绕着点A旋转时，∠POQ的大小是否会发生变化？若不变，求出其度数；若变化，说明理由． 7．如图1，射线OC，OD在∠AOB的内部，且∠AOB＝150°，∠COD＝30°，射线OM，ON分别平分∠AOD，∠BOC． （1）若∠AOC＝60°，试通过计算比较∠NOD和∠MOC的大小； （2）如图2，若将图1中∠COD在∠AOB内部绕点O顺时针旋转． ①旋转过程中∠MON的大小始终不变，求∠MON的值； ②如图3，若旋转后OC恰好为∠MOA的角平分线，试探究∠NOD与∠MOC的数量关系． 8．已知O为直线AB上的一点，∠COE是直角，OF平分∠AOE（图中所说的角都是小于平角的角）． （1）如图1，若∠COF＝58°，求∠BOE的度数； （2）将∠COE绕点O顺时针旋转到如图2所示的位置时，若∠COF＝m°，求∠BOE的度数（用含字母m的代数式表示）． 9．已知O是AB上的一点，从O点引出射线OC、OE、OD，其中OE平分∠BOC． （1）如图1，若∠COD是直角，∠DOE＝15°，求∠AOE的度数； （2）如图1，若∠AOC＝∠BOD，∠DOE＝15°，求∠AOE的度数； （3）将图1中的∠COD（∠COD仍是直角）绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，若∠AOC＝α，∠DOE＝β，请猜想α与β之间存在什么样的数量关系，写出你的结论，并说明理由． 10．如图，O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE是∠BOC的平分线． （1）如图1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度数； （2）在图1中，若∠AOC＝α，直接写出∠DOE的度数（用含α的代数式表示）； （3）将图1中的∠COD按顺时针方向旋转至图2所示的位置．探究∠AOC与∠DOE之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由； 11．以直线AB上点O为端点作射线OC，使∠BOC＝60°，将直角△DOE的直角顶点放在点O处． （1）如图1，若直角△DOE的边OD放在射线OB上，则∠COE＝　 　 ； （2）如图2，将直角△DOE绕点O按逆时针方向转动，使得OE平分∠AOC，说明OD所在射线是∠BOC的平分线； （3）如图3，将直角△DOE绕点O按逆时针方向转动，使得∠COD∠AOE．求∠BOD的度数． 12．如图，平面上顺时针排列射线OA、OB、OC、OD，∠BOC＝90°，∠AOD在∠BOC外部且为钝角，∠AOB：∠COD＝7：8，射线OM、ON分别平分∠AOC、∠AOD．（题目中所出现的角均小于180°且大于0°） （1）若∠AOD＝120°，则∠AOM＝　 　 ，∠CON＝　 　 ； （2）当∠AOD的大小发生改变时，∠AOM和7∠CON之间是否存在着固定的数量关系？如果存在、求出它们之间的数量关系；如果不存在，请说明理由； （3）在（1）的条件下，将∠AOB绕点O以每秒6°的速度顺时针旋转得到∠A1OB1（OA、OB的对应边分别是OA1、OB1），同时将∠COD绕点O以每秒2°的速度顺时针旋转得到∠C1OD1（OC、OD的对应边分别是OC1、OD1），当OA1第2次与OC1重合时结束，若旋转时间为t秒，求出t为何值时，∠A1OC1∠B1OD1？ 13．已知，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC． （1）如图1，若∠AOC＝37°，求∠DOE的度数； （2）将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置； ①探究∠AOD（小于平角）和∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②在∠AOC（小于平角）的内部有一条射线OF，满足∠AOD＝∠COF，试确定∠AOF与∠BOE的度数之间的关系，并说明理由． 14．如图1，将一副三角板的两个锐角顶点放到一块，∠AOB＝45°，∠COD＝30°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线． （1）当∠COD绕着点O逆时针旋转至射线OB与OC重合时（如图2），则∠MON的大小为 　 　 ； （2）如图3，在（1）的条件下，继续绕着点O逆时针旋转∠COD，当∠BOC＝15°时，则∠MON的大小为 　 　 ； （3）在∠COD绕点O顺时针旋转到∠AOB内部时，请你画出图形，∠MON的度数是否发生变化，若变化请说明理由，若不变请求出∠MON的度数． 15．已知O为直线AB上的一点，射线OA表示正北方向，∠COE＝90°，射线OF平分∠AOE． （1）如图1，若∠BOE＝110°，则∠COF的补角度数＝　 　 ； （2）若将∠COE绕点O旋转至图2的位置，试直接写出∠COF和∠BOE之间的数量关系 　 　 ； （3）若将∠COE绕点O旋转至图3的位置，若3∠COF﹣2∠BOE＝36°，求∠FOC的度数． 16．如图，∠COD在∠AOB的内部，且∠AOB＝150°，∠COD∠AOB，射线OE平分∠AOD． （1）如图1，若∠AOC＝70°，求∠COE的度数； （2）如图2，OF平分∠BOC，将∠COD绕着点O在∠AOB的内部旋转，若OD恰好平分∠BOF时，求∠AOE的度数． 【例3】动三角形 1．将直角三角板OMN的直角顶点O放在直线AB上，射线OC平分∠AON． （1）如图，若∠BON＝60°，求∠AOM的度数； （2）若∠AOM＝2∠COM，求∠AON的度数； （3）将直角三角板OMN绕顶点O按逆时针方向旋转，在旋转过程中：当∠BON＝120°时，求∠COM的度数． 【练】 2．将一副直角三角板ABC，AED，按如图1放置，其中B与E重合，∠BAC＝45°，∠BAD＝30°． （1）如图1，点F在线段CA的延长线上，求∠FAD的度数； （2）将三角板AED从图1位置开始绕A点逆时针旋转，AM，AN分别为∠BAE，∠CAD的角平分线．如图2，当AE旋转至∠BAC的内部时，求∠MAN的度数． 3．已知O为直线AB上一点，将一直角三角板OMN的直角顶点放在点O处．射线OC平分∠MOB． （1）如图1，若∠AOM＝40°，求∠CON的度数； （2）在图1中，若∠AOM＝α，直接写出∠CON的度数（用含α的代数式表示）； （3）将图1中的直角三角板OMN绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，当∠AOC＝3∠BON时，求∠AOM的度数． 4．已知将一副三角板（直角三角板ABC和直角三角板CDE，∠ACB＝90°，∠ECD＝60°）如图1摆放，点D、A、C在一条直线上，将直角三角板CDE绕点C逆时针方向转动，变化摆放如图位置． （1）如图2，当∠ACD为多少度时，CB恰好平分∠ECD？ （2）如图3，当三角板CDE摆放在∠ACB内部时，作射线CF平分∠ACE，射线CG平分∠BCD，如果三角形CDE在∠ACB内绕点C任意转动，∠FCG的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由． （3）如图4，当三角板CDE转到∠ACB外部时，射线CF、CG仍然分别平分∠ACE、∠BCD，在旋转过程中，（2）中的结论是否成立？如果结论成立，请说明理由；如果不成立，请写出你的结论并根据图4说明理由． 【例4】告诉“旋转角度” 1．如图，已知∠AOC＝160°，OB是∠AOC内的射线，且∠AOB∠BOC，射线OD、OE将∠AOC分割，使得∠AOD：∠BOD：∠COE＝1：2：3． （1）求∠DOE； （2）如图2，作∠BOD，∠EOC的平分线OM，ON．求∠MON的值； （3）如图3，将图（1）中∠DOE绕点O逆时针旋转α°（60°＜α＜80°）得到∠D'OE'，作∠COE'，∠BOD'的角平分线OG，OH．请判断∠GOH的值是否会随着α改变而改变，如果不变，请直接写出∠GOH的值，如果改变请说明理由． 【练】 2．已知点O是直线AB上一点，∠COE＝60°，OF是∠AOE的平分线． （1）当点C，E在直线AB的同侧，且OF在∠COE的内部时（如图1所示），设∠BOE﹣2∠COF＝α，求α的大小； （2）当点C与点E，F在直线AB的两旁（如图2所示），（1）中的结论是否仍然成立？请给出你的结论，并说明理由； （3）将图2中的射线OF绕点O顺时针旋转m°（0＜m＜180），得到射线OD，设∠AOC＝n°，若，则∠DOE的度数是　 　 （用含n的式子表示）． 3．（1）探究：哪些特殊的角可以用一副三角板画出？ 在①135°，②125°，③75°，④25°中，小明同学利用一副三角板画不出来的特殊角是 　 　 ；（填序号） （2）在探究过程中，爱动脑筋的小明想起了图形的运动方式有多种．如图，他先用三角板画出了直线EF，然后将一副三角板拼接在一起，其中45°角（∠AOB）的顶点与60°角（∠COD）的顶点互相重合，且边OA、OC都在直线EF上固定三角板COD不动，将三角板AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α，当边OB与射线OF第一次重合时停止． ①当OB平分∠EOD时，求旋转角度α； ②是否存在∠BOC＝2∠AOD？若存在，求旋转角度α；若不存在，诸说明理由． 4．已知O为直线AB上一点，将一直角三角板COD的直角顶点放在点O处． （1）如图1，若射线OE平分∠BOC，∠AOC＝40°，求∠DOE的度数； （2）如图2，将三角板绕点O顺时针旋转，若OC恰好平分∠AOE，试说明OD平分∠BOE； （3）如图3，当∠AOE＝120°时，将直角三角板COD绕顶点O顺时针旋转一个角度α（0°≤α≤180°），在旋转过程中，当时，直接写出∠DOE的度数． 5．如图1，直角三角形DEF与直角三角形ABC的斜边在同一直线上，∠EDF＝30°，∠ABC＝40°，CD平分∠ACB，将△DEF绕点D按逆时针方向旋转，记∠ADF为α（0°＜α＜180°），在旋转过程中； （1）如图2，当∠α＝　 　 时，DE∥BC，当∠α＝　 　 时，DE⊥BC； （2）如图3，当顶点C在△DEF内部时（不包含边界），边DF、DE分别交BC、AC的延长线于点M、N ①此时∠α的度数范围是　 　 ． ②∠BMD与∠AND度数的和是否变化？若不变，求出∠BMD与∠AND的度数和；若变化，请说明理由； ③若使得∠AND≥2∠BMD，求∠α的度数范围． 6．已知O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC． （1）如图①，若∠AOC＝46°，求∠DOE的度数； （2）在图①中，若∠AOC＝α，直接写出∠DOE的度数（用含α的代数式表示）； （3）将图①中的∠DOC绕顶点O顺时针方向旋转至图②所示的位置，探究∠AOC与∠DOE度数之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由． 7．如图，已知∠AOC＝80°，∠BOD＝30°，若OM平分∠AOB，ON平分∠COD． （1）如图1，当OC与OB重合时，求∠MON的度数； （2）如图2，当∠BOD从图1位置开始绕点O顺时针旋转m（0＜m＜90）时，∠BOM﹣∠DON的值是否为定值？若是定值，求出∠BOM﹣∠DON的值；若不是定值，请说明理由； （3）如图2，当∠BOD从图1位置开始绕点O顺时针旋转m（30＜m＜70）时，满足∠AOD+∠MON＝7∠BOD，求m的值． 8．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起． （1）如图（1），若∠BOD＝35°，则∠AOC＝　 　 ；若∠AOC＝135°，则∠BOD＝　 　 ；（直接写出结论即可） （2）如图（2），若∠AOC＝140°，则∠BOD＝　 　 ；（直接写出结论即可） （3）猜想∠AOC与∠BOD的大小关系，并结合图（1）说明理由； （4）三角尺AOB不动，将三角尺COD的OD边与OA边重合，然后绕点O按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度，当锐角∠AOD等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出∠AOD角度所有可能的值，不用说明理由． 9．已知PQ∥MN，A为MN上一点，B为PQ上一点，C为PQ，MN之间的一点，过C作直线CH，过A作AG∥CH，分别交以B为顶点的∠EBF的两边于E、F两点． （1）如图（1）所示，当∠EBF＝90°，∠BEG＝45°，则∠CFB＝　 　 ． （2）如图（2）所示，∠FBE为任意角时，若BF与AE恰好分别平分∠CBQ和∠CAM，且∠ACB＝60°，求∠CFB的度数． （3）如图（3）所示，在（2）的条件下，∠CAN＝40°，在∠FBE旋转的过程中，△BCF的三边与AC平行或垂直时，直接写出旋转的角度． 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $