精品解析： 江苏省苏州市相城区蠡口中学2024-2025学年八年级下学期月考数学试卷（5月份）

2024-2025学年江苏省苏州市相城区蠡口中学八年级（下） 月考数学试卷（5月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列代数式中，是分式的为（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况是（ ）． A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根 4. 已知，则代数式的值为（ ） A 1 B. C. D. 5. 一组数据的样本容量是50，若其中一个数出现的频率为0.5，则该数出现的频数为（ ） A. 20 B. 25 C. 30 D. 100 6. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 掷一枚骰子，点数是6的一面朝上 B. 下雨天，每个人都打着雨伞 C. 若，则 D. 若实数，则 7. 如图，在中，，平分交于点，点在上，且，连接，为的中点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，，，，则的长度为（ ） A. 2 B. 6 C. 3 D. 4 9. 如果有点在反比例函数（）的图像上，如果，则、、的大小关系是（　　） A. B. C. D. 不能确定 10. 如图，点A，在反比例函数的图象上，轴，垂足为，．若四边形的面积为8，，则的值为（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_______________． 12. 若分式的值为0，则实数的值为__________． 13. 在菱形中，，，则菱形的面积为______． 14. 已知是方程的一个根，则代数式的值为___________． 15. 已知是线段的黄金分割点，，，则______． 16. 研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，其图象如图所示．学生小雪原来佩戴的眼镜焦距为0.25米，经过一段时间的矫正治疗，加之注意用眼卫生，小雪的镜片焦距调整到0.5米，则其近视眼镜的度数减少了______度． 17. 如图，已知：，，，当的长为________时，与相似． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形，，点D为x轴上的一个动点，以为边在右侧作等边，连接，则的最小值为______. 三、解答题：本题共11小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 选择适当的方法解下列方程：． 20. 计算：． 21. 先化简，后求值，其中． 22. 已知：如图，在中，E，F分别是和的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，当与满足怎样关系时，四边形矩形，并说明理由． 23 如图，．求证：． 24. 如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图： （1）作出以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得到的； （2）点是反比例函数与正比例函数的一个交点，请求出正比例函数与反比例函数的表达式，并在图中画出这两个函数图象； （3）请根据（）中的图象，直接写出的自变量取值范围______． 25. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若是方程的两根，且，求的值． 26. 某校初二年级的同学乘坐大巴车去展览馆参观，展览馆距离该校12千米，1号车出发3分钟后，2号车才出发，结果两车同时到达，已知2号车的平均速度是1号车的平均速度的1.2倍，求2号车的平均速度． 27. 通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段：当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： （1）求注意力指标数y随时间（分钟）的函数表达式； （2）已知为了让学生在听数学综合题讲解时能完全理解和接受，注意力指标不低于30，而刘老师在一节课上讲解一道数学综合题需要9分钟，则这节课刘老师至多能讲解几道数学综合题能让学生完全理解和接受． 28. 如图，已知函数（x>0）的图象经过点A，B，点A的坐标为(1，2)．过点A作AC∥y轴，AC＝1（点C位于点A的下方），过点C作CD∥x轴，与函数的图象交于点D，过点B作BE⊥CD，垂足E在线段CD上，连接OC，OD． （1）求△OCD的面积； （2）当BE＝AC时，求CE的长． 29. 如图，点O为矩形的对称中心，，点E，F，G分别从A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为，点F的运动速度为，点G的运动速度为当点F到达点（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，关于直线的对称图形是，设点E，F，G运动的时间为（单位：s） （1）当______s时，四边形为正方形； （2）若以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年江苏省苏州市相城区蠡口中学八年级（下） 月考数学试卷（5月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列代数式中，是分式的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，即一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式．据此解答即可． 【详解】解：A．是整式，不符合题意； B．是整式，不符合题意； C．是整式，不符合题意； D．是分式，符合题意； 故选：D． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算．根据二次根式的运算法则，逐一进行计算，判断即可． 【详解】解：A、，选项错误； B、，选项错误； C、，选项正确； D、不能合并，选项错误； 故选C． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ）． A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式 ，时，方程没有实数根；时，方程有两个不相等的实数根；时，方程 有两个相等的实数根，将相应的系数代入判别式便可判断. 【详解】∵ 根据一元二次方程根的判别式 ，当时，原方程没有实数根. 故选A 【点睛】本题旨在考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握该知识点是解此类题目的关键. 4. 已知，则代数式的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的求值，熟练掌握分式求值的方法是解题的关键．首先将变形为，然后将代入求值即可． 【详解】解：∵， ， 故选：B． 5. 一组数据样本容量是50，若其中一个数出现的频率为0.5，则该数出现的频数为（ ） A. 20 B. 25 C. 30 D. 100 【答案】B 【解析】 【分析】根据频率、频数的关系：频数＝频率×数据总和，可得这一小组的频数． 【详解】解：∵容量是的，某一组的频率是0.5， ∴样本数据在该组的频数 ． 故答案为B． 【点睛】本题考查频率、频数、总数的关系，属于基础题，比较简单，注意熟练掌握：频数＝频率×数据总和． 6. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 掷一枚骰子，点数是6的一面朝上 B. 下雨天，每个人都打着雨伞 C. 若，则 D. 若实数，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是不等式的性质，化简绝对值，必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据必然事件的概念（必然事件指在一定条件下一定发生的事件）可判断正确答案． 【详解】解：A、掷一枚骰子，点数是6一面朝上，原说法是随机事件，不符合题意； B、下雨天，不一定每个人都打着雨伞，原说法是随机事件，不符合题意； C、若，则，原说法是不可能事件，不符合题意； D、若实数，则，是必然事件，符合题意； 故选：D． 7. 如图，在中，，平分交于点，点在上，且，连接，为的中点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的性质，根据等腰三角形的三线合一得到，根据三角形中位线定理计算得到答案，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，平分， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴ 故选：． 8. 如图，中，，，，，则的长度为（ ） A. 2 B. 6 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 运用平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】解：， , 又，，， ， ， ∴， 故选：B． 9. 如果有点在反比例函数（）的图像上，如果，则、、的大小关系是（　　） A. B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意确定反比例函数图像所在象限，并确定每个象限内图像的增减性，再利用，判断出每个点所在象限，进而得出结论． 【详解】解：∵反比例函数， ∴函数图像在二、四象限，并且在每个象限内y随x的增大而增大， ， A、B两点在第四象限，C在第二象限， ，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图像的增减性，解题的关键是掌握反比例函数图像所在象限，并且在每个象限内的增减性． 10. 如图，点A，在反比例函数的图象上，轴，垂足为，．若四边形的面积为8，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 设点，可得，，从而得到，再由．可得点，从而得到，然后根据求解即可． 【详解】解：设点，可得，， ∵， ，， 轴，， ∴轴， ∴， ∴， ∵，四边形的面积为8， ∴，解得：． 故选：D． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 若式子在实数范围内有意义，则取值范围是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数求解即可． 【详解】解：要使式子在实数范围内有意义，则， 即． 故答案为： 12. 若分式的值为0，则实数的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式值为零的条件，根据分式的值为零的条件，分子为零且分母不为零列出不等式组求解即可． 【详解】解：分式的值为0， 则有． 解方程，得或． 当时，分母，分式无意义，故舍去． 因此． 故答案为：． 13. 在菱形中，，，则菱形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的面积等于其对角线积的一半定理的应用． 由菱形的对角线，的长，根据菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得菱形的面积． 【详解】解：∵菱形的对角线，， ∴菱形的面积为：， 故答案为：． 14. 已知是方程的一个根，则代数式的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，由是方程的一个根，得到，则，然后利用整体代入求值即可， 【详解】解：将a代入代数式可得： ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 已知是线段的黄金分割点，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查黄金分割比，解决此题的关键是熟记黄金分割比的公式；根据公式列出等式，计算出答案即可； 【详解】解：∵，， ∴， 解得：(负值舍去)； 故答案为． 16. 研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，其图象如图所示．学生小雪原来佩戴的眼镜焦距为0.25米，经过一段时间的矫正治疗，加之注意用眼卫生，小雪的镜片焦距调整到0.5米，则其近视眼镜的度数减少了______度． 【答案】200 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．设函数的解析式为，由时，可求k，进而可求函数关系式，然后把及代入解析式，即可求得答案． 【详解】解：设函数的解析式为， ∵500度近视镜片的焦距为0.2米， ∴， 解得， ∴函数的解析式为， ∴当时，， ∴当时，， ， ∴小雪的近视眼镜的度数减少了200度． 故答案为：200． 17. 如图，已知：，，，当的长为________时，与相似． 【答案】或 【解析】 【分析】首先利用勾股定理求出AC的长，再根据如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．在Rt△ABC和Rt△ACD，直角边的对应需分情况讨论即可. 【详解】解：∵AD=2，CD=， ∴AC==． 要使这两个直角三角形相似，有两种情况： （1）当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有＝，∴AB=3； （2）当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有＝，∴AB=3． 即当AB的长为3或3时，这两个直角三角形相似． 故答案为3或3. 【点睛】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比. 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形，，点D为x轴上的一个动点，以为边在右侧作等边，连接，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】以为边在右侧作等边三角形，连接并延长交y轴于点M，过点O作于点H，利用全等三角形的性质证明，所以，推出点E在过定点G且与垂直的直线上运动，即点E在直线上运动，求出的长即可解决问题． 【详解】解：如图，以为边在右侧作等边三角形， ∴， 连接并延长交y轴于点M，过点O作于点H， 矩形中， ∵， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点E在过定点G且与垂直的直线上运动，即点E在直线上运动， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 当点E与H不重合时，， 当点E与H重合时，， 综上所述：， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，正确理解图形的运动特点并正确画出图形辅助解决问题是解题的关键． 三、解答题：本题共11小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 选择适当的方法解下列方程：． 【答案】，． 【解析】 【详解】试题分析：利用因式分解法求解即可． 试题解析：分解因式得：（x-4）（x+2）=0， 可得x-4=0或x+2=0， 解得：x1=4，x2=-2． 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的加减混合运算，正确掌握二次根式的性质化简及加减法计算法则是解题的关键． 分别化简二次根式，再计算加减法． 【详解】解： ． 21. 先化简，后求值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先通分，因式分解，约分进行化简，后代入求值即可． 【详解】解：原式 当时， 原式 ． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式化简的基本技能是解题的关键． 22. 已知：如图，在中，E，F分别是和的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，当与满足怎样关系时，四边形为矩形，并说明理由． 【答案】（1）详见解析 （2）当时，四边形为矩形，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的判定即可得证； （2）补充条件为，结合点E为的中点，利用三线合一性质可得，由（1）得四边形为平行四边形，利用矩形的判定即可得证． 本题考查了平行四边形的性质与判定、矩形的判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定，矩形的判定是解题的关键． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ， ，F分别是和的中点， ，， ， 又， 四边形为平行四边形． 【小问2详解】 解：当时，四边形为矩形，理由如下： 如图， ，点E为的中点， ， ， 由（1）得，四边形为平行四边形， 四边形为矩形． 23. 如图，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理即可证明． 【详解】证明：， ， ， 又， ． 24. 如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图： （1）作出以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得到的； （2）点是反比例函数与正比例函数的一个交点，请求出正比例函数与反比例函数的表达式，并在图中画出这两个函数图象； （3）请根据（）中的图象，直接写出的自变量取值范围______． 【答案】（1）图见解析； （2）；；图见解析； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查作图—旋转变换及反比例函数，一次函数的交点问题，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）作出，的对应点即可得到； （）用待定系数法求出函数表达式，再画函数图象即可； （）观察函数图象可得解集． 【小问1详解】 解：如图： ∴即为所求； 【小问2详解】 解：把代入得：， 解得， ∴反比例函数的表达式为； 把代入得：， 解得， ∴正比例函数的表达式为； 画出函数图象如下： 【小问3详解】 解：根据图象可得，的解集为：或； 故答案为：或． 25. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若是方程的两根，且，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）根据题意只需要证明即可； （2）由根与系数的关系得到，，再根据得到关于m的方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 证明：由题意得， ， ∴无论取何值，方程总有实数根； 【小问2详解】 解：∵是关于的一元二次方程的两根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得． 26. 某校初二年级的同学乘坐大巴车去展览馆参观，展览馆距离该校12千米，1号车出发3分钟后，2号车才出发，结果两车同时到达，已知2号车的平均速度是1号车的平均速度的1.2倍，求2号车的平均速度． 【答案】48千米/小时． 【解析】 【分析】设1号车的平均速度为x千米/小时，则2号车的平均速度为1.2x千米/小时，根据时间=路程÷速度结合1号车比2号车多用3分钟，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设1号车的平均速度为x千米/小时，则2号车的平均速度为1.2x千米/小时， 依题意，得：， 解得：x=40， 经检验，x=40是原方程的解，且符合题意， ∴1.2x=48． 答：2号车的平均速度为48千米/小时． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 27. 通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段：当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： （1）求注意力指标数y随时间（分钟）的函数表达式； （2）已知为了让学生在听数学综合题讲解时能完全理解和接受，注意力指标不低于30，而刘老师在一节课上讲解一道数学综合题需要9分钟，则这节课刘老师至多能讲解几道数学综合题能让学生完全理解和接受． 【答案】（1） （2）这节课刘老师至多能讲解3道数学综合题能让学生完全理解和接受 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）当时，，解得，当时，，解得，根据图象可知，注意力指标不低于30的时间为分钟，再根据讲解一道数学综合题需要9分钟即可得到答案． 本题主要考查了一次函数和反比例函数的应用，运用待定系数法求解出相关函数表达式以及正确的理解图象是解题的关键． 【小问1详解】 解：图象经过点， 设， 则，解得， ； 当时，， ， ， 当时，图象是线段AB，则该段函数是一次函数，点， 设， 则， 解得， ； 当时，， ， 【小问2详解】 当时，， ， 当时，， ， 注意力指标不低于30的时间为分钟， ， 这节课刘老师至多能讲解3道数学综合题能让学生完全理解和接受． 28. 如图，已知函数（x>0）的图象经过点A，B，点A的坐标为(1，2)．过点A作AC∥y轴，AC＝1（点C位于点A的下方），过点C作CD∥x轴，与函数的图象交于点D，过点B作BE⊥CD，垂足E在线段CD上，连接OC，OD． （1）求△OCD的面积； （2）当BE＝AC时，求CE的长． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据函数（x>0）的图象经过点A(1，2)，求函数解析式，再有AC∥y轴，AC＝1求出C点坐标，然后根据CD∥x轴，求D点坐标，从而可求CD长，最后利用三角形面积公式求出△OCD的面积； （2）通过BE＝AC，求得B点坐标，进而求得CE长． 【详解】解：（1）∵函数（x>0）的图象经过点A(1，2)， ∴，即k=2 ∵AC∥y轴，AC＝1， ∴点C的坐标为（1，1） ∵ CD∥x轴，点D在函数图像上， ∴点D的坐标为（2，1） ∴； （2）∵BE＝AC， ∴BE＝ ∵BE⊥CD， ∴点B的纵坐标是， ∴点B的横坐标是， ∴CE=． 【点睛】本题考查反比例函数综合题；解题关键是熟练运用反比例函数的性质求出解析式和点的坐标． 29. 如图，点O为矩形的对称中心，，点E，F，G分别从A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为，点F的运动速度为，点G的运动速度为当点F到达点（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，关于直线的对称图形是，设点E，F，G运动的时间为（单位：s） （1）当______s时，四边形为正方形； （2）若以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握相似三角形的有关知识． （1）由可求得结果； （2）由题意可分当时，可得，进而求得t的值，当时，同理可得出结果． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 由题意得：， ∴， ∵关于直线的对称图形是， ∴， 若使四边形为正方形，则需满足当时即可， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ， ∴或， 由（1）可知：，则有， 当时， ∴， ∴， 解得：； 当时， ∴， ， （舍去）， 综上所述：或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $