24.4第2课时　解直角三角形的应用——仰角、俯角课件2025-2026学年华东师大版九年级数学上册

24.4　解直角三角形 第2课时　解直角三角形的应用——仰角、俯角 第24章　解直角三角形 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）. 分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，α=30°,β=60° Rt△ABD中，α=30°，AD＝120， 所以利用解直角三角形的知识求出 BD；类似地可以求出CD，进而求出BC． A B C D α β 仰角 水平线 俯角 讲授新课 仰角、俯角问题 解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120． 答：这栋楼高约为277.1m A B C D α β 解：依题意可知，在Rt∆ADC中 所以树高为19.2+1.72≈20.9(米) 3.为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角∠ACD=52°，已知人的高度是1.72米，求树高(精确到0.1米）. A D B E C 铅直线 水平线 视线 视线 仰角 俯角 1.在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 课堂小结 3.认真阅读题目，把实际问题去掉情境转化为数学中的几何问题.把四边形问题转化为特殊四边形（矩形或平行四边形）与三角形来解决. 2.梯形通常分解成矩形和直角三角形（或分解成平行四边形与直角三角形）来处理. 1. 如图，电线杆AB的中点C处有一标志物，在地面点D处测得标志物的仰角为α.若点D到电线杆底部点B的距离为a米，则电线杆AB的长可表示为（　D　） A. 米 B. 米 C. 2a· cos α米 D. 2a·tanα米 （第1题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2. 如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点A测得该楼顶部点C的仰角为60°，测得底部点B的俯角为45°，点A与楼BC的水平距离AD＝50m，则这栋楼的高度为 　（50＋50 ）　m（结果保留根号）. （第2题） （50＋50 ）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3. 如图①所示为吉林省广播电视塔.某直升飞机于空中A处探测到该塔，此时飞行高度AB＝873m，如图②，从直升飞机上看塔尖C的俯角∠EAC＝37°，看塔底D的俯角∠EAD＝45°，求塔的高度CD（结果精确到0.1m，参考数据： sin 37°≈0.60， cos 37°≈0.80，tan37°≈0.75）. （第3题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解：过点C作CF⊥AB，垂足为F. ∵ AB⊥BD，CF⊥AB，DC⊥BD，∴ ∠CDB＝∠B＝∠CFB＝90°.∴ 四边形CDBF是矩形.∴ BF＝CD，CF＝BD. ∵ CF∥BD∥AE，∴ ∠EAC＝∠ACF＝37°，∠EAD＝∠ADB＝45°.∵ 在Rt△ABD中，AB＝873m， ∴ 易得BD＝CF＝873m.∵ 在Rt△ACF中，tan∠ACF＝ ，∴ AF＝tan∠ACF·CF＝tan37°×873≈0.75×873＝654.75（m）.∴ CD＝FB＝AB－AF＝873－654.75≈218.3（m）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4. 如图，为了测量某电子厂AB的高度，小明用高1.8m的测量仪EF测得顶端A的仰角为45°，小军在小明的前面5m处用高1.5m的测量仪CD测得顶端A的仰角为53°，则电子厂AB的高度约为（参考数据： sin 53°≈ ， cos 53°≈ ，tan53°≈ ）（　A　） A. 22.7m B. 22.4m C. 21.2m D. 23.0m A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5. 如图，一棵珍贵的乌稔树被台风吹歪了，出于对它的保护，需要测量它的高度.现采取以下措施：在地面选取一点C，测得∠BCA＝45°，AC＝20米，∠BAC＝60°，则这棵乌稔树的高AB约为（参考数据： ≈1.4， ≈1.7）（　B　） A. 7米 B. 14米 C. 20米 D. 40米 （第5题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6. 如图，在一次巡航中，轮船和飞机的航向相同（AP∥BD），当轮船航行到与岛P的距离为20km的点A处时，飞机在点B处测得轮船的俯角是45°；当轮船航行到点C处时，飞机在轮船正上方的点E处，此时EC＝5km；当轮船到达岛P时，测得点D处飞机的仰角为30°，则飞机飞行的距离BD为 　（25＋5 ）　km. （第6题） （25＋5 ）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7. 如图，某飞机于空中A处探测到某地面目标在点B处，此时飞行高度AC为1200米，从飞机上看到点B的俯角为37°，飞机保持飞行高度不变，且与地面目标分别在两条平行直线上同向运动.当飞机飞行943米到达点D时，地面目标此时运动到点E处，从点E看到点D的仰角为47.4°，则地面目标运动的距离BE约为 　423　米（参考数据：tan37°≈ ，tan47.4°≈ ）. 423　 （第7题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8. 如图，为了测量山坡上一棵树PQ的高度，小明在点A处利用测角仪测得树顶P的仰角为45°，然后他沿着正对树PQ的方向前进10m到达点B处，此时测得树顶P和树底Q的仰角分别是60°和30°，设PQ垂直于AB，且垂足为C. 求： （1） ∠BPQ的度数. 解：（1） 由题意，得PC⊥AC，∠PBC＝60°.∴ 在Rt△PCB中，∠BPQ＝90°－60°＝30°. （第8题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （2） 树PQ的高度（结果精确到0.1m，参考数据： ≈1.73）. 解：（2） 由题意，得∠A＝45°，∠QBC＝30°，AB＝10m.设CQ＝xm，则在Rt△QCB中，BQ＝ ＝2xm，BC＝ ＝ xm.∵ ∠PBQ＝∠PBC－∠QBC＝30°，∠BPQ＝30°，∴ ∠PBQ＝∠BPQ. ∴ PQ＝BQ＝2xm.∴ PC＝PQ＋CQ＝3xm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ∴ 在Rt△PCA中，AC＝ ＝PC＝3xm.由AC－BC＝AB，得3x－ x＝10，解得x＝5＋ .∴ PQ＝2× ≈15.8（m）.∴ 树PQ的高度约为15.8m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9. 无人机在实际生活中应用广泛.如图，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中点P处，测得楼CD的楼顶点D处的俯角为45°，测得楼AB的楼顶点A处的俯角为60°.楼AB和楼CD之间的距离BC为100米，楼AB的高度为10米，从楼AB的点A处测得楼CD的点D处的仰角为30°（点A、B、C、D、P在同一平面内）. （1） ∠APD＝ 　75°　，∠ADC＝ 　60°　. 75°　 60°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （2） 求楼CD 的高度（结果保留根号）. 解：（2） 如图，过点A作AE⊥CD于点E，则易得AE＝BC＝100米，EC＝AB＝10米，∠AED＝90°.在Rt△AED中，∵ ∠DAE ＝ 30°，∴ DE＝AE·tan30°＝100× ＝ （米）.∴ CD＝DE＋EC＝ 米.∴ 楼CD的高度为 米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （3） 求此时无人机距离地面BC的高度. 解：（3） 如图，过点P作PG⊥BC于点G，交AE于点F，则易得∠PFA＝∠AED＝90°，FG＝AB＝10米，MN∥AE. ∴ ∠PAF＝∠MPA＝60°.∵ ∠ADE＝60°，∴ ∠PAF＝∠ADE. ∵ ∠DAE＝30°，∴ ∠PAD＝∠PAF－∠DAE＝30°.∵ ∠APD＝75°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ∴ ∠ADP＝180°－∠PAD－∠APD＝75°.∴ ∠APD＝∠ADP. ∴ AP＝DA. ∴ △APF≌△DAE. ∴ PF＝AE＝100米.∴ PG＝PF＋FG＝100＋10＝110（米）.∴ 此时无人机距离地面BC的高度为110米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 $