24.4第1课时　解直角三角形及其简单应用课件2025-2026学年华东师大版九年级数学上册

24.4　解直角三角形 第1课时　解直角三角形及其简单应用 第24章　解直角三角形 比萨铁塔倾斜问题，设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为点C（如图），在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m. 所以∠A≈5°28′ 可以求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直中心线的夹角．你愿意试着计算一下吗？ A B C A B C 讲授新课 已知两边解直角三角形及解直角三角形的应用 一 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角a一般要满足50°≤a≤75°.现有一个长6m的梯子，问： （1）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角a等于多少（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？ （2）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0.1m）？ 对于问题（1），当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与地面所成的角a的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已知AC＝2.4，斜边AB＝6，求锐角a的度数 由于 利用计算器求得 a≈66° 因此当梯子底墙距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角大约是66°. 由50°＜66°＜75°可知，这时使用这个梯子是安全的． A B C α 在图中的Rt△ABC中， （1）根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ A B C α 6 =75° 已知一边和一锐角解直角三角形 二 在图中的Rt△ABC中， （2）根据AC＝2.4，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ A B C α 6 2.4 由 得 问题（2）可以归结为：在Rt △ABC中，已知∠A＝75°，斜边AB＝6，求∠A的对边BC的长． 问题（2）当梯子与地面所成的角a为75°时，梯子顶端与地面的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度． 因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是5.8m 所以 BC≈6×0.97≈5.8 由计算器求得 sin75°≈0.97 A B α C 事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素． A B a b c C 解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程． （2）两锐角之间的关系 ∠A＋∠B＝90° （3）边角之间的关系 （1）三边之间的关系 （勾股定理） A B a b c C 在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： 课堂小结 1．数形结合思想. 方法：把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，构造出直角三角形. 解题思想与方法小结： 2．方程思想. 3．转化（化归）思想. 1. 如图所示为某博物馆大厅电梯的截面图，AB的长为12米，AB与AC的夹角为α，则高BC为（　A　） A. 12 sin α米 B. 12 cos α米 C. 米 D. 米 （第1题） A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2. 甲、乙两人同时从同一地点出发，甲往北偏东45°方向走了120m，乙往南偏东45°方向走了90m，这时甲、乙两人相距 　150　m. 3. 如图，小明在一条东西走向的公路的点O处，测得图书馆A在他的北偏东60°方向，且与他相距200m，则图书馆A到公路的距离AB为 　100　m. （第3题） 150　 100　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. 如图，为了测量东西走向的公路桥梁AB的长度，数学兴趣小组在公路桥梁南侧选定观测点C，测得点A在点C的北偏西37°方向上，点B在点C的北偏东53°方向上.若测得AC＝240米，求公路桥梁AB的长（参考数据： sin 37°≈0.60， cos 37°≈0.80，tan37°≈0.75）. （第4题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解：作CH⊥AB于点H，则∠AHC＝90°.在△ABC中，∠ACB＝37°＋53°＝90°，∴ ∠CAB＋∠ABC＝90°.∵ ∠ACH＋∠CAB＝90°，∴ ∠ABC＝∠ACH＝37°.∵ sin ∠ABC＝ ，∴ AB＝ ≈ ＝400（米）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5. 如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动.细绳从悬挂点O到球心的长度为50厘米，小球在左、右两个最高位置时，细绳相应所成的∠AOB为40°，那么小球在最高位置和最低位置时的高度差为（　D　） A. 50（1－ sin 40°）厘米 B. 50（1－ cos 40°）厘米 C. 50（1－ sin 20°）厘米 D. 50（1－ cos 20°）厘米 （第5题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6. 如图，钓鱼竿AC长6m，露在水面上的渔线BC长3 m，某钓鱼者想看看钓钩上的情况，把钓鱼竿AC绕点A转动到AC'的位置，此时露在水面上的渔线B'C'长3 m，则钓鱼竿转动的角度是（　C　） A. 60° B. 45° C. 15° D. 90° （第6题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7. 平放在地面上的三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示.量得∠A为54°，∠B为36°，AB的长为2.1m，边BC上露出部分BD的长为0.9m，则边BC被掩埋部分CD的长约为 　0.8　m（结果精确到0.1m，参考数据： sin 54°≈0.81， cos 54°≈0.59，tan54°≈1.38）. （第7题） 0.8　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8. 如图，将45°的∠AOB放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约是 　2.7　cm（结果精确到0.1cm，参考数据 sin 37°≈0.60， cos 37°≈0.80，tan37°≈0.75）. （第8题） 2.7　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9. 某游乐场的部分平面图如图所示，C、E、A三处在同一条直线上，D、E、B三处在同一条直线上.测得A处与E处的距离为80m，C处与D处的距离为34m，∠C＝90°，∠B＝90°，∠A＝30°.求： （1） 旋转木马E处到出口B处的距离. 解：（1） 在Rt△ABE中，∵ AE＝80m，∠A＝30°， sin A＝ ，∴ BE＝AE· sin A＝80× sin 30°＝80× ＝40（m）.∴ 旋转木马E处到出口B处的距离为40m. （第9题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （2） 海洋球D处到出口B处的距离（结果精确到1m，参考数据： ≈1.4， ≈1.7）. 解：（2） ∵ ∠C＝∠B＝90°，∠DEC＝∠AEB，∴ ∠D＝∠A＝30°.在Rt△DCE中，∵ CD＝34m， cos D＝ ，∴ DE＝ ＝ ≈40（m）.∴ DB＝DE＋BE≈40＋40＝80（m）.∴ 海洋球D处到出口B处的距离约为80m. （第9题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $