23.3第3课时　相似三角形的判定定理2、3课件　2025-2026学年华东师大版九年级数学上册

23.3　相似三角形 第3课时　相似三角形的判定定理2、3 第23章　图形的相似 如下图画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？ E 解：相等，因而相似. 讲授新课 利用两边成比例且夹角相等判定两个三角形相似 一 如图，在△ABC和△A′B′C′中,∠A＝∠A′ , A′B′:AB=A′C′:AC.求证:△ABC∽△A′B′C′. A′ B′` C′ A B C E D 证明:在△ABC的边AB、AC(或它们的延长线) 上分别截取AD=A′B′,AE=A′C′,连结DE. ∠A=∠A′, 这样,△ADE≌△A′B′C′. ∵A′B′:AB=A′C′:AC ∴ AD:AB=AE:AC ∴DE∥BC ∴△ADE∽△ABC ∴△A′B′C′∽△ABC 如果一个三角形的两边长与另一个三角形的两边长对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似 . (两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似) A B C A′ B′ C′ ∵A′B′:AB=A′C′:AC,∠A=∠A′ ∴△A′B′C′∽△ABC 归纳： 如果两个三角形两边成比例，但对应相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形是否相似呢？画一画，量一量. A B C D E F 不相似 探究归纳 归纳： 如果两个三角形两边对应成比例，但对应相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似. 注意：对应相等的角一定要是两条对应边的夹角. 下面两个三角形中， ，求证△ABC∽△A′B′C′. A B C C′ B′ A′ 利用三边对应成比例判定两个三角形相似 二 证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′, A′ B′ C′ A B C D E 过点D作DE∥BC交AC于点E. 又A′B′:AB=B′C′:BC=C′A′:CA, ∴AD:AB=AE:AC. ∵∠A=∠A′，∴△ADE∽△ABC. ∵AD=A′B′,∴AD:AB=A′B′:AB. ∴DE:BC=B′C′:BC, EA:CA=C′A′:CA. 因此DE=B′C′, EA=C′A′. ∴△A′B′C′∽△ABC. ∴△ADE≌△A′B′C′, △ABC∽△A′B′C′ 如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似. 简单地说：三边对应成比例，两个三角形相似. A B C C′ B′ A′ 归纳 判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等，计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应. 方法归纳 相似三角形的判定定理3： 如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似. 简单地说：三边对应成比例，两三角形相似. 相似三角形的判定定理： 课堂小结 相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似. 相似三角形的判定定理2： 如果两个三角形两边对应成比例，两条对应边的夹角相等，那么两个三角形相似. 注意：对应相等的角一定要是两条对应边的夹角. 1. 如图，∠1＝∠2，则添加下列的一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　C　） A. ＝ B. ∠B＝∠D C. ＝ D. ∠C＝∠AED （第1题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2. 如图，在下列四个三角形中，与△ABC相似的是（　A　） （第2题） A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3. 如图，若AD·AC＝AE·AB，且∠D＝32°，∠C＝48°，则∠B＝ 　32°　，∠E＝ 　48°　. 32°　 48°　 （第3题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解：∵ △PCD是等边三角形，∴ ∠PCD＝∠PDC＝60°，PC＝CD＝PD＝2.∴ ∠PCA＝∠BDP＝120°.∵ AC＝1，BD＝4，∴ ＝ ， ＝ .∴ ＝ ，即 ＝ .∴ △ACP∽△PDB. 4. 如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且AC＝1，CD＝2，BD＝4.求证：△ACP∽△PDB. （第4题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5. 如图，△ABC与△BED都是顶角为36°的等腰三角形，D是边AC上一点，DE与AB相交于点F，且满足BC2＝CD·AC，则图中的相似三角形共有（　D　） A. 6对 B. 7对 C. 8对 D. 9对 （第5题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6. 已知△ABC的三边长为4cm、5cm、6cm，△DEF的一边长为2cm，则当两个三角形相似时，△DEF的另两边长不可能是（　D　） A. 2.5cm、3cm B. 1.6cm、2.4cm C. cm、 cm D. 1.6cm、2.5cm D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7. ★如图，在6×11的正方形网格中有一只可爱的“小狐狸”，则图中由粗实线组成的相似三角形有（　C　） A. 4对 B. 3对 C. 2对 D. 1对 （第7题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8. 如图，△ABC、△DCE、△FEG、△HGI是四个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG、GI在同一条直线上，且AB＝2，BC＝1，连结AI，交FG于点Q，则QI＝ 　 　. （第8题） 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9. 如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点F，点E在BD上，且 ＝ ＝ . （1） ∠BAE与∠CAD相等吗？请说明理由. 解：（1） ∠BAE＝∠CAD. 理由：∵ ＝ ＝ ，∴ △ABC∽△AED. ∴ ∠BAC＝∠EAD. ∴ ∠BAC－∠EAF＝∠EAD－∠EAF. ∴ ∠BAE＝∠CAD. （第9题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2） △ABE与△ACD是否相似？请说明理由. 解：（2） △ABE∽△ACD. 理由：∵ ＝ ，∴ ＝ .又由（1），知∠BAE＝∠CAD. ∴ △ABE∽△ACD. （第9题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，分别以AC、BC为边向三角形外作等边三角形ACE和等边三角形BCF，连结DE、DF. 求证：△ADE∽△CDF. （第10题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解：∵ ∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴ ∠CAD＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCD＝90°.∴ ∠CAD＝∠BCD. ∴ Rt△ACD∽Rt△CBD. ∴ ＝ .∵ △ACE和△BCF都是等边三角形，∴ AE＝AC，CF＝CB，∠EAC＝60°，∠FCB＝60°.∴ ＝ ＝ .∵ ∠EAD＝∠EAC＋∠CAD＝60°＋∠CAD，∠FCD＝∠BCF＋∠BCD＝60°＋∠BCD，∴ ∠EAD＝∠FCD. ∴ △ADE∽△CDF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 $