第一章 特殊平行四边形---菱形专题 2025--2026学年北师大版九年级数学上册

2025年北师大九年级数学第一章特殊平行四边形---菱形专题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，已知，，将沿边翻转，得到的与原拼成四边形，则能直接判定四边形是菱形的依据是(    ) A. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 四条边相等的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 第3题图 第2题图 第1题图 2.如图，某型号千斤顶的工作原理是利用四边形的不稳定性，图中的菱形是该型号千斤顶的示意图，保持菱形边长不变，可通过改变的长来调节的长．已知，的初始长为，如果要使的长达到，那么的长需要缩短(    ) A. B. C. D. 3.如图，在菱形中，，，是对角线的中点，过点作于点，连接，则四边形的周长为(    ) A. B. C. D. 4.如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为(    ) A. B. C. D. 第5题图 第6题图 第4题图 5.如图，是坐标原点，菱形的顶点在轴的负半轴上，顶点的坐标为，则顶点的坐标为(    ) A. B. C. D. 6.如图，在菱形中，是对角线上一动点，过点作于点于点若菱形的周长为，面积为，则的值为(    ) A. B. C. D. 7.如图，在菱形中，对角线与交于点，于点，为线段上一点若，，，则线段的长度为    ． A. B. C. D. 第10题图 第9题图 第8题图 第7题图 8.如图，在菱形中，，分别是边，的中点，是对角线上一动点，已知菱形边长为，对角线长为，则周长的最小值是  (    ) A. B. C. D. 9.如图，在菱形中，，，点，分别为，上的动点，，点从点向点运动过程中，的长度  (    ) A. 逐渐增加 B. 先减小再增加 C. 恒等于 D. 恒等于 10.如图，动点从菱形的点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图所示，当点运动到中点时，的长为  (    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.如图，菱形的边长为，，对角线与交于点，为中点，为中点，连接，则的长为          ． 12.如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接若，则的长为          ． 13.如图，在中，，为边上的中线，过点作于点，过点作的平行线，交的延长线于点，在的延长线上截取，连接，若，，则四边形的周长为          ． 第13题图 第12题图 第11题图 14.如图，在菱形中，，，点，同时由，两点出发，分别沿，方向向点匀速移动到点为止，点的速度为，点的速度为，经过秒为等边三角形，则的值为          ． 第15题图 第14题图 15.如图，在菱形中，，，点是的中点，连接，点为线段上的一个动点，连接，则线段长度的最小值为          ． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分如图，是菱形的对角线，， 请用尺规作图法，作的垂直平分线，垂足为，交于；不要求写作法，保留作图痕迹在条件下，连接，求的度数． 17.本小题分如图，在中，，点是中点，，． 求证：四边形是菱形； 过点作于点，，，求的长． 18.本小题分如图，在四边形中，，于点，点是延长线上一点，，于点． 求证：四边形是菱形； 若平分，，，求和的长． 19.本小题分如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． 求证：四边形是菱形； 若，，求的长． 20.本小题分如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，直线与轴交于点． 求直线的函数解析式； 将沿直线翻折得到，使点与点重合，与轴交于点求证：四边形是菱形； 在直线下方是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 21.本小题分如图，四边形为菱形，为对角线上的一个动点不与点，重合，连接并延长交射线于点，连接． 求证： 求证： 若，当为等腰三角形时，求的度数． 22.本小题分如图，为等腰三角形，，点是底边上的一个动点，，． 用表示四边形的周长为          ． 点运动到什么位置时，四边形是菱形，请说明理由． 如图，如果不是等腰三角形，其他条件不变，点运动到什么位置时，四边形是菱形不必说明理由． 23.本小题分如图，在边长为的菱形中，对角线，点是直线上的动点于点，于点． 对角线的长是          ，菱形的面积是          ． 如图，当点在对角线上运动时，的值是否会发生变化请说明理由． 如图，当点在对角线的延长线上时，的值是否会发生变化若不变，请说明理由若变化，请探究，之间的数量关系，并说明理由． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2025年北师大九年级数学第一章特殊平行四边形--菱形专题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，己知△ABC,AB=AC,将△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC,则能 直接判定四边形ABDC是菱形的依据是() A.一组邻边相等的平行四边形是菱形 B.四条边相等的四边形是菱形 C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D E C B B D 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，某型号千斤顶的工作原理是利用四边形的不稳定性，图中的菱形ABCD是该型号千斤顶的示意图， 保持菱形边长不变，可通过改变AC的长来调节BD的长.已知AB=30cm,BD的初始长为30cm,如果要使 BD的长达到36cm,那么AC的长需要缩短() A.6cm B.8cm C.(30W3-36)cmD.(30v3-48)cm 3.如图，在菱形ABCD中，AB=4,∠BAD=120°，O是对角线BD的中点，过点O作0E1CD于点E,连接OA, 则四边形AOED的周长为() A.9+2V3 B.9+V3 C.7+2v3 D.8 4.如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，点E在BC边上，将菱形纸片ABCD沿DE折叠，点C落在AB边的垂 直平分线上的点C'处，则∠DEC的大小为() A.30° B.45° C.60° D.75° VA D B B 第4题图 第5题图 第6题图 第1页，共6页 5.如图，0是坐标原点，菱形AB0C的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为(3,4)，则顶点A的坐标为() A.(-4,2) B.(-V3,4) C.（-2,4) D.(-4,√3 6.如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE1BC于点E.PF⊥AB于点F若菱形ABCD的 周长为20，面积为24，则PE+PF的值为() A.4 B C.6 D智 7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,CE⊥AB于点E,F为线段AE上一点.若AC=6,BD=8, AF=号AB,则线段CF的长度为(). B号 D.26 5 D B 1 ② A B 第7题图 第8题图 第9题图 第10题图 8.如图，在菱形ABCD中，M,N分别是边BC,CD的中点，P是对角线BD上一动点，己知菱形边长为5，对 角线AC长为6，则△PMN周长的最小值是() A.11 B.10 C.9 D.8 9.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4,点E,F分别为AD,DC上的动点，∠EBF=60°，点E从点A 向点D运动过程中，AE+CF的长度() A.逐渐增加 B.先减小再增加 C.恒等于4v3 D.恒等于4 10.如图①，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止.设点P的运动路程 为x,P0的长为y,y与x的函数图象如图②所示，当点P运动到BC中点时，PO的长为() A.2 B.3 C.5 D.22 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，对角线AC与BD交于点O,E为OB中点，F为AD中点，连接EF, 则EF的长为 第2页，共6页 12.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=6,AC是一条对角线，E是AC上一点，过点E作EF1AB, 垂足为F,连接DE.若CE=AF,则DE的长为 13.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为边AC上的中线，过点C作CE1BD于点E,过点A作BD的平行线， 交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG,DF.若AG=13,CF=6,则四边形BDFG 的周长为 第11题图 第12题图 第13题图 14.如图，在菱形ABCD中，AB=4cm,∠ADC=120°，点E,F同时由A,C两点出发，分别沿AB,CB方向 向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s,点F的速度为2cm/s,经过t秒△DEF为等边三角形，则 t的值为一 第14题图 第15题图 15.如图，在菱形ABCD中，∠B=120°，AB=2√3，点M是BC的中点，连接AM,点N为线段AM上的一个 动点，连接DN,则线段DN长度的最小值为· 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.(本小题9分)如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD=75°， (1①)请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF,垂足为E,交AD于F;(不要求写作法，保留作图痕迹)(2)在(1) 条件下，连接BF,求LDBF的度数， D 第3页，共6页 17.(本小题9分)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC中点，AE//BC,CE/AD. (1)求证：四边形ADCE是菱形： (2)过点D作DF⊥CE于点F,∠B=60,AB=6,求EF的长. B D 18.(本小题9分)如图，在四边形ABCD中，AD=CD,BD⊥AC于点O,点E是DB延长线上一点，OE=OD, BF⊥AE于点F (1)求证：四边形AECD是菱形： (2)若AB平分LEAC,OB=3,BE=5,求EF和AD的长 19.(本小题9分)如图，在四边形ABCD中，AB/DC,AB=AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分LBAD, 过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E,连接OE, (1)求证：四边形ABCD是菱形： (2)若AB=2V5,BD=4,求0E的长. 第4页，共6页 20.(本小题9分)如图，在平面直角坐标系中，直线1：y=x与直线2：y=kx+b(k≠0)相交于点4(a,3), 直线l2与y轴交于点B(0,-5). (1)求直线l2的函数解析式： (2)将△OAB沿直线l2翻折得到△CAB,使点O与点C重合，AC与x轴交于点D.求证：四边形AOBC是菱形： (3)在直线BC下方是否存在点P,使△BCP为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说 明理由. 21.(本小题9分)如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点（不与点A,C重合），连接DE并延 长交射线AB于点F,连接BE (1)求证：△DCE兰△BCE; (2)求证：∠AFD=∠EBC; (3)若LDAB=90°，当△BEF为等腰三角形时，求LEFB的度数. D E B B 备用图 第5页，共6页 22.(本小题10分)如图1，△ABC为等腰三角形，AB=AC=a,点P是底边BC上的一个动点，PD/AC,PE/ AB D B B 图1 图2 (1)用a表示四边形ADPE的周长为 (2)点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形，请说明理由， (③)如图2，如果△ABC不是等腰三角形，其他条件不变，点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形（不必 说明理由)， 23.(本小题10分)如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD=16,点0是直线BD上的动点.0E1AB 于点E,OF⊥AD于点F. 图1 图2 (1)对角线AC的长是_，菱形ABCD的面积是」 (2)如图1，当点0在对角线BD上运动时，0E+0F的值是否会发生变化？请说明理由. (3)如图2，当点0在对角线BD的延长线上时，OE+OF的值是否会发生变化？若不变，请说明理由；若变化， 请探究OE,OF之间的数量关系，并说明理由， 第6页，共6页参考答案 1.【答案】B 2.【答案】D 3.【答案】B 4.【答案】D 5.【答案】C 6.【答案】B 7.【答案】D 8.【答案】C 9.【答案】D 10.【答案】C 1,【答案】四 12.【答案】2y7 13.【答案】20 14.【答案】 15.【答案】67 16.【答案】解：（1)如图所示，直线EF即为所求； D ②)：四边形ABCD是菱形， ÷∠ABD=∠DBC=∠ABC=75,DC//AB'∠A= 第1页，共1页 6 :∠ABC=150°，∠ABC+∠C=180°， ·∠C=∠A=30°， :EF垂直平分线段AB, :AF =FB, ·∠A=∠FBA=30o, ·∠DBF=∠ABD-∠FBA=45o. 17.【答案】(1)证明：：AE//DC,EC//AD, ·四边形ADCE是平行四边形， :∠BAC=90°，点D是BC的中点， ·AD=BD=CD, :平行四边形ADCE是菱形； (2)解：：∠B=60°，AD=BD, :△ABD是等边三角形， ·∠ADB=60°，AD=AB=6, AD CE. .∠DCE=60°， :CD=AD=6,DF⊥CE, ·∠FDC=30°， .CF=CD=3, :四边形ADCE是菱形， ·CE=CD=6, ·EF=3. 18.【答案】(1证明：：BD⊥AC, ·∠A0D=∠C0D=90, 在Rt△AOD和Rt△COD中， (DA-DC LOD-OD ·Rt△AOD兰Rt△COD(HL, ·A0=C0, 又：0E=0D, 第1页， 共1页 ·四边形AECD为平行四边形. AD =CD, ·四边形AECD为菱形. (②解：：AB平分∠EAC,BF⊥AE,BD BF=B0=3, 在Rt△BEF中，由勾股定理可得， EF=VBE2-BF2=V52-32=4, 在Rt△ABF和Rt△ABO中， (AB-AB (BF=BO :Rt△ABF≌Rt△ABO(HL, ·A0=AF, 设A0=AF=X,AE=4十X, 在Rt△AOE中，由勾股定理可得， AE2=0E2+0A2, 得x+4)2-=82+x2, 解得x=6, ·AE=4+6=10, 即AD=10, :EF和AD的长分别为4和10. 19.【答案】解：(1)证明：：AB/CD, ·∠OAB=∠DCA, :AC为∠DAB的平分线， ·∠OAB=∠DAC, ·∠DCA=∠DAC, ·CD=AD=AB, AB /CD, ·四边形ABCD是平行四边形， ⊥AC, 第1页，共1页 AD AB, ·口ABCD是菱形； (②)：四边形ABCD是菱形， ÷OA=OC,BD⊥AC, :CE⊥AB, ·0E=0A=0C, :BD=4, OB=专BD=2, 在Rt△A0B中，AB=2W5,0B=2, ·0A=VAB2-0B2=4, ·0E=0A=4 20.【答案】解：(1)：直线l1:y=x与直线l2:y ·A4,3, :直线l2交y轴于点B(0,-5, ÷y=kx-5, 把A4,3代入，得3=4k-5, ·k=2, ·直线l2的解析式为y=2x-5; (2):0A=V32+4=5, ..0A=OB, :将△OAB沿直线l2翻折得到△CAB, :0B=BC,OA=AC ·OA=OB=BC=AC, :四边形AOBC是菱形： (③)点P的坐标是3，-9)或(7，-6)或(，-号) 21.【答案】解：(1)证明：：四边形ABCD是菱形， 第1页， =kx+b相交于点Aa,3), 共1页 :CD=CB,∠DCE=∠BCE CD=CB, ∠DCE=∠BCE, 在△DCE和△BCE中， EC=EC ÷△DCE≌△BCE(SAS), (②)证明：：△DCE兰△BCE, ·∠CDE=∠EBC CD /AB, ·∠CDE=∠AFD. ·∠AFD=∠EBC (3)解： ①)当点F在线段AB上时， :∠EFB为钝角，：只能是FE=FB 设∠BEF=∠EBF=x,则有∠AFD=2x°，易得∠ X十2x=90,即x=30. ·∠EFB=120°. ②当点F在线段AB的延长线上时， :∠EBF为钝角，：只能是BE=BF. 设∠BEF=∠BFE=y, 在△EBF中，有y+y+y+90=180, y=30.∠EFB=30° 综上，∠EFB=30或120°. 22.【答案】解：(1)2a (②当P为BC中点时，四边形ADPE是菱形 理由如下：连接AP, PD AC.PE//AB, :四边形ADPE为平行四边形. :AB=AC,P为BC中点， ∠PAD=∠PAE· 第1页， AFD=∠FDC=∠CBE, 共1页 PE/AB, ·∠PAD=∠APE· ·∠PAE=∠APE. ·EA=EP :四边形ADPE是菱形. (③)点P运动到∠A的平分线上时，四边形ADPE是菱形. 理由：连接AP, PD /AC,PE AB. ·四边形ADPE是平行四边形， :AP平分∠BAC, ·∠DAP=∠PAE AB /EP ·∠DAP=∠APE ·∠PAE=∠APE. ·AE=EP ·四边形ADPE是菱形. 23.【答案】解：（1)12；96 (②)0E+0F的值不会发生变化 理由如下：如图1，连接AO,则S△4BD=S△4B0十S△4D0, S装ABcD=含AB.0E+AD.0F,即×96=支×100E+主×10.0F, 解得0E+0F=9.6是定值，不变 (3)0E+0F的值变化，0E,0F之间的数量关系为0E-0F=9.6. 理由如下：如图2，连接AO,则S△4BD=S△4B0-S△4D0, 壹S菱形ABcD=克AB.0E-克AD.0F,即号×96=克×10·0E-克×10·0F, 解得0E-0F=9.6,是定值，不变. 第1页，共1页 D D 图1 图2 第1页， 共1页