专题01 三角形全等的六种常见应用 2025-2026学年人教版八年级上学期数学大单元教学分层优化练

2025学年人教版八年级数学大单元教学分层优化练 专题01 三角形全等的六种常见应用 全等三角形的对应边相等、对应角相等，为我们提供了解决线段相等，角相等的新思路、新方法，因此，判定两个三角形全等是解决线段相等，角相等的问题的基础，全等三角形的判定和性质的应用是各类考试的必考内容之一，主要应用题型有证明线段、角相等关系、和差关系、位置关系解决实际问题等. 类型一、证明线段或角相等 当题目要求证明两条线段或两个角相等时，全等三角形是常用工具。基本思路是证明它们所在的两个三角形全等，再利用全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等）得出结论 🔍 解题策略：首先，识别或构造包含待证线段或角的两个三角形。然后，根据已知条件，选择恰当的判定定理（SAS、ASA、AAS、SSS 或 HL）证明这两个三角形全等。 例1．如图，点B在线段AC上，BD∥CE，AB=EC，DB=BC．求证：AD=EB． 【变式1-1】．如图，在等腰直角△ABC 中，∠ACB=90°，P 是线段BC上一动点(与点B，C不重合)，连接AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点 Q作QH⊥AP 于点H，交 AB 于点M. （1）若∠PAC=α，求∠AMQ 的大小(用含α的式子表示). （2）用等式表示线段 MB 与PQ 之间的数量关系，并证明. 【变式1-2】．两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”.如图，四边形ABCD 是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB.小明在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC⊥BD；②AO=CO= AC；③△ABD≌△CBD.其中正确的结论有(　　). A．0个 B．1 个 C．2个 D．3个 【变式1-3】．如图，已知△ABC 中，AB=AC，D 为AB 上一点，E为AC 延长线上一点，BD=CE，DE 交BC于点F.求证：DF=EF. 类型二、证明线段的和差关系 这类问题通常需证明一条线段等于另外两条线段的和或差，例如 AB + CE = AD 。关键思路是将两条短线段“拼接”成一条长线段，或将一条长线段“分割”成两条短线段，再证明其与另一条线段相等。 🔍 解题策略： 截长法：在长边上截取一段等于短边，再证明剩余部分等于另一短边。 补短法：将短边延长，使延长部分等于另一短边，再证明整体等于长边。 例2．如图，在中，． （1）求证：． （2）求证：． 【变式2-1】．如图，在中，，于点，，点在上，． （1）求证：平分； （2）求证：． 【变式2-2】．如图，于，于，． （1）求证：平分； （2）直接写出与之间的等量关系． 【变式2-3】．如图，在中，，，直线过顶点，过分别作直线的垂线，垂足分别为． （1）求证：； （2）若，，直接写出的面积． 类型三、证明线段的倍分关系 此类问题需证明一条线段是另一条线段的倍数（如一半）或几分之一，例如证明三角形一边的中线小于其他两边和的一半 🔍 解题策略： 加倍法：将短线段的长度加倍，证明其等于长线段。 折半法：将长线段的长度折半，证明其等于短线段。 例3．【发现问题】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：如图①，是的中线，若，，求的取值范围． 【探究方法】小强所在的小组通过探究发现，延长至点E，使，连接BE，可以证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到到中，进而求出的取值范围． 方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法” ． （1）请你利用上面解答问题的思路方法，写出求的取值范围的过程； （2）【问题拓展】 如图②，在和中，，，与互补，连接、，E是的中点，求证：． 【变式3-1】．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是___________． 【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，试说明：； 【问题拓展】（3）如图3，是的中线，过点分别向外作，使得，判断线段与的关系，并说明理由． 【变式3-2】．如图1，等腰三角形和等腰三角形共顶点，，，连接、．利用所学知识解决下列问题： （1）若，求证：； （2）连接，当点在线段上时： ①如图2，若，则的度数为 ，线段与之间的数量关系是 ； ②如图3，若，为中边上的中线，请判断的度数及线段之间的数量关系，并说明理由． 【变式3-3】．如图，是等腰直角三角形，，延长到点A，连接，F是上一点，连接，交于点E，． （1）求证：； （2）若，求证：．∴ 类型四、证明线段的位置关系（垂直或平行） 全等三角形也可用于证明两直线的特殊位置关系，如垂直（DC ⊥ BE）或平行（AB ∥ DE） 🔍 解题策略： 通过证明三角形全等，得到相等的角（如对应角、内错角、同位角），再根据平行线的判定定理证明平行；或通过计算得出90°角证明垂直。 例4．如图，AC和BD相交于点O，OA=OC， OB=OD，求证：DC//AB 【变式4-1】．已知：如图，在、中，，，，点C、D、E三点在同一直线上，连接． （1）求证：； （2）试猜想、有何特殊位置关系，并证明． 【变式4-2】．如图，点B，C，E，F在同一直线上，点A，D在的异侧，，，．求证：． 【变式4-3】．如图，点、、、在同一条直线上，，，，求证：． 类型五、计算线段长度或角度大小 全等三角形的性质也常用于计算无法直接测量的线段长度或角度大小 🔍 解题策略： 通过证明三角形全等，将未知量转移到另一个三角形中，或直接利用全等三角形的对应边、对应角相等的性质建立方程。 例5．如图，点 在一条直线上， ． （1）求证： ； （2）若 ，求 的大小． 【变式5-1】．如图，，点D在边上，，和相交于点O． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【变式5-2】．如图，在等腰中，，，D为边上一点，连结，过点A作的垂线，过点B作的垂线，两条垂线交于点E． （1）证明：； （2）若，求的长． 【变式5-3】．如图，C，A，D在同一直线上，已知． （1）求证：； （2）若，求线段的长． 类型六、利用全等三角形解决实际问题 这类解决全等三角形应用问题的核心思路是：将实际问题转化为几何模型 → 识别或构造全等三角形 → 选择合适定理证明全等 → 利用全等性质得出结论。 1.构造全等三角形法 这是最常用的策略。当无法直接测量时，通过构造一个与目标三角形全等的可测三角形来解决问题。 原理：通过辅助线或工具，构造出与含未知量的三角形全等的另一个三角形，从而将不可测的边角关系“转移”到可测或已知的条件下。 2.选择恰当的判定定理 根据题目给出的已知条件（边、角关系），选择最合适的全等判定定理（SSS, SAS, ASA, AAS）是证明的关键。 🔍 解题策略  模型识别：敏锐地在实际问题或复杂图形中识别基本全等模型（如平移、轴对称、旋转型） 思路转化：牢固掌握“构造全等”这一核心思想，将求未知量转化为证明三角形全等。  定理选择：根据已知条件快速匹配最合适的判定定理。  辅助线意识：当直接证明困难时，积极思考通过添加辅助线（倍长中线、截长补短等）来构造全等 例6．我国的纸伞工艺十分巧妙．如图，伞不论张开还是缩拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且． （1）求证：． （2）由（1）可得伞圈在伞圈上滑动．如图1，伞打开时，；当伞缩拢到图2状态时，时，伞圈下滑的距离长是多少？ 【变式6-1】．为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点处测得河北岸的树恰好在的正北方向，测量方案如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观察者从点向东走到点，此时恰好测得 观测者从点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得 观测者从点向东走到点，在点插上一面标杆，继续向东走相同的路程到达点后，一直向南走到点，使得树，标杆，人在同一直线上 测量示意图 （1）第一小组认为要知道河宽，只需要知道线段__________的长度． （2）第二小组测得米，请你帮他们求出河宽． （3）第三小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第三小组的方案可行吗?如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． 【变式6-2】．想测量操场上与地面垂直旗杆 BD的高度，小强如图 1设计的方案：在距B点3m地面上M处测出∠DMC=90°，在距地面3m的C点处垂直竖立竹竿AC， 测得 AB=12m. （1） 请你帮小强求出旗杆BD的高度； （2）小明如图2设计一个测量方案：测得 MB=CB=3米， MA=12米， 根据这些条件能求出旗杆 BD的高度吗?若能请计算求出；若不能请添加一个条件，使之能够计算求出，直接写出添加的条件. 【变式6-3】．周末，小明和小玮去公园玩，他们发现一个人工湖，喜欢思考的小明对小玮说：“老师说，我们要用数学的眼光看世界，那么，你能用我们学过的数学知识测量出湖的宽度（以最宽处计算）吗？”小玮观察了一下，给出了如下测量方案． 如图，首先在湖两岸相对的地方选取两点两点之间的距离就是湖的宽度．要测量湖两岸相对的两点间的距离，可以在湖外取的垂线上的两点，使，再画出的垂线，使点与点在同一条直线上．若想知道两点之间的距离，只需要测量出线段的长度即可．请你用学过的数学知识来说明小玮的做法是否正确． 巩固训练 1．在等边中，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且． （1）如图1，若点为的中点，求证：； （2）如图2，若点为上任意一点，求证：． 2．如图所示，海岛上有A、B两个观测点，点在点的正东方，海岛在观测点的正北方，海岛在观测点的正北方，从观测点看海岛C、D的视角与从观测点看海岛C，D的视角相等，那么海岛C、D到观测点A、B所在的海岸的距离相等吗？请你说明理由。 3．如图1，△ABC中，．点、、分别是、、边上的点，． （1）若，求证：； （2）若，，，求的长： 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，AD和BE是高，它们相交于点F． 求证： （1）△AEF≌△BEC； （2）AF＝2CD． 5．在中，，点在内，连接、，延长到点，使得延长到点，使得，连接、完成下列问题的证明，要求这写出每步的推导理由． （1）求证：； （2）连接，延长交于，连接若，求证：． 6．如图，∠BCD＝90°，BC＝CD，CD⊥AD，AC、BD交于点E，DA＝DE，BN平分∠DBC，交AC于点M，交DC于点N． （1）求∠ACD的度数； （2）求证：DB＝DA+DC； （3）求证：AE＝2MN． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版八年级数学大单元教学分层优化练 专题01 三角形全等的六种常见应用 全等三角形的对应边相等、对应角相等，为我们提供了解决线段相等，角相等的新思路、新方法，因此，判定两个三角形全等是解决线段相等，角相等的问题的基础，全等三角形的判定和性质的应用是各类考试的必考内容之一，主要应用题型有证明线段、角相等关系、和差关系、位置关系解决实际问题等. 类型一、证明线段或角相等 当题目要求证明两条线段或两个角相等时，全等三角形是常用工具。基本思路是证明它们所在的两个三角形全等，再利用全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等）得出结论 🔍 解题策略：首先，识别或构造包含待证线段或角的两个三角形。然后，根据已知条件，选择恰当的判定定理（SAS、ASA、AAS、SSS 或 HL）证明这两个三角形全等。 例1．如图，点B在线段AC上，BD∥CE，AB=EC，DB=BC．求证：AD=EB． 【解析】由平行线的性质可得∠A=∠EBC，由“AAS”可证△ABD≌△BEC，可得BD=EC． 证明：∵BD∥CE， ∴∠ABD=∠C， 在△ABD和△ECB中， ∴△ABD≌△ECB（SAS）， ∴AD=EB． 【变式1-1】．如图，在等腰直角△ABC 中，∠ACB=90°，P 是线段BC上一动点(与点B，C不重合)，连接AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点 Q作QH⊥AP 于点H，交 AB 于点M. （1）若∠PAC=α，求∠AMQ 的大小(用含α的式子表示). （2）用等式表示线段 MB 与PQ 之间的数量关系，并证明. 【答案】（1）解：∠AMQ=45°+α. 理由如下： ∵∠PAC=α，△ACB是等腰直角三角形， ∴∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°-α， ∵QH⊥AP， ∴∠AHM=90°， ∴∠AMQ=180°-∠AHM-∠PAB=45°+α （2）解：，理由如下： 连接AQ，过点M作ME⊥BC于点 E， ∵AC⊥QP，CQ=CP， ∴∠QAC=∠CAP=α， ∴∠QAM=∠AMQ=45°+α， ∴AQ=AP=QM， 在△APC和△QME中， ∴△ACP≌△QEM(AAS)， ∴CP=ME ∵△MEB是等腰直角三角形， 即 【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS 【解析】【分析】(1)由等腰直角三角形的性质得出∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°-α，由直角三角形的性质即可得出结论； (2)连接AQ，作ME⊥QB，由AAS证明△APC≌△QME，得出PC=ME，△MEB是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得出结论. 【变式1-2】．两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”.如图，四边形ABCD 是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB.小明在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC⊥BD；②AO=CO= AC；③△ABD≌△CBD.其中正确的结论有(　　). A．0个 B．1 个 C．2个 D．3个 【答案】D 【知识点】三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】解：在△ABD与△CBD中， ∴△ABD≌△CBD(SSS)， 故③正确； ∴∠ADB=∠CDB， 在△AOD与△COD中， ∴△AOD≌△COD(SAS)， ∴∠AOD=∠COD =90°， AO=OC， ∴AC⊥DB， 故①②正确； 故答案为：D . 【分析】先证明△ABD与△CBD全等， 再证明△AOD与△COD全等即可判断. 【变式1-3】．如图，已知△ABC 中，AB=AC，D 为AB 上一点，E为AC 延长线上一点，BD=CE，DE 交BC于点F.求证：DF=EF. 【答案】证明：过点D作DM//AC交BC于M，如图所示， ∴∠DMB=∠ACB，∠FDM=∠E， ∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB， ∴∠B=∠DMB， ∴BD=MD， ∵BD=CE ∴MD=CE 在△DMF和△ECF中 ∴△DMF≌△ECF（AAS） ∴DF=EF 【知识点】三角形全等的判定-AAS 【解析】【分析】利用平行可得∠DMB=∠ACB，∠FDM=∠E，利用等腰三角形的性质可得∠B=∠ACB，从而证明∠B=∠DMB，证明△DMF≌△ECF，即可得出结论. 类型二、证明线段的和差关系 这类问题通常需证明一条线段等于另外两条线段的和或差，例如 AB + CE = AD 。关键思路是将两条短线段“拼接”成一条长线段，或将一条长线段“分割”成两条短线段，再证明其与另一条线段相等。 🔍 解题策略： 截长法：在长边上截取一段等于短边，再证明剩余部分等于另一短边。 补短法：将短边延长，使延长部分等于另一短边，再证明整体等于长边。 例2．如图，在中，． （1）求证：． （2）求证：． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴． 【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系 【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定和性质． （1）根据题意可得：，再根据， 利用垂直的定义可得：，再根据AC=DE，利用全等三角形的判定定理可证明； （2）利用全等三角形的性质可得：，再根据，利用等量替换可证明结论． （1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴． 【变式2-1】．如图，在中，，于点，，点在上，． （1）求证：平分； （2）求证：． 【答案】（1）证明：∵，∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的平分线上， ∴平分； （2）证明：∵平分，∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∴， ∴， ∴． 【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系 【解析】【分析】（）根据，，可以得到，然后利用AAS得到，即可得到，然后根据角平分线的判定定理解题即可； （）先得到，即可得到，进而得到，再得到，解题即可. （1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的平分线上， ∴平分； （2）证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2-2】．如图，于，于，． （1）求证：平分； （2）直接写出与之间的等量关系． 【答案】（1）解：于，于， ， ∴与均为直角三角形， ， ∴， ，， 平分； （2） 【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的判定 【解析】【解答】（2）解：． 理由：， 在与中， ， ∴， ， ． 【分析】（1）根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据角平分线判定定理即可求出答案. （2）根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案. （1）解：于，于， ， ∴与均为直角三角形， ， ∴， ，， 平分； （2）解：． 理由：， 在与中， ， ∴， ， ． 【变式2-3】．如图，在中，，，直线过顶点，过分别作直线的垂线，垂足分别为． （1）求证：； （2）若，，直接写出的面积． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）6 【知识点】垂线的概念；三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；异侧一线三垂直全等模型 【解析】【解答】（2）解：由（1）可得，，且，， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴的面积为． 故答案为：6. 【分析】（1）先利用角的运算和等量代换可得，再利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得，最后利用线段的和差及等量代换可得； （2）先求出，再利用三角形的面积公式求解即可. （1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）可得，，且，， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴的面积为． 类型三、证明线段的倍分关系 此类问题需证明一条线段是另一条线段的倍数（如一半）或几分之一，例如证明三角形一边的中线小于其他两边和的一半 🔍 解题策略： 加倍法：将短线段的长度加倍，证明其等于长线段。 折半法：将长线段的长度折半，证明其等于短线段。 例3．【发现问题】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：如图①，是的中线，若，，求的取值范围． 【探究方法】小强所在的小组通过探究发现，延长至点E，使，连接BE，可以证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到到中，进而求出的取值范围． 方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法” ． （1）请你利用上面解答问题的思路方法，写出求的取值范围的过程； （2）【问题拓展】 如图②，在和中，，，与互补，连接、，E是的中点，求证：． 【答案】（1）解：如图①中，延长至点，使． 在和中， ， ， ， ， ， ， （2）证明：如图②中，延长到，使得，连接． 同法可证， ，， ， ， 与互补， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型 【解析】【分析】（1）如图①中，延长至点，使．根据SAS，易证，然后再根据全等三角形的性质，求出，然后再根据AB的值和三角形的三边关系，即可求出的取值范围； （2）如图②中，延长到，使得，连接．易证，然后再根据全等三角形的性质，可得，，然后再根据互补的性质，可得，根据SAS，易证，可得，进而可得。 （1）解：如图①中，延长至点，使． 在和中， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图②中，延长到，使得，连接． 同法可证， ，， ， ， 与互补， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 【变式3-1】．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是___________． 【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，试说明：； 【问题拓展】（3）如图3，是的中线，过点分别向外作，使得，判断线段与的关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2）证明：如图，延长到点F，使得，连接． ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∴， ， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴。 （3）解：；理由如下： 如图，延长，使，连接， ∵为边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴。 【知识点】平行线的判定与性质；三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型 【解析】【解答】解：如图1，延长到点，使， ∵是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ； 故答案为： 【分析】（1）延长AD到点E，DE=AD，根据交叉线的性质，，然后再根据中点的定义，易证，可得结论； （2）延长AE到点F，使得AE=EF，连接DF．易证，然后再根据全等三角形的性质，可得，进而可得，最后再根据全等三角形的性质，可得，即可证明结论． （3）延长AD，使AD=DG，连接BG，然后再根据中点的定义，可得BD=DC，易证，进而求出，，从而得到，又跟据，，可得证明，得出，即可证明结论． 【变式3-2】．如图1，等腰三角形和等腰三角形共顶点，，，连接、．利用所学知识解决下列问题： （1）若，求证：； （2）连接，当点在线段上时： ①如图2，若，则的度数为 ，线段与之间的数量关系是 ； ②如图3，若，为中边上的中线，请判断的度数及线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中 ， ∴， ∴； （2）①，； ②，理由如下： ∵， ∴，即， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． ∵，为中边上的中线， ∴，即， 又，， ∴． 【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线 【解析】【解答】（2）解：①∵， ∴，即， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，；② 【分析】（1）利用证明即可得证； （2）①利用证明得出，，然后证明是等边三角形即可求解； ②利用证明得出，然后利用等腰三角形的性质求解即可． （1）证明：∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，； ②，理由如下： ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． ∵，为中边上的中线， ∴，即， 又，， ∴． 【变式3-3】．如图，是等腰直角三角形，，延长到点A，连接，F是上一点，连接，交于点E，． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1）证明：∵是等腰直角三角形，， ， ， 在和中， ， ， ∴； （2）证明：∵ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ． 【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS 【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，，再利用两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等证明，即可得出结论； （2）由全等三角形的对应边相等，对应角相等得到，，再由，得到 ，再利用两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等证明，即可得出结论． （1）证明：∵是等腰直角三角形，， ， ， 在和中， ， ， ∴； （2）证明：∵ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ． 类型四、证明线段的位置关系（垂直或平行） 全等三角形也可用于证明两直线的特殊位置关系，如垂直（DC ⊥ BE）或平行（AB ∥ DE） 🔍 解题策略： 通过证明三角形全等，得到相等的角（如对应角、内错角、同位角），再根据平行线的判定定理证明平行；或通过计算得出90°角证明垂直。 例4．如图，AC和BD相交于点O，OA=OC， OB=OD，求证：DC//AB 【答案】证明：在△AOB和△COD中 ∴△AOB≌△COD（SAS） ∴∠A=∠C， ∴AB∥CD. 【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定-SAS 【解析】【分析】由对顶角相等可得∠AOB=∠COD，结合已知用边角边可证△AOB≌△COD，根据全等三角形的对应角相等可得∠A=∠C，然后根据内错角相等两直线平行即可求解． 【变式4-1】．已知：如图，在、中，，，，点C、D、E三点在同一直线上，连接． （1）求证：； （2）试猜想、有何特殊位置关系，并证明． 【答案】（1）证明：， ，即， 在和中， ， ； （2）解：，理由如下： ， 如图，设与交于点G， ， ， ，， ， ． 【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS 【解析】【分析】（1）由等量加等量和相等得∠BAD=∠CAE，从而利用“SAS”判断出△BAD≌△CAE； （2）根据全等三角形的对应角相等即可得到，由“8”字形图可得∠CDG=∠BAC=90°，从而可得结论. （1）证明：， ，即， 在和中， ， ； （2）解：，理由如下： ， 如图，设与交于点G， ， ， ，， ， ． 【变式4-2】．如图，点B，C，E，F在同一直线上，点A，D在的异侧，，，．求证：． 【答案】证明：∵，∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【知识点】三角形全等的判定-SAS；内错角相等，两直线平行 【解析】【分析】根据题意得到，然后利用"SAS"证明，则，最后根据内错角相等，则两直线平行，据此即可求证. 【变式4-3】．如图，点、、、在同一条直线上，，，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴， 即， 又，， ∴ ∴， ∴ 【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定-SSS 【解析】【分析】根据AD=BC，易得，又跟据，，易证，根据全等三角形的性质，可得，最后再根据平行线的判定定理，即可得出。 类型五、计算线段长度或角度大小 全等三角形的性质也常用于计算无法直接测量的线段长度或角度大小 🔍 解题策略： 通过证明三角形全等，将未知量转移到另一个三角形中，或直接利用全等三角形的对应边、对应角相等的性质建立方程。 例5．如图，点 在一条直线上， ． （1）求证： ； （2）若 ，求 的大小． 【答案】（1）证明：∵BE=CF， 点 在一条直线上 ∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF， ∵AB=DE，AC=DF，BC=EF， ∴ （SSS）。 （2）解：根据（1）题的证明结果， ∴∠ACE=∠F， ∵ 点 在一条直线上 ，∴AC∥DF， ∴∠EGC=∠D=45°。 【知识点】三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系 【解析】【分析】（1）题首先证明出BC=EF，此时可以利用两个三角形三边相等的性质定理即可证明两个三角形全等； （2）题根据（1）题的结论，利用平行线的判定定理“同位角相等、两直线平行”得出AC∥DF，然后利用“两直线平行、同位角相等”即可求出答案。 【变式5-1】．如图，，点D在边上，，和相交于点O． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵和相交于点O，∴． 又∵在和中，， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． （2）解：∵，∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系 【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质： （1）根据全等三角形的判定即可判断； （2）由（1）可知：，根据等腰三角形的性质即可知的度数，从而可求出的度数． （1）证明：∵和相交于点O， ∴． 又∵在和中，， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 【变式5-2】．如图，在等腰中，，，D为边上一点，连结，过点A作的垂线，过点B作的垂线，两条垂线交于点E． （1）证明：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：∵，∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：如图所示，连结， ∵，， ∴，，， ∴在中由勾股定理得，， ∴为等腰直角三角形，令， ∴在中由勾股定理得，即， 解得，即． 答：AD长为 【知识点】二次根式的性质与化简；勾股定理；三角形全等的判定-ASA 【解析】【分析】（1）由全等三角形的判定定理容易得出，灵活利用已知条件选择判定方法是关键；（2）由知，、、，即为等腰直角三角形，所以连接后可得，由于，直接运用勾股定理算出DE值即可． （1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：连结， ∵，， ∴，，， ∴在中由勾股定理得，， ∴为等腰直角三角形，令， ∴在中由勾股定理得，即， 解得，即． 【变式5-3】．如图，C，A，D在同一直线上，已知． （1）求证：； （2）若，求线段的长． 【答案】（1）证明：∵，∴． 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． ∴线段的长度为4． 【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系 【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可以得到，然后利用AAS证明全等解题； （2）根据全等三角形的性质得到得，然后利用解答即可． （1）证明：∵， ∴． 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． ∴线段的长度为4． 类型六、利用全等三角形解决实际问题 这类解决全等三角形应用问题的核心思路是：将实际问题转化为几何模型 → 识别或构造全等三角形 → 选择合适定理证明全等 → 利用全等性质得出结论。 1.构造全等三角形法 这是最常用的策略。当无法直接测量时，通过构造一个与目标三角形全等的可测三角形来解决问题。 原理：通过辅助线或工具，构造出与含未知量的三角形全等的另一个三角形，从而将不可测的边角关系“转移”到可测或已知的条件下。 2.选择恰当的判定定理 根据题目给出的已知条件（边、角关系），选择最合适的全等判定定理（SSS, SAS, ASA, AAS）是证明的关键。 🔍 解题策略  模型识别：敏锐地在实际问题或复杂图形中识别基本全等模型（如平移、轴对称、旋转型） 思路转化：牢固掌握“构造全等”这一核心思想，将求未知量转化为证明三角形全等。  定理选择：根据已知条件快速匹配最合适的判定定理。  辅助线意识：当直接证明困难时，积极思考通过添加辅助线（倍长中线、截长补短等）来构造全等 例6．我国的纸伞工艺十分巧妙．如图，伞不论张开还是缩拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且． （1）求证：． （2）由（1）可得伞圈在伞圈上滑动．如图1，伞打开时，；当伞缩拢到图2状态时，时，伞圈下滑的距离长是多少？ 【答案】（1）证明：在和中，， ∴， ∴． （2）解：如图1，∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 如图2，设交于点， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 答：伞圈下滑的距离长是． 【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应边的关系 【解析】【分析】 （1）由于公共边，可结合已知利用“”证明，则； （2）由结合已知可证明是等边三角形，则，再由（1）的结论可知当时可证明是等边三角形，所以，设交于点，则，，利用勾股定理可得，再利用等腰三角形三线合一可得即可． （1）证明：在和中， ， ∴， ∴． （2）解：如图1， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 如图2，设交于点， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 答：伞圈下滑的距离长是． 【变式6-1】．为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点处测得河北岸的树恰好在的正北方向，测量方案如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观察者从点向东走到点，此时恰好测得 观测者从点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得 观测者从点向东走到点，在点插上一面标杆，继续向东走相同的路程到达点后，一直向南走到点，使得树，标杆，人在同一直线上 测量示意图 （1）第一小组认为要知道河宽，只需要知道线段__________的长度． （2）第二小组测得米，请你帮他们求出河宽． （3）第三小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第三小组的方案可行吗?如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． 【答案】（1） （2）解：，， ， ， （米）， 河宽为米 （3）解：可行，理由如下： 由题意可知：， 在和中， ， ， ， 只要测得就能得到河宽， 故第三小组的方案可行， 答：第三小组的方案可行 【知识点】垂线段最短及其应用；等腰三角形的判定；三角形全等的判定-ASA 【解析】【解答】（1）解：，， ， ， ， 要知道河宽，只需要知道线段的长度， 故答案为：； 【分析】（1）由直角三角形的两个锐角互余可得，则可得，根据等角对等边得可求解； （2）由三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可求得∠CAB的度数，然后由等角对等边得AB=BC可求解； （3）由题意可知，结合已知，用角边角可证得，根据全等三角形的对应边相等可求解． （1）解：，， ， ， ， 要知道河宽，只需要知道线段的长度， 故答案为：； （2）解：，， ， ， （米）， 河宽为米； （3）解：可行，证明如下： 由题意可知：， 在和中， ， ， ， 只要测得就能得到河宽， 故第三小组的方案可行， 答：第三小组的方案可行． 【变式6-2】．想测量操场上与地面垂直旗杆 BD的高度，小强如图 1设计的方案：在距B点3m地面上M处测出∠DMC=90°，在距地面3m的C点处垂直竖立竹竿AC， 测得 AB=12m. （1） 请你帮小强求出旗杆BD的高度； （2）小明如图2设计一个测量方案：测得 MB=CB=3米， MA=12米， 根据这些条件能求出旗杆 BD的高度吗?若能请计算求出；若不能请添加一个条件，使之能够计算求出，直接写出添加的条件. 【答案】（1）解：∵∠DMC=90°， ∴∠AMC+∠DMB=90°， ∵∠DBA=90°， ∴∠DMB+∠D=90°， ∴∠AMC=∠D， 根据题意可得：AC=BM=3m， 在△CAM和△MBD中， ， ∴△CAM≌△MBD（AAS）， ∴AM=BD， ∵AM=9m， ∴BD=9m. （2）解：不能，添加条件：AE⊥MD， 先利用（1）的证明方法证出△MBD≌△CBA， ∴BD=AB=9m. 【知识点】三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型 【解析】【分析】（1）先利用等角的余角相等可得∠AMC=∠D，再利用“AAS”证出△CAM≌△MBD，再利用全等三角形的性质可得BD=9m； （2）添加条件AE⊥MD，再证出△MBD≌△CBA，最后利用全等三角形的性质可得BD=AB=9m. 【变式6-3】．周末，小明和小玮去公园玩，他们发现一个人工湖，喜欢思考的小明对小玮说：“老师说，我们要用数学的眼光看世界，那么，你能用我们学过的数学知识测量出湖的宽度（以最宽处计算）吗？”小玮观察了一下，给出了如下测量方案． 如图，首先在湖两岸相对的地方选取两点两点之间的距离就是湖的宽度．要测量湖两岸相对的两点间的距离，可以在湖外取的垂线上的两点，使，再画出的垂线，使点与点在同一条直线上．若想知道两点之间的距离，只需要测量出线段的长度即可．请你用学过的数学知识来说明小玮的做法是否正确． 【答案】解：因为，， 所以， 因为，（对顶角相等）， 所以， 所以． 所以小玮的做法正确． 【知识点】全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-SAS 【解析】【分析】先证出，再结合 ， 利用“ASA”证出可得. 巩固训练 1．在等边中，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且． （1）如图1，若点为的中点，求证：； （2）如图2，若点为上任意一点，求证：． 【答案】（1）证明：∵为等边三角形，点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，过点E作交于H， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS 【解析】【分析】 （1）通过等边三角形的内角及三线合一得出是等腰三角形，进而求出答案； （2）证明线段相等，最常用办法是通过全等得到，可以构造平行线得到等边三角形，进而为下一步全等提供条件. 2．如图所示，海岛上有A、B两个观测点，点在点的正东方，海岛在观测点的正北方，海岛在观测点的正北方，从观测点看海岛C、D的视角与从观测点看海岛C，D的视角相等，那么海岛C、D到观测点A、B所在的海岸的距离相等吗？请你说明理由。 【答案】解：相等 理由：∵海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B的正北方， ∴． ∵， ∴，即． 又∵， ∴， ∴． 【知识点】钟面角、方位角；三角形全等的判定-AAS 【解析】【分析】由题意可知，根据等角的余角相等即可得出，再结合，即可用ASA证，由全等三角形的性质可得． 3．如图1，△ABC中，．点、、分别是、、边上的点，． （1）若，求证：； （2）若，，，求的长： 【答案】（1）证明：∵∠ABC=∠ACB， 又∵∠DEC=∠ABC+∠BDE， ∠DEC=∠DEF+∠CEF， ∠DEF=∠ABC， ∴∠BDE=∠CEF， 在△DBE和△ECF中， ， ∴△DBE≌△ECF（AAS）， ∴DE=EF； （2）解：∵∠A+2∠DEF=180°，∠A+2∠B=180°， ∴∠DEF=∠B， ∴△DBE≌△ECF（AAS）， ∴DB=EC， ∵BC=9，EC=2BE， ∴EC=6，BE=3， ∴BD=EC=6． 【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS 【解析】【分析】（1）先利用角的运算和等量代换可得∠BDE=∠CEF，再利用“AAS”证出△DBE≌△ECF，再利用全等三角形的性质可得DE=EF； （2）利用△DBE≌△ECF可得DB=EC，再结合BC=9，EC=2BE，求出EC=6，BE=3，从而可得BD=EC=6． 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，AD和BE是高，它们相交于点F． 求证： （1）△AEF≌△BEC； （2）AF＝2CD． 【答案】（1）证明：∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠DAC+∠C=90°， ∵BE⊥AC， ∴∠EBC+∠C=90°， ∴∠DAC=∠EBC， ∵∠BAC=45°，BE⊥AC， ∴∠ABE=90°-45°=45°=∠BAE， ∴AE=BE， 在△AEF和△BEC中， ， ∴△AEF≌△BEC（ASA）； （2）证明：∵△AEF≌△BEC， ∴AF=BC， ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BC=2CD， ∴AF=2CD. 【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-ASA 【解析】【分析】（1）先求出∠ABE=90°-45°=45°=∠BAE，利用等角对等边的性质可得AE=BE，再利用“ASA”证出△AEF≌△BEC即可； （2）利用全等三角形的性质可得AF=BC，再利用等腰三角形的性质可得BC=2CD，最后利用等量代换可得AF=2CD. 5．在中，，点在内，连接、，延长到点，使得延长到点，使得，连接、完成下列问题的证明，要求这写出每步的推导理由． （1）求证：； （2）连接，延长交于，连接若，求证：． 【答案】（1）证明：在和中， ， ≌， 全等三角形的对应角相等， 内错角相等，两直线平行； （2）证明：如图， 已知， ，等边对等角， 在中，三角形内角和定理， 等量代换， 等式的性质， 已证， 两直线平行，内错角相等， 垂直定义． 【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS 【解析】【分析】（1）根据SAS证明△BDC≌△FEC，可得∠DBC=∠EFC，利用平行线的判定定理即证； （2）利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得∠DHE=90°，再利用平行线的性质可得∠AEF=∠DHE=90°，最后根据垂直的定义即得结论. 6．如图，∠BCD＝90°，BC＝CD，CD⊥AD，AC、BD交于点E，DA＝DE，BN平分∠DBC，交AC于点M，交DC于点N． （1）求∠ACD的度数； （2）求证：DB＝DA+DC； （3）求证：AE＝2MN． 【答案】（1）解：∵∠BCD＝90°，BC＝CD， ∴BC⊥CD，∠DBC＝∠BDC＝45°， ∵BN平分∠DBC， ∴∠NBC＝∠DBC＝22.5°， ∴∠BNC＝90°﹣∠NBC＝67.5°， ∵CD⊥AD， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠BCA， ∵DA＝DE， ∴∠DAC＝∠AED， ∴∠AED＝∠BCA， ∵∠AED＝∠BEC， ∴∠BEC＝∠BCA， ∴BE＝BC， ∵BN平分∠DBC， ∴BN⊥AC， ∴∠ACD＝90°﹣∠BNC＝22.5° （2）证明：由（1）得，BE＝BC＝CD， ∵BD＝BE+DE， ∴DB＝DA+DC； （3）证明：如图，过点D作DH⊥AE于点H， 在△BCN和△CDA中， ， ∴△BCN≌△CDA（ASA）， ∴CN＝DA， ∵DA＝DE，DH⊥AE， ∴DE＝CN，AE＝2HE，∠HDE＝∠ADE， ∵AD∥BC， ∴∠ADE＝∠DBC＝45°， ∴∠HDE＝22.5°＝∠NCM， 在△HDE和△MCN中， ， ∴△HDE≌△MCN（AAS）， ∴HE＝MN， ∴AE＝2MN． 【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS 【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质及角平分线的定义得出，，再根据及得出，进而得到，最后利用等腰三角形三线合一的性质得出BN⊥AC，计算即可. （2）根据证得即可. （3）过点作于点，利用ASA证明，得出，利用证明，得出即可. 学科网（北京）股份有限公司 $