平面向量（2） -专题训练卷 2026版黑龙江春季高考《数学考纲百套卷》第81卷（原卷版+解析版）

编写说明：2026版黑龙江春季高考《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及黑龙江历年春季高考真题编写。本套试卷共100份：第一部分是按照课程标准编写的64份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、不等式、函数等11个章节的26份专题训练卷；第三部分是参考历年真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是2026版黑龙江春季高考《数学考纲百套卷》的第81卷，是专题训练卷，主要考查平面向量掌握情况。 2026版黑龙江春季高考《数学考纲百套卷》 第81卷 平面向量（2） 专题训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题：（本大题共15个小题．每小题3分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知向量、满足，，，则向量、的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．已知点,,,,则（   ） A． B． C． D． 3．已知，，则（    ） A．2 B． C．4 D． 4．如图，四边形中，，则必有（ ） A． B． C． D． 5．已知点，，则（   ） A． B． C． D． 6．已知向量，，下列说法正确的是（   ）． A． B． C．与共线 D． 7．已知向量并且，那么m的值是（     ） A．1 B． C．3 D． 8．已知，，，若，则锐角等于（    ） A．15° B．30° C．45° D．60° 9．已知与方向相同，则，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．已知向量，则（   ） A．2 B． C． D． 11．已知是平面内两个不共线的向量，，若三点共线，则实数的值为（    ） A． B．4 C． D．0 12．已知是直线上的一个动点，过点作圆的一条切线，切点为为坐标原点，则的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 13．已知均为平面单位向量，若，则（    ） A． B． C． D． 14．中，设，若，则的形状是（ ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 15．已知平面向量，，向量与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 16．已知，若，则 ． 17．设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 ． 18．已知向量，若，则实数 . 19．如图，在正六边形中，与相等的向量有 . ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦. 20．已知向量，满足，若，则 . 三、解答题（本题共4小题，每小题10分，共40分） 21．已知，求. 22．已知向量，. (1)求； (2)求向量与向量的夹角的余弦值； (3)若，且，求向量与向量的夹角. 23．已知向量． (1)求向量和向量的坐标； (2)判断向量与是否垂直． 24．如图所示，已知在中，是的中点，是将分成的一个内分点，和交于点，设，． (1)用和表示向量，； (2)若，求实数的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2026版黑龙江春季高考《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及黑龙江历年春季高考真题编写。本套试卷共100份：第一部分是按照课程标准编写的64份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、不等式、函数等11个章节的26份专题训练卷；第三部分是参考历年真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是2026版黑龙江春季高考《数学考纲百套卷》的第81卷，是专题训练卷，主要考查平面向量掌握情况。 2026版黑龙江春季高考《数学考纲百套卷》 第81卷 平面向量（2） 专题训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题：（本大题共15个小题．每小题3分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知向量、满足，，，则向量、的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量夹角公式计算角的余弦值，再结合夹角范围求解即可. 【详解】. ∵，∴. 故选：C. 2．已知点,,,,则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点的坐标求出向量的坐标,进而求出向量的点乘. 【详解】，， 则. 故选:. 3．已知，，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据向量的坐标表示求出，再根据向量的模的坐标表示即可求解. 【详解】因为，， 所以，则. 故选：C. 4．如图，四边形中，，则必有（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明四边形为平行四边形，然后利用相等向量、相反向量的概念可判断. 【详解】四边形中，，则且， 所以四边形是平行四边形； 则有，故A错误； 由四边形是平行四边形，可知是中点，则，B正确； 由图可知，C错误； 由四边形是平行四边形，可知是中点，，D错误． 故选：B． 5．已知点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的坐标运算即可判断. 【详解】因为点，， 所以 故选：C 6．已知向量，，下列说法正确的是（   ）． A． B． C．与共线 D． 【答案】B 【分析】由平面向量平行和垂直的坐标表示逐项判断即可得解. 【详解】向量，， 因为，所以与不平行也不共线，故选项错误； 因为，所以，故选项正确； ，，，故选项错误. 故选：. 7．已知向量并且，那么m的值是（     ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求解即可. 【详解】已知向量 由可得， 解得， 故选：D. 8．已知，，，若，则锐角等于（    ） A．15° B．30° C．45° D．60° 【答案】C 【分析】由向量的线性运算及向量平行的坐标表示即可得解. 【详解】因为，， 所以， 又因为，且， 所以，即， 因为为锐角，所以. 故选：C． 9．已知与方向相同，则，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的坐标公式计算即可. 【详解】与同向，． 且． 故选：C. 10．已知向量，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量数乘的结果，求参数，即可. 【详解】由题意知向量，， 则. 故选：C. 11．已知是平面内两个不共线的向量，，若三点共线，则实数的值为（    ） A． B．4 C． D．0 【答案】B 【分析】根据三点共线设定，再代入，结合不共线，即可求解. 【详解】因为三点共线，所以，共线，可设， 又，，即， 又是平面内两个不共线向量， 所以，解得， 故选：B. 12．已知是直线上的一个动点，过点作圆的一条切线，切点为为坐标原点，则的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由题意可得，，而的最小值为点到直线的距离，据此可求解. 【详解】由切线的性质可得， 所以 . 又因为的最小值为点到直线的距离 且， 所以的最小值为3. 故选：C 13．已知均为平面单位向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件式两边同时平方求得，然后根据向量夹角公式求解. 【详解】由两边同时平方得， 则， 即，则， 所以， 又，则， 故选：B. 14．中，设，若，则的形状是（ ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算可得，再由向量的数量积可得答案. 【详解】因为，所以， 即， 即，可得， 又因为，所以， 所以为钝角，则是钝角三角形. 故选：A． 15．已知平面向量，，向量与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求向量的坐标，再根据向量与垂直则即可求解. 【详解】， 因为与垂直，所以， 即，解得，因此选项D正确. 故选：D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 16．已知，若，则 ． 【答案】/2.5 【分析】根据向量垂直的坐标表示求解. 【详解】，， ，，． 故答案为：． 17．设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 ． 【答案】 【分析】利用向量内积公式求内积即可. 【详解】设与的夹角为， 因为与的夹角的余弦值为，即， 又，，所以， 所以. 故答案为：． 18．已知向量，若，则实数 . 【答案】/ 【分析】根据向量垂直的坐标表示求解. 【详解】已知向量，，又， 所以， 即. 故答案为：. 19．如图，在正六边形中，与相等的向量有 . ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦. 【答案】①④ 【分析】根据向量加减法运算结合相等向量的定义即可求解. 【详解】由题意得，如图所示， 在正六边形中，四边形是平行四边形， 则，所以①正确； 与方向不同，所以②错误； 与方向不同，所以③错误； ，所以④正确； ，所以⑤错误； 与方向不同，所以⑥错误； 在正六边形中，四边形为平行四边形， 则，所以⑦错误； 综上，①④正确. 故答案为：①④. 20．已知向量，满足，若，则 . 【答案】 【分析】由，求出，再根据求解即可. 【详解】因为， 所以， 故. 故答案为：. 三、解答题（本题共4小题，每小题10分，共40分） 21．已知，求. 【答案】 【分析】利用内积的运算律即可求解. 【详解】因为， 所以，， 所以. 22．已知向量，. (1)求； (2)求向量与向量的夹角的余弦值； (3)若，且，求向量与向量的夹角. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据向量线性运算的坐标表示求出，再根据模的坐标公式即可求解. （2）由向量内积的坐标表示即模的坐标公式求出，代入中即可求解. （3）由得，再由向量内积的定义结合已知条件列式即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以. （2）因为，， 则，，， 所以. （3）因为，所以，即， 所以，又，则， 所以，因为， 所以. 23．已知向量． (1)求向量和向量的坐标； (2)判断向量与是否垂直． 【答案】(1)， (2)垂直 【分析】（1）根据向量的线性运算的坐标表示求解即可； （2）根据向量垂直的坐标表示判断即可； 【详解】（1）因为向量， 所以，． （2）因为，所以． 24．如图所示，已知在中，是的中点，是将分成的一个内分点，和交于点，设，． (1)用和表示向量，； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）利用向量的线性运算表示向量，即可； （2）由向量的线性运算和平行向量基本定理即可得解. 【详解】（1）依题意，是的中点， 是将分成的一个内分点， ∴ ， 即； ． （2）设 ( )， 则， ∵与共线，∴存在实数k，使， 即， 则，解得． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $