立体几何（3） -专题训练卷 2026版黑龙江春季高考《数学考纲百套卷》第87卷（原卷版+解析版）

编写说明：2026版黑龙江春季高考《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及黑龙江历年春季高考真题编写。本套试卷共100份：第一部分是按照课程标准编写的64份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、不等式、函数等11个章节的26份专题训练卷；第三部分是参考历年真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是2026版黑龙江春季高考《数学考纲百套卷》的第87卷，是专题训练卷，主要考查立体几何掌握情况。 2026版黑龙江春季高考《数学考纲百套卷》 第87卷 立体几何（3） 专题训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题：（本大题共15个小题．每小题3分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．圆柱的母线长为10，则其高等于（　　） A．5 B．10 C．20 D．不确定 【答案】B 【分析】根据圆柱的母线长与高相等可得结果. 【详解】因为圆柱的母线长与高相等，且母线长为10， 所以其高等于10. 故选：B 2．底面为等边三角形且边长为1的四面体的高为1，则该四面体的体积等（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据四面体的体积公式先求底面积再求解体积即可. 【详解】四面体体积底面积高， 四面体的高为1，底面为边长为1的等边三角形， 底面积：， 体积. 故选:D. 3．圆锥的底面半径为3，高为4，则它的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆锥体积公式进行计算即可求解. 【详解】因为圆锥的底面半径为3，高为4， 所以圆锥的体积为. 故选：B. 4．下列叙述中，错误的一项为（    ） A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B．棱柱的各个侧面都是平行四边形 C．棱柱的两底面是全等的多边形 D．棱柱的面中，至少有两个面相互平行 【答案】A 【分析】利用棱柱的性质进行求解即可. 【详解】在A中，棱柱中两个互相平行的平面不一定是棱柱的底面，例如正六棱柱的相对侧面互相平行，故A错误； 在B中，由棱柱的定义知棱柱的各个侧面都是平行四边形，故B正确； 在C中，由棱柱的定义知棱柱的两底面是互相平行且全等的多边形，故C正确； 在D中，棱柱的定义是，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，相邻的公共边互相平行，这样的几何体是棱柱，故D正确. 故选：A. 5．已知长方体的铁块长、宽、高分别为2，4，8，将它融化后铸成一个正方体的铁块，则铸成的铁块的棱长为（    ） A．6 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据长方体的体积和正方体的体积相等求解正方体的棱长即可. 【详解】设所求正方体的棱长为， 则， 所以正方体的棱长为4. 故选:C. 6．长方体同一顶点上的三条棱长分别为2，2，3，则长方体的体积与表面积分别为（ ） A．12，32 B．12，24 C．22，12 D．12，11 【答案】A 【分析】利用长方体的表面积和体积公式计算即可. 【详解】由题意，长方体的体积为，表面积为， 故选：A. 7．把一个底面周长为，高为4的圆柱熔铸成一个底面积为的圆锥，则该圆锥的高为（    ） A．4 B．8 C．6 D．9 【答案】B 【分析】根据题意圆柱的体积即为圆锥的体积，由此可计算圆锥的高. 【详解】因为圆柱的底面周长为， 所以， 所以圆柱的底面圆半径， 又因为圆柱的体积和圆锥的体积相等， 所以， 解得圆锥的高. 故选:B. 8．已知一个球的表面积为，则该球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据球的表面积公式求出半径，利用球的体积公式即可得解. 【详解】设球的半径为， 则，∴, ∴球的体积， 故选：. 9．一个正三棱锥的棱长为，而且它的底面边长与棱长相等，则其表面积为（    ） A． B． C． D．36 【答案】A 【分析】根据题意可知，其表面积为边长为四个正三角形的面积之和，由勾股定理可解得三角形的面积，即可求解. 【详解】解：依题意得，． 故选：A 10．以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得几何体体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以正方形一边所在直线为轴旋转一周为圆柱，然后利用圆柱体积公式可求. 【详解】以正方形一边所在直线为轴旋转一周为圆柱， 因为正方形边长为2，可知，； 则几何体体积为； 故选：C. 11．已知直线m，n，平面，，则下列说法中，正确的是（   ） A．若，，且，则 B．若，，且，则 C．若，，且，则 D．若，，且，则 【答案】A 【分析】根据直线与平面的平行、垂直关系进行求解. 【详解】A选项，由，且，得或，内必有一直线使得， ∵，∴，即，得到，A正确； B选项，若，，且，则与平行或相交，B错误； C选项，若，，且，则与平行或相交，C错误； D选项，若，，且，则，D错误. 故选：A. 12．如图在正四面体中，直线OA与平面OBC所成的角为，则=（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出辅助线，得到，设，求出各边长，求出答案. 【详解】设为底面三角形的中心，取中点，连接， 则⊥平面，且，， 设，则，故， 故， 由勾股定理得， 故. 故选：A 13．若正方体的棱长为，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由正方体的结构特征得到的长为点到直线的距离，再利用直角三角形中三角函数的定义即可得解. 【详解】取的中点，连接，    在正方体中，分别为平面、平面、平面的对角线， 则，则是正三角形， 又点是的中点，所以，即的长为点到直线BD的距离， 则在中，. 故选：C. 14．已知正四棱锥的底面周长是8，高为，则它的侧面积为（    ） A．4 B．8 C．12 D． 【答案】C 【分析】根据正四棱锥侧面积公式易得答案. 【详解】因为底面边长是8，高为，所以底面边长为2， 因为侧面三角形的高、高以及斜高在底面上的射影构成直角三角形， 所以侧面三角形的高为， 故侧面积为. 故选：C. 15．如图，在四棱锥中，平面，四边形为菱形，，且，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用辅助线将异面直线与所成角的余弦值转化到同一平面内两条相交直线所成角余弦值来计算即可. 【详解】根据题意，连接、，与交于点， 连接，由于四边形为菱形，则与互相垂直平分，则有，且， 则异面直线与所成的角为直线与所成的角， 因为平面，平面，则， 又由，平面，平面，且与交于点， 则平面， 又因为平面，所以，则为直角三角形. 设，四边形为菱形，，则，， 故，则， 故，即异面直线与所成的角的余弦值为. 故选：D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 16．已知从长方体的一个顶点出发的三条棱长分别为2，3，6，则其体对角线的长为 . 【答案】7 【分析】由长方体的特征求其体对角线即可. 【详解】长方体的一个顶点出发的三条棱长分别为2，3，6， 则其体对角线长为. 故答案为：. 17．若一个圆锥侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 ． 【答案】 【分析】设出圆锥母线和半径的长，代入圆锥侧面积公式与圆面积公式，求出圆锥底面半径和高，然后利用体积公式可求. 【详解】设圆锥母线长，底面半径为， ∵圆锥侧面展开图的面积为，即圆锥侧面积为， ∴由圆锥侧面积公式得，即， ∵圆锥侧面展开图是面积为的半圆面，母线为半径， ∴，即，，从而， ∵圆锥的底面半径、母线和高构成直角三角形， ∴，，， ∵圆锥底面面积为， ∴圆锥体积为. 故答案为：. 18．已知一个圆锥的轴截面是一个等边三角形，且该圆锥的底面半径为1，则该圆锥的侧面积为 . 【答案】 【分析】运用圆锥侧面积公式即可计算出结果． 【详解】    因圆锥的轴截面是等边三角形，且该圆锥的底面半径， 则该圆锥母线长，所以该圆锥的侧面积， 故答案为：. 19．正三棱锥的底面边长是2，侧面和底面所成的二面角为，则正三棱锥高的长度为 . 【答案】1 【分析】利用正三棱锥的性质得出为侧面和底面所成的二面角，在中，求出三边长度，利用正切函数的定义即可求解. 【详解】由题意，是边长为2的等边三角形，所以， 作平面，交平面于点，连接并延长，交于点，连接， 又为等腰三角形，点为中点，所以， 所以为侧面和底面所成的二面角的平面角（或补角）， 因为侧面和底面所成的二面角为，所以， 所以， 所以正三棱锥的高. 故答案为：. 20．如图，在三棱柱中，底面是等边三角形，且底面，若，，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 【答案】 【分析】首先取中点，连，，再根据棱柱的几何特征以及线面垂直的判定定理可证明出平面，可知为直线与平面所成角，再由题中的条件根据勾股定理求出中的边长，最后由正弦的定义求值即可. 【详解】取中点，连，， 因为在三棱柱中，底面是等边三角形， 所以底面是等边三角形，从而， 因为底面，所以底面， 因为底面， 所以，又， 且平面，平面， 从而平面， 因此为直线与平面所成角， 且由平面，平面， 可知，为直角三角形， 因为，， 所以， 因为， 所以, 所以， 故答案为：． 三、解答题（本题共4小题，每小题10分，共40分） 21．如图所示，在三棱锥中，平面，，求二面角的大小．      【答案】． 【分析】根据二面角的定义找到二面角的平面角易得答案. 【详解】解：∵平面，平面，平面， ∴，， ∴是二面角的平面角， ∵， ∴二面角的大小为． 22．如图，在三棱锥中，平面，，，，求： (1)三棱锥的体积； (2)二面角的正切值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）证明底面为直角三角形，然后求出底面三角形面积，再根据棱锥体积公式求体积即可； （2）找到二面角的平面角，然后利用直角三角函数求正切值即可. 【详解】（1）因为， 又，，所以底面为直角三角形， ， ． （2）作垂直于点，连接， 平面，平面，， 又，且平面， 平面，平面，． 为二面角的平面角． ，， 因为，所以三角形为直角三角形， ． 即二面角的正切值为． 23．如图所示，已知四棱锥，底面为菱形，，交于点，平面ABCD，且，.    (1)求四棱锥的体积； (2)求半平面PAC与底面ABCD所成二面角的余弦值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先根据底面是菱形，计算菱形面积，再根据棱锥体积公式计算. （2）先找到半平面PAC与底面ABCD所成二面角的平面角，再根据边的关系计算余弦值. 【详解】（1）因为，，底面为菱形， ∴，，即. . 所以. （2）∵平面ABCD，平面，. 而为菱形，即，且平面，. ∴平面. 而平面，故. 所以，和为半平面PAC与底面ABCD所成二面角的平面角. 在中，，，所以，得到， 因为和互为补角，所以 . 所以，半平面PAC与底面ABCD所成二面角的余弦值为或. 24．如图，已知三棱锥，平面平面，且，． (1)求证：平面； (2)若，与平面所成角为，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明过程见解析. (2)1. 【分析】（1）根据面面垂直证明线面垂直，再利用线面垂直证明线线垂直，即可证明平面. （2）根据线面角的定义求出与平面所成角，再结合已知条件即可求解. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面， 且，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又，，平面，平面， 所以平面. （2）由（1）知，因为平面，平面，所以， 所以点到平面的距离为线段的长度，则在平面的投影为线段， 所以与平面所成角为，即， 因为，所以， 所以点到平面的距离为1. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2026版黑龙江春季高考《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及黑龙江历年春季高考真题编写。本套试卷共100份：第一部分是按照课程标准编写的64份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、不等式、函数等11个章节的26份专题训练卷；第三部分是参考历年真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是2026版黑龙江春季高考《数学考纲百套卷》的第87卷，是专题训练卷，主要考查立体几何掌握情况。 2026版黑龙江春季高考《数学考纲百套卷》 第87卷 立体几何（3） 专题训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题：（本大题共15个小题．每小题3分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．圆柱的母线长为10，则其高等于（　　） A．5 B．10 C．20 D．不确定 2．底面为等边三角形且边长为1的四面体的高为1，则该四面体的体积等（    ） A． B． C． D． 3．圆锥的底面半径为3，高为4，则它的体积为（    ） A． B． C． D． 4．下列叙述中，错误的一项为（    ） A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B．棱柱的各个侧面都是平行四边形 C．棱柱的两底面是全等的多边形 D．棱柱的面中，至少有两个面相互平行 5．已知长方体的铁块长、宽、高分别为2，4，8，将它融化后铸成一个正方体的铁块，则铸成的铁块的棱长为（    ） A．6 B．2 C．4 D．8 6．长方体同一顶点上的三条棱长分别为2，2，3，则长方体的体积与表面积分别为（ ） A．12，32 B．12，24 C．22，12 D．12，11 7．把一个底面周长为，高为4的圆柱熔铸成一个底面积为的圆锥，则该圆锥的高为（    ） A．4 B．8 C．6 D．9 8．已知一个球的表面积为，则该球的体积为（    ） A． B． C． D． 9．一个正三棱锥的棱长为，而且它的底面边长与棱长相等，则其表面积为（    ） A． B． C． D．36 10．以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得几何体体积为（   ） A． B． C． D． 11．已知直线m，n，平面，，则下列说法中，正确的是（   ） A．若，，且，则 B．若，，且，则 C．若，，且，则 D．若，，且，则 12．如图在正四面体中，直线OA与平面OBC所成的角为，则=（      ） A． B． C． D． 13．若正方体的棱长为，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 14．已知正四棱锥的底面周长是8，高为，则它的侧面积为（    ） A．4 B．8 C．12 D． 15．如图，在四棱锥中，平面，四边形为菱形，，且，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 16．已知从长方体的一个顶点出发的三条棱长分别为2，3，6，则其体对角线的长为 . 17．若一个圆锥侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 ． 18．已知一个圆锥的轴截面是一个等边三角形，且该圆锥的底面半径为1，则该圆锥的侧面积为 . 19．正三棱锥的底面边长是2，侧面和底面所成的二面角为，则正三棱锥高的长度为 . 20．如图，在三棱柱中，底面是等边三角形，且底面，若，，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 三、解答题（本题共4小题，每小题10分，共40分） 21．如图所示，在三棱锥中，平面，，求二面角的大小．      22．如图，在三棱锥中，平面，，，，求： (1)三棱锥的体积； (2)二面角的正切值． 23．如图所示，已知四棱锥，底面为菱形，，交于点，平面ABCD，且，.    (1)求四棱锥的体积； (2)求半平面PAC与底面ABCD所成二面角的余弦值. 24．如图，已知三棱锥，平面平面，且，． (1)求证：平面； (2)若，与平面所成角为，求点到平面的距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $