立体几何（2） -专题训练卷 2026版黑龙江春季高考《数学考纲百套卷》第86卷（原卷版+解析版）

编写说明：2026版黑龙江春季高考《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及黑龙江历年春季高考真题编写。本套试卷共100份：第一部分是按照课程标准编写的64份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、不等式、函数等11个章节的26份专题训练卷；第三部分是参考历年真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是2026版黑龙江春季高考《数学考纲百套卷》的第86卷，是专题训练卷，主要考查立体几何掌握情况。 2026版黑龙江春季高考《数学考纲百套卷》 第86卷 立体几何（2） 专题训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题：（本大题共15个小题．每小题3分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．相交或异面 【答案】D 【分析】由线线的位置关系即可求解. 【详解】如果一条直线和两条异面直线中的一条平行， 则它与另一条不可能平行，只可能相交或异面. 故选：D 2．已知、是空间中不同的两条直线，、是空间中不同的两个平面，下列说法正确的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，，那么与相交 C．如果，，，那么 D．如果，，，那么与没有公共点 【答案】D 【分析】根据线面平行，面面平行的性质判断即可. 【详解】如果，，那么或与异面，A项错误． 如果，，那么与相交或平行，B项错误． 如果，，，那么或与异面，此时与没有公共点， C项错误，D项正确． 故选：D. 3．若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则这个圆柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆柱的轴截面求底面圆的侧面积计算即可. 【详解】圆柱的轴截面是边长为2的正方形， 则底面圆的直径为2，母线长为2， 则底面圆半径为1，周长为， 圆柱侧面积为：. 故选：D. 4．如果把圆柱底面圆的半径扩大到原来的3倍，高增大到原来的4倍，则圆柱的侧面积增大到原来的（    ） A．7倍 B．12倍 C．24倍 D．36倍 【答案】B 【分析】根据侧面积与半径的关系即可求解. 【详解】设圆柱原来的底面半径为r，高为h，圆柱侧面积. 则扩大后的圆柱侧面积，是原来的12倍． 故选：B. 5．下列命题正确的是（    ） A．四棱柱都是直棱柱 B．直四棱柱就是正方体 C．六个面都是矩形的四棱柱是长方体 D．底面是矩形的四棱柱是长方体 【答案】C 【分析】根据直棱柱的定义即可求解. 【详解】对A，当侧棱与底面垂直时才是直棱柱，所以A错误； 对B，直四棱柱，侧棱与底面垂直，但是各棱长不一定相等，所以直四棱柱不一定是正方体，所以B错误； 对C，根据长方体的定义可知，六个面都是矩形的四棱柱是长方体，所以C正确； 对D，底面是矩形的直四棱柱才是长方体，所以D错误. 故选：C 6．已知圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则该圆锥的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆锥的轴截面为正三角形即可求解底面半径和母线进而求解表面积即可. 【详解】因为圆锥的轴截面是边长为4的正三角形， 所以. 故选:D. 7．已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的体积等于（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】根据正棱锥的性质，先求出底面对角线长度的一半，再由勾股定理计算出高，最后由棱锥的体积公式求解即可. 【详解】如图， 连接AC,BD，设AC与BD交于点O，连接SO. SO为正四棱锥的高， . 正四棱锥的底面为边长为2的正方形， 由勾股定理，， . ，由勾股定理，， 正四棱锥的体积为：. 故选：A. 8．正方体的棱长为1，下列结论正确的是（    ） A．异面直线与CD所成的角为 B．直线与平面ABCD所成的角为 C．直线与的夹角是 D． 【答案】D 【分析】根据异面直线所成的角的定义分析AC选项，由直线与平面所成的角的定义分析B选项，根据三棱锥的体积公式求解D选项即可. 【详解】对A，在正方体中，平面，平面，则与CD所成角为，A错误； 对B，因为平面ABCD，所以为直线与平面ABCD所成角， 所以与平面ABCD所成角为，B错误； 对C，因为，AC，为面对角线，所以，AC，相等，所以是等边三角形，所以直线与夹角是，C错误； 对D，，D正确． 故选：D. 9．棱长都是1的三棱锥的表面积是（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】根据三棱锥为四个面相等的等边三角形求解即可. 【详解】因为三棱锥的棱长为1， 所以底面是等边三角形， 所以高为， 所以底面的面积为， 又因为三棱锥为四个面相等的等边三角形， 所以三棱锥的表面积是. 故选:B. 10．“直线与平面内的无数条直线平行”是“直线平行于平面”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用线面平行的定义，结合空间想象与充分必要条件的知识即可得解. 【详解】如果直线与平面内的无数条直线平行，那么直线平行于平面或直线在平面内. 则命题“如果直线与平面内的无数条直线平行，那么直线平行于平面”是假命题， 其逆命题“如果直线平行于平面，那么直线与平面内的无数条直线平行”是真命题， 所以“直线与平面内的无数条直线平行”是“直线平行于平面”的必要不充分条件. 故选：B. 11．如图，在正方体中，点，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在正方形中作的平行线使得与相交，找到与的所成角并进行证明. 【详解】作交与，连结，如图所示： 则，异面直线与所的成角， 即为与所成的角， 显然△△， 故， 故， ．即所成的角为， 故选：D． 12．正三棱锥中，底面边长为，侧棱长为5，则它的高为是（    ） A．4 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】在正三棱锥中，作平面，垂足为O点，连接AO，则O点是正三角形的中心，从而可得，据此，在中可求解. 【详解】 如图，在正三棱锥中，作平面，垂足为O点，连接AO， 因为棱锥是正三棱锥，所以O点是正三角形的中心. 因为底面边长为，所以. 在中，， 所以高. 故选：A 13．已知是正三角形，平面，点D是的中点，若，则与底面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由线面垂直证明线线垂直，进而得到就是与底面所成的角，最后求解正切值. 【详解】设的边长为，则， 平面，故就是与底面所成的角. 平面，所以, 点是的中点，， 故， 在中，， 故选：C. 14．如图所示，长方体中，给出以下判断，其中正确的是（    ） A．直线与相交 B．直线与是异面直线 C．直线与有公共点 D． 【答案】D 【分析】利用异面直线的定义可以判断出A、C，利用平行四边形的性质可判断出B、D. 【详解】 对于：面，面，且B不在AC上， 根据异面直线的定义得，直线与是异面直线，故选项错误； 对于，因为，， 所以四边形为平行四边形， 所以，即直线与平行直线，故选项错误； 对于，面，面，， 根据异面直线的定义得，直线与是异面直线，故选项错误； 对于，因为，， 所以四边形为平行四边形， 所以，故D选项正确； 故选：. 15．用长为4、宽为2的矩形作侧面围成一个圆柱，则此圆柱轴截面的面积为（    ）． A．8 B． C． D． 【答案】B 【分析】分将高为4和高为2两种情况讨论求解. 【详解】当围成的圆柱底面周长为4，高为2时， 设圆柱底面圆的半径为r，则， ∴， ∴轴截面是长为，宽为2的矩形， ∴轴截面的面积为． 同理，当围成的圆柱底面周长为2，高为4时，轴截面的面积为． 故选：B. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 16．若圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，且圆锥的母线长为2，则这个圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【分析】由条件求出底面半径，然后利用圆锥的侧面积公式求解. 【详解】∵圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，且母线长， ∴圆锥的底面半径， ∴这个圆锥的侧面积. 故答案为：. 17．若正四棱柱的底面边长为5，侧棱长为4，则此正四棱柱的体积为 ． 【答案】100 【分析】根据正四棱柱的体积公式求解即可. 【详解】正四棱柱的底面边长为5，侧棱长为4， 所以正四棱柱的体积为. 故答案为：100. 18．在正方体中，直线与直线所成角的大小为 【答案】 【分析】连接，，找到直线与直线所成的角，再由正方体的性质求出该角的大小即可. 【详解】连接，， 在正方体中，， 所以为直线与直线所成的角， 由正方体的性质可知，， 所以，即直线与直线所成的角为， 故答案为：. 19．若球的大圆半径为2，球的体积为 . 【答案】/ 【分析】利用球的截面性质得到球的半径，再利用球的体积公式即可得解. 【详解】因为球的大圆半径为2，所以球的半径为2， 则球的体积为. 故答案为：. 20．已知正四棱锥的底面边长是4，侧棱长是5，则该棱锥的体积 . 【答案】/ 【分析】利用正四棱锥的结构特征求得其高，再利用体积公式即可得解. 【详解】依题意，正四棱锥的斜高. 所以. 所以. 故答案为：. 三、解答题（本题共4小题，每小题10分，共40分） 21．如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱中，求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】． 【分析】根据直线与平面所成角的定义确定所求角，进而求解即可. 【详解】 在正四棱柱中，平面，连接， 则为在平面的射影，则为与平面的所成角． 在中，， 直线与平面所成角的余弦值为． 22．如图所示，已知正三棱柱的棱长，. (1)计算正三棱柱的表面积. (2)计算正三棱柱的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正三棱柱的表面积公式计算； （2）根据正三棱柱的体积公式计算. 【详解】（1）∵正三棱柱的棱长，， ∴， 正三棱柱的侧面积为， ∴正三棱柱的表面积为. （2）正三棱柱的体积. 23．已知棱长为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形的四棱锥． (1)求它的表面积； (2)求它的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由四棱锥的表面积公式结合三角形面积公式求解即可. （2）由四棱锥的体积公式计算即可. 【详解】（1）∵四棱锥的各棱长均为5， 底面为正方形，各侧面均为正三角形， ∴它的表面积为. （2）连接、，，连接， 则为棱锥的高， 因为四棱锥的各棱长均为5，底面为正方形， 所以， 则， 故棱锥的体积． 24．如图所示，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，是的中点，底面，. (1)求证：平面平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作辅助线，得到线线垂直，进而得到线面垂直，再根据线面垂直证明面面垂直. （2）由三棱锥的体积公式求解即可. 【详解】（1） 如图所示，连接BD， 由是菱形，且知，是等边三角形， 因为是的中点，所以， 又因为，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面； （2）因为平面，所以平面， 所以是三棱锥的高， 在等边三角形中，因为，所以， 所以， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2026版黑龙江春季高考《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及黑龙江历年春季高考真题编写。本套试卷共100份：第一部分是按照课程标准编写的64份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、不等式、函数等11个章节的26份专题训练卷；第三部分是参考历年真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是2026版黑龙江春季高考《数学考纲百套卷》的第86卷，是专题训练卷，主要考查立体几何掌握情况。 2026版黑龙江春季高考《数学考纲百套卷》 第86卷 立体几何（2） 专题训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题：（本大题共15个小题．每小题3分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．相交或异面 2．已知、是空间中不同的两条直线，、是空间中不同的两个平面，下列说法正确的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，，那么与相交 C．如果，，，那么 D．如果，，，那么与没有公共点 3．若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则这个圆柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 4．如果把圆柱底面圆的半径扩大到原来的3倍，高增大到原来的4倍，则圆柱的侧面积增大到原来的（    ） A．7倍 B．12倍 C．24倍 D．36倍 5．下列命题正确的是（    ） A．四棱柱都是直棱柱 B．直四棱柱就是正方体 C．六个面都是矩形的四棱柱是长方体 D．底面是矩形的四棱柱是长方体 6．已知圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则该圆锥的表面积是（    ） A． B． C． D． 7．已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的体积等于（    ） A． B． C． D．4 8．正方体的棱长为1，下列结论正确的是（    ） A．异面直线与CD所成的角为 B．直线与平面ABCD所成的角为 C．直线与的夹角是 D． 9．棱长都是1的三棱锥的表面积是（    ） A． B． C． D．4 10．“直线与平面内的无数条直线平行”是“直线平行于平面”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．如图，在正方体中，点，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 12．正三棱锥中，底面边长为，侧棱长为5，则它的高为是（    ） A．4 B．3 C． D． 13．已知是正三角形，平面，点D是的中点，若，则与底面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 14．如图所示，长方体中，给出以下判断，其中正确的是（    ） A．直线与相交 B．直线与是异面直线 C．直线与有公共点 D． 15．用长为4、宽为2的矩形作侧面围成一个圆柱，则此圆柱轴截面的面积为（    ）． A．8 B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 16．若圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，且圆锥的母线长为2，则这个圆锥的侧面积为 ． 17．若正四棱柱的底面边长为5，侧棱长为4，则此正四棱柱的体积为 ． 18．在正方体中，直线与直线所成角的大小为 19．若球的大圆半径为2，球的体积为 . 20．已知正四棱锥的底面边长是4，侧棱长是5，则该棱锥的体积 . 三、解答题（本题共4小题，每小题10分，共40分） 21．如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱中，求直线与平面所成角的余弦值． 22．如图所示，已知正三棱柱的棱长，. (1)计算正三棱柱的表面积. (2)计算正三棱柱的体积. 23．已知棱长为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形的四棱锥． (1)求它的表面积； (2)求它的体积. 24．如图所示，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，是的中点，底面，. (1)求证：平面平面； (2)求三棱锥的体积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $