精品解析：浙江省杭州市萧山区钱江片2022-2023学年八年级上学期12月学科竞赛数学试卷

2022学年第一学期八年级提优练习 数学试题卷 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各曲线表示的y与x的关系中，y不是x的函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义即可得出答案． 【详解】解：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以只有选项C不满足条件． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了函数的定义，理解对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应是解答本题的关键． 2. 已知，，，，则这个三角形是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．求出，，再根据等腰三角形的定义、勾股定理的逆定理即可得． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 故选：C． 3. 已知，则下列四个不等式中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质“性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，熟练掌握不等式的性质是解题关键．根据不等式的性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、由得：（不等式的两边同加2，不等号的方向不变），则此项正确，不符合题意； B、由得：（不等式的两边同乘以，不等号的方向不变），则此项正确，不符合题意； C、由得：当时，（不等式的两边同乘以，不等号的方向不变）；当时，；则此项不正确，符合题意； D、由得：（不等式的两边同乘以，不等号的方向改变），则可得（不等式的两边同减1，不等号的方向不变），则此项正确，不符合题意； 故选：C． 4. 小芳有两根长度为4cm和9cm的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择长度为（　　）的木条． A. 3cm B. 5cm C. 12cm D. 17cm 【答案】C 【解析】 【分析】设小芳选择的木条长度为，根据三角形的三边关系定理求出的取值范围，由此即可得． 【详解】解：设小芳选择的木条长度为， 小芳想钉一个三角形木框， ，即， 观察四个选项可知，只有选项C符合， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理的应用，熟练掌握三角形的三边关系定理是解题关键． 5. 以方程组的解为坐标的点在平面坐标系中的（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法及判断坐标点坐在象限，先求解方程组，再判断点在平面直角坐标系中的位置即可． 【详解】解： 由②代入①得：， 解得：， 把代入②式得：， ∴原方程组的解为：， ∵，， ∴点在第一象限， 故选：A． 6. 等腰三角形ABC在直角坐标系中，底边的两端点坐标分别是(－3，m)，(5，m)，则能确定的是它的(　　) A. 一腰的长 B. 底边的长 C. 周长 D. 面积 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知该等腰三角形底边平行于x轴，即可求出其长度．又因为其顶点不能确定，故腰长不能确定，周长、 面积也不能确定，由此选择即可． 【详解】由坐标可知底边是平行与x轴的线段， ∴底边长为， ∵顶点不能确定， ∴腰长不能确定， ∴周长、 面积也不能确定． 故选B． 【点睛】本题考查坐标与图形，等腰三角形的定义．根据所给坐标理解该等腰三角形底边平行于x轴是解题关键． 7. 一元一次不等式组的解集为，且，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．根据在确定一元一次不等式组的解集时，“同大取大”解答即可得． 【详解】解：∵一元一次不等式组的解集为，且， ∴， 故选：A． 8. 如图，△ABC中，AB＝AC，过点A作DA⊥AC交BC于点D．若∠B＝2∠BAD，则∠BAD的度数为（　　） A. 18° B. 20° C. 30° D. 36° 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠C＝2∠BAD，再根据三角形外角性质得出∠ADC＝3∠BAD，根据三角形内角和列出方程即可得到结论． 【详解】解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝2∠BAD， ∴∠ADC＝∠BAD+∠B， ∵∠B＝2∠BAD， ∴∠ADC＝3∠BAD， ∵DA⊥AC， ∴∠DAC＝90°， ∴∠ADC+∠C＝90°， ∴3∠BAD+2∠BAD＝90°， ∴∠BAD＝18°， 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 9. 如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分．其中正确的结论有（ ） A. ① B. ①② C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的判定定理等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．先证出，再证出，根据全等三角形的性质可得，，则①正确；设交于点，根据对顶角相等可得，再根据三角形的内角和定理可得，则②正确；过点作于点，作于点，先根据全等三角形的性质可得，，再根据三角形的面积公式可得，然后根据角平分线的判定定理即可得③正确． 【详解】解：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，，则结论①正确； 如图，设交于点， 由对顶角相等得：， ∴ ，则结论②正确； 如图，过点作于点，作于点， ∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵，，点在的内部， ∴平分，则结论③正确； 综上，正确的结论有①②③， 故选：D． 10. 非负数，，满足，，的最大值为，最小值，则（ ） A. 14 B. 19 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，求一元一次不等式组的解集．设，用k表示出，，，根据，，为非负数，求出k的取值范围，再将转化为关于k的一次函数，求其最值之和即可． 【详解】解：设， 则，，， ，，是非负数， ，，， ，，， ． ， ， 随k的增大而增大， 当时，取最小值，， 当时，取最大值，， ， 故选D． 二．填空题（每小题4分，共24分） 11. 如果a＞b，那么﹣2﹣a___﹣2﹣b．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】＜ 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质：不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；不等式两边加上同一个数，不等式的方向不变． 【详解】解：∵a＞b， ∴﹣a＜﹣b， ∴﹣2﹣a＜﹣2﹣b， 故答案为：＜． 【点睛】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 12. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 【答案】5或 【解析】 【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论． 【详解】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时， 第三边的长为：； ②长为3、4的边都是直角边时， 第三边的长为：； ∴第三边的长为：或5， 故答案为：或5． 13. 已知等腰三角形的周长为12cm，若底边长为cm，一腰长为cm. 则与的函数关系式是______；自变量的取值范围是______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据三角形的周长公式可得：底边长=周长-2×腰长；再根据三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边可得，再把y=12-2x代入可得，再解不等式组即可． 【详解】依题意有：y=12−2x, 故y与x的函数关系式为：y=12−2x； ∵， ∴， 解得：3<x<6. 故自变量x的取值范围为3<x<6. 故答案为y=12−2x；3<x<6. 【点睛】本题考查一次函数关系式和函数自变量的取值范围，解题的关键是掌握一次函数关系式和函数自变量的取值范围的求法. 14. 已知点，点坐标为，当直线轴时，点M的坐标为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，熟练掌握平行于y轴的直线上的点的横坐标相同，平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同是解题的关键． 【详解】解：当直线轴时， 解得， 则， 点M的坐标为 故答案为： 15. 若关于的不等式组 恰好只有2个整数解，则所有满足条件的整数的值之和是_______． 【答案】6 【解析】 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．求出不等式组的解集，由不等式组恰好只有2个整数解，确定出a的范围，即可求得满足条件的整数． 【详解】解：解不等式组得∶． 关于x的不等式组 恰好只有2个整数解， ∴，即， ∴满足条件的整数a的值为0、1、2、3， ∴整数a的值之和是， 故答案为：6 16. 如图，等腰直角三角形中，，，D、E是上的两个点，且，，，则的长为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、勾股定理、二次根式的应用等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．作，截取，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，，则可得，然后利用勾股定理可得，则可得，最后利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，作，截取，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵在等腰直角三角形中，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 三．解答题（本部分共7题，共66分）温馨提示：解答题必须把过程完整地表述出来！ 17. 解不等式组，并在数轴上表示它的解集． 【答案】，见解析 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、将不等式组的解集表示在数轴上，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题关键．先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后将不等式组的解集表示在数轴上即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为． 在数轴上表示不等式组的解集如下： ． 18. 已知∶如图，中， （1） 用直尺和圆规作的平分线，交于点O； （2）在(1)的条件下，若，，求点O到的距离． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了复杂作图、角平分线的性质及勾股定理的知识点，熟知角平分线的作法和性质是解答本题的关键． (1)利用角平分线的作法得出即可； (2)利用角平分线的性质和勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：如图，为所求作的角平分线； 【小问2详解】 解：如图2，过点O作于点D， ，由（1）知平分， ，． ，， ，，． 设，则，， 在中，， 得， 即点O到的距离为． 19. （1）在如图所示的直角坐标系中，有一个三角形．把向下平移6个单位，得到，再作关于轴的对称图形，请在直角坐标系中画出． （2）求出的面积． 【答案】（1）图见解析；（2） 【解析】 【分析】本题考查了平移作图、画轴对称图形、利用网格求三角形的面积，熟练掌握平移和轴对称作图的方法是解题关键． （1）先根据平移的性质画出点，再顺次连接可得，然后根据轴对称的性质画出点，顺次连接即可得； （2）利用一个长方形的面积减去三个小直角三角形的面积即可得． 【详解】解：（1）如图，即为所作． （2）的面积为． 20. 如图，中，是高，是角平分线，它们相交于点O，，求和的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质．关键是利用角平分线的性质解出，再运用三角形外角性质求出．先利用三角形内角和定理可求，在直角三角形中，易求；再根据角平分线定义可求可得的度数；然后利用三角形外角性质，可先求，再次利用三角形外角性质，容易求出． 【详解】解：∵ ∴ 又∵是高， ∴ ∴ ∵是角平分线， ∴ ∴ ∴ 故 21. 如图，点，，分别在等边的各边上，且于点，于点，于点． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：为等边三角形， ， ，，， ， ，，， ， ，，， ， 是等边三角形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，平角的意义，三角形全等的判定与性质，含角的直角三角形的特征． （1）根据等边三角形的性质得出进而得出，再根据平角的意义即可得出，即可得出结论； （2）易证得，得出，，从而求得，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半得出，即可求得的长，进而得出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 22. 为提高饮水质量，越来越多的居民选购家用净水器．一商场抓住商机，从厂家购进了A、B两种型号家用净水器共160台，A型号家用净水器进价是150元/台，B型号家用净水器进价是350元/台，购进两种型号的家用净水器共用去36000元． （1）求A、B两种型号家用净水器各购进了多少台； （2）为使每台B型号家用净水器的毛利润是A型号的2倍，且保证售完这160台家用净水器的毛利润不低于11000元，求每台A型号家用净水器的售价至少是多少元．（注：毛利润=售价﹣进价） 【答案】（1）A种型号家用净水器购进了100台，B种型号家用净水器购进了60台．（2）每台A型号家用净水器的售价至少是200元． 【解析】 【分析】（1）设A种型号家用净水器购进了x台，B种型号家用净水器购进了y台，根据条件列二元一次方程组解答即可； （2）设每台A型号家用净水器的毛利润是a元，根据题意列出不等式求解即可. 【详解】解：（1）设A种型号家用净水器购进了x台，B种型号家用净水器购进了y台， 由题意得，解得； 答：A种型号家用净水器购进了100台，B种型号家用净水器购进了60台． （2）设每台A型号家用净水器的毛利润是a元，则每台B型号家用净水器的毛利润是2a元， 由题意得100a+60×2a≥11000，解得a≥50， 150+50=200（元）． 答：每台A型号家用净水器的售价至少是200元． 【点睛】考点：1.二元一次方程组的实际运用2.一元一次不等式组的实际运用 23. 在中，，，，为上一点，连接，过点作于点． （1）如图1，过点作交的延长线于点，求证：； （2）如图2，若为的中点，的延长线交于点，连接，求证：； （3）在（2）的条件下，若，，则 ．（直接写出答案） 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、勾股定理、二次根式的应用等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． （1）先证出，，再根据定理即可得证； （2）过点作，交延长线于点，先求出，再根据全等三角形的性质可得，，则可得，然后证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得证； （3）过点作，交延长线于点，连接，先利用勾股定理可得，则可得，利用勾股定理可得，再根据全等三角形的性质可得，利用勾股定理可得，然后设，则，在中，利用勾股定理求出的值，根据求解即可得． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴． 【小问2详解】 证明：如图，过点作，交延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）已证：， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图，过点作，交延长线于点，连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 由（2）已证：， ∴， ∴在中，， 在中，， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022学年第一学期八年级提优练习 数学试题卷 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各曲线表示的y与x的关系中，y不是x的函数的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知，，，，则这个三角形是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 3. 已知，则下列四个不等式中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 小芳有两根长度为4cm和9cm的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择长度为（　　）的木条． A. 3cm B. 5cm C. 12cm D. 17cm 5. 以方程组的解为坐标的点在平面坐标系中的（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 等腰三角形ABC在直角坐标系中，底边的两端点坐标分别是(－3，m)，(5，m)，则能确定的是它的(　　) A. 一腰的长 B. 底边的长 C. 周长 D. 面积 7. 一元一次不等式组的解集为，且，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，△ABC中，AB＝AC，过点A作DA⊥AC交BC于点D．若∠B＝2∠BAD，则∠BAD的度数为（　　） A. 18° B. 20° C. 30° D. 36° 9. 如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分．其中正确的结论有（ ） A. ① B. ①② C. ②③ D. ①②③ 10. 非负数，，满足，，的最大值为，最小值，则（ ） A. 14 B. 19 C. D. 二．填空题（每小题4分，共24分） 11. 如果a＞b，那么﹣2﹣a___﹣2﹣b．（填“＞”、“＜”或“＝”） 12. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 13. 已知等腰三角形的周长为12cm，若底边长为cm，一腰长为cm. 则与的函数关系式是______；自变量的取值范围是______. 14. 已知点，点坐标为，当直线轴时，点M的坐标为____． 15. 若关于的不等式组 恰好只有2个整数解，则所有满足条件的整数的值之和是_______． 16. 如图，等腰直角三角形中，，，D、E是上的两个点，且，，，则的长为___． 三．解答题（本部分共7题，共66分）温馨提示：解答题必须把过程完整地表述出来！ 17. 解不等式组，并在数轴上表示它的解集． 18. 已知∶如图，中， （1） 用直尺和圆规作的平分线，交于点O； （2）在(1)的条件下，若，，求点O到的距离． 19. （1）在如图所示的直角坐标系中，有一个三角形．把向下平移6个单位，得到，再作关于轴的对称图形，请在直角坐标系中画出． （2）求出的面积． 20. 如图，中，是高，是角平分线，它们相交于点O，，求和的度数． 21. 如图，点，，分别在等边的各边上，且于点，于点，于点． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的长． 22. 为提高饮水质量，越来越多的居民选购家用净水器．一商场抓住商机，从厂家购进了A、B两种型号家用净水器共160台，A型号家用净水器进价是150元/台，B型号家用净水器进价是350元/台，购进两种型号的家用净水器共用去36000元． （1）求A、B两种型号家用净水器各购进了多少台； （2）为使每台B型号家用净水器的毛利润是A型号的2倍，且保证售完这160台家用净水器的毛利润不低于11000元，求每台A型号家用净水器的售价至少是多少元．（注：毛利润=售价﹣进价） 23. 在中，，，，为上一点，连接，过点作于点． （1）如图1，过点作交的延长线于点，求证：； （2）如图2，若为的中点，的延长线交于点，连接，求证：； （3）在（2）的条件下，若，，则 ．（直接写出答案） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $