第二章有理数单元测试（培优卷）　　2025-2026学年苏科版数学七年级上册

第二章有理数单元测试（培优卷） 一．选择题（共10小题） 1．下列四个数中，最小的是（　　） A．1.25×106 B．1.15×106 C．1.25×105 D．1.15×105 2．如图所示，数轴上点A，M，B分别表示数a+b，a，2a，若AM＞BM，则下列运算结果一定是正数的是（　　） A．a+b B．a﹣b C．ab D．|a|+b 3．已知a2＝b2＝c2＝d2＝1，则a+b+c+d的值不可能等于是（　　） A．﹣4 B．﹣1 C．0 D．2 4．下列运算正确的是（　　） A．2×（﹣2）＝﹣4 B．18÷（﹣6）＝3 C．﹣23＝8 D．3﹣（﹣1）＝﹣4 5．下列计算不正确的是（　　） A．﹣1.5×（﹣3）＝4.5 B．（﹣1.2）×（﹣7）＝﹣8.4 C．﹣8×（﹣1.3）＝10.4 D．0×（﹣1.6）＝0 6．现有以下结论：①正有理数、负有理数和0统称为有理数；②若两个数的差是正数，则这两个数都是正数；③任意一个有理数都可以在数轴上找到一个点来表示；④若|a|＝|b|，则a＝b；⑤几个非零有理数相乘，若负因数的个数为奇数，则乘积为负数；⑥数轴上到原点的距离为3的点表示的数是3或﹣3．其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．如图是长春市某段时间的天气预报，这几天中最高温度与最低温度的差最小的是（　　） A．3月12日 B．3月13日 C．3月14日 D．3月15日 8．在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算82×34，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（　　） A．b的值为6 B．a为奇数 C．乘积结果可以表示为101b+10（a+1）﹣1 D．a的值小于3 9．﹣a、b两数在数轴上的位置如图，下列结论正确的是（　　） A．a＞0，b＜0 B．a＜b C．|a|＝﹣a，|b|＝﹣b D．|a|＞|b| 10．如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示﹣1的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示2024的点与圆周上表示哪个数字的点重合？（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 二．填空题（共5小题） 11．课外兴趣小组要制作一批卡通图片，如果每天做30个，则要比计划晚12天完成，如果每天做40个，就可以提前4天完成，那么这批卡通图片共有 _____________个． 12．如图，数轴上点A所表示的数是 　 　 ． 13．某货车运送300颗西瓜，每颗西瓜的运费是1.5元，若摔裂一颗西瓜，不但没有运费，还需要赔付10元，货车司机一共获得运费415.5元，摔裂的西瓜有　 　 颗． 14．点A在数轴上，点A所对应的数用2a+1表示，且点A到原点的距离等于3，则a的值为 　 　 ． 15．已知a、b、c的位置如图：则化简|﹣a|﹣|c﹣b|﹣|a﹣c|＝　 　 ． 三．解答题（共7小题） 16．计算下面各题，能简便的要简便． （1）； （2）； （3）； （4）． 17．已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示． （1）根据数轴化简：|a|＝①　 　 ；|﹣b|＝②　 　 ；|c﹣b|＝③　 　 ；|ac|＝④　 　 ． （2）若|a|＝6.5，|b|＝3.5，|c|＝8．求a+b﹣c的值． 18．外卖送餐为我们的生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定每天送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“+”，低于50单的部分记为“﹣”，如表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单） +8 ﹣2 +13 ﹣5 +6 ﹣7 +15 （1）求该外卖小哥这一周一共送餐多少单？ （2）外卖小哥每天的工资由底薪80元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过50单的部分，每单补贴3元；超过50单但不超过60单的部分，每单补贴5元；超过60单的部分，每单补贴8元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 19．有一个像如图那样的长方体容器，现在以每秒0.75升的速度向这个容器注水．容器的底面有一块隔板（垂直于底面，不考虑厚度），将容器隔为A、B两个部分．B部分有一个洞，水按一定的流量往下漏． 图①是表示从注水开始A部分的水的高度变化的图象．回答下面的问题： （1）求图①中D表示的数； （2）从B的洞中每秒钟流出来多少升水； （3）求图①中P、Q表示的数． 20．我校开展阳光体育运动，是为切实推动亿万学生阳光体育运动的广泛开展，吸引广大青少年学生走向操场，积极参加体育锻炼．小梅为响应号召，决定每天练习跳绳．小梅以1分钟跳172个为目标，并把10次1分钟跳绳的数量记录如表（超过172个的部分记为“+”，少于172个的部分记为“﹣”）： 与目标数量的差值（单位：个） ﹣8 ﹣6 ﹣3 +2 +8 次数 3 2 2 1 2 （1）小梅在这10次跳绳练习中，1分钟最多跳多少个？ （2）小梅在这10次跳绳练习中，1分钟跳绳个数最多的一次比最少的一次多几个？ （3）小梅在这10次跳绳练习中，累计跳绳多少个？ 21．数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数轴帮助我们把数和点对应起来，体现了数形结合的思想，借助它可以解决我们数学中的许多问题，数轴是“数形结合”的基础．某数学小组在一张白纸上制作一条数轴，如图． [探究]操作一： （1）折叠纸面，使表示1的点与表示﹣1的点重合，则表示﹣2的点与表示 　 　 的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，若使表示1的点与表示3的点重合，回答以下问题： ①表示﹣3的点与表示 　 　 的点重合； ②若数轴上A、B两点之间距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是 　 　 ，　 　 ． 22．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）数轴上点B表示的数是 　 　 ，点P表示的数是 　 　 （用含t的代数式表示）； （2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 第二章有理数单元测试（培优卷）答案 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B A B C D D C B 1．解：A：1.25×106，其中n＝6． B：1.15×106，其中n＝6． C：1.25×105，其中n＝5． D：1.15×105，其中n＝5． 因为5＜6， 所以1.25×105和1.15×105小于1.25×106和1.15×106． ∵1.15＜1.25， ∴1.15×105＜1.25×105． 故选：D． 2．解：AM＝a﹣（a+b）＝﹣b＞0， BM＝2a﹣a＝a＞0， ∵AM＞BM， ∴﹣b＞a， ∴﹣b﹣a＞0，即﹣（a+b）＞0， ∴a+b＜0， ∴A不符合题意； ∵﹣b＞a， ∴a﹣b＞2a， ∵a＞0， ∴a﹣b＞0， ∴B正确，符合题意； ∵﹣b＞0， ∴b＜0， ∵a＞0， ∴ab＜0， ∴C不符合题意； ∵a＞0， ∴|a|+b＝a+b， ∵a+b＜0， ∴|a|+b＜0， ∴D不符合题意． 故选：B． 3．解：由题意可得： ∴a＝±1，b＝±1，c＝±1，d＝±1，分情况讨论如下： 当四个数均为1时：1+1+1+1＝4； 当四个数均为﹣1时：﹣1﹣1﹣1﹣1＝﹣4； 当四个数中有1个﹣1时：﹣1+1+1+1＝2； 当四个数中有2个﹣1时：﹣1﹣1+1+1＝0； 当四个数中有3个﹣1时：﹣1﹣1﹣1+1＝﹣2； 故a+b+c+d的值不可能等于：﹣1． 故选：B． 4．解：A、原式＝﹣4，故选项符合题意； B、原式＝﹣3，故选项不符合题意； C、原式＝﹣8，故选项不符合题意； D、原式＝4，故选项不符合题意． 故选：A． 5．解：A．∵﹣1.5×（﹣3）＝1.5×3＝4.5，∴此选项的计算正确，故此选项不符合题意； B．∵（﹣1.2）×（﹣7）＝1.2×7＝8.4，∴此选项的计算不正确，故此选项符合题意； C．∵﹣8×（﹣1.3）＝8×1.3＝10.4，∴此选项的计算正确，故此选项不符合题意； D．∵0×（﹣1.6）＝0，∴此选项的计算正确，故此选项不符合题意； 故选：B． 6．解：①∵正有理数、负有理数和0可以统称为有理数， ∴①说法正确； ②∵若两个数的差是正数，则这两个数不一定都是正数，比如：5﹣（﹣1）＝6， ∴②的说法错误； ③∵每个有理数都可以在数轴上找到一个点来表示， ∴③的说法正确； ④∵若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b， ∴④的说法错误； ⑤∵多个数相乘法则：几个非零有理数相乘，若负因数的个数为奇数，则乘积为负数， ∴⑤的说法正确； ⑥∵数轴上到原点的距离为3的点表示的数是3或﹣3， ∴⑥的说法正确， 综上可知：说法正确的有4个， 故选：C． 7．解：根据有理数减法的运算法则可得： 3月12日的温差为5°﹣（﹣4°）＝9°， 3月13日的温差为2°﹣（﹣4°）＝6°， 3月14日的温差为4°﹣（﹣3°）＝7°， 3月15日的温差为2°﹣（﹣3°）＝5°， 这几天中温度与最低温度的差最小的是3月15日， 故选：D． 8．解：如图，设5a的十位数字是m，个位数字是n， ∴， ∴，a＝15÷5＝3， ∴乘积结果可以表示为100b+10（a+1）+b﹣1＝101b+10（a+1）﹣1． ∴A，B，C正确，D错误． 故选：D． 9．解：由题意：﹣a＞0，b＜0，b的绝对值大于﹣a的绝对值． ∵﹣a＞0， ∴a＜0． ∴A选项不正确． ∵b的绝对值大于﹣a的绝对值，b＜0，a＜0， ∴a＞b． ∴B选项不正确． ∵﹣a＞0，b＜0， ∴|a|＝﹣a，|b|＝﹣b． ∴C选项正确． ∵b的绝对值大于﹣a的绝对值， ∴|b|＞|a|． ∴D选项不正确． 故选：C． 10．解：2024﹣（﹣1）＝2025， 2025÷4＝506……1， 所以数轴上表示2024的点与圆周上的数字1重合， 故选：B． 二．填空题（共5小题） 11．解：（30×12+40×4）÷（40-30）=52（天）； 30×（52+12）=1920（个）． 答：这批卡通图片共有1920个． 故答案为：1920． 12．解：， ∴点A所表示的数是1． 故答案为：1． 13．解：（1.5×300﹣415.5）÷（1.5+10）＝3（个）． 故答案为：3． 14．解：由题意得：|2a+1|＝3， ∴2a+1＝±3， ∴a＝1或a＝﹣2， 故答案为：1或﹣2． 15．解：|﹣a|﹣|c﹣b|﹣|a﹣c| ＝﹣a﹣（c﹣b）+a﹣c ＝b﹣2c 故答案为：b﹣2c． 三．解答题（共7小题） 16．解：（1）原式 ＝3； （2）原式 ； （3）原式 ＝51+23 ＝74； （4）原式 ＝2.4÷1.2 ＝2． 17．解：（1）①∵a＜0， ∴|a|＝﹣a． 故答案为：﹣a． ②∵b＞0， ∴﹣b＜0， ∴|﹣b|＝﹣（﹣b）＝b． 故答案为：b． ③∵c＞b， ∴c﹣b＞0， ∴|c﹣b|＝c﹣b． 故答案为：c﹣b． ④∵a＜0，c＞0， ∴ac＜0， ∴|ac|＝﹣ac． 故答案为：﹣ac． （2）∵|a|＝6.5，|b|＝3.5，|c|＝8， ∴a＝±6.5，b＝±3.5，c＝±8.5， ∵a＜0＜b＜c， ∴a＝﹣6.5，b＝3.5，c＝8.5， ∴a+b﹣c＝﹣6.5+3.5﹣8.5＝﹣11.5． 18．解：（1）根据正数和负数的实际意义列式计算可得： 50×7+（+8﹣2+13﹣5+6﹣7+15）， ＝350+28 ＝378， 答：该外卖小哥这一周一共送餐378单； （2）80×7+（50×7﹣2﹣5﹣7）×3+（+8+10+6+10）×5+（+3+5）×8， ＝560+1008+170+64， ＝1802， 答：该外卖小哥这一周工资收入1802元． 19．解：（1）0.75升＝750立方厘米， 750×15÷25÷30＝15（厘米）； 答：图①中D表示的数是15； （2）30×15×15＝6750（立方厘米）； 6750立方厘米＝6.75升， 6.75÷（30﹣15）＝0.45（升/秒）， 0.75﹣0.45＝0.3（升/秒）． 答：从B洞中每秒钟流出0.3升水； （3）0.45升/秒＝450立方厘米/秒， P点表示的数是： 30×（25+15）×（24﹣15）÷450+30＝54（秒）． Q点表示的数是： （70﹣54）×450÷[30×（25+15）]+24＝30（厘米）． 答：P表示的数是54，Q表示的数是30． 20．解：（1）跳绳最多的一次为：172+8＝180（个）， 答：1分钟最多跳180个； （2）8﹣（﹣8）＝16（个）， 答：1分钟跳绳个数最多的一次比最少的一次多16个； （3）172×10﹣8×3﹣6×2﹣2×3+2×1+8×2＝1696（个）， 答：累计跳绳1696个． 21．解：（1）由折叠的性质得：折叠点表示的数为， ∴表示﹣2的点与表示0+[0﹣（﹣2）]＝0+0+2＝2的点重合， 故答案为：2； （2）①由折叠的性质得：折叠点表示的数为， ∴表示﹣3的点与表示2+[2﹣（﹣3）]＝2+2+3＝7的点重合， 故答案为：7； ②∵数轴上A、B两点之间距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合， 由折叠的性质知，点A和点B到折叠点的距离都为， ∴点A表示的数为2﹣4.5＝﹣2.5，点B表示的数为2+4.5＝6.5； 故答案为：﹣2.5；6.5． 22．解：（1）∵数轴上点A表示的数为6， ∴OA＝6， 则OB＝AB﹣OA＝4， 点B在原点左边， ∴数轴上点B所表示的数为﹣4； 点P运动t秒的长度为6t， ∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴P所表示的数为：6﹣6t； （2）①点P运动t秒时追上点Q， 根据题意得6t＝10+4t， 解得t＝5， 答：当点P运动5秒时，点P与点Q相遇； ②设当点P运动a秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度， 当P不超过Q，则10+4a﹣6a＝8，解得a＝1； 当P超过Q，则10+4a+8＝6a，解得a＝9； 答：当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $