第三单元应用专项09：工程问题中的合作问题和中途请假问题-2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）苏教版

品学科网 www zxxk com 让教与学更高效 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋] 第三单元应用专项09：工程问题中的合作问题和中途请假问题 昆日期： 日用时： 贝评价： 1.修一段公路，甲队单独修10天可以完成，乙队单独修15天可以完成，两队合作，几天可 以修这段公路的一半？ 【答案】3天 【分析】把这条公路的长度看作单位“1八，公路的一半就是：根据工作效率=工作总量~工作 时间，用1÷10，求出甲的工作效率；用1÷15，求出乙的工作效率，再根据工作时间=工作总 量÷工作效率，用除以甲与乙的工作效率和，即可解答。 【详解】（品+片） 11 =26 =3(天) 答：两队合作，3天可以修这段公路的一半。 2.疫情期间，为了赶制一批医用口罩，甲工厂单独制作需要12天完成，乙工厂单独制作需要 15天完成，两厂合作完成这项任务的子需要几天完成？ 【答案】5天 【分析】将工作总量看作单位1”，根据工作总量÷工作时间=工作效率，用1除以时间可得工作 效率，再根据工作总量和÷工作效率和=工作时间，用子÷两车间效率和即可得解。 【详解】1÷12= 12 15= 品司 第1页共12页 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 3(5, 4 三÷ 46060 3.3 =420 320 =43 =5(天) 答：两厂合作完成这项任务的需要5天完成。 3.修一条长30千米的公路，如果甲队单独修，12天能修完，如果乙队单独修，18天才能修 完。如果两队合修，多少天能修完这条公路的一半？ 【答案】3.6天 【分析】把这条公路的总长看作单位1，根据工作量÷工作时间=工作效率，分别求出甲队、 乙队的工作效率，再根据合作时间=工作量÷工作效率和，代入数据计算即可解答。 【详解】112= 1-18=8 (6+) 1218 =(+ =3.6(天) 答：3.6天能修完这条公路的一半。 4.甲、乙两队合作一项工程，若由甲队单独做20天可完成，若由乙队单独做则需30天完成。 甲乙两队合作若干天后，乙队因事被调走，甲队继续工作，己知从开工到结束共用14天，乙 队离开了几天？ 【答案】5天 【分析】假设出工作总量，根据工作效率=工作总量÷工作时间”表示出甲队和乙队的工作效 率，从开工到结束共用14天，而且甲队一直在工作，则甲队一共工作了14天，剩下的由乙队 工作，工作总量减去甲队14天的工作量得出乙队的工作量，再根据工作时间=工作总量÷工 作效率”求出乙队工作的天数，乙队离开的天数=总天数一乙队工作的天数，据此解答。 第2页共12页 多学科网 www zxxk com 让教与学更高效 【详解】假设工作总量为1。 甲队的工作效率：1÷20= 20 1 乙队的工作效率：130= 30 2014)÷1 乙队工作的天数：(1一 30 =1-品) 7 =3.1 1030 10*30 =9(天) 乙队离开的天数：14-9=5（天） 答：乙队离开了5天。 5.一项工程，甲单独做需要9天完成，乙单独做需要12天完成。现在甲、乙二人合作几天后， 乙有事离开了，余下的甲再做2天可完成。乙做了几天？ 【答案】4天 【分析】把工程总量看作单位1，甲单独9天完成，每天完成总量的1-9=)乙单独2天 完成，每天完成总量的112-立甲最后单独数了2天，元成的L作量为：2=号。 1 作量为“，因此两人合作完成的工作量为：1-子了。甲、乙每天一起完成的工作量 号拉意品6 根据合作天数=合作工作量：合作效率和，把数据代入即可解答。 【详解】把工程总量看作单位“1”。 19-号 12= 1 1-×2 9 =1号 7 1,14,37 912363636 第3页共12页 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 g94天 答：乙做了4天。 6。甲乙合作完成一项工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高。乙的工作效率 比单独做时提高，甲乙合作6小时完成了这项工作。如果甲单独做需要11小时，那么乙单 独做需要几小时？ 【答案】18小时 【分析】将工作总量看作单位，如果甲单独微需要1】小时，则甲单独微的工作效率是： 已知合作时甲的工作效*比单独数时提高。，将甲单独微的工作效*看作单位，则合作时 甲的工作效奉是单独微时的(1+)，单位已知，用甲单独微的工作效车乘(1+后 求出合作时甲的工作效率； 甲乙合作6小时完成了这项工作，则合作时两人的效*和是名，那么合作时乙的工作效率是（君 。):已知合作时乙的工作效率比单独做时提高将乙单独做的工作效率看作单位 合作时乙的工作效率是单独做的(1+)，单位1未知，合作时乙的工作效率÷对应分率= 乙单独做的工作效率，然后根据工作总量÷乙单独做的工作效率=乙单独做的工作时间，据此 列式解答。 【详解】合作时甲的工作效率： 品1+0 =×0 1110 乙单独做的工作效率： (合0)÷(1+ 、610 6 1.6 =155 第4页共12页 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 乙单独做需要的时间： 158 =1×18 =18（小时) 答：乙单独做需要18小时。 7.据《墨子鲁问》中记载，鲁班的木鹊”是风筝的早期形式，工程复杂。现在科技发达，制 作120个风筝，甲单独做需要15天完成，乙单独做需要20天完成。 (1)甲、乙两队合作多少天能完成任务？ (2)如果乙队先单独做4天，剩下的由甲、乙两队合作完成，还需要多少天才能完成任务？ 【答案】(1)8号天 (2)69天 【分析】(1)把制作120个风筝的工作总量看作单位1”，已知甲单独做需要15天完成，即 甲的工作效率是5：乙单独做需要20天完成，即乙的工作效率是0：已知甲、乙两队合作， 根据“合作工时=工作总量÷合作工效”，即可求出甲、乙两队合作完成任务需要的天数。 (2)如果乙队先单独做4天，根据“工作量=工作效率×工作时间求出乙队做4天完成的工作 量：再用工作总量减去乙队4天完成的工作量，即是剩下的工作量： 已知剩下的由甲、乙两队合作完成，根据“合作工作量÷合作工效=合作工时”，求出完成任务 还需要的天数。 【详解】)1（店+动） 7 二1÷60 =9 =84(天) 答：甲、乙两队合作84天能完成任务。 第5页共12页 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 (2)1-04)(5+20) 1 =1-(0+ 47 二560 -专9 =6号（天） 答：还需要6天才能完成任务。 8.修一条路，甲、乙两队合作12天可以完成。如果甲队单独做8天后，再由乙队单独做3 天，这时甲、乙两队共同完成了全部工程的合。 如果这条路由乙队单独修，那么乙队多少天 可以修完这条路？ 【答案】20天 【分析】甲、乙两队合作12天可以完成这条路，把工作总量看作单位1”，根据工作效率=工 作总量-工作时间，可得甲、乙两队合作的工作效率为=I2=立设甲队的工作效率为x,乙 队的工作效率为日一×，根据工作量=工作效率×工作时间，甲队单独做8天完成的工作量为 $x,乙队单独做3天的工作量为（位x)3,根据等量关系：“甲队单独做8天完成的工作 量+乙队单独微3天的工作量=3列方程求出甲队的工作效*，再用减去甲队的工作效* 求出乙队的工作效率，再用总工作量除以乙队的工作效率。 【详解】甲、乙两队合作的工作效率为：112=2 解：设甲队的工作效率为x,乙队的工作效率为2 8x(合w3=音 8x+子-3x= 5 5x+品 5x+--片 58=品0 53 第6页共12页 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 5x=名 5x=后 1 1 x一30 1(合动 =1÷（601 =1÷20 =1×20 =20(天) 答：乙队20天可以修完这条路。 9.一项工程，甲单独做8天完成，乙单独做12天完成。现两人合做途中乙因病休息了几天， 这样用了6天才完成任务。乙实际工作了多少天？ 【答案】3天 【分析】由题意可知，把这项工程看作单位1”，完成这项工程用了6天，甲全程参与，则甲 完成了全部工程的(6x名)，那么乙完成了全部工程的(1一6)，再根据工作时间=工作 总量：工作时间求出乙实际工作的天数，据此解答即可。 【详解】16日 =112 =4×12 =3（天) 答：乙实际工作了3天。 10.一批零件，甲、乙一起加工要24天完成任务，两人一起加工了6天后，乙离开了，剩下 的由甲单独加工36天才完成任务。这批零件如果由乙单独加工，要多少天完成任务？ 【答案】48天 【分析】把需要加工零件看作单位1”，根据工作效率=工作量÷工作时间，用1÷24求出甲、 乙合作的工作效率，根据工作量=工作效率×工作时间，求出两人合作6天完成的工作量，再 用1减去两人合作6天完成的工作量，求出剩下的工作量，再用剩下的工作量除以甲单独完成 第7页共12页 品学科网 www zxxk com 让教与学更高效 的天数，求出甲的工作效率，最后用甲、乙合作的工作效率减去甲的工作效率，求出乙的工作 效率，再用总工作量除以乙的工作效率即可解答。 【详解】1-24=立 1-76)*36 =(1-)×36 1 31 1 436 48 11 1÷（24-48 二1÷48 1 =1×48 =48(天) 答：这批零件如果由乙单独加工，要48天完成任务。 11.一项工程甲、乙两个工程队共同完成，如果甲工程队单独做需要8天，乙工程队单独做需 要10天。甲、乙两队合作2天后，剩下的由乙队单独完成。乙队还需要几天才能完成这项工 程？ 【答案】5.5天 【分析】根据题意，把这项工程看作单位1”，甲工程队单独做需要8天，甲工程队的工作效 率是日，乙工程队单独做需要10天，乙工程队的工作效率是甲、乙两队合作2天后，剩 下的由乙队单独完成，用总的工作量减去甲、乙两队合作2天的工作量，再除以乙队的工作效 率，即可求出乙队还需要几天才能完成这项工程。 【详解】 -传2品 第8页共12页 品学科网 www zxxk com 让教与学更高效 1业10 20 =5.5（天) 答：乙队还需要5.5天才能完成这项工程。 12.一项工程，甲工程队单独完成需要20天，乙工程队单独完成需要30天。先由甲工程队单 独干5天后，再由两个工程队合作完成，还需要几天完成？ 【答案】9天 【分析】将这项工程看作单位1”，工作总量：工作时间=工作效率，由此分别求出甲乙两个工 程队的工作效率。用甲的工作效率乘5，求出甲单独完成了这项工程的几分之几。用单位1” 减去甲完成的分率，求出剩下的分率。工作总量：工作效率=工作时间，将剩下的分率除以甲 乙两个工程队的效率和，求出剩下的由两个工程队合作完成，还需要几天完成。 【详解】甲工程队工作效率：120=力 乙工程队工作效车：1：30=动 1-05)(0+0 =(1-4)÷( 3+2) 60+60 =31 412 =9(天) 答：还需要9天完成。 13.一项工程，甲队单独做5天完成，乙队单独做要6天完成，两队合做2天后，剩下的由甲 队独做完成，甲队共做了几天？ 【答案】天 【分析】把这项工程的工作总量看作单位1”，甲队单独做5天完成，乙队单独做要6天完成， 则甲队的工作效率是号，乙队的工作效率是后，根据工作效率和x工作时间=合作的工作总量， 用与。的和乘2，可以求出两队合做2天完成的工作量。用1减去两队合做2天完成的工作 量，可以求出剩下的工作量，再根据工作总量~工作效率=工作时间，用利下的工作量除以；可 以求出剩下的甲队需要做几天，最后加上合作的2天，即可求出甲队共做了几天。 第9页共12页 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 【详解】1-(+后)×2小写+2 6 1+2 =1-5+2 11 =5+2 =对（天） 答：甲队共做了3号天。 14.2023年初，围绕辖区市民急难愁盼的问题，两江新区制定实施了20项重点民生实事项目。 人和街道老旧小区改造邢家桥二、三标段项目，由甲、乙两个工程队共同负责。甲队单独做需 要30天完成，乙队单独做需要20天完成。甲队先单独做6天，余下的由甲、乙两队合做，两 队还需要合作几天？ 【答案】袋天 【分析】把这项目的工作总量看作单位1由愿意可知，甲队的工作效率是0，乙队的工作 效率是0，根据工作效率×工作时间=工作总量，×6得到甲队先单独做6天的工作总量，再根 据工作总量和：工作效率和=工作时间，用1减甲队做6天的工作总量，再除以两队的工作效率和， 即可得解。 23 41 =512 48 (天) 5 答：两队还需要合作48天。 5 15.一项工作，甲单独做8天可以完成，乙单独做12天可以完成，现在乙先单独做3天，余 第10页共12页 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋」 第三单元应用专项09：工程问题中的合作问题和中途请假问题 1．修一段公路，甲队单独修10天可以完成，乙队单独修15天可以完成，两队合作，几天可以修这段公路的一半？ 2．疫情期间，为了赶制一批医用口罩，甲工厂单独制作需要12天完成，乙工厂单独制作需要15天完成，两厂合作完成这项任务的需要几天完成？ 3．修一条长30千米的公路，如果甲队单独修，12天能修完，如果乙队单独修，18天才能修完。如果两队合修，多少天能修完这条公路的一半？ 4．甲、乙两队合作一项工程，若由甲队单独做20天可完成，若由乙队单独做则需30天完成。甲乙两队合作若干天后，乙队因事被调走，甲队继续工作，已知从开工到结束共用14天，乙队离开了几天？ 5．一项工程，甲单独做需要9天完成，乙单独做需要12天完成。现在甲、乙二人合作几天后，乙有事离开了，余下的甲再做2天可完成。乙做了几天？ 6．甲乙合作完成一项工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高，乙的工作效率比单独做时提高，甲乙合作6小时完成了这项工作。如果甲单独做需要11小时，那么乙单独做需要几小时？ 7．据《墨子•鲁问》中记载，鲁班的“木鹊”是风筝的早期形式，工程复杂。现在科技发达，制作120个风筝，甲单独做需要15天完成，乙单独做需要20天完成。 （1）甲、乙两队合作多少天能完成任务？ （2）如果乙队先单独做4天，剩下的由甲、乙两队合作完成，还需要多少天才能完成任务？ 8．修一条路，甲、乙两队合作12天可以完成。如果甲队单独做8天后，再由乙队单独做3天，这时甲、乙两队共同完成了全部工程的。如果这条路由乙队单独修，那么乙队多少天可以修完这条路？ 9．一项工程，甲单独做8天完成，乙单独做12天完成。现两人合做途中乙因病休息了几天，这样用了6天才完成任务。乙实际工作了多少天？ 10．一批零件，甲、乙一起加工要24天完成任务，两人一起加工了6天后，乙离开了，剩下的由甲单独加工36天才完成任务。这批零件如果由乙单独加工，要多少天完成任务？ 11．一项工程甲、乙两个工程队共同完成，如果甲工程队单独做需要8天，乙工程队单独做需要10天。甲、乙两队合作2天后，剩下的由乙队单独完成。乙队还需要几天才能完成这项工程？ 12．一项工程，甲工程队单独完成需要20天，乙工程队单独完成需要30天。先由甲工程队单独干5天后，再由两个工程队合作完成，还需要几天完成？ 13．一项工程，甲队单独做5天完成，乙队单独做要6天完成，两队合做2天后，剩下的由甲队独做完成，甲队共做了几天？ 14．2023年初，围绕辖区市民急难愁盼的问题，两江新区制定实施了20项重点民生实事项目。人和街道老旧小区改造邢家桥二、三标段项目，由甲、乙两个工程队共同负责。甲队单独做需要30天完成，乙队单独做需要20天完成。甲队先单独做6天，余下的由甲、乙两队合做，两队还需要合作几天？ 15．一项工作，甲单独做8天可以完成，乙单独做12天可以完成，现在乙先单独做3天，余下的工作由甲去完成，甲还要做几天才能完成？ 16．修一条公路，甲队单独修完要用15天，乙队单独修完要用20天，两队合修5天后，甲队因事被调走，剩下的由乙队修完，乙队一共修了多少天？ 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋」 第三单元应用专项09：工程问题中的合作问题和中途请假问题 昆日期、 日用时： 食评价： 1.修一段公路，甲队单独修10天可以完成，乙队单独修15天可以完成，两队合作，几天可 以修这段公路的一半？ 2.疫情期间，为了赶制一批医用口罩，甲工厂单独制作需要12天完成，乙工厂单独制作需要 15天完成，两厂合作完成这项任务的需要几天完成？ 3.修一条长30千米的公路，如果甲队单独修，12天能修完，如果乙队单独修，18天才能修 完。如果两队合修，多少天能修完这条公路的一半？ 4.甲、乙两队合作一项工程，若由甲队单独做20天可完成，若由乙队单独做则需30天完成。 甲乙两队合作若干天后，乙队因事被调走，甲队继续工作，已知从开工到结束共用14天，乙 队离开了几天？ 5.一项工程，甲单独做需要9天完成，乙单独做需要12天完成。现在甲、乙二人合作几天后， 乙有事离开了，余下的甲再做2天可完成。乙做了几天？ 第1页共4页 品学科网 www zxxk com 让教与学更高效 6。甲乙合作完成一项工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高。 乙的工作效率 比单独做时提高，甲乙合作6小时完成了这项工作。如果甲单独做需要11小时，那么乙单 独做需要几小时？ 7.据《墨子·鲁问》中记载，鲁班的“木鹊”是风筝的早期形式，工程复杂。现在科技发达，制 作120个风筝，甲单独做需要15天完成，乙单独做需要20天完成。 (1)甲、乙两队合作多少天能完成任务？ (2)如果乙队先单独做4天，剩下的由甲、乙两队合作完成，还需要多少天才能完成任务？ 8.修一条路，甲、乙两队合作12天可以完成。如果甲队单独做8天后，再由乙队单独做3 天，这时甲、乙两队共同完成了全部工程的司。如果这条路由乙队单独修，那么乙队多少天 可以修完这条路？ 9.一项工程，甲单独做8天完成，乙单独做12天完成。现两人合做途中乙因病休息了几天， 这样用了6天才完成任务。乙实际工作了多少天？ 10.一批零件，甲、乙一起加工要24天完成任务，两人一起加工了6天后，乙离开了，剩下 的由甲单独加工36天才完成任务。这批零件如果由乙单独加工，要多少天完成任务？ 第2页共4页 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 11.一项工程甲、乙两个工程队共同完成，如果甲工程队单独做需要8天，乙工程队单独做需 要10天。甲、乙两队合作2天后，剩下的由乙队单独完成。乙队还需要几天才能完成这项工 程？ 12.一项工程，甲工程队单独完成需要20天，乙工程队单独完成需要30天。先由甲工程队单 独干5天后，再由两个工程队合作完成，还需要几天完成？ 13.一项工程，甲队单独做5天完成，乙队单独做要6天完成，两队合做2天后，剩下的由甲 队独做完成，甲队共做了几天？ 14.2023年初，围绕辖区市民急难愁盼的问题，两江新区制定实施了20项重点民生实事项目。 人和街道老旧小区改造邢家桥二、三标段项目，由甲、乙两个工程队共同负责。甲队单独做需 要30天完成，乙队单独做需要20天完成。甲队先单独做6天，余下的由甲、乙两队合做，两 队还需要合作几天？ 15.一项工作，甲单独做8天可以完成，乙单独做12天可以完成，现在乙先单独做3天，余 下的工作由甲去完成，甲还要做几天才能完成？ 第3页共4页 画学科网 www zxxk com 让教与学更高效 16.修一条公路，甲队单独修完要用15天，乙队单独修完要用20天，两队合修5天后，甲队 因事被调走，剩下的由乙队修完，乙队一共修了多少天？ 第4页共4页 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋」 第三单元应用专项09：工程问题中的合作问题和中途请假问题 1．修一段公路，甲队单独修10天可以完成，乙队单独修15天可以完成，两队合作，几天可以修这段公路的一半？ 【答案】3天 【分析】把这条公路的长度看作单位“1”，公路的一半就是；根据工作效率＝工作总量÷工作时间，用1÷10，求出甲的工作效率；用1÷15，求出乙的工作效率，再根据工作时间＝工作总量÷工作效率，用除以甲与乙的工作效率和，即可解答。 【详解】÷（＋） ＝÷（＋） ＝÷ ＝×6 ＝3（天） 答：两队合作，3天可以修这段公路的一半。 2．疫情期间，为了赶制一批医用口罩，甲工厂单独制作需要12天完成，乙工厂单独制作需要15天完成，两厂合作完成这项任务的需要几天完成？ 【答案】5天 【分析】将工作总量看作单位“1”，根据，用1除以时间可得工作效率，再根据，用÷两车间效率和即可得解。 【详解】 （天） 答：两厂合作完成这项任务的需要5天完成。 3．修一条长30千米的公路，如果甲队单独修，12天能修完，如果乙队单独修，18天才能修完。如果两队合修，多少天能修完这条公路的一半？ 【答案】3.6天 【分析】把这条公路的总长看作单位“1”，根据工作量÷工作时间＝工作效率，分别求出甲队、乙队的工作效率，再根据合作时间＝工作量÷工作效率和，代入数据计算即可解答。 【详解】1÷12＝ 1÷18＝ ÷（＋） ＝÷（＋） ＝÷ ＝× ＝3.6（天） 答：3.6天能修完这条公路的一半。 4．甲、乙两队合作一项工程，若由甲队单独做20天可完成，若由乙队单独做则需30天完成。甲乙两队合作若干天后，乙队因事被调走，甲队继续工作，已知从开工到结束共用14天，乙队离开了几天？ 【答案】5天 【分析】假设出工作总量，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”表示出甲队和乙队的工作效率，从开工到结束共用14天，而且甲队一直在工作，则甲队一共工作了14天，剩下的由乙队工作，工作总量减去甲队14天的工作量得出乙队的工作量，再根据“工作时间＝工作总量÷工作效率”求出乙队工作的天数，乙队离开的天数＝总天数－乙队工作的天数，据此解答。 【详解】假设工作总量为1。 甲队的工作效率：1÷20＝ 乙队的工作效率：1÷30＝ 乙队工作的天数：（1－×14）÷ ＝（1－）÷ ＝÷ ＝×30 ＝9（天） 乙队离开的天数：14－9＝5（天） 答：乙队离开了5天。 5．一项工程，甲单独做需要9天完成，乙单独做需要12天完成。现在甲、乙二人合作几天后，乙有事离开了，余下的甲再做2天可完成。乙做了几天？ 【答案】4天 【分析】把工程总量看作单位“1”，甲单独9天完成，每天完成总量的1÷9＝。乙单独12天完成，每天完成总量的1÷12＝。甲最后单独做了2天，完成的工作量为：×2＝。 总工作量为“1”，因此两人合作完成的工作量为：。甲、乙每天一起完成的工作量为：。根据合作天数＝合作工作量÷合作效率和，把数据代入即可解答。 【详解】把工程总量看作单位“1”。 1÷9＝ 1÷12＝ ×2 ＝ （天） 答：乙做了4天。 6．甲乙合作完成一项工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高，乙的工作效率比单独做时提高，甲乙合作6小时完成了这项工作。如果甲单独做需要11小时，那么乙单独做需要几小时？ 【答案】18小时 【分析】将工作总量看作单位“1”，如果甲单独做需要11小时，则甲单独做的工作效率是；已知合作时甲的工作效率比单独做时提高，将甲单独做的工作效率看作单位“1”，则合作时甲的工作效率是单独做时的（1＋），单位“1”已知，用甲单独做的工作效率乘（1＋），求出合作时甲的工作效率； 甲乙合作6小时完成了这项工作，则合作时两人的效率和是，那么合作时乙的工作效率是（－）；已知合作时乙的工作效率比单独做时提高，将乙单独做的工作效率看作单位“1”，合作时乙的工作效率是单独做的（1＋），单位“1”未知，合作时乙的工作效率÷对应分率＝乙单独做的工作效率，然后根据工作总量÷乙单独做的工作效率＝乙单独做的工作时间，据此列式解答。 【详解】合作时甲的工作效率： ×（1＋） ＝× ＝ 乙单独做的工作效率： （－）÷（1＋） ＝（－）÷ ＝÷ ＝× ＝ 乙单独做需要的时间： 1÷ ＝1×18 ＝18（小时） 答：乙单独做需要18小时。 7．据《墨子•鲁问》中记载，鲁班的“木鹊”是风筝的早期形式，工程复杂。现在科技发达，制作120个风筝，甲单独做需要15天完成，乙单独做需要20天完成。 （1）甲、乙两队合作多少天能完成任务？ （2）如果乙队先单独做4天，剩下的由甲、乙两队合作完成，还需要多少天才能完成任务？ 【答案】（1）天 （2）天 【分析】（1）把制作120个风筝的工作总量看作单位“1”，已知甲单独做需要15天完成，即甲的工作效率是；乙单独做需要20天完成，即乙的工作效率是；已知甲、乙两队合作，根据“合作工时＝工作总量÷合作工效”，即可求出甲、乙两队合作完成任务需要的天数。 （2）如果乙队先单独做4天，根据“工作量＝工作效率×工作时间”求出乙队做4天完成的工作量；再用工作总量减去乙队4天完成的工作量，即是剩下的工作量； 已知剩下的由甲、乙两队合作完成，根据“合作工作量÷合作工效＝合作工时”，求出完成任务还需要的天数。 【详解】（1）1÷（＋） ＝1÷（＋） ＝1÷ ＝1× ＝（天） 答：甲、乙两队合作天能完成任务。 （2）（1－×4）÷（＋） ＝（1－）÷（＋） ＝÷ ＝× ＝（天） 答：还需要天才能完成任务。 8．修一条路，甲、乙两队合作12天可以完成。如果甲队单独做8天后，再由乙队单独做3天，这时甲、乙两队共同完成了全部工程的。如果这条路由乙队单独修，那么乙队多少天可以修完这条路？ 【答案】20天 【分析】甲、乙两队合作12天可以完成这条路，把工作总量看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，可得甲、乙两队合作的工作效率为1÷12＝，设甲队的工作效率为x，乙队的工作效率为－x，根据工作量＝工作效率×工作时间，甲队单独做8天完成的工作量为8x，乙队单独做3天的工作量为（－x）×3，根据等量关系：“甲队单独做8天完成的工作量＋乙队单独做3天的工作量＝”列方程求出甲队的工作效率，再用减去甲队的工作效率求出乙队的工作效率，再用总工作量除以乙队的工作效率。 【详解】甲、乙两队合作的工作效率为：1÷12＝ 解：设甲队的工作效率为x，乙队的工作效率为－x。 8x＋（－x）×3＝ 8x＋－3x＝ 5x＋＝ 5x＋－＝－ 5x＝－ 5x＝ ×5x＝× x＝ 1÷（－） ＝1÷（－） ＝1÷ ＝1×20 ＝20（天） 答：乙队20天可以修完这条路。 9．一项工程，甲单独做8天完成，乙单独做12天完成。现两人合做途中乙因病休息了几天，这样用了6天才完成任务。乙实际工作了多少天？ 【答案】3天 【分析】由题意可知，把这项工程看作单位“1”，完成这项工程用了6天，甲全程参与，则甲完成了全部工程的（6×），那么乙完成了全部工程的（1－6×），再根据工作时间＝工作总量÷工作时间求出乙实际工作的天数，据此解答即可。 【详解】 ＝（1－）×12 ＝×12 ＝3（天） 答：乙实际工作了3天。 10．一批零件，甲、乙一起加工要24天完成任务，两人一起加工了6天后，乙离开了，剩下的由甲单独加工36天才完成任务。这批零件如果由乙单独加工，要多少天完成任务？ 【答案】48天 【分析】把需要加工零件看作单位“1”，根据工作效率＝工作量÷工作时间，用1÷24求出甲、乙合作的工作效率，根据工作量＝工作效率×工作时间，求出两人合作6天完成的工作量，再用1减去两人合作6天完成的工作量，求出剩下的工作量，再用剩下的工作量除以甲单独完成的天数，求出甲的工作效率，最后用甲、乙合作的工作效率减去甲的工作效率，求出乙的工作效率，再用总工作量除以乙的工作效率即可解答。 【详解】1÷24＝ （1－×6）÷36 ＝（1－）× ＝× ＝ 1÷（－） ＝1÷（－） ＝1÷ ＝1×48 ＝48（天） 答：这批零件如果由乙单独加工，要48天完成任务。 11．一项工程甲、乙两个工程队共同完成，如果甲工程队单独做需要8天，乙工程队单独做需要10天。甲、乙两队合作2天后，剩下的由乙队单独完成。乙队还需要几天才能完成这项工程？ 【答案】5.5天 【分析】根据题意，把这项工程看作单位“1”，甲工程队单独做需要8天，甲工程队的工作效率是，乙工程队单独做需要10天，乙工程队的工作效率是，甲、乙两队合作2天后，剩下的由乙队单独完成，用总的工作量减去甲、乙两队合作2天的工作量，再除以乙队的工作效率，即可求出乙队还需要几天才能完成这项工程。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝5.5（天） 答：乙队还需要5.5天才能完成这项工程。 12．一项工程，甲工程队单独完成需要20天，乙工程队单独完成需要30天。先由甲工程队单独干5天后，再由两个工程队合作完成，还需要几天完成？ 【答案】9天 【分析】将这项工程看作单位“1”，工作总量÷工作时间＝工作效率，由此分别求出甲乙两个工程队的工作效率。用甲的工作效率乘5，求出甲单独完成了这项工程的几分之几。用单位“1”减去甲完成的分率，求出剩下的分率。工作总量÷工作效率＝工作时间，将剩下的分率除以甲乙两个工程队的效率和，求出剩下的由两个工程队合作完成，还需要几天完成。 【详解】甲工程队工作效率：1÷20＝ 乙工程队工作效率：1÷30＝ （1－×5）÷（＋） ＝（1－）÷（＋） ＝÷ ＝×12 ＝9（天） 答：还需要9天完成。 13．一项工程，甲队单独做5天完成，乙队单独做要6天完成，两队合做2天后，剩下的由甲队独做完成，甲队共做了几天？ 【答案】天 【分析】把这项工程的工作总量看作单位“1”，甲队单独做5天完成，乙队单独做要6天完成，则甲队的工作效率是，乙队的工作效率是。根据工作效率和×工作时间＝合作的工作总量，用与的和乘2，可以求出两队合做2天完成的工作量。用1减去两队合做2天完成的工作量，可以求出剩下的工作量，再根据工作总量÷工作效率＝工作时间，用剩下的工作量除以可以求出剩下的甲队需要做几天，最后加上合作的2天，即可求出甲队共做了几天。 【详解】[1－（＋）×2]÷＋2 ＝[1－（＋）×2]÷＋2 ＝[1－×2]÷＋2 ＝[1－]÷＋2 ＝×5＋2 ＝＋2 ＝（天） 答：甲队共做了天。 14．2023年初，围绕辖区市民急难愁盼的问题，两江新区制定实施了20项重点民生实事项目。人和街道老旧小区改造邢家桥二、三标段项目，由甲、乙两个工程队共同负责。甲队单独做需要30天完成，乙队单独做需要20天完成。甲队先单独做6天，余下的由甲、乙两队合做，两队还需要合作几天？ 【答案】天 【分析】把这项目的工作总量看作单位“1”，由题意可知，甲队的工作效率是，乙队的工作效率是，根据，得到甲队先单独做6天的工作总量，再根据，用1减甲队做6天的工作总量，再除以两队的工作效率和，即可得解。 【详解】 （天） 答：两队还需要合作天。 15．一项工作，甲单独做8天可以完成，乙单独做12天可以完成，现在乙先单独做3天，余下的工作由甲去完成，甲还要做几天才能完成？ 【答案】6天 【分析】把这项工程看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间；用1÷8＝，求出甲的工作效率；用1÷12＝，求出乙的工作效率；再根据工作总量＝工作效率×工作时间，用乙的工作效率×3，求出乙3天的工作量；再用1减去乙3天的工作量，求出剩下的工作量，再根据工作时间＝工作总量÷工作效率，用剩下的工作量÷甲的工作效率，即可求出甲还要做几天才能完成。 【详解】（1－×3）÷ ＝（1－）÷ ＝×8 ＝6（天） 答：甲还要做6天才能完成。 16．修一条公路，甲队单独修完要用15天，乙队单独修完要用20天，两队合修5天后，甲队因事被调走，剩下的由乙队修完，乙队一共修了多少天？ 【答案】天 【分析】把修这条公路的工作总量看作单位“1”，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，分别求出甲队、乙队各自的工作效率，两队的工作效率相加即是合作工效； 已知两队先合修5天，根据“合作工作量＝合作工效×合作工时”，求出两队合修完成的工作量； 已知剩下的由乙队修完，先用工作总量“1”减去两队合修完成的工作量，即是剩下的工作量；再根据“工作时间＝工作量÷工作效率”，用剩下的工作量除以乙的工作效率，求出乙队修完剩下部分所需的天数，再加上5天，即是乙队一共修的天数。 【详解】甲队的工作效率：1÷15＝ 乙队的工作效率：1÷20＝ 两队合修的工作量： （＋）×5 ＝（＋）×5 ＝×5 ＝ 剩下的由乙队修完所需的工作时间： （1－）÷ ＝÷ ＝×20 ＝（天） 5＋＝（天） 答：乙队一共修了天。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 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