第一章 充要条件（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》（《数学 拓展模块一上册》高教版2023修订版）

编写说明：本套【黑龙江专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖黑龙江春季高考真题核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第一章充要条件的单元测试卷，主要考查基本概念的理解与判断、利用集合关系判断条件关系、命题、根据充分性、必要性求参数、综合应用与证明。 第一章 充要条件 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．“A∩B=A”是 “A⊆B”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．下列式子或语句是命题的是（ ） A．x+y=2 B．你快跑！ C．你身体健康吗？ D．是有理数 3．“x2=y2”是“x=y”的（ ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4. 如果p是q的充分条件，s是q的必要条件，那么（ ） A．p是s的充分条件 B．s是p的充分条件 C．q是p的充分条件 D．p是s的必要条件 5. 若“-1<x-m<1”成立的充分不必要条件是“<x<”，则实数m的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 6. 若，则是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7. 命题 ，命题（其中），那么p是q的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C． 充要条件 D．既不充分也不必要条件 8. 设p：“两个三角形相似”，q：“两个三角形的三边成比例”，则p是q的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9. “A∩B=A”是“A⊆B”的（ ） A．必要不充分条件 B．既不充分又不必要条件 C．充分不必要条件 D．充要条件 10. 设r是q的充分条件，s是q的充要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么r是t的（ ）条件. A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．充分必要条件 11. 已知m､，则成立的一个充要条件是（ ） A． B． C． D． 12. 若集合P={1,2,3,4}，Q={x|0<x<5,x∈R}，则“x∈P”是“x∈Q”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也非不必要条件 13. 若，则的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 14. 已知，，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ） A．(3，+) B．[3，+) A． (6，+) D．[6，+) 15. 不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．“x2+y2=0(x,y∈R)”的充要条件是____________。 17. ，是，的______条件。 18. “(x-3)∈R”是“x∈R”的_____条件。 19. 若命题p：方程 x2+m x+1=0有实根，是命题 q：方程 x2+x+m=0有实根的充要条件，则实数m 的取值范围是 ______。 20. 对任意实数，，，给出下列命题：①“”是“”的充要条件；②“是无理数”是“是无理数”的充要条件；③“”是“”的必要条件；④“”是“”的充分条件，其中真命题是______。 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．指出下列各组命题中，p是q的什么条件？ （1）在△ABC中，p：A>B，q：BC>AC； （2）已知x、y∈R，p：(x-1)2+(y-2)2=0，q：(x-1)(y-2)=0. 22. 已知命题p“关于的方程有两个不相等的实数根”是真命题. （1）求实数m的取值集合M； （2）若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 23．证明：方程ax2＋bx＋c＝0有一根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 24．已知p: x2-8x-20>0, q: x2-2x+1-m2>0, 若p是q的充分而不必要条件，求正实数m的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套【黑龙江专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖黑龙江春季高考真题核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第一章充要条件的单元测试卷，主要考查基本概念的理解与判断、利用集合关系判断条件关系、命题、根据充分性、必要性求参数、综合应用与证明。 第一章 充要条件 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. “A∩B=A”是 “A⊆B”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据集合与集合之间交集的关系，推出从属关系解题. 【详解】A∩B=A⇔A⊆B，双向成立，是充要条件。 故选：C 2．下列式子或语句是命题的是（ ） A．x+y=2 B．你快跑！ C．你身体健康吗？ D．是有理数 【答案】D 【分析】本题考查的是命题的判断。 【详解】对于A选项，“x+y=2x+y=2” 含有变量，无法判断真假，不是命题，故A选项错误； 对于B选项，“你快跑！”是祈使句，不是陈述句，不是命题，故B选项错误； 对于C选项，“你身体健康吗？”是疑问句，不是陈述句，不是命题，故C选项错误； 对于D选项，“是有理数”是陈述句，且可以判断真假（事实上为假，是无理数）是命题，故D选项正确 故选：D. 3．“x2=y2”是“x=y”的（ ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】本题考察的是充分条件和必要条件的概念与判断。 【详解】如果x = y，则必有x² = y²，因此“x = y”能推出“x² = y²”，即“x² = y²”是“x = y”的必要条件。反之，如果x² = y²，则x = y 或 x = -y，不一定有x = y，因此“x² = y²”不能推出“x = y”，即不是充分条件。故B选项正确； 故选：B. 4. 如果p是q的充分条件，s是q的必要条件，那么（ ） A．p是s的充分条件 B．s是p的充分条件 C．q是p的充分条件 D．p是s的必要条件 【答案】A 【分析】本题考查根据逻辑传递性，判断命题条件，p 是 q 的充分条件，即 p → q。s 是 q 的必要条件，即 q → s。由逻辑传递性，可得 p → s，即 p 是 s 的充分条件。 【详解】对于A选项，p 是 s 的充分条件，故A选项正确； 对于B选项，s 是 p 的充分条件：不一定成立，因为 s 可能无法推出 p，故B选项错误； 对于C选项，q 是 p 的充分条件：不一定成立，因为 p 是 q 的充分条件，但 q 不一定是 p 的充分条件，故C选项错误； 对于D选项，p 是 s 的必要条件：不一定成立，因为 p → s 只表明 p 是充分条件，而非必要条件，故D选项错误。 故选：A 5.若“-1<x-m<1”成立的充分不必要条件是“<x<”，则实数m的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是根据充分必要条件求参数值。 【详解】不等式-1<x-m<1等价于：m-1<x<m+1，由题意得“<x<”是“-1<x-m<1”成立的充分不必要条件，所以(,)⊆(m-1,m+1)，且(,)≠(m-1,m+1)，所以，且等号不能同时成立，解得-≤m≤. 故选：B 6.若，则是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】本题考查的是根据已知条件判断两个命题之间的充要条件。 【详解】因为ab>0，若a<b，则 - =>0，即 > ；所以a<b是 > 的充分条件； 若 > ，则 - =>0，因此b-a>0，即a<b；所以a<b是 > 的必要条件； 综上，a<b是 > 的充要条件。 故选：C. 7.命题 ，命题（其中），那么p是q的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】本题考察的是根据不等式的性质判断充要条件。 【详解】若a>b，则a+c>b+c，所以命题p可以得出命题q成立， 若a+c>b+c则a+c-c>b+c-c，即a>b，所以所以命题q可以得出命题p成立， 所以p是q的充要条件. 故选：C 8.设p：“两个三角形相似”，q：“两个三角形的三边成比例”，则p是q的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】本题考查的是充要条件的概念和判断。 【详解】两个三角形相似⇔两个三角形的三边对应成比例，即p⇔q，故p是q的充要条件。 故选：C. 9.“A∩B=A”是“A⊆B”的（ ） A．必要不充分条件 B．既不充分又不必要条件 C．充分不必要条件 D．充要条件 【答案】D 【分析】本题考察的是利用集合关系判断条件关系。 【详解】因为A，B是两个集合，则“A∩B=A”可得“A⊆B”，而“A⊆B”，可得“A∩B=A”.所以A,B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件. 故选：D 10.设r是q的充分条件，s是q的充要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么r是t的（ ）条件. A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．充分必要条件 【答案】D 【分析】本题考查的是充分必要条件的概念和判断。 【详解】因为r是q的充分条件，s是q的充要条件，所以r是s的充分条件，即r⇒s成立. 又因为t是s的必要条件，所以r是t的充分条件，即r⇒t，因为t是r的充分条件，t⇒r，所以t⇔r，即r是t的充要条件. 故选：D 11. 已知m､，则成立的一个充要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等关系以及必要条件､充分条件和充要条件的定义。 【详解】因为>，所以 - >0，所以>0，所以mn(n-m)>0，即mn(m-n)<0.故C选项正确。 故选：C 12.若集合P={1,2,3,4}，Q={x|0<x<5,x∈R}，则“x∈P”是“x∈Q”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也非不必要条件 【答案】A 【分析】本题考查的是利用集合关系判断条件关系 【详解】由题可知，若x∈P，则一定有x∈Q，故充分性满足；但是若x∈Q，则不一定有x∈P，如x=1.5,故必要性不满足.故“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件. ，故选项A正确 故选：A 13.若，则的一个充分不必要条件是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查必要条件､充分条件和充要条件的定义，能够举反例排除。 【详解】由|x|>|y|，x2>y2推不出x>y，如|-3|>|-2|，(-3)2>(-2)2，而-3<-2,排除AB； x3>y3是x>y能互相推出，所以x3>y3是x>y的充要条件，排除D； ⇒x>y，反之则不成立，是x>y的充分不必要条件，选项C正确； 故选：C. 14. 已知，，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ） A．(3，+) B．[3，+) C．(6，+) D．[6，+) 【答案】A 【分析】本题考察的是根据一元二次不等式含参数解法，先因式分解，求得x的范围，再根据充要条件判断参数范围。 【详解】解:x2-(a+1)x+a≤0即(x-1)(x-a)≤0，p是q的必要不充分条件， 当a=1时，由(x-1)(x-1)≤0得x＝1，此时不满足条件， 当a<1时，由(x-1)(x-a)≤0得a≤x≤1，此时不满足条件． 当a>1时，由(x-1)(x-a)≤0得1≤x≤a，若p是q的必要不充分条件，所以[1,3]⫋[1,a] 则a>3，即实数a的取值范围是(3,+∞)。 故选：A 15. 不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是利用一元二次不等式，求x的范围，再根据充要条件判断参数取值范围。 【详解】由不等式x2-x-2<0，得-1<x<2，不等式x2-x-2<0成立的一个充分不必要条件是a<x<a2+1，(a,a2+1)⫋(-1,2)，则且a≥-1与a2+1≤2的等号不同时成立，解得-1<a≤1，所以a的取值范围为-1<a≤1，故选项D正确。 故选：D 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．“x2+y2=0(x,y∈R)”的充要条件是____________。 【答案】x=0且y=0 【分析】本题主要考查充要条件的定义及判断。 【详解】因为x2+y2=0，符合条件的就是x=0且y=0，而当x=0且y=0时，满足x2+y2=0，所以“x2+y2=0”的充要条件是x=0且y=0。 17. ，是，的______条件。 【答案】充分不必要 【分析】本题主要考查根据不等式的性质，判断充要条件 【详解】由a>1，b>1可得a+b>2，ab>1，若a=4,b=，满足a+b>2，ab>1，但不满足a>1，b>1，所以“a>1，b>1”是“a+b>2，ab>1”的充分不必要条件. 18.“(x-3)∈R”是“x∈R”的_____条件。 【答案】充要 【分析】本题为充要条件的判断。 【详解】因为x-3∈R,若x=4,x-3=1,1∈R,反之，x∈R，x=4,x-3=1,x-3∈R,所以“(x-3)∈R”是“x∈R”的充要条件。 19. 若命题p：方程 x2+m x+1=0有实根，是命题 q：方程 x2+x+m=0有实根的充要条件，则实数m 的取值范围是 ______。 【答案】m≤−2 或 <m<2 【分析】本题主要考查利用一元二次方程含参数解法，根据判别式求解参数范围，再根据命题之间的条件，最终确定参数范围。 【详解】方程 x2+mx+1=0有实根的充要条件是判别式 Δ1=m2−4≥0，即 m≤−2 或 m≥2。方程 x2+x+m=0有实根的充要条件是判别式 Δ2=1−4m≥0，即 m≤。要求 p 是 q 的充要条件，即 p 和 q 同真或同假。两者同真：m≤−2或 m≥2且m≤ ，解得 m≤−2。 两者同假：−2<m<2且 m>​，解得 <m<2。因此，m 的取值范围为 m≤−2或<m<2。 20. 对任意实数，，，给出下列命题：①“”是“”的充要条件；②“是无理数”是“是无理数”的充要条件；③“”是“”的必要条件；④“”是“”的充分条件，其中真命题是______。 【答案】②③ 【分析】本题主要考查命题的判断及命题的定义，能判断真假的陈述句为命题，判断为真的为真命题。 【详解】对于①，由a=b”可推出“ac=bc”；当c=0时，ac=bc成立，但a=b不一定成立，所以由“ac=bc”推不出“a=b”；所以“a=b”是“ac=bc”的充分不必要条件，故①错误； 对于②，“a+5是无理数”可推出“a是无理数”， “a是无理数”也可推出“a+5是无理数”，所以“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故②正确； 对于③，由“a<3”可推出“a<4”，所以“a<4”是“a<3”的必要条件，故③正确； 对于④，当a=0,b=-1时，满足a>b，但a2>b2不成立，所以“a>b”推不出“a2>b2”， “a>b”不是“a2>b2”的充分条件，故④错误.故答案为：②③. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．指出下列各组命题中，p是q的什么条件？ （1）在△ABC中，p：A>B，q：BC>AC； （2）已知x、y∈R，p：(x-1)2+(y-2)2=0，q：(x-1)(y-2)=0 【答案】（1）p是q的充要条件；（2）p是q的充分不必要条件. 【分析】本题主要考查命题的判断，根据三角形对应边及方程求解，最终判断命题之间的条件关系。 【详解】（1）△ABC中，角A对应边BC为a,角B对应边AC为b,因为A>B可得a>b，即BC>AC,所以p是q的充要条件； （2）(x-1)2+(y-2)2=0解得x=1且y=2；(x-1)(y-2)=0解得x=1或y=2；即p是q的充分不必要条件． 22．已知命题p“关于的方程有两个不相等的实数根”是真命题. （1）求实数m的取值集合M； （2）若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）M={m|m>2或m<-2}，（2）a≤-4或a≥2. 【分析】（1）考查的是根据一元二次方程含参数，求参数范围； （2）考察的是利用集合的条件关系，求参数范围。 【详解】（1）因为关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根,所以Δ=m2-4>0，解得m>2或m<-2，即M={m|m>2或m<-2}. （2）因为“m∈N”是“m∈M”的充分不必要条件,所以集合N⊆M,所以a+2≤-2或a≥2，即a≤-4或a≥2. 23．证明：方程ax2＋bx＋c＝0有一根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 【答案】证明无答案 【分析】本题主要考查一元二次方程实数根，利用因式分解求证。 【详解】证明：(1)充分性：因为a＋b＋c＝0，所以c＝－a－b，所以ax2＋bx＋c＝ax2＋bx－a－b＝0，所以a(x－1)(x＋1)＋b(x－1)＝0，所以(x－1)[a(x＋1)＋b]＝0，所以x＝1或a(x＋1)＋b＝0，即x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根． (2) 必要性：因为x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，所以a＋b＋c＝0. 综上(1)(2)命题得证． 24．已知p: x2-8x-20>0, q: x2-2x+1-m2>0, 若p是q的充分而不必要条件，求正实数m的取值范围. 【答案】0<m≤3​ 【分析】本题考察的是利用一元二次不等式的性质，求解x 的范围，再根据命题之间的条件关系求参数范围。 【详解】解不等式x2-8x-20>0，得p: A={x|x>10或x<-2}，解不等式x2-2x+1-m2>0，得q: B={x|x>1+m或x<1-m, m>0}，依题意，p⇒q且q⇏p, 说明A⊊B，于是有 且等号不同时成立，解得：0<m≤3, 因此，正实数m的取值范围是0<m≤3. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $