1.1.2两角和与差的正弦公式（教案）-人教版《数学 拓展模块一》（2023修订版）《上好课》

人教版《数学 拓展模块一》 第1章 三角计算 1.1.1两角和与差的正弦公式 一、教材 人民教育出版社《数学》（拓展模块一） 二、教学时长 2课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 四、教材分析 《三角计算》是人民教育出版社《数学拓展模块一》中的核心内容，属于三角函数板块的延伸与应用范畴。它建立在学生已学习三角函数的基本定义、同角三角函数基本关系、诱导公式等基础之上，是对三角函数知识从 “概念理解” 向 “实践运算” 与 “综合应用” 的关键过渡。本节课的内容具有承上启下的重要作用。一方面，它是对前期三角函数基础理论的深化；另一方面，它为后续学习更复杂的数学内容奠定基础。同时，它在日常生活、工作以及专业学习中都有着广泛的应用，通过引入生活场景和专业领域案例，让学生体会三角函数的实用价值，打破 “数学抽象难懂” 的认知误区，有助于学生提升逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力，培养严谨的思维习惯. 五、学情分析 学生在前面的课程中，学习了三角函数，知道了特殊角的三角函数值、三角函数基本关系式、诱导公式，为本节课的学习打下一定的基础.从学科核心素养来看，学生具备一定的数学抽象和逻辑推理的素养，具备一定的推理能力和运算能力，学生在三角函数的推理和运算方面能力比较薄弱，教学时需注意低起点、慢慢来、多示范、多练习，逐步提升学生的推理和运算能力，本节课先从两角和与差的正弦公式入手，便于学生理解，为后续的倍角公式的学习打好基础. 六、教学目标 1.理解并掌握两角和与差的正弦公式； 2.通过公式的推导及运用，培养学生类比推理的能力，理解化归思想在三角变换中的应用，能用两角和与差的正弦公式进行简单的三角函数式的化简、求值，通过公式的推导，在培养学生三大能力的基础上，着重培养学生获得数学知识的能力和数学交流的能力. 3.通过观察、对比，引导学生体会公式的对称美，体验成功的喜悦；通过教师的启发引导，培养学生不怕困难、勇于探索、勇于创新的求知精神. 七、教学重点 两角和与差的正弦公式的推导与应用. 八、教学难点 两角和与差的正弦公式的公式变形与知识迁移. 九、教学方法 讲授法：教师通过系统、有条理的口头讲解两角和与差的余弦公式，直接向学生传递两角和与差的余弦公式及推导过程. 问题驱动教学法：教师围绕教学目标设计 “阶梯式问题链”（从基础到进阶、从具体到抽象），以问题为线索，引导学生主动思考、自主探究，最终通过解决问题掌握知识。 分层教学法：根据学生的数学基础、学习能力将学生分为不同层次（如基础层、提升层、拔尖层），设计不同的 “教学目标、教学内容、作业任务”，确保每个层次的学生都能 “在原有基础上进步”。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 师生活动 设计意图 引入 上节课我们一起学习了两角和与差的余弦公式。那么我们一起来复习一下吧！ 问题1两角和与差的余弦公式 问题2我们上学期已经学习过三角函数中的部分内容，试回忆一下诱导公式的相关内容? 提示 这节课我们一起来研究来推导并研究一下两角和与差的正弦公式. 教师带领学生共同复习两角和与差的余弦公式及诱导公式，为本节课的学习内容做铺垫 回忆复习内容，引出新知 探索新知 因为，所以 ． 在上式中，以－β 代替 β，得 . 于是，对于任意角α，β，我们可以得到如下公式： 注意点： (1)该公式对任意角都能成立. (2)公式的结构，左端为两角和与差的正弦，右端为这两角的异名三角函数值积的和或差. (3)公式的逆用仍然成立. (4)记忆要点：正余余正，符号同 学生自学课本内容，标记疑问点 学生小组合作完成两角和与差的正弦公式的推导过程 教师巡视课堂，了解小组推导情况，小组讨论结束后，选小组代表进行公式的推导讲解 学生1分钟时间记忆公式 教师提示一下两角和与差的余弦公式运用过程中的注意事项 学生自学，教师引导，体现学生的主体地位。 根据已知内容推导未知内容，培养学生的化归转化思想 讲授过程中利用小组讨论，有利于课堂高效 化 例题讲解 题型一：给角求值 例 1 求sin 75°，sin 15°的精确值． 解 sin 75°=sin(45°+30°) =sin 45°cos 30°+ cos 45°sin30° sin 15°=sin(45°-30°) =sin 45°cos 30°- cos 45°sin30° 由于cos 15°,sin 15° 故可以求出tan 15°的值，进而解决本章导语中的问题． 变式1求下列各式的精确值： （1） sin 105°； （2） ； （3） ； （4） 答案：（1）；（2）；（3）；（4） 题型二：给值求值 例2已知，求的值. 解：因为，所以 ， 变式2 已知，求的值. 答案： 例3 已知,α,β都是锐角，求sinα. 变式3已知，α为锐角，求sinα的值. 答案： 问题3上节课我们复习了单位圆与三角函数之间的关系，已经知道三角函数值与圆的半径无关，那么如果已知角α的三角函数值，怎么求角α的终边与圆的坐标呢？接下来，我们利用下面这道题一起来探讨一下此类问题如何解决？ （班级交流）例4已知点P(3，4) ，将点P与原点的距离保持不变，并绕原点旋转 45°到 P′的位置，求点P′的坐标 (x′，y′) ，如图. 解：设∠xOP=α，因为 ， 所以. ； . 所以P′的坐标为. 变式4已知，将点P与原点的距离保持不变，并绕原点分别旋转到点的位置，求点的坐标. 答案： 课堂思政 讲解两角和与差的正弦公式时，可串联数学家不懈探索的故事，渗透钻研精神；结合其在工程测量等领域的应用，展现数学价值，厚植家国情怀. 学生自学，完成例1的学习 教师针对学生的一问进行讲解，并引导学生完成本章导语中的问题 学生独立完成变式训练，检测学生的自学情况，教师抽查，针对学生的易错问题进行讲解 学生根据上节课所学的解题方法，解决例2 学生独立完成变式训练并选学生代表进行板演 教师总结题型二：给值求值问题的解法以及拆角与凑角的思路 小组讨论解决问题3角的旋转问题，难度稍高一点，教师通过难题拆分将复杂问题简单化，并借助图形帮助学生理解并掌握解题方法 学生小组合作完整解答此题，并总结解题方法和步骤。 学生根据例4的解题方法，独立完成变式训练 通过学习两角和与差的正余弦公式，解决本章导语中的问题。 课堂思政：当学生留意到生活中的三角函数问题，便会解锁数学的别样魅力，在实践中体悟其奥妙，深刻明白生活处处皆数学的道理。 通过小组交流，培养学生的合作探究的能力，巩固学生对公式的应用 培养学生举一反三的变通思维 通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺 学生运用两角和与差的正余弦公式进行角的旋转问题，培养学生灵活变通的能力以及直观想象的核心素养 课堂小结 两角和与差的正弦公式 基本题型：求值、化简、给值求角、给角求值 “角变换”规律，用“已知角”表示“未知角” 学生派代表总结本节课的知识点和解题步骤及解题技巧 培养学生总结学习过程能力 当堂检测 1. 等于（ D ） 2. _1______ 3. 已知为锐角，，求的值. 答案： 学生单人单桌进行当堂检测，小组互批，教师抽查，并进行针对性日清 检测学生本节课的知识掌握情况 作业布置 1. 书面作业 （1） 课后习题第×题写到作业本上。 （2） 完成《同步练习》1.1.2； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾； 学而时习，夯实所学。 板书设计 1.1.2两角和与差的正弦公式 公式 例题 小结 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注；预留空白区域展示学生练习答案，增强互动性. 十一、教学反思 本节课从两角和与差的余弦公式推导两角和与差的正弦公式，学生对诱导公式转化的理解有差异。部分学生步骤混淆，练习中公式逆用失误较多。通过细化转化过程，增加对比辨析，设计分层例题，让不同水平学生都能扎实掌握，同时加强公式应用场景的联系，提升运用能力。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $