第五章 （3）圆的面积（讲义）-2025-2026学年六年级上册数学人教版

2025-2026学年六年级上册数学人教版 第五章 （3）圆的面积（讲义） 思维导图 学习目标 1. 概念理解 1　 理解圆的面积的含义，即圆所占平面的大小。 2　 掌握圆的面积公式的推导过程（通过剪拼法将圆转化为近似长方形）。 3　 理解圆的面积与半径、直径的关系（面积与半径的平方成正比）。 2. 计算能力 1　 能正确运用公式计算圆的面积（）。 2　 能解决与半圆、四分之一圆等简单组合图形的面积问题。 3　 能根据圆的面积反推半径或直径（）。 3. 实际应用 1　 解释生活中圆形物体的面积问题（如圆形花坛的占地面积、圆形桌布的用料）。 2　 区分圆的周长与面积的实际意义（如围栏长度 vs. 地面覆盖面积）。 4. 规律总结 1　 发现“半径扩大2倍，面积扩大4倍”的规律（面积与半径的平方成正比）。 2　 理解圆的面积公式与长方形、平行四边形面积公式的联系（转化思想）。 知识点梳理 1. 圆的面积的定义 1　 圆所占平面的大小叫做圆的面积，用字母 表示。 2　 单位：平方厘米（cm²）、平方米（m²）等。 2. 圆的面积公式推导 1　 剪拼法：将圆平均分成若干等份，拼成一个近似的长方形。 A. 长方形的长 = 圆周长的一半 = B. 长方形的宽 = 圆的半径 = C. 长方形的面积 = 长 × 宽 = D. 因此，圆的面积公式： 3. 圆的面积计算公式 1　 基本公式： 2　 示例： A. 半径3 cm的圆面积： B. 直径10 m的圆面积： 4. 半圆与扇形面积 1　 半圆面积：圆面积的一半，即 。 2　 四分之一圆面积：圆面积的四分之一，即 。 3　 示例： A. 半径6 dm的半圆面积： 5. 已知面积求半径或直径 1　 由 变形得： 2　 示例： A. 面积50.24 cm²的圆半径： 6. 圆的面积在生活中的应用 1　 计算圆形花坛的占地面积、圆形桌布的用料面积、圆形水池的底面积等。 2　 注意：实际问题中可能需要先测量直径或周长，再转化为半径计算面积。 易错点提醒 1. 公式混淆 1　 错误：将面积公式 写成 或 。 2　 纠正：区分周长公式（）与面积公式（）。 2. 半径与直径的混淆 1　 错误：已知直径时直接代入面积公式（如 错误）。 2　 纠正：先用直径求半径（），再代入公式。 3. 单位错误 1　 错误：面积单位写成“cm”或“m”（漏写平方）。 2　 纠正：面积单位必须用平方单位（如 cm²、m²）。 4. 半圆面积计算遗漏 1　 错误：计算半圆面积时未除以2（如直接使用 ）。 2　 纠正：半圆面积 = 圆面积 ÷ 2。 5. 逆向计算错误 1　 错误：已知面积求半径时忘记开平方（如 ）。 2　 纠正：必须对结果开平方（）。 6. π的取值不精确 1　 错误：取 或 导致结果偏差。 2　 纠正：一般取 ，题目要求时保留π符号。 巩固练习 一、单选题 1．如图，用三张边长都是8厘米的正方形铁皮，分别剪下甲、乙、丙三种不同规格的圆片，剩下的铁皮(　　)。 A．甲最多 B．乙最多 C．丙最多 D．同样多 2．周长相等的正方形和圆，圆的面积(　　)正方形的面积。 A．大于 B．小于 C．等于 D．无法比较 3．在推导圆的面积公式时有这样一种方法：把圆形茶杯垫片沿直径剪开，得到两个近似的三角形，再拼成一个平行四边形。如果平行四边形的底AB长6.28厘米，那么圆的面积是(　　)平方厘米。 A．3.14 B．6.28 C．9.42 D．12.56 4．一个圆形花坛的半径是3米，在花坛一周铺一条宽1米的碎石小路，小路的面积是(　　)平方米。 A．21.98 B．50.24 C．15.7 D．28.26 5．下面关于圆周率的说法中正确的是(　　)。 A．大圆的圆周率比小圆的圆周率大 B．圆周率正好等于3.14 C．圆周率是一个无限循环的小数 D．圆周率没有单位 6．魏晋时期杰出的数学家(　　)得出了较精确的圆周率的值。他用“割圆术”一直算到圆内接正192边形，得到圆周率的近似值是3.14。 A．祖冲之 B．杨辉 C．刘徽 D．贾宪 二、填空题 7．如图，大等腰直角三角形的直角边长8厘米，则阴影部分的面积是　 　平方厘米。 8．如图，在一个边长为6厘米的正方形内画一个最大的圆，这个圆的周长是　 　厘米，面积是　 　平方厘米。 9．如图，已知正方形的面积是28平方厘米，求阴影部分的面积。解决问题的关键是求出圆的面积。此时，我们求不出圆的半径，但能把正方形分成四个相等的小正方形，求出一个小正方形的面积是　 　平方厘米，它恰好是圆半径的平方，从而可求出圆的面积是　 　平方厘米，进而可求出阴影部分的面积是　 　平方厘米。 10．如图，如果阴影部分的面积是5cm2，那么圆环的面积是　 　cm2。 11．大、小两个圆的直径比是3：2，则大圆半径和小圆半径的比是　 　，小圆面积和大圆面积的比是　 　。 四、解决问题 12．一张圆形餐桌桌面的直径是2m。 （1）如果一个人需要0.6m宽的位置就餐，这张餐桌大约能坐多少人? （2）在这张餐桌的中央放一个半径是0.5m的圆形转盘，剩下的桌面面积是多少? 13． 雷达多应用在我国军事、气象、交通等方面，如图是屏幕上显示的雷达影像，最外圈是一个直径为60cm的圆。 （1）它的周长是　 　cm。 （2）它所涉及的面积是多少? （3）若图中相邻两圆圈的间距相等，求从内向外第二圈圆与最外圈圆的面积差。 14．同学们，“圆周率”是圆的周长与它直径的商， 而“圆方率”是指圆的面积与正方形面积的商，如图所示。请你写出“圆方率”的推导过程及结果。（用含有π的字母式表示) 参考答案 1．D 2．A 3．D 4．A 5．D 6．C 7．18.24 8．18.84；28.26 9．7；21.98；6.02 10．15.7 11．3：2；4：9 12．（1）解：3.14×2＝6.28（米） 6.28÷0.6≈10（人） 答：这张餐桌大约能坐10人。 （2）解：2÷2=1（米） 3.14×（12－0.52） =3.14×0.75 ＝2.355（平方米） 答：剩下桌面的面积是2.355平方米。 13．（1）188.4. （2）答：涉及的面积是2826 cm2。 （3）一个直径上有12个间隔，每个间隔长度为：60÷12=5(cm) 从内向外第二圈圆的面积为： 314(cm2) 面积差为：2826-314=2512(cm2) 答：从内向外第二圈圆与最外圈圆的面积差为2512cm2。 14．解：设圆的半径为r，则圆的面积为πr2，正方形的面积为2r×2r = 4r2， 圆方率 = 圆的面积÷正方形的面积 = πr2÷4r2 = ， ∴ 圆方率就是。 学科网（北京）股份有限公司 $