第1章 负数的初步认识（单元讲义）-五年级上册数学热点难点一网打尽（知识梳理+典例分析+举一反三+巩固提升）苏教版

第1讲 负数的初步认识 知识点一：负数的认识 1.正数和负数的意义：像+20、+8844.4这样的数都是正数（正数前面的“+”可以省略不写），像-20、-155这样的数都是负数。0既不是正数，也不是负数。 2.正数和负数的读、写方法： +20读作正二十，-20读作负二十。 知识点二：小数除法 1.用直线上的点表示正数、负数和0：在一条直线上，用0表示分界点，正数都在0的右边，负数都在0的左边。 2.用直线上的点比较正数、负数和0：正数都大于0，负数都小于0。 考点一：负数的意义及其应用 【例1】（1）如果张倩从A点向东行2米，表示为+2米（如图），那么从A点向西行4米，表示为　﹣4　 米；如果张倩从A点先向西行了8米，又向东行了10米，这时她的位置表示为　2　 米。 （2）图中B点可记作　0.5　 ，C点可记作　﹣1.5　 。 【分析】（1）用正负数来表示具有意义相反的两种量：向从A点向东记为正，则从A点向西就记为负，据此结合题意分析解答即可。 （2）根据数轴知识，0到2之间平均分成4份，其中的一份表示0.5，据此结合正负数知识分析解答即可。 【解答】解：（1）如果张倩从A点向东行2米，表示为+2米（如图），那么从A点向西行4米，表示为﹣4米；如果张倩从A点先向西行了8米，又向东行了10米，这时她的位置表示为2米。（2）图中B点可记作0.5，C点可记作﹣1.5。 故答案为：﹣4，2；0.5，﹣1.5。 【点评】本题考查了正负数知识，结合题意分析解答即可。 1．如果把每袋盐的净含量250g记作0g，那么一袋盐的质量是256g，应记作+6g，另一袋盐的质量是242g，应记作 　 　 g；这两袋盐的质量相差 　 　 g。 2．写出点A，B，C，D，E表示的数． 3．演讲比赛4位评委通过打分决定选手能否晋级。规定10分为满分，把5分记为0分，超过5分的用正数表示，不足5分的用负数表示。总分达到30分可以晋级，下面是4号选手张晶的得分情况。 评委 第1位 第2位 第3位 第4位 打分 +2分 0分 ﹣1分 +3分 考点二：正、负数大小的比较 【例2】根据以下几个城市某天的天气预报回答问题。 北京：﹣4℃～7℃ 三亚：23℃～29℃ 天津：﹣5℃～1℃ 哈尔滨：﹣18℃～9℃ 沈阳：﹣6℃～3℃ 武汉：4℃～5℃ ①这一天天津的最低气温是 　﹣5℃　 ，最高气温是 　1℃　 。 ②最低气温最低的城市是 　哈尔滨　 ，最高气温最高的城市是 　三亚　 。它们之间的温差为 　47℃　 。 【分析】正数＞0＞负数，负数大小比较就是看负号后面的数字，数字越大的反而越小，跟正数恰好相反，据此解答。 【解答】解：①这一天天津的最低气温是﹣5℃，最高气温是1℃。 ②最低气温最低的城市是哈尔滨，最高气温最高的城市是三亚。哈尔滨最低气温是﹣18℃，三亚最高气温是29℃，它们之间的温差为18℃+29℃＝47℃。 故答案为：①﹣5℃；1℃；②哈尔滨；三亚；47℃。 【点评】此题考查正负数的大小比较。 1．把+8、0、﹣1.5、+3、+1、﹣0.4、﹣4各数分别填入如图相应的圈内。 2．将下列数按从小到大的顺序排列。 14、﹣41、﹣36、0、54、﹣19 3．按要求填数。 （1）方框里所填的数中，　 　 最大，　 　 最小。 （2）方框里所填的数中，　 　 距离0最近，　 　 距离0最远。 （3）将方框里所填的数按从大到小的顺序排列：　 　 ＞　 　 ＞　 　 ＞　 　 。 考点三：正、负数的运算 【例3】某车间计划本周一至周五每日生产100个零件，由于工人熟练程度不同，实际每天产量与计划对比如下表（超过100个记为正，不足100个记为负）。 星期 一 二 三 四 五 与计划产量相比（个） +10 ﹣8 +5 ﹣2 +9 （1）该车间在星期 　一　 生产的零件最多，生产了 　110　 个。 （2）这五天的实际产量比计划产量多还是少？相差多少？ 【分析】+10表示110个，﹣8表示92个，+5表示105个，﹣2表示98个，+9表示109个，所以星期一生产的最多，是110个； 10+5+9﹣8﹣2＝14，由此可知这五天的实际产量超出计划产量14个。 【解答】解：+10表示110个，﹣8表示92个，+5表示105个，﹣2表示98个，+9表示109个，所以星期一生产的最多，是110个； 10+5+9﹣8﹣2＝14，由此可知这五天的实际产量超出计划产量14个。 答：这五天的实际产量比计划产量多，相差14个。 【点评】本题考查了正负数的意义以及实际应用，要熟练掌握。 1．一台冰箱冷冻室的温度是﹣19℃，冷藏室的温度是4℃，你能算出这台冰箱冷藏室的温度比冷冻室的温度高多少吗？ 2．仓库原有货物80吨，把80吨记为0吨，则后来仓库四次的进货情况是+6吨、﹣4吨、﹣12吨和+8吨．这时仓库有货物多少吨？ 3．如图，小明家，学校和少年宫在同一条直线上，小明家在学校的西面400米处，少年宫在学校的东面600米处。规定向东走为正，如果小明从学校出发，先走﹣500米，再走+700米，小明的位置在少年宫的东面还是西面？距离少年宫有多远？ 考点四：自然数的认识 【例4】四（1）班的同学都很想知道数学李老师的手机号码，李老师并没有直接告诉大家，而是说了下面这段话，请你帮忙解密李老师的手机号码。 【分析】最小的自然数是0，因此150的后面一位是0；根据整数的数位顺序表，在百万位上写7；因为万位、千位和百位是三个连续的自然数，利用和18除以3求出中间的数6，也就是百位上的数是6，再利用中间的数减1求出千位上的数，再利用6加1求出十位上的数；在剩余的数位上写9即可。 【解答】解：最小的自然数是0； 18÷3＝6；6﹣1＝5；6+1＝7 如图： 【点评】本题考查了整数的组成意义及整数的认识。 1．两个相邻自然数的和是97，这两个自然数分别是多少？ 2．一个数，它的千亿位，百万位，千位上的数都是5，其它各个数位上的数字都是最小的自然数． 1：这个数写作：　 　 ；2：这个数读作：　 　 ． 3．认一认，写一写。 最小的自然数是 　 　 自然数的个数是 　 　 一．选择题（共7小题） 1．如果零上2℃记作2℃，那么零下5℃记作（　　）℃。 A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5 2．若规定向北行进为正，则﹣30m表示的意义是（　　） A．向东行进30m B．向北行进30m C．向南行进30m D．向西行进30m 3．下面各地距海平面距离最小的是（　　） A．+25米 B．20米 C．﹣135米 D．+145米 4．一台冰箱冷冻室﹣18℃，冷藏室4℃，二者温差是（　　） A．4℃ B．14℃ C．18℃ D．22℃ 5．某商店出售的面粉袋上标有质量为（25±0.3）kg的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差（　　） A．0.4kg B．0.5kg C．0.6kg D．0.8kg 6．下面各数中，最小的数是（　　） A．3 B．0 C．﹣5 D．﹣1 7．关于自然数，下列说法中，正确的是（　　） A．0不是自然数 B．有最大的自然数 C．自然数的个数是无限的 D．0.8是自然数 二．填空题（共7小题） 8．仓库运进货物12吨记为+12吨，运出货物8吨应记为（　 　 ）吨。果汁包装盒上标有“净含量：650毫升±5毫升”，则实际净含量最少是（　 　 ）毫升。 9．一次数学测验全班平均95分，小明考了98分，张老师记作+3分．小亮考了91分，那么张老师记作　 　 分． 10．一种袋装食品标准净重200g，质监工作人员为了解该种食品每袋的净重与标准的误差，把食品净重205g记为+5g，那么食品净重197g就记为 　 　 g． 11．在﹣5、1.8、+0.1、﹣12四个数中，最大的数是 　 　 ，最小的数是 　 　 。 12．18℃、﹣5℃、﹣2℃、0℃的大小顺序是：　 　 。 13．三个连续自然数的和是48，这三个从小到大是：　 　 、　 　 、　 　 ． 14．寒假的某一天，北京早上的温度是﹣4℃，中午比早上上升了3℃，中午的温度 　 　 。 三．判断题（共4小题） 15．如果向东走5米记作+5米，那么向西走3米可以记作﹣3米。　 　 16．所有的负数都比0小，所有的正数都比0大。　 　 17．零下10℃比零下4℃高6℃。　 　 18．最小的自然数是0。　 　 四．操作题（共1小题） 19．奇思一开始站在小树的位置，他向东走用正数表示，向西走用负数表示。他先走了+3米，再走了﹣7米，最后又走了+5米。请你用▲分别标出他三次行走后到达的位置。（每段表示1米） 五．应用题（共5小题） 20．一辆公共汽车从起点站开出后，图中经过5个站点，最后到达终点站。下表记录了这辆公共汽车全程载客数量的变化情况。（上车为“+”，下车为“﹣”） 停靠站 起点站 德盛路站 太升路站 玉沙路 站红星路站 游泳池站 终点站 人数 +24 ﹣5、+8 ﹣2、+1 ﹣7、0 ﹣9、+3 0、+6 ﹣19 这辆公共汽车驶出太升路站时，车上一共有多少位乘客？ 21．小明的体重去年下降了2千克，记作﹣2，今年他的体重从50千克变为45千克，那么体重的变化应该记作？ 22．小南家在学校的南边400米处，记作+400米，现在她从家往北走，每分钟走120米，6分钟后她在学校的南边还是北边？可以怎样表示？ 23．一种精品茶叶每罐净含量是80±5克，一罐茶叶最多是多少克？最少是多少克？ 24．由于北方冷空气南下，某天连云港的最高气温由前一天的零上8℃下降了10℃，无锡的最高气温由前一天的零上12℃下降了13℃．这一天连云港、无锡的最高气温各是多少摄氏度？ 一．选择题（共7小题） 1．温度计上的温度是5℃，后来下降了8℃，这时的温度是（　　）℃。 A．13 B．3 C．﹣3 D．﹣13 2．一艘潜水艇所处的位置是海拔﹣120米，一条鲨鱼在潜水艇上方40米，鲨鱼所处的位置是海拔（　　）米。 A．﹣80 B．﹣160 C．+40 D．+80 3．三个连续自然数的和是2□7，□里的数可能是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 4．下列词语中，适合描述气温是﹣15℃的词语是（　　） A．秋高气爽 B．冰天雪地 C．夏日炎炎 D．春暖花开 5．《九章算术》中记载了我国古代以斜放的筹表示负数的方法。书写的时候，在这个数的最后一个码上加一斜杠表示负，如“”表示238，则“”表示﹣238。那么“”表示的数是（　　） A．﹣132 B．+132 C．﹣136 D．+136 6．如图是某用户微信钱包账单，则﹣10.00（如图）表示（　　） A．余额10.00元 B．发出红包10.00元 C．收入10.00元 D．抢到红包10.00元 7．如图，1格代表1米，小明从小树的位置出发，向东走用正数表示，向西走用负数表示，他先走了﹣2米，又走了+7米，现在他的位置在（　　）处。 A．点A B．点B C．点C D．点D 二．填空题（共7小题） 8．如果把六（3）班同学的平均身高158cm记作“0cm”，则李芹的身高165cm，应记作 　 　 cm；张晶的身高记作“﹣8cm”，李芹和张晶的身高相差 　 　 cm。 9．月球是地球的天然卫星，它的表面温度在白天可达零上125℃，可以记为　 　 ℃；在夜晚可降至零下168℃，可以记为　 　 ℃。 10．四年级女生仰卧起坐及格标准是每分钟21个，小薇1分钟做了27个，体育王老师记作：+6个，那么小丽1分钟做了18个，应记作 　 　 个。 11．气温越低感觉就越冷，﹣5℃比﹣2℃要 　 　 （填“冷”或“热”）。 12．粮食仓库里运出一批面粉，每袋上面都标有“25±0.5kg”，这说明每袋面粉的质量在 　 　 kg到 　 　 kg之间都是合格的。 13．气温从15℃降到﹣2℃，一共降了 　 　 ℃。 14．两个相邻自然数的和是23，这两个自然数分别是 　 　 和 　 　 。 三．判断题（共5小题） 15．一个数不是正数就是负数。　 　 16．2比﹣2更接近于0。　 　 17．最小的自然数是1。　 　 18．淮南某天的气温预报是：﹣1～10℃，那么这天淮南的温差是11℃。　 　 19．以90分为标准，94分记作+4分。如果记作﹣3分，则实际成绩是87分。　 　 四．计算题（共1小题） 20．计算： （1）13+（﹣5）﹣（﹣21）﹣19； （2）（﹣2）2+[18﹣（﹣3）×2]÷4 五．应用题（共5小题） 21．实验小学举行数学竞赛，试卷共10道题。答对一道记作+10分，不答记作0分，答错一道记作﹣10分。赵璇答错2道题，有一道题未答，她最后得了多少分？ 22．育才中学八年级男生在上体育课时练习做俯卧撑，以做20个为标准，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示。其中8名男生成绩如下。（单位：个） ﹣2 +1 0 ﹣3 +5 +2 +4 ﹣1 23．一只蚂蚁从洞里出来寻找食物，向东爬了5cm后，没发现食物，又继续向东爬了2cm，结果仍没有找到食物，于是又爬了﹣10cm，终于找到了食物．此时蚂蚁在洞的哪个方向？它离洞有多远？ 24．手机转账方便又快捷，郝爷爷开始学习用手机转账啦！上个星期他每天都有一笔转账，如表是转账明细。（收到的钱记为正，转出的钱记为负） 星期 一 二 三 四 五 六 日 转账金额/元 +200 ﹣28 ﹣28 +50 ﹣96 +16 ﹣25 郝爷爷上个星期收到的钱比转出的钱多多少？ 25．六（1）班原来有班费70元，四月份买练习本花去19元，卖废纸挣了25元，林老师给同学们买小贴画花了16元，卖废塑料瓶又挣了27元。 （1）如果我们把收入的钱用正数表示，支出的钱用负数表示，请你帮林老师在如表中记录班费的收支情况。 内容 原有班费 买练习本 卖废纸 买小贴画 卖废塑料瓶 金额（元） （2）六（1）班四月份一共收入多少元？一共支出多少元？结余多少元？ 一．选择题（共6小题） 1．（2025•二道区）温度由﹣4℃上升7℃是（　　） A．3℃ B．﹣3℃ C．11℃ D．﹣11℃ 2．（2025春•即墨区期末）如图是一款冷冻虾仁外包装上的部分信息。工商部门抽样调查4袋这种冷冻虾仁，净含量为（　　）的是不合格的。 产品名称：冷冻虾仁 净含量：（200±3）克 保质期：18个月 A．201克 B．197克 C．202克 D．195克 3．（2025•莒县）如果低于正常水位16cm记为﹣16cm，则高于正常水位2cm记作（　　） A．+2cm B．﹣2cm C．+14cm D．﹣14cm 4．（2025•孟州市）如图，水平线的高度为0m，点A的高度为+6m，点C的高度为﹣6m，那么点B的高度最可能是（　　） A．+1m B．﹣1m C．﹣3m D．﹣7m 5．（2025•桦川县）下面各数中，最接近0的是（　　） A．﹣1 B．2 C．﹣3 D．4 6．（2024秋•甘井子区期末）一个自然数之所以被称为更大的数是因为（　　） A．第一位数大 B．数位多 C．最后一位数大 D．数中0的个数多 二．填空题（共6小题） 7．（2025春•巩义市期末）与最大的四位数相邻的两个数分别是 　 　 和 　 　。 8．（2025春•枣庄期末）月球表面最高温度约是零上126℃，可记作（　 　 ）℃。最低温度是零下150℃，记作（　 　 ）℃。 9．（2025•赞皇县）六1班某次数学测验的平均成绩为95分，老师把98分记作+3分，那么93分应该记作　 　 分，﹣4分表示的实际分是　 　 分． 10．（2025•三河市）某饮料在包装盒上标注的净含量是300±5mL，从数值上可以看出，这类饮料的合格净含量最大是 　 　 mL，最小是 　 　 mL。 11．（2025•南川区）根据科学资料显示，海拔高度每增加1000米，气温就会降低6℃。现在A地气温为12℃，B地气温为﹣6℃，则B地比A地高 　 　 米。 12．（2025•嘉定区）利用数轴比较“2.5、﹣6、0、+1.5、﹣2.4”这五个数的大小，按从大到小的顺序排列，位于第四位的数是 　 　 。 三．判断题（共5小题） 13．（2025•莒县）气温升高3℃，记作+3℃；降低2℃，则记作2℃。　 　 14．（2025•仁寿县）如果向东走200m记作“+200m”，那么向西走150m记作“﹣150m”。　 　 15．（2025•大冶市）负数小于一切正数，正数都大于0。　 　 16．（2025•旬邑县）旬邑县某天的气温是﹣5℃到10℃，这天的温差是5℃。　 　 17．（2025•扶沟县）自然数都是正整数。　 　 四．应用题（共3小题） 18．（2025春•诸城市期中）有4箱桃子，以每箱25kg为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数。称重的记录如下：+3kg、﹣2kg、+1kg、﹣4kg。这4箱桃子一共有多少千克？ 19．（2025春•石家庄期中）某仓库周一到周五的货物进出记录如下（“+”表示进库，“﹣”表示出库，单位：吨）：+8，﹣3，+5，﹣6，+4 （1）周一结束后，仓库货物比原来多了还是少了？多（少）多少吨？ （2）周五结束时，仓库共有货物20吨，求仓库原有的货物吨数。 20．（2023秋•扬州期末）某工厂规定每人每天要做100个零件，如果某人生产了105个零件，记作：+5个；如果某人生产了98个零件，记作：﹣2个。下面是小张一周的生产零件的个数情况： 星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 计数/个 ﹣6 +12 +9 ﹣3 +8 （1）从上面的记录中你能看出他在星期几生产的零件个数最多？是多少个？星期几生产的最少？是多少个？ （2）小张这周一共生产了多少个零件？平均每天生产多少个？ 五．操作题（共1小题） 21．（2024春•老河口市期中）直线上每格代表1m，小乌龟的家在+1处。 （1）小乌龟从家出发，先走了+2m，之后又走了﹣5m到达了大象家。请用“Δ”标出大象家的位置。 （2）小乌龟又从大象家出发，先走了﹣2m，之后又走了+9m到达小狗家。请用“O”标出小狗家的位置。 六．解答题（共3小题） 22．（2025春•惠民县期中）请在表格内用正、负数记录美丽化妆品店的收支情况。 8月2日 进货9500元 8月4日 支付工资3000元 8月10日 上旬收入8000元 8月20日 中旬收入9000元 8月25日 付房租1500元 8月28日 水电费300元 8月31日 下旬收入9500元 日期 收支情况/元 8月2日 ﹣9500 8月4日 你能算出美丽化妆品店本月盈利多少元吗？ 23．（2024秋•江宁区期末）在同一时刻，不同地方的时间有差别，表中列出了几个城市和北京的时差（正数表示同一时刻比北京的时间早的小时数），如果现在是12月12日的北京时间10时，东京时间是12月12日11时，那么小明这时打电话给远在巴黎出差的爸爸，合适吗？为什么？ 城市 东京 纽约 巴黎 时差 +1 ﹣13 ﹣7 24．（2025春•汉寿县期中）滴滴司机李叔叔昨天上午的营运全是在东西走向的华峰大道上，如果规定向东为正，向西为负，那么他昨天上午的里程如下（单位：千米）： +13，﹣2，﹣10，+14，﹣2，+4，﹣15，+8 （1）将最后一名乘客送到目的地时，李叔叔的位置怎样表示？ （2）若出租车的耗油量为75毫升/千米，则昨天上午出租车共耗油多少升？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲 负数的初步认识 知识点一：负数的认识 1.正数和负数的意义：像+20、+8844.4这样的数都是正数（正数前面的“+”可以省略不写），像-20、-155这样的数都是负数。0既不是正数，也不是负数。 2.正数和负数的读、写方法： +20读作正二十，-20读作负二十。 知识点二：小数除法 1.用直线上的点表示正数、负数和0：在一条直线上，用0表示分界点，正数都在0的右边，负数都在0的左边。 2.用直线上的点比较正数、负数和0：正数都大于0，负数都小于0。 考点一：负数的意义及其应用 【例1】（1）如果张倩从A点向东行2米，表示为+2米（如图），那么从A点向西行4米，表示为　﹣4　 米；如果张倩从A点先向西行了8米，又向东行了10米，这时她的位置表示为　2　 米。 （2）图中B点可记作　0.5　 ，C点可记作　﹣1.5　 。 【分析】（1）用正负数来表示具有意义相反的两种量：向从A点向东记为正，则从A点向西就记为负，据此结合题意分析解答即可。 （2）根据数轴知识，0到2之间平均分成4份，其中的一份表示0.5，据此结合正负数知识分析解答即可。 【解答】解：（1）如果张倩从A点向东行2米，表示为+2米（如图），那么从A点向西行4米，表示为﹣4米；如果张倩从A点先向西行了8米，又向东行了10米，这时她的位置表示为2米。（2）图中B点可记作0.5，C点可记作﹣1.5。 故答案为：﹣4，2；0.5，﹣1.5。 【点评】本题考查了正负数知识，结合题意分析解答即可。 1．如果把每袋盐的净含量250g记作0g，那么一袋盐的质量是256g，应记作+6g，另一袋盐的质量是242g，应记作 　﹣8　 g；这两袋盐的质量相差 　14　 g。 【分析】根据题意，如果把每袋盐的净含量250g记作0g，多于250g为正，少于250g为负，据此解答；求这两袋盐的质量相差多少g，用6加8即可解答。 【解答】解：如果把每袋盐的净含量250g记作0g，那么一袋盐的质量是256g，应记作+6g，另一袋盐的质量是242g，应记作﹣8g；这两袋盐的质量相差14g。 故答案为：﹣8，14。 【点评】此题考查了负数的应用等知识，要求学生掌握。 2．写出点A，B，C，D，E表示的数． 【分析】根据数轴所示的数据得出：每一个单位是1，并且0的左边是负数，0的右边是正数．据此写数即可． 【解答】解：如图， 【点评】此题主要考查对数轴的认识，关键是找出每一个单位表示几，据此计算填数． 3．演讲比赛4位评委通过打分决定选手能否晋级。规定10分为满分，把5分记为0分，超过5分的用正数表示，不足5分的用负数表示。总分达到30分可以晋级，下面是4号选手张晶的得分情况。 评委 第1位 第2位 第3位 第4位 打分 +2分 0分 ﹣1分 +3分 【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：超过5分的用正数表示，不足5分的用负数表示，把正负数换算成得分，再把得分相加和30比较大小即可判断。 【解答】解：5+2＝7（分） 5﹣1＝4（分） 5+3＝8（分） 7+5+4+8 ＝12+4+8 ＝16+8 ＝24（分） 24＜30 答：张晶最后不能晋级。 【点评】本题考查了正负数的意义及简单的计算。 考点二：正、负数大小的比较 【例2】根据以下几个城市某天的天气预报回答问题。 北京：﹣4℃～7℃ 三亚：23℃～29℃ 天津：﹣5℃～1℃ 哈尔滨：﹣18℃～9℃ 沈阳：﹣6℃～3℃ 武汉：4℃～5℃ ①这一天天津的最低气温是 　﹣5℃　 ，最高气温是 　1℃　 。 ②最低气温最低的城市是 　哈尔滨　 ，最高气温最高的城市是 　三亚　 。它们之间的温差为 　47℃　 。 【分析】正数＞0＞负数，负数大小比较就是看负号后面的数字，数字越大的反而越小，跟正数恰好相反，据此解答。 【解答】解：①这一天天津的最低气温是﹣5℃，最高气温是1℃。 ②最低气温最低的城市是哈尔滨，最高气温最高的城市是三亚。哈尔滨最低气温是﹣18℃，三亚最高气温是29℃，它们之间的温差为18℃+29℃＝47℃。 故答案为：①﹣5℃；1℃；②哈尔滨；三亚；47℃。 【点评】此题考查正负数的大小比较。 1．把+8、0、﹣1.5、+3、+1、﹣0.4、﹣4各数分别填入如图相应的圈内。 【分析】根据正、负数的意义，数的前面加有“+”号的数，就是正数；数的前面加有“﹣”号的数，就是负数，0既不是正数也不是负数；正数＞0＞负数，负数大小比较就是看负号后面的数字，数字越大的反而越小，跟正数恰好相反，据此判断即可。 【解答】解：如图： 【点评】本题考查了正负数大小比较的方法。 2．将下列数按从小到大的顺序排列。 14、﹣41、﹣36、0、54、﹣19 【分析】负数小于0，正数大于0，两个负数比较，“﹣”后面的数越大，这个数反而越小。 【解答】解：﹣41＜﹣36＜﹣19＜0＜14＜54 【点评】熟练掌握数比较大小的方法，是解答此题的关键。 3．按要求填数。 （1）方框里所填的数中，　4　 最大，　﹣5　 最小。 （2）方框里所填的数中，　﹣3　 距离0最近，　﹣5　 距离0最远。 （3）将方框里所填的数按从大到小的顺序排列：　4　 ＞　0　 ＞　﹣3　 ＞　﹣5　 。 【分析】（1）根据数轴的特点填上数，再根据数轴上的点表示的数，右边的数总比左边的数大进行解答； （2）观察数轴可得除答案； （3）数轴上右边的数总比左边的数大，据此解答即可。 【解答】解： （1）方框里所填的数中，4最大，﹣5最小。 （2）方框里所填的数中，﹣3距离0最近，﹣5距离0最远。 （3）将方框里所填的数按从大到小的顺序排列：4＞0＞﹣3＞﹣5。 故答案为：﹣5；﹣3；0；4；（1）4；﹣5；（2）﹣3；﹣5；（3）4；0；﹣3；﹣5。 【点评】本题考查了正、负数的认识及大小比较。 考点三：正、负数的运算 【例3】某车间计划本周一至周五每日生产100个零件，由于工人熟练程度不同，实际每天产量与计划对比如下表（超过100个记为正，不足100个记为负）。 星期 一 二 三 四 五 与计划产量相比（个） +10 ﹣8 +5 ﹣2 +9 （1）该车间在星期 　一　 生产的零件最多，生产了 　110　 个。 （2）这五天的实际产量比计划产量多还是少？相差多少？ 【分析】+10表示110个，﹣8表示92个，+5表示105个，﹣2表示98个，+9表示109个，所以星期一生产的最多，是110个； 10+5+9﹣8﹣2＝14，由此可知这五天的实际产量超出计划产量14个。 【解答】解：+10表示110个，﹣8表示92个，+5表示105个，﹣2表示98个，+9表示109个，所以星期一生产的最多，是110个； 10+5+9﹣8﹣2＝14，由此可知这五天的实际产量超出计划产量14个。 答：这五天的实际产量比计划产量多，相差14个。 【点评】本题考查了正负数的意义以及实际应用，要熟练掌握。 1．一台冰箱冷冻室的温度是﹣19℃，冷藏室的温度是4℃，你能算出这台冰箱冷藏室的温度比冷冻室的温度高多少吗？ 【分析】利用19加上4即可解答。 【解答】解：19+4＝23（℃） 答：冷藏室的温度比冷冻室的温度高23℃。 【点评】本题是一道有关负数的认识、100以内数的进位加法和退位减法的题目。 2．仓库原有货物80吨，把80吨记为0吨，则后来仓库四次的进货情况是+6吨、﹣4吨、﹣12吨和+8吨．这时仓库有货物多少吨？ 【分析】首先审清题意，由“把80吨记为0吨”，可知+6吨表示80+6吨，﹣4吨表示80﹣4吨，…，因此先计算（+6﹣4﹣12+8）的结果，最后加上80×5即可． 【解答】解：80×5+（+6﹣4﹣12+8） ＝400﹣2 ＝398（吨） 答：这时仓库有货物398吨． 【点评】此题解答的关键在于理解正、负数的含义，再根据题意作答． 3．如图，小明家，学校和少年宫在同一条直线上，小明家在学校的西面400米处，少年宫在学校的东面600米处。规定向东走为正，如果小明从学校出发，先走﹣500米，再走+700米，小明的位置在少年宫的东面还是西面？距离少年宫有多远？ 【分析】根据题意可知，学校的位置在小明家和少年宫的中间，且小明家在学校的西面，少年宫在学校的东面；已知小明从学校出发，先向西走500m，这时小明距离学校就有500米，当他再向东走500m的时候，他又回到了学校，那么还剩下700﹣500＝200（米），就是他从学校向东走的距离，也就是现在距离学校的距离；依据减法的意义，用学校与少年宫的距离减去现在距离学校的距离，即可求出现在距离少年宫的距离，由此计算。 【解答】解：根据题意画出数轴： 700﹣500＝200（米） 600﹣200＝400（米） 答：小明的位置在少年宫的西面，距离少年宫有400米。 【点评】本题考查了方向与位置以及正负数的知识，结合题意分析解答即可。 考点四：自然数的认识 【例4】四（1）班的同学都很想知道数学李老师的手机号码，李老师并没有直接告诉大家，而是说了下面这段话，请你帮忙解密李老师的手机号码。 【分析】最小的自然数是0，因此150的后面一位是0；根据整数的数位顺序表，在百万位上写7；因为万位、千位和百位是三个连续的自然数，利用和18除以3求出中间的数6，也就是百位上的数是6，再利用中间的数减1求出千位上的数，再利用6加1求出十位上的数；在剩余的数位上写9即可。 【解答】解：最小的自然数是0； 18÷3＝6；6﹣1＝5；6+1＝7 如图： 【点评】本题考查了整数的组成意义及整数的认识。 1．两个相邻自然数的和是97，这两个自然数分别是多少？ 【分析】因为相邻的两个自然数相差1，根据和差问题，运用关系式：（和﹣差）÷2＝小数，先求出小数，再求大数． 【解答】解：（97﹣1）÷2 ＝96÷2 ＝48 48+1＝49 答：这两个自然数是48和49． 【点评】此题属于和差问题，运用了关系式：（和﹣差）÷2＝小数，和﹣小数＝大数． 2．一个数，它的千亿位，百万位，千位上的数都是5，其它各个数位上的数字都是最小的自然数． 1：这个数写作：　500005005000　 ；2：这个数读作：　五千亿零五百万五千　 ． 【分析】根据大数的写法和大数的读法进行解答． 【解答】解：这个数写作：5000050050000， 5000050050000读作：五千亿零五百万五千． 故答案为：500005005000；五千亿零五百万五千． 【点评】本题主要考查了学生对大数读写法的掌握情况． 3．认一认，写一写。 最小的自然数是 　0。　 自然数的个数是 　无限的。　 【分析】根据自然数的意义（包括0和正整数），求出即可。 【解答】解：如图： 最小的自然数是0。 自然数的个数是无限的。 故答案为：1，2，3，4，5，6，7，8，9；0，无限的。 【点评】本题考查了自然数的认识。 一．选择题（共7小题） 1．如果零上2℃记作2℃，那么零下5℃记作（　　）℃。 A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5 【分析】正数和负数表示相反意义的量，零上2℃记作2℃，那么零下5℃用负数表示。 【解答】解：如果零上2℃记作2℃，那么零下5℃记作﹣5℃。 故选：D。 【点评】本题考查了正负数的意义。 2．若规定向北行进为正，则﹣30m表示的意义是（　　） A．向东行进30m B．向北行进30m C．向南行进30m D．向西行进30m 【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：向从0点向北记为正，则从0点向南就记为负，直接得出结论即可。 【解答】解：若规定向北行进为正，则﹣30m表示的意义是向南行驶30n。 故选：C。 【点评】本题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负。 3．下面各地距海平面距离最小的是（　　） A．+25米 B．20米 C．﹣135米 D．+145米 【分析】分别求出各地与海平面的距离，然后进行比较即可． 【解答】解：因为25﹣0＝25， 20﹣0＝20， 0﹣（135）＝135， 145﹣0＝145， 所以距海平面距离最小的是B； 故选：B． 【点评】求出各地与海平面的距离，是解答此题的关键． 4．一台冰箱冷冻室﹣18℃，冷藏室4℃，二者温差是（　　） A．4℃ B．14℃ C．18℃ D．22℃ 【分析】﹣18℃到0℃相差18℃；4℃到0℃相差4℃，所以二者温差18℃+4℃，即可解答。 【解答】解：18+4＝22（℃） 答：二者温差是22℃。 故选：D。 【点评】本题考查了正负数的意义。 5．某商店出售的面粉袋上标有质量为（25±0.3）kg的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差（　　） A．0.4kg B．0.5kg C．0.6kg D．0.8kg 【分析】根据题意，当其中的一袋面粉比25千克多0.3kg，另一袋面粉比25千克少0.3kg时，它们的质量相差的最多，据此求出它们的质量最多相差多少kg即可． 【解答】解：0.3﹣（﹣0.3）＝0.6（kg） 答：它们的质量最多相差0.6kg． 故选：C． 【点评】此题主要考查了正、负数的运算，要熟练掌握运算方法． 6．下面各数中，最小的数是（　　） A．3 B．0 C．﹣5 D．﹣1 【分析】正数＞0＞负数，负数大小比较就是看负号后面的数字，数字越大的反而越小，跟正数恰好相反。 【解答】解：﹣5＜﹣1＜0＜3，因此最小的数是﹣5。 故选：C。 【点评】本题考查了正负数大小比较的方法。 7．关于自然数，下列说法中，正确的是（　　） A．0不是自然数 B．有最大的自然数 C．自然数的个数是无限的 D．0.8是自然数 【分析】自然数：非负整数，是正整数和零．也就是除负整数外的所有整数，0是最小的自然数，没有最大的自然数，自然数的个数是无限的。据此解答。 【解答】解：0是最小的自然数，没有最大的最大的自然数，自然数的个数是无限的。 故选：C。 【点评】本题考查了对自然数的理解，自然数包括：0和正整数，根据正数都大于0，即可得出答案。 二．填空题（共7小题） 8．仓库运进货物12吨记为+12吨，运出货物8吨应记为（　﹣8　 ）吨。果汁包装盒上标有“净含量：650毫升±5毫升”，则实际净含量最少是（　645　 ）毫升。 【分析】负数是与正数意义相反的数，据此可知：如果运进12吨记作+12吨，那么运出8吨可以记作﹣8吨； 首先应弄清“净含量650毫升±5毫升”的含义，也就是说这种果汁的标准含量是650毫升，实际每盒容积最多不超过（650+5）毫升，最少不能少于（650﹣5）毫升，据此解答。 【解答】解：仓库运进货物12吨记为+12吨，运出货物8吨应记为﹣8吨。 650﹣5＝645（毫升） 答：实际净含量最少是645毫升。 故答案为：﹣8，645。 【点评】本题考查了负数的意义。 9．一次数学测验全班平均95分，小明考了98分，张老师记作+3分．小亮考了91分，那么张老师记作　﹣4　 分． 【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：选平均95分为标准记为0，超过部分为正，不足的部分为负，直接得出结论即可． 【解答】解：95﹣91＝4（分） 所以一次数学测验全班平均95分，小明考了98分，张老师记作+3分．小亮考了91分，那么张老师记作﹣4分； 故答案为：﹣4． 【点评】此题首先要知道以谁为标准，规定超出标准的为正，低于标准的为负，由此用正负数解答问题． 10．一种袋装食品标准净重200g，质监工作人员为了解该种食品每袋的净重与标准的误差，把食品净重205g记为+5g，那么食品净重197g就记为 　﹣3　 g． 【分析】根据负数的意义，超过这种袋装食品标准净重记为“+”，则少于这种袋装食品标准净重记为“﹣”，据此判断出食品净重197g就记为多少g即可． 【解答】解：因为197﹣200＝﹣3（g）， 所以食品净重197g就记为﹣3g． 答：食品净重197g就记为﹣3g． 故答案为：﹣3． 【点评】此题主要考查了负数的意义及其应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：超过这种袋装食品标准净重记为“+”，则少于这种袋装食品标准净重记为“﹣”． 11．在﹣5、1.8、+0.1、﹣12四个数中，最大的数是 　1.8　 ，最小的数是 　﹣12　 。 【分析】正数大于0和一切负数，0大于一切负数。正数的大小比较方法跟以前学过的数的大小比较方法相同； 负数的大小比较方法是去掉“﹣”大的数反而小。 【解答】解：最大的数从1.8和+0.1中得出： 1.8＞+0.1 最小的数从﹣5和﹣12中得出： 去掉负号，5＜12，则﹣5＞﹣12 则最大的数是1.8，最小的数是﹣12。 故答案为：1.8，﹣12。 【点评】本题考查了正负数的大小比较。 12．18℃、﹣5℃、﹣2℃、0℃的大小顺序是：　18℃＞0℃＞﹣2℃＞﹣5℃　 。 【分析】18℃表示零上18度，0℃表示0度，﹣5℃表示零下5度，﹣2℃表示零下2度，零上肯定大于零下的度数，零下温度比较大小时，离0度越远这个数就越小。 【解答】解：18℃、﹣5℃、﹣2℃、0℃的大小顺序是：18℃＞0℃＞﹣2℃＞﹣5℃。 故答案为：18℃＞0℃＞﹣2℃＞﹣5℃。 【点评】本题考查了整数大小比较的方法。 13．三个连续自然数的和是48，这三个从小到大是：　15　 、　16　 、　17　 ． 【分析】连续的自然数相差1，三个连续自然数，最小的一个比中间的一个少1，最大的一个比中间的一个多1，这三个连续自然数的和是中间那个自然数的3倍，由此可求出中间的那个自然数，然后再求出其它两个． 【解答】解：48÷3＝16； 16﹣1＝15； 16+1＝17； 故答案为：15、16、17． 【点评】本题主要是考查自然数的意义和性质． 14．寒假的某一天，北京早上的温度是﹣4℃，中午比早上上升了3℃，中午的温度 　﹣1℃　 。 【分析】中午比早上上升了3℃，用早上的温度加上3，即可求出中午的温度是多少℃。 【解答】解：﹣4℃+3℃＝﹣1℃ 答：中午的温度是﹣1℃。 故答案为：﹣1℃。 【点评】此题考查正负数的简单计算。 三．判断题（共4小题） 15．如果向东走5米记作+5米，那么向西走3米可以记作﹣3米。 　√　 （判断对错） 【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：向从0点向东记为正，则从0点向西就记为负，直接得出结论即可。 【解答】解：如果向东走5米记作+5米，那么向西走3米可以记作﹣3米。说法正确。 故答案为：√。 【点评】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负。 16．所有的负数都比0小，所有的正数都比0大。 　√　 （判断对错） 【分析】0既不是正数也不是负数。比0大的是正数，正数的数字越大，数值就越大；比0小的是负数，负数的数字越大，数值反而就越小；也就是负数都比0小，正数都比0大，正数都比负数大。 【解答】解：所有的负数都比0小，所有的正数都比0大，因此原题说法正确。 故答案为：√。 【点评】本题考查了正负数大小比较的方法。 17．零下10℃比零下4℃高6℃．　×　 ． 【分析】在数轴上从左到右的顺序，就是数从小到大的顺序，零下10℃即﹣10℃，零下4℃即﹣4℃，﹣10℃在4℃即﹣4℃的左边，比﹣4℃低6℃． 【解答】解：零下10℃比零下4℃低6℃； 故答案为：× 【点评】本题主要是考查两个负数的大小比较，关键是看在数轴上哪个数居左，哪个数居右，左边的数要小于右边的数，或去掉“﹣”哪个数大，哪个数就小． 18．最小的自然数是0。 　√　 （判断对错） 【分析】用来表示物体个数的0，1，2，3，4，……都叫自然数。一个物体也没有，用0表示。 自然数的个数是无限的，最小的自然数是0。 【解答】解：自然数的个数是无限的，最小的自然数是0。 原题说法正确。 故答案为：√。 【点评】掌握自然数的定义是解题的关键。 四．操作题（共1小题） 19．奇思一开始站在小树的位置，他向东走用正数表示，向西走用负数表示。他先走了+3米，再走了﹣7米，最后又走了+5米。请你用▲分别标出他三次行走后到达的位置。（每段表示1米） 【分析】用正负数表示意义相反的两种量，向东走为正，向西走为负，据此可知“+3米”表示从小树现在的位置向东走3米，即移动3格；“﹣7米”表示从走了“+3米”的位置再向西走7格；“+5米”表示从走了“﹣7米”之后的位置向东走5格，据此在图中表示出位置即可。 【解答】解：表示如下： 【点评】本题考查了正负数的意义。 五．应用题（共5小题） 20．一辆公共汽车从起点站开出后，图中经过5个站点，最后到达终点站。下表记录了这辆公共汽车全程载客数量的变化情况。（上车为“+”，下车为“﹣”） 停靠站 起点站 德盛路站 太升路站 玉沙路 站红星路站 游泳池站 终点站 人数 +24 ﹣5、+8 ﹣2、+1 ﹣7、0 ﹣9、+3 0、+6 ﹣19 这辆公共汽车驶出太升路站时，车上一共有多少位乘客？ 【分析】用正负数来表示意义相反的两种量：上车记为正数，则下车就记为负数；通过统计表可以获取信息，0表示既没有人上车，也没有人下车，所以从起始站开始，把上车的人数加上，下车的人数减去，即可得出底驶出太升路站时车上的人数。 【解答】解：24﹣5+8﹣2+1＝26（位） 答：车上一共有26位乘客。 【点评】本题考查了正负数的意义及加减法计算。 21．小明的体重去年下降了2千克，记作﹣2，今年他的体重从50千克变为45千克，那么体重的变化应该记作？ 【分析】用正负数表示意义相反的两种量：体重增加记作正，体重降低记作负。由此得解。 【解答】解：从50千克变成45千克，减轻了5千克，所以应该记作﹣5。 【点评】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负。 22．小南家在学校的南边400米处，记作+400米，现在她从家往北走，每分钟走120米，6分钟后她在学校的南边还是北边？可以怎样表示？ 【分析】用正负数表示意义相反的两种量：学校的南边记作正，则学校的北边就记作负。由此得解。 【解答】解：+400﹣120×6 ＝400﹣720 ＝﹣320（米） 答：学校北边，可以表示为﹣320米。 【点评】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负。 23．一种精品茶叶每罐净含量是80±5克，一罐茶叶最多是多少克？最少是多少克？ 【分析】净含量：80±5克，这表示这罐茶叶的净含量只要在80+5＝85（克）和80﹣5＝75（克）之间都算合格；由此解答即可。 【解答】解：80+5＝85（克） 80﹣5＝75（克） 答：一罐茶叶最多是85克，最少是75克。 【点评】此题主要是考查学生对生活中净含量的理解。 24．由于北方冷空气南下，某天连云港的最高气温由前一天的零上8℃下降了10℃，无锡的最高气温由前一天的零上12℃下降了13℃．这一天连云港、无锡的最高气温各是多少摄氏度？ 【分析】比较温度的大小，可以不看温度，根据正数＞0＞负数，几个负数比较大小时，绝对值越大的负数越小解答即可． 【解答】解：因为8﹣10＝﹣2℃， 12﹣13＝﹣1℃， 所以这一天连云港的最高气温是﹣2℃，无锡的最高气温是﹣1摄氏度； 答：这一天连云港的最高气温是﹣2℃，无锡的最高气温是﹣1摄氏度． 【点评】此题主要考查了正、负数、0的大小比较． 一．选择题（共7小题） 1．温度计上的温度是5℃，后来下降了8℃，这时的温度是（　　）℃。 A．13 B．3 C．﹣3 D．﹣13 【分析】用开始的温度，减去下降的温度即可。 【解答】解：5﹣8＝﹣3（℃） 答：这时的温度是﹣3℃。 故选：C。 【点评】根据正负数的运算方法，解答此题即可。 2．一艘潜水艇所处的位置是海拔﹣120米，一条鲨鱼在潜水艇上方40米，鲨鱼所处的位置是海拔（　　）米。 A．﹣80 B．﹣160 C．+40 D．+80 【分析】根据题意，利用潜水艇所在的位置减去鲨鱼的距离潜水艇的位置即可。 【解答】解：（﹣120）﹣40＝﹣80（米） 答：鲨鱼所处的位置是海拔﹣80米。 故选：A。 【点评】此题考查正、负数的简单运算。 3．三个连续自然数的和是2□7，□里的数可能是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】三位数“2□7”是三个连续自然数的和，可得三位数“2□7”是3的倍数，根据3的倍数的特征，一个数各位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，2+7＝9，9+0＝9，9+3＝12，9+6＝15，9+9＝18，所以□中的数是0、3、6、9；依此即可求解。 【解答】解：三位数“2□7”是3的倍数，根据3的倍数的特征，一个数各位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，2+7＝9，9+0＝9，9+3＝12，9+6＝15，9+9＝18，所以□中的数是0、3、6、9。 故选：B。 【点评】此题主要考查3的倍数特征，属于基础知识。 4．下列词语中，适合描述气温是﹣15℃的词语是（　　） A．秋高气爽 B．冰天雪地 C．夏日炎炎 D．春暖花开 【分析】根据负数的意义，数的前面加有“﹣”号的数，就是负数，﹣15℃表示零下15度，天气非常寒冷，据此解答。 【解答】解：﹣15℃表示零下15度，天气非常寒冷，所以适合描述气温是﹣15℃的词语是冰天雪地。 故选：B。 【点评】此题主要考查负数的意义。 5．《九章算术》中记载了我国古代以斜放的筹表示负数的方法。书写的时候，在这个数的最后一个码上加一斜杠表示负，如“”表示238，则“”表示﹣238。那么“”表示的数是（　　） A．﹣132 B．+132 C．﹣136 D．+136 【分析】根据题意，如“”表示238，则“”表示﹣238。那么“”表示﹣136，据此解答。 【解答】解：《九章算术》中记载了我国古代以斜放的筹表示负数的方法。书写的时候，在这个数的最后一个码上加一斜杠表示负，如“”表示238，则“”表示﹣238。那么“”表示的数是﹣136。 故选：C。 【点评】此题考查了负数的应用等知识，要求学生掌握。 6．如图是某用户微信钱包账单，则﹣10.00（如图）表示（　　） A．余额10.00元 B．发出红包10.00元 C．收入10.00元 D．抢到红包10.00元 【分析】根据正负数的意义，﹣10.00表示支出的10元，就是发出红包10.00元。 【解答】解：﹣10.00表示发出红包10.00元。 故选：B。 【点评】本题考查了正负数的意义。 7．如图，1格代表1米，小明从小树的位置出发，向东走用正数表示，向西走用负数表示，他先走了﹣2米，又走了+7米，现在他的位置在（　　）处。 A．点A B．点B C．点C D．点D 【分析】正负数可以表示具有相反意义的量，向东走用正数表示，向西走用负数表示，他先走了﹣2米，即向西走了2米；又走了+7米，即又向东走了7米。向东走的多，向西走的少，最终位置是在小树的东边，用向东走的米数﹣向西走的米数＝在小树的东边几米处，据此分析。 【解答】解：7﹣2＝5（米） 答：现在他的位置在小树的东边5米处，即点D处。 故选：D。 【点评】本题考查了正负数知识，结合题意分析解答即可。 二．填空题（共7小题） 8．如果把六（3）班同学的平均身高158cm记作“0cm”，则李芹的身高165cm，应记作 　+7　 cm；张晶的身高记作“﹣8cm”，李芹和张晶的身高相差 　15　 cm。 【分析】根据题意，把平均身高作为标准身高，高于平均身高几厘米用正数表示，低于平均身高几厘米就用负几表示，求两个数的差用减法计算。 【解答】解：158﹣8＝150（厘米） 165﹣150＝15（厘米） 答：李芹的身高165cm，应记作+7cm；张晶的身高记作“﹣8cm”，李芹和张晶的身高相差15cm。 故答案为：+7，15。 【点评】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负。 9．月球是地球的天然卫星，它的表面温度在白天可达零上125℃，可以记为　125　 ℃；在夜晚可降至零下168℃，可以记为　﹣168　 ℃。 【分析】根据正负数表示相反意义的两种量，零上温度用正数表示，零下温度用负数表示。正数前面的正号“+”可以省略，负数前面的负号“﹣”不可以省略。据此解答。 【解答】解：月球是地球的天然卫星，它的表面温度在白天可达零上125℃，可以记为125℃；在夜晚可降至零下168℃，可以记为﹣168℃。 故答案为：125；﹣168。 【点评】本题考查了正负数知识，结合题意分析解答即可。 10．四年级女生仰卧起坐及格标准是每分钟21个，小薇1分钟做了27个，体育王老师记作：+6个，那么小丽1分钟做了18个，应记作 　﹣3　 个。 【分析】用正负数来表示具有意义相反的两种量，四年级女生仰卧起坐及格标准是每分钟21个，超出的记作正数，不够21的个数记作负数，据此结合题意分析解答即可。 【解答】解：18﹣21＝﹣3（个） 答：四年级女生仰卧起坐及格标准是每分钟21个，小薇1分钟做了27个，体育王老师记作：+6个，那么小丽1分钟做了18个，应记作﹣3个。 故答案为：﹣3。 【点评】本题考查了正负数知识，结合题意分析解答即可。 11．气温越低感觉就越冷，﹣5℃比﹣2℃要 　冷　 （填“冷”或“热”）。 【分析】负数大小比较就是看负号后面的数字，数字越大的反而越小，跟正数恰好相反，负数越小，表示温度越低。 【解答】解：因为﹣5℃＜﹣2℃，所以气温越低感觉就越冷，﹣5℃比﹣2℃要冷。 故答案为：冷。 【点评】本题考查了负数的意义及大小比较。 12．粮食仓库里运出一批面粉，每袋上面都标有“25±0.5kg”，这说明每袋面粉的质量在 　24.5　 kg到 　25.5　 kg之间都是合格的。 【分析】“25士0.5kg“表示以25kg为标准，+0.5kg是质量上限，﹣0.5kg是质量下限，分别计算上下限即可。 【解答】解：下限：25﹣0.5＝24.5（kg） 上限：25+0.5 ＝25.5（kg）答：这说明每袋面粉的质量在24.5kg到25.5kg之间都是合格的。 故答案为：24.5；25.5。 【点评】本题考查负数在实际生活中表示误差范围的应用。 13．气温从15℃降到﹣2℃，一共降了 　17　 ℃。 【分析】先计算出15℃到0℃降了几度，再计算0℃到﹣2℃降了几度，再相加即可。 【解答】解：15℃﹣0℃＝15℃ 2℃﹣0℃＝2℃ 15℃+2℃＝17℃ 因此气温从15℃降到﹣2℃，一共降了17℃。 故答案为：17。 【点评】本题考查了正负数的运算方法。 14．两个相邻自然数的和是23，这两个自然数分别是 　11　 和 　12　 。 【分析】相邻的两个自然数相差1，据此解答。 【解答】解：11+12＝23 由此可知这两个自然数分别是11和12。 故答案为：11，12。 【点评】本题考查了自然数的认识。 三．判断题（共5小题） 15．一个数不是正数就是负数。　×　 【分析】像1，0.5，3…大于0的数是正数，像﹣1，﹣0.5，﹣3…小于0的数是负数，0不大于0，也不小于0，可得说法错误． 【解答】解：因为0不大于0，也不小于0， 所以0既不是正数也不是负数， 故原说法错误， 故答案为：×． 【点评】本题考查了正数与负数，要注意0既不是正数，也不是负数． 16．2比﹣2更接近于0。　×　 【分析】首先分别求出2、﹣2与0的差的绝对值各是多少；然后根据它们的差的绝对值相等，可得2和﹣2同样接近0，据此判断即可． 【解答】解：因为|2﹣0|＝2，|﹣2﹣0|＝2，2＝2， 所以2和﹣2同样接近0， 所以题中说法不正确． 故答案为：×． 【点评】解答此题的关键是判断出2、﹣2与0的差的绝对值相等． 17．最小的自然数是1。　×　 【分析】根据自然数的意义（包括0和正整数），由此解答即可。 【解答】解：最小的自然数是0，原题说法错误。 故答案为：×。 【点评】本题考查了自然数的认识。 18．淮南某天的气温预报是：﹣1～10℃，那么这天淮南的温差是11℃。　√　 【分析】由题意可知，最高气温是10℃、最低气温是﹣1℃，温差＝最高气温﹣最低气温。 【解答】解：最高气温是10℃、最低气温是﹣1℃，所以温差是10﹣（﹣1）＝11（℃）。所以题干说法正确。 故答案为：√。 【点评】本题考查了有理数的减法及正数和负数，温差是最高气温与最低气温的差。 19．以90分为标准，94分记作+4分。如果记作﹣3分，则实际成绩是87分。　√　 【分析】以90分为标准，高于90分记作正数，低于90分记作负数。 【解答】解：90﹣3＝87（分） 以90分为标准，94分记作+4分。如果记作﹣3分，则实际成绩是87分。原题说法正确。 故答案为：√。 【点评】本题考查了正负数的意义。 四．计算题（共1小题） 20．计算： （1）13+（﹣5）﹣（﹣21）﹣19； （2）（﹣2）2+[18﹣（﹣3）×2]÷4 【分析】加法法则：两数相加，同号（即都为正数或都为负数）相加取那个符号，把绝对值相加，如：﹣2+（﹣5）＝﹣（2+5）＝﹣7； 异号相加（即一个正一个负），取绝对值大的那个数的符号，并把绝对值相减，如：2+（﹣7）＝﹣（7﹣2）＝﹣5，任何数加上0仍等于那个数，如：﹣4+0＝﹣4； 减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，如：4﹣（﹣2）＝4+2＝6。据此解答即可。 【解答】解：（1）13+（﹣5）﹣（﹣21）﹣19 ＝13﹣5+21﹣19 ＝8+21﹣19 ＝29﹣19 ＝10 （2）（﹣2）2+[18﹣（﹣3）×2]÷4 ＝4+[18+6]÷4 ＝4+24÷4 ＝4+6 ＝10 【点评】本题考查了正负数的运算，按照正负数的运算法则解答即可。 五．应用题（共5小题） 21．实验小学举行数学竞赛，试卷共10道题。答对一道记作+10分，不答记作0分，答错一道记作﹣10分。赵璇答错2道题，有一道题未答，她最后得了多少分？ 【分析】根据题意，赵璇答错了2道题，记作﹣20分，有1道题未答，记作0分，再加上她答对的题目的得分，求出她最后得了多少分即可。 【解答】解：（﹣10）×2+0+10×（10﹣2﹣1） ＝﹣20+0+70 ＝50（分） 答：她最后得了50分。 【点评】此题主要考查了正、负数的运算，要熟练掌握运算方法。 22．育才中学八年级男生在上体育课时练习做俯卧撑，以做20个为标准，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示。其中8名男生成绩如下。（单位：个） ﹣2 +1 0 ﹣3 +5 +2 +4 ﹣1 【分析】根据题意，以做20个为标准，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示。结合统计表分析解答即可。 【解答】解：8×20+（﹣2+1+0﹣3+5+2+4﹣1） ＝160+6 ＝166（个） 答：8名男生一共做了166个俯卧撑。 【点评】本题考查了正负数的运算知识，结合题意分析解答即可。 23．一只蚂蚁从洞里出来寻找食物，向东爬了5cm后，没发现食物，又继续向东爬了2cm，结果仍没有找到食物，于是又爬了﹣10cm，终于找到了食物．此时蚂蚁在洞的哪个方向？它离洞有多远？ 【分析】以蚂蚁洞为标准，看作0，则向东为正，向西为负，向东爬了5cm后，没发现食物，又继续向东爬了2cm，说明一共向东爬了7cm；然后又爬了﹣10cm，也就是再向西爬10cm，10＞7，所以此时蚂蚁在洞的西方，它们的差就是离洞有多远． 【解答】解：5+2＝7（厘米） 7＜10，所以此时蚂蚁在洞的西方； 10﹣7＝3（厘米） 答：此时蚂蚁在洞的西方，它离洞有3厘米． 【点评】解决本题关键是明确“﹣10cm”表示：向西爬10cm；从而解决问题． 24．手机转账方便又快捷，郝爷爷开始学习用手机转账啦！上个星期他每天都有一笔转账，如表是转账明细。（收到的钱记为正，转出的钱记为负） 星期 一 二 三 四 五 六 日 转账金额/元 +200 ﹣28 ﹣28 +50 ﹣96 +16 ﹣25 郝爷爷上个星期收到的钱比转出的钱多多少？ 【分析】收到的钱记为正，转出的钱记为负。把收到的钱﹣转出的钱即可解答。 【解答】解：（200+50+16）﹣（28+28+96+25） ＝266﹣151 ＝115（元） 答：郝爷爷上个星期收到的钱比转出的钱多115元。 【点评】本题考查了正负数的意义及计算。 25．六（1）班原来有班费70元，四月份买练习本花去19元，卖废纸挣了25元，林老师给同学们买小贴画花了16元，卖废塑料瓶又挣了27元。 （1）如果我们把收入的钱用正数表示，支出的钱用负数表示，请你帮林老师在如表中记录班费的收支情况。 内容 原有班费 买练习本 卖废纸 买小贴画 卖废塑料瓶 金额（元） （2）六（1）班四月份一共收入多少元？一共支出多少元？结余多少元？ 【分析】（1）把收入的钱用正数表示，支出的钱用负数表示，直接得出答案。 （2）把收入的钱加在一起，支出的钱加在一起，用收入的钱﹣支出的钱＝结余的钱。 【解答】解：（1） 内容 原有班费 买练习本 卖废纸 买小贴画 卖废塑料瓶 金额（元） +70 ﹣19 +25 ﹣16 +27 （2）25+27＝52（元） （﹣19）+（﹣16）＝﹣35（元） 52﹣35＝17（元） 答：一共收入52元；一共支出35元；结余17元。 【点评】本题考查了正负数的意义及加减法计算。 一．选择题（共6小题） 1．（2025•二道区）温度由﹣4℃上升7℃是（　　） A．3℃ B．﹣3℃ C．11℃ D．﹣11℃ 【分析】根据原来的温度是﹣4℃，上升了7℃，可知求7比4多了多少℃，利用减法计算。 【解答】解：7﹣4＝3（℃） 答：现在的温度是3℃。 故选：A。 【点评】此题考查正、负数的简单运算。 2．（2025春•即墨区期末）如图是一款冷冻虾仁外包装上的部分信息。工商部门抽样调查4袋这种冷冻虾仁，净含量为（　　）的是不合格的。 产品名称：冷冻虾仁 净含量：（200±3）克 保质期：18个月 A．201克 B．197克 C．202克 D．195克 【分析】净含量为（200±3）克的是合格产品。 【解答】解：200+3＝203（克） 200﹣3＝197（克） A.197克＜201克＜203克，合格。 B.197克合格。 C.197克＜202克＜203克，合格。 D.195克＜197克，不合格。 故选：D。 【点评】本题考查了正负数的意义。 3．（2025•莒县）如果低于正常水位16cm记为﹣16cm，则高于正常水位2cm记作（　　） A．+2cm B．﹣2cm C．+14cm D．﹣14cm 【分析】低于正常水位记作正数，则高于正常水位记作负数。 【解答】解：如果低于正常水位16cm记为﹣16cm，则高于正常水位2cm记作+2cm。 故选：A。 【点评】本题考查了正负数的意义。 4．（2025•孟州市）如图，水平线的高度为0m，点A的高度为+6m，点C的高度为﹣6m，那么点B的高度最可能是（　　） A．+1m B．﹣1m C．﹣3m D．﹣7m 【分析】根据图像可知，水平线上面的点用正几表示，水平线下面的点用负几表示。 【解答】解：水平线的高度为0m，点A的高度为+6m，点C的高度为﹣6m，那么点B的高度最可能是﹣1m。 故选：B。 【点评】本题考查了正负数的意义。 5．（2025•桦川县）下面各数中，最接近0的是（　　） A．﹣1 B．2 C．﹣3 D．4 【分析】正数＞0＞负数，负数大小比较就是看负号后面的数字，数字越大的反而越小，跟正数恰好相反，结合数轴比较大小。 【解答】解：最接近0的是﹣1。 故选：A。 【点评】此题考查正负数的大小比较。 6．（2024秋•甘井子区期末）一个自然数之所以被称为更大的数是因为（　　） A．第一位数大 B．数位多 C．最后一位数大 D．数中0的个数多 【分析】整数数位越多，代表数就越大，据此解答。 【解答】解：一个自然数之所以被称为更大的数是因为数位多。 故选：B。 【点评】本题考查了自然数的认识。 二．填空题（共6小题） 7．（2025春•巩义市期末）与最大的四位数相邻的两个数分别是 　9998　 和 　10000　 ． 【分析】最大的四位数是9999，与它相邻的两个数分别是9999﹣1和9999+1，由此解答即可． 【解答】解：最大的两位数是9999， 与它相邻的两个数分别是：9999﹣1＝9998，9999+1＝10000， 故答案为：9998，10000． 【点评】解答此题应明确最大的四位数是9999，相邻的两个数相差1． 8．（2025春•枣庄期末）月球表面最高温度约是零上126℃，可记作（　+126℃　 ）℃。最低温度是零下150℃，记作（　﹣150℃　 ）℃。 【分析】在温度计量中，通常用正数表示零上温度，用负数表示零下温度，“零上”和“零下”是一对相反意义的量。对于零上温度，直接在温度数值前加上“+”号（有时“+”号可省略不写）。对于零下温度，则需要在温度数值前加上“﹣”号，以此来与零上温度区分开。 【解答】解：因为零上温度用正数表示，所以零上126℃可记作+126℃。 因为零下温度用负数表示，所以零下150℃可记作﹣150℃。 故答案为：+126；﹣150。 【点评】本题考查了正负数的意义。 9．（2025•赞皇县）六1班某次数学测验的平均成绩为95分，老师把98分记作+3分，那么93分应该记作　﹣2　 分，﹣4分表示的实际分是　91　 分． 【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：选平均成绩95分为标准记为0，超过部分为正，不足的部分为负，直接得出结论即可． 【解答】解：95﹣93＝2， 95﹣4＝91， 所以六1班某次数学测验的平均成绩为95分，老师把98分记作+3分，那么93分应该记作﹣2分，﹣4分表示的实际分是 91分； 故答案为：﹣2，91． 【点评】题首先要知道以谁为标准，规定超出标准的为正，低于标准的为负，由此用正负数解答问题． 10．（2025•三河市）某饮料在包装盒上标注的净含量是300±5mL，从数值上可以看出，这类饮料的合格净含量最大是 　305　 mL，最小是 　295　 mL。 【分析】根据标注的净含量范围来计算合格净含量的最大值和最小值。 【解答】解：计算最大合格净含量：300+5＝305（mL） 计算最小合格净含量：300﹣5＝295（mL） 答：合格净含量最大是305mL，最小是295mL。 故答案为：305；295。 【点评】本题考查正负数在实际生活中的应用。 11．（2025•南川区）根据科学资料显示，海拔高度每增加1000米，气温就会降低6℃。现在A地气温为12℃，B地气温为﹣6℃，则B地比A地高 　18000　 米。 【分析】先求出温度相差多少℃，就有几个1000米即可。 【解答】解：12℃﹣（﹣6℃）＝18℃ 18×1000＝18000（米） 因此B地比A地高18000米。 故答案为：18000。 【点评】本题考查了正负数的运算。 12．（2025•嘉定区）利用数轴比较“2.5、﹣6、0、+1.5、﹣2.4”这五个数的大小，按从大到小的顺序排列，位于第四位的数是 　﹣2.4　 。 【分析】先把这几个数按照从大到小排列（注意正数大于负数）再根据比较的结果解答即可。 【解答】解：2.5＞+1.5＞0＞﹣2.4＞﹣6 位于第四位的数是﹣2.4。 故答案为：﹣2.4。 【点评】本题考查的是数的大小比较知识的运用。 三．判断题（共5小题） 13．（2025•莒县）气温升高3℃，记作+3℃；降低2℃，则记作2℃。　×　 【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：低于0摄氏度记为负，则高于0℃就记为正，直接得出结论即可。 【解答】解：气温升高3℃，记作+3℃；降低2℃，则记作﹣2℃，所以题干说法错误。 故答案为：×。 【点评】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负。 14．（2025•仁寿县）如果向东走200m记作“+200m”，那么向西走150m记作“﹣150m”。　√　 【分析】向东走记作正数，那么向西走记作负数。 【解答】解：如果向东走200m记作“+200m”，那么向西走150m记作“﹣150m”。原题说法正确。 故答案为：√。 【点评】本题考查了正负数的意义。 15．（2025•大冶市）负数小于一切正数，正数都大于0。　√　 【分析】正数＞0＞负数，负数大小比较就是看负号后面的数字，数字越大的反而越小，跟正数恰好相反。 【解答】解：负数小于一切正数，正数都大于0。原题说法正确。 故答案为：√。 【点评】本题考查了正负数大小比较的方法。 16．（2025•旬邑县）旬邑县某天的气温是﹣5℃到10℃，这天的温差是5℃。　×　 【分析】利用最高温度减去最低温度即可。 【解答】解：10℃﹣（﹣5℃）＝15℃ 因此这天的温差是15℃。原题说法错误。 故答案为：×。 【点评】本题考查了正负数的运算方法。 17．（2025•扶沟县）自然数都是正整数。　×　 【分析】自然数包括0和正整数。 【解答】解：自然数包括0和正整数。原题说法错误。 故答案为：×。 【点评】本题考查自然数的认识。 四．应用题（共3小题） 18．（2025春•诸城市期中）有4箱桃子，以每箱25kg为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数。称重的记录如下：+3kg、﹣2kg、+1kg、﹣4kg。这4箱桃子一共有多少千克？ 【分析】把记录的数相加，再加上25×4＝100（千克）即可。 【解答】解：1+3﹣4﹣2＝﹣2（千克） 25×4﹣2＝98（千克） 答：这4箱桃子一共有98千克。 【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示。 19．（2025春•石家庄期中）某仓库周一到周五的货物进出记录如下（“+”表示进库，“﹣”表示出库，单位：吨）：+8，﹣3，+5，﹣6，+4 （1）周一结束后，仓库货物比原来多了还是少了？多（少）多少吨？ （2）周五结束时，仓库共有货物20吨，求仓库原有的货物吨数。 【分析】（1）把周一到周五进出库的数据相加计算，如果得数为正，说明仓库货物比原来多了；如果得数为负，说明仓库货物比原来少了。 （2）根据减法的意义，用总吨数﹣周一到周五多了的吨数＝仓库原有的货物吨数。 【解答】解：（1）（+8）+（﹣3）+（+5）+（﹣6）+（+4）＝+8（吨） 答：仓库货物比原来多了，多了8吨。 （2）20﹣（+8）＝12（吨） 答：仓库原有的货物12吨。 【点评】本题考查了正负数的意义及加、减法计算。 20．（2023秋•扬州期末）某工厂规定每人每天要做100个零件，如果某人生产了105个零件，记作：+5个；如果某人生产了98个零件，记作：﹣2个。下面是小张一周的生产零件的个数情况： 星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 计数/个 ﹣6 +12 +9 ﹣3 +8 （1）从上面的记录中你能看出他在星期几生产的零件个数最多？是多少个？星期几生产的最少？是多少个？ （2）小张这周一共生产了多少个零件？平均每天生产多少个？ 【分析】（1）比较正负数的大小，最大表示生产数量最多；最小表示生产数量最少；可理解为正数表示加，负数表示减，据此求出具体数量。 （2）求出每天具体数量相加是总个数，根据平均数＝总数÷份数，列式解答即可。 【解答】解：（1）+12＞+9＞+8＞﹣3＞﹣6 100+12＝112（个） 100﹣6＝94（个） 答：他在星期二生产的零件个数最多，是112个，星期一生产的最少，是94个。 （2）100+9＝109（个） 100﹣3＝97（个） 100+8＝108（个） （94+112+109+97+108）÷5 ＝520÷5 ＝104（个） 答：小张这周一共生产了520个零件，平均每天生产104个。 【点评】正负数可以表示相反意义的量。 五．操作题（共1小题） 21．（2024春•老河口市期中）直线上每格代表1m，小乌龟的家在+1处。 （1）小乌龟从家出发，先走了+2m，之后又走了﹣5m到达了大象家。请用“Δ”标出大象家的位置。 （2）小乌龟又从大象家出发，先走了﹣2m，之后又走了+9m到达小狗家。请用“O”标出小狗家的位置。 【分析】（1）小乌龟从+1m先向东走了+2m到了+3m处，再向西走了5m，到达﹣2（m）处。 （2）小乌龟从﹣2m处先向西走2m，到达了﹣4m处，又向东走了9m到达小狗家，小狗家在东5m处。 【解答】解： 【点评】本题考查了正负数的意义。 六．解答题（共3小题） 22．（2025春•惠民县期中）请在表格内用正、负数记录美丽化妆品店的收支情况。 8月2日 进货9500元 8月4日 支付工资3000元 8月10日 上旬收入8000元 8月20日 中旬收入9000元 8月25日 付房租1500元 8月28日 水电费300元 8月31日 下旬收入9500元 日期 收支情况/元 8月2日 ﹣9500 8月4日 你能算出美丽化妆品店本月盈利多少元吗？ 【分析】分析题意，将收入记为“+”，将支出记为“﹣”，据此结合题中所给的数据将表格补充完整；接下来再将所有的收支情况相加即可求出本月盈利美丽化妆品店的盈利情况了。 【解答】解： 日期 收支情况/元 8月2日 ﹣9500 8月4日 ﹣3000 8月10日 +8000 8月20日 +9000 8月25日 ﹣1500 8月28日 ﹣300 8月31日 +9500 8000+9000+9500﹣9500﹣3000﹣1500﹣300＝12200（元） 答：美丽化妆品店本月盈利12200元。 【点评】此题主要考查了正负数表示的意义，首先应结合题意明确什么情况记“+”，什么情况记“﹣”。 23．（2024秋•江宁区期末）在同一时刻，不同地方的时间有差别，表中列出了几个城市和北京的时差（正数表示同一时刻比北京的时间早的小时数），如果现在是12月12日的北京时间10时，东京时间是12月12日11时，那么小明这时打电话给远在巴黎出差的爸爸，合适吗？为什么？ 城市 东京 纽约 巴黎 时差 +1 ﹣13 ﹣7 【分析】巴黎时刻是﹣7时，表示10时﹣7时＝3时，这时的时刻是巴黎的深夜3时。小明这时打电话给远在巴黎出差的爸爸，不合适。 【解答】解：10﹣7＝3（时） 答：小明这时打电话给远在巴黎出差的爸爸，不合适，因为这时的时刻是巴黎的深夜3时，爸爸正在睡觉。 【点评】本题考查了正负数的意义。 24．（2025春•汉寿县期中）滴滴司机李叔叔昨天上午的营运全是在东西走向的华峰大道上，如果规定向东为正，向西为负，那么他昨天上午的里程如下（单位：千米）： +13，﹣2，﹣10，+14，﹣2，+4，﹣15，+8 （1）将最后一名乘客送到目的地时，李叔叔的位置怎样表示？ （2）若出租车的耗油量为75毫升/千米，则昨天上午出租车共耗油多少升？ 【分析】（1）所有正数表示向东行驶，所有负数表示向西行驶，不管正负号，将所有向东和向西行驶的路程相加，比较，向东行驶的路程多，最后的位置是正数，向西行驶的路程多，最后的位置是负数，求差即可。 （2）每千米耗油量×行驶总路程＝总耗油量，据此列式解答。 【解答】解：（1）向东行驶：13+14+4+8＝39（千米） 向西行驶：2+10+2+15＝29（千米） 39＞29 39﹣29＝10（千米） 答：李叔叔的位置是+10千米。 （2）75×（39+29） ＝75×68 ＝5100（毫升） 5100毫升＝5.1升 答：昨天上午出租车共耗油5.1升。 【点评】本题考查了正负数的运算及应用问题。 学科网（北京）股份有限公司 $