四川省仁寿县铧强中学2026届高三第一次适应性考试数学试题

四川省仁寿县铧强中学2026届高三第一次适应性考试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数的定义域为(     ) A． B． C． D． 2．已知集合，，则(     ) A． B． C． D． 3．“”是“”的(     ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知，，则(     ) A． B． C． D． 5．设、为两个平面，、为两条直线，则下列结论中正确的是(     ) A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 或 6．下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是(     ) A． B． C． D． 7．已知函数的部分图象如图所示，若方程在上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是(     ) A． B． C． D． 8. 已知函数（，e为自然对数的底数）的图像上存在2个点、分别与的图像上2个点、关于x轴对称，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若幂函数的图象过点，则 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 若函数在上只有一个零点，则实数a的范围为 D. 函数的单调增区间为 10．已知，则(  ) A． B． C． D． 11．已知正实数、满足，则下列说法正确的有(    ) A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，，则 ． 13．已知，则 ． 14．已知函数，，若恒成立，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分) 已知函数，且的最小正周期是． (1)求的值，并求此时的对称轴； (2)，求函数的单调递减区间． 16. 如图，在三棱柱中，所有的棱长均相等，是的中点，在上底面的投影为的重心． （1）证明：； （2）求平面与平面的夹角的正弦值． 17．(15分) 记为数列的前项和，已知． (1)求； (2)设，求数列的前项和． 18．(17分) 已知函数，． (1)当时，求图象在处的切线方程； (2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围． 19． (17分)某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下:若某成员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关;若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关;当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束.已知团队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为和，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响. (1)若，用表示团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求的均值. (2)记A团队第位成员上场且闯过第二关的概率为，集合中元素的最小值为，规定团队人数，求. 四川省仁寿县铧强中学2026届高三第一次月考数学参考答案及评分标准 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 A B C A C D B A AC AB BCD 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A 【详解】由 得，函数的定义域为 2．【答案】B 【改编来源】2024全国甲卷理科数学 【详解】， 3．【答案】C 【改编来源】2025年高考天津卷数学第2题 【详解】由，是单调递增函数，故为充要条件 4．【答案】A 【详解】由，，得， 5．【答案】C 【改编来源】2025天津卷第4题，2024全国甲卷(理)11题 【详解】对于A：若，则或，错误； 对于B：若，则或与相交，错误； 对于C：两条平行线有一条垂直于一个平面，则另一个必定垂直这个平面， 若，故，故C正确； 对于D：若，则与不一定垂直，错误． 6．【答案】D 【详解】对于A，是奇函数，但， 故在其定义域上不单调递增，故A错误； 对于B，是偶函数，故B错误； 对于C，在其定义域上不单调，故C错误； 对于D，是奇函数，在其定义域上单调递增，故D正确． 7．【答案】B 【详解】根据函数的部分图象， 可得，，∴．再根据五点法作图，可得， ∴，．在上，， 方程在上有两个不相等的实数根，则实数 8．【答案】A 【解析】 【分析】设上一点关于轴对称点坐标为，则在上，得到方程有解，即函数与在上有交点，利用导数判断出函数的单调性和最值，可得实数的取值范围． 【详解】设是上一点，则， 且关于轴对称点坐标为在上， 由题意得，有两个不同的实数解， 即有两个不同的实数解. 令，则，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以 有两个不同实数解等价于与有两个交点， 所以,所以 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．【答案】AC 【解析】 【分析】求出幂函数的解析式，进而求出函数值判断A；利用抽象函数的定义域列式求解判断B；利用一元二次方程实根分布求解判断C；利用导数求出单调递增区间判断D. 【详解】对于A，令，则，解得，，因此，A正确； 对于B，函数中，则，即函数的定义域为， 由，得，因此函数定义域为，B错误； 对于C，由函数在上只有一个零点，得，无解， 或，解得，因此实数a的范围为，C正确； 对于D，由，得，而，解得， 因此函数的单调增区间为，D错误. 故选：AC 10．【答案】AB 【详解】选项A：右边最高次为7，故，A正确．选项B：令，则，B正确． 选项C：的系数为 ，C错误．选项D：令 则，D错误 11．【答案】BCD 【改编来源】人教版必修一复习参考题2第5题 【详解】对于：，∴， 则，当且仅当、时取等，故的最小值为，则错误. 对于：，故的最小值为，则正确. 对于：，显然不成立，故，令，故，即， 则，当且仅当、，即、时取等，则正确 对于：，当且仅当、，即、时取等，则正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．【答案】 【详解】∵，， 13．【答案】 【详解】，， ，， 14．【答案】 【详解】①当时，则不能恒成立 ②当时，，，，故要恒成立 需满足，即，故 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．【答案】(1)，，；(2)，． 【改编来源】【2020·上海·高考真题】【2025·全国二卷·高考真题】 【详解】(1)，，解得，则 2分 令解得，，即的对称轴为， 5分 (2) 10分 令，得 所以的单调递减区间为， 13分 16．【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理得，再根据线面垂直的判定定理得平面，最后利用线面垂直的性质定理证明即可. （2）解法一：延长交于点，则为平面与平面的夹角，然后利用直角三角形知识求解，再结合利用诱导公式求解即可； 解法二：建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用向量法及同角三角函数关系求出正弦值. 【小问1详解】 在上底面的投影为的重心． 平面，平面，， ，， 是等边三角形，是的中点，故， ，平面，平面，平面， 又因为平面，. 【小问2详解】 解法一：延长交于点，如图所示， 由（1）知平面，故为平面与平面的夹角， ，， 设棱长为1，则，为重心，，，， 平面与平面的夹角的正弦值为. 解法二：设，有，，，可求得， 由，，可得， 又由平面，以为坐标原点， ，，分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系， 有，，，，， 可得，， 设平面的一个法向量为， 有，取，，，可得， 又由平面的一个法向量为，有，，， 有， 故平面与平面的夹角的正弦值为． 17．【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用即可得，构造等比数列即可求解； （2）由（1）得代入，进而得，利用裂项相消法即可求解. 【详解】（1）令时，，即得， 时，①，②， 由①-②得，， 又由， 又， 所以数列是以4为首项，公比为4的等比数列， 所以； （2）因为． 所以 ． 18．【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】(1)时，，故，则，即 2分 则 3分 则切线方程为 4分 (2)，，即，∴ 5分 令，，故 7分 当时，，即在递增 当时，，即在递减 9分 则，故 10分 (3)方法1：，令在上递增，故与一一对应，且 令，，故有两个零点，等价于在上有两个零点 11分 处理方式1： ①当时，，则在上递减，最多有一个零点，故不满足 12分 ②当时，令可得，即在递增 令可得，即在递减 14分 且当时，，则 当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，故 15分 要使在上有两个零点，则，解得 17分 处理方式2：在上有两个零点，等价于方程有两个实根，即有两个根 13分 也等价于与图象有两个公共点 ，则可得在递增，递减 14分 且，当时，，则 15分 当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，故 16分 则的大致图象为 故当时，与图象有两个公共点，即有两个零点 17分 方法2：， 11分 ①当时，，即在单调递增，最多1个零点，故不成立 12分 ②当时，令，显然在递增， 且时，，时，， 故使得，即 14分 ∴在递减，递增，且时，，时， 处理方式1：要使在上有两个零点，则 解得 17分 处理方式2：要使在上有两个零点，则， 即，显然函数在递增， 且，，故使得，，即，即 则不等式的解为 令，则，故在递减 且，且时，，故 17分 19．．(1)； (2)7. 【分析】（1）求出的所有可能值及各个值对应的概率，再求出期望. （2）利用互斥事件的概率公式，求出第位成员闯过第二关的概率，再列出不等式求解即得. 【详解】（1）依题意，的所有可能取值为， ，， 所以的分布列为： 1 2 3 数学期望. （2）令，若前位玩家都没有通过第一关测试， 其概率为， 若前位玩家中第位玩家才通过第一关测试， 则前面位玩家无人通过第一关测试，其概率为，第位玩家通过第一关测试， 但没有通过第二关测试，其概率为， 第位玩家到第位玩家都没有通过第二关测试，其概率为， 所以前面位玩家中恰有一人通过第一关测试的概率为： ， 因此第位成员闯过第二关的概率， 由，得，解得，则，所以. 【点睛】关键点点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键. 数学试卷 第1页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省仁寿县铧强中学2026届高三第一次适应性考试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数的定义域为(     ) A． B． C． D． 2．已知集合，，则(     ) A． B． C． D． 3．“”是“”的(     ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知，，则(     ) A． B． C． D． 5．设、为两个平面，、为两条直线，则下列结论中正确的是(     ) A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 或 6．下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是(     ) A． B． C． D． 7．已知函数的部分图象如图所示，若方程在上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是(     ) A． B． C． D． 8. 已知函数（，e为自然对数的底数）的图像上存在2个点、分别与的图像上2个点、关于x轴对称，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若幂函数的图象过点，则 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 若函数在上只有一个零点，则实数a的范围为 D. 函数的单调增区间为 10．已知，则(  ) A． B． C． D． 11．已知正实数、满足，则下列说法正确的有(    ) A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，，则 ． 13．已知，则 ． 14．已知函数，，若恒成立，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分) 已知函数，且的最小正周期是． (1)求的值，并求此时的对称轴； (2)，求函数的单调递减区间． 16. 如图，在三棱柱中，所有的棱长均相等，是的中点，在上底面的投影为的重心． （1）证明：； （2）求平面与平面的夹角的正弦值． 17．(15分) 记为数列的前项和，已知． (1)求； (2)设，求数列的前项和． 18．(17分) 已知函数，． (1)当时，求图象在处的切线方程； (2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围． 19． (17分)某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下:若某成员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关;若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关;当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束.已知团队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为和，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响. (1)若，用表示团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求的均值. (2)记A团队第位成员上场且闯过第二关的概率为，集合中元素的最小值为，规定团队人数，求. 数学试卷 第1页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $