21.3 实际问题与一元二次方程（同步练习）-2025-2026学年人教版数学九年级上册

21.3 实际问题与一元二次方程 一．选择题（共8小题） 1．（2025春•石景山区期末）某科技产业园区2022年的营业收入为5亿元，随着各项扶持政策的落实以及创新技术的应用，2024年的营业收入达到7.2亿元，求该产业园区这两年营业收入的年平均增长率．设该产业园区这两年营业收入的年平均增长率为x，依题意，可列方程为（　　） A．5（1+x）2＝7.2 B．5（1+2x）＝7.2 C．5（1﹣x）2＝7.2 D．7.2（1+x）2＝5 2．（2025•五华区三模）以普洱本地紫檀木或竹根雕刻成迷你茶壶、茶杯挂件，融入茶马古道文化符号（如马帮、古道纹路）的茶具微雕饰品深受众多游客的喜爱．某茶具微雕饰品专卖店今年1月份售出100件某款饰品，3月份售出144件该款饰品，若将这两个月该款饰品销售量的平均增长率设为x，根据题意，下列方程正确的是（　　） A．100（1+x）2＝144 B．100（1+x2）＝144 C．100（1+2x）＝144 D．100（1+x）＝144 3．（2025•东胜区二模）某品牌新能源汽车2021年的销售量为25万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2023年的销售量比2021年增加了39万辆．如果设从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（　　） A．25（1+2x）＝39 B．25（1+2x）﹣25＝39 C．25（1+x）2＝39 D．25（1+x）2﹣25＝39 4．（2025•潮阳区三模）某市为了解决新能源汽车充电难的问题，计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了400个充电桩，第三个月新建了600个充电桩，设该市新建充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，可列出方程（　　） A．400（1+x）2＝600 B．600（1+x）2＝400 C．400（1﹣x）2＝600 D．600（1﹣x）2＝400 5．（2025•石林县校级模拟）“少年强，则国强”，为丰富校园文化生活，激发学生参与体育运动的积极性，进一步推动学校体育活动的健康发展，以赛促练．我县计划组织初中学生篮球赛，若首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一场），则首轮需要安排28场比赛，设共有x个队参赛，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28 C． D． 6．（2025•鼓楼区校级模拟）深度求索（DeepSeek）是一家专注人工智能领域的中国科技公司，致力于开发先进的大语言模型和生成式AI技术，一经发布，便占据各大手机应用市场下载榜首位．据统计，该软件首日在某平台的下载量为50万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次．设下载量的日平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（　　） A．50（1+x）＝150 B．50（1﹣x）2＝150 C．50（1+x）2＝150 D．50（1+x）3＝150 7．（2025•无锡校级一模）某阅览室2015年图书借阅总量是7500本，2017年图书借阅总量是10800本．设该阅览室的图书借阅总量从2015年至2017年的年平均增长率为x，则下列方程中，正确的是（　　） A．7500（1﹣x）2＝10800 B．7500（1+x）2＝10800 C．10800（1﹣x）2＝7500 D．10800（1+x）2＝7500 8．（2025•清原县一模）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为520m2．求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为x m，根据题意所列方程为（　　） A．（40﹣2x）（22﹣x）＝520 B．（40﹣x）（22﹣x）＝520 C．（40﹣x）（22﹣2x）＝520 D．（40﹣x）（22+x）＝520 二．填空题（共5小题） 9．（2025春•越城区期末）一件原价为100元的衣服经过两次降价后的价格为81元，若设每次降价的百分率都是x，则可列方程为　 　 ． 10．（2025春•姜堰区期末）一张面积是100cm2的矩形彩纸，长比宽多6cm，若设它的宽为x cm，可列出一元二次方程为　 　 （化为一般式）． 11．（2025春•嘉定区期末）某品牌新能源汽车的某款车型售价为30万元，连续两次降价后售价为24.3万元，假如每次平均降价的百分率都为x，那么可列方程为 　 　 ． 12．（2025春•九龙坡区月考）某市2025年1月5G手机用户数量为20万，同年3月5G用户数量增长至24.2万，设2、3月份用户数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为 　 　 ． 13．（2025春•龙湾区期中）电影《哪吒之魔童闹海》于2025年春节档上映，一上映就获得全国人民的追捧．据不完全统计，某市第一天票房约200万元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入共728万元，将增长率记作x，则方程可以列为 　 　 ． 三．解答题（共2小题） 14．（2024秋•朝阳区期末）为确保广大民众能够用上价格实惠的药品，医保局与药品供应商进行了多次谈判协商．其中，某药品原价为每盒200元，经过两次相同百分率的降价后，价格降至每盒128元．求每次降价的百分率． 15．（2025春•万州区期中）2025年春节联欢晚会吉祥物“巳（sì）升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红． （1）某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元，若顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，则A，B两款吉祥物的单价分别是多少元？ （2）若A款吉祥物的进价为每件60元，经市场调查发现，当售价定为每件100元，则每天能销售A款吉祥物20件，而售价每降价1元，每天可多售出A款吉祥物2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利1200元，则A款吉祥物售价应降低多少元？ 21.3 实际问题与一元二次方程 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2025春•石景山区期末）某科技产业园区2022年的营业收入为5亿元，随着各项扶持政策的落实以及创新技术的应用，2024年的营业收入达到7.2亿元，求该产业园区这两年营业收入的年平均增长率．设该产业园区这两年营业收入的年平均增长率为x，依题意，可列方程为（　　） A．5（1+x）2＝7.2 B．5（1+2x）＝7.2 C．5（1﹣x）2＝7.2 D．7.2（1+x）2＝5 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】一元二次方程及应用；应用意识． 【答案】A 【分析】设该产业园区这两年营业收入的年平均增长率为x，根据该市2022年及202年的营业收入，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：5（1+x）2＝7.2． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是找到等量关系并列出方程，难度不大． 2．（2025•五华区三模）以普洱本地紫檀木或竹根雕刻成迷你茶壶、茶杯挂件，融入茶马古道文化符号（如马帮、古道纹路）的茶具微雕饰品深受众多游客的喜爱．某茶具微雕饰品专卖店今年1月份售出100件某款饰品，3月份售出144件该款饰品，若将这两个月该款饰品销售量的平均增长率设为x，根据题意，下列方程正确的是（　　） A．100（1+x）2＝144 B．100（1+x2）＝144 C．100（1+2x）＝144 D．100（1+x）＝144 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】一元二次方程及应用；应用意识． 【答案】A 【分析】利用该茶具微雕饰品专卖店今年3月份销售该款饰品的数量＝该茶具微雕饰品专卖店今年1月份销售该款饰品的数量×（1+这两个月该款饰品销售量的平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：100（1+x）2＝144． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．（2025•东胜区二模）某品牌新能源汽车2021年的销售量为25万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2023年的销售量比2021年增加了39万辆．如果设从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（　　） A．25（1+2x）＝39 B．25（1+2x）﹣25＝39 C．25（1+x）2＝39 D．25（1+x）2﹣25＝39 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】一元二次方程及应用；应用意识． 【答案】D 【分析】利用该品牌新能源汽车2023年的销售量＝该品牌新能源汽车2021年的销售量×（1+从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率）2，结合2023年的销售量比2021年增加了39万辆，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：25（1+x）2﹣25＝39． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4．（2025•潮阳区三模）某市为了解决新能源汽车充电难的问题，计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了400个充电桩，第三个月新建了600个充电桩，设该市新建充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，可列出方程（　　） A．400（1+x）2＝600 B．600（1+x）2＝400 C．400（1﹣x）2＝600 D．600（1﹣x）2＝400 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】一元二次方程及应用；应用意识． 【答案】A 【分析】利用该市第三个月新建智能充电桩个数＝该市第一个月新建智能充电桩个数×（1+该市新建智能充电桩个数的月平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：设该市新建充电桩个数的月平均增长率为x，列出方程为400（1+x）2＝600， 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找出等量关系是解答本题的关键． 5．（2025•石林县校级模拟）“少年强，则国强”，为丰富校园文化生活，激发学生参与体育运动的积极性，进一步推动学校体育活动的健康发展，以赛促练．我县计划组织初中学生篮球赛，若首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一场），则首轮需要安排28场比赛，设共有x个队参赛，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28 C． D． 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】一元二次方程及应用；应用意识． 【答案】D 【分析】利用首轮需要安排比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：x（x﹣1）＝28． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6．（2025•鼓楼区校级模拟）深度求索（DeepSeek）是一家专注人工智能领域的中国科技公司，致力于开发先进的大语言模型和生成式AI技术，一经发布，便占据各大手机应用市场下载榜首位．据统计，该软件首日在某平台的下载量为50万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次．设下载量的日平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（　　） A．50（1+x）＝150 B．50（1﹣x）2＝150 C．50（1+x）2＝150 D．50（1+x）3＝150 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】一元二次方程及应用；应用意识． 【答案】C 【分析】利用该软件第三天在某平台的下载量＝该软件首日在某平台的下载量×（1+下载量的日平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：50（1+x）2＝150． 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7．（2025•无锡校级一模）某阅览室2015年图书借阅总量是7500本，2017年图书借阅总量是10800本．设该阅览室的图书借阅总量从2015年至2017年的年平均增长率为x，则下列方程中，正确的是（　　） A．7500（1﹣x）2＝10800 B．7500（1+x）2＝10800 C．10800（1﹣x）2＝7500 D．10800（1+x）2＝7500 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】一元二次方程及应用；应用意识． 【答案】B 【分析】利用该阅览室2017年图书借阅总量＝该阅览室2015年图书借阅总量×（1+该阅览室的图书借阅总量从2015年至2017年的年平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：7500（1+x）2＝10800． 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8．（2025•清原县一模）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为520m2．求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为x m，根据题意所列方程为（　　） A．（40﹣2x）（22﹣x）＝520 B．（40﹣x）（22﹣x）＝520 C．（40﹣x）（22﹣2x）＝520 D．（40﹣x）（22+x）＝520 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】一元二次方程及应用；应用意识． 【答案】B 【分析】由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为（40﹣x）m，宽为（22﹣x）m的矩形，结合停车位的占地面积为520m2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：若设停车场内车道的宽度为x m，则停车位（图中阴影部分）可合成长为（40﹣x）m，宽为（22﹣x）m的矩形， 根据题意得：（40﹣x）（22﹣x）＝520． 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 9．（2025春•越城区期末）一件原价为100元的衣服经过两次降价后的价格为81元，若设每次降价的百分率都是x，则可列方程为　100（1﹣x）2＝81　 ． 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】一元二次方程及应用；应用意识． 【答案】100（1﹣x）2＝81． 【分析】根据原价乘以降价百分率得出第一次降价后价格，进而表示出第二次降价后价格，即可得出等式． 【解答】解：根据题意可列方程为： 100（1﹣x）2＝81． 故答案为：100（1﹣x）2＝81． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，属于平均增长率问题，一般情况下，假设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n（一般情况下为2），增长后的量为b，则有表达式a（1+x）n＝b，类似的还有平均降低率问题，注意区分“增”与“减”． 10．（2025春•姜堰区期末）一张面积是100cm2的矩形彩纸，长比宽多6cm，若设它的宽为x cm，可列出一元二次方程为　x2+6x﹣100＝0　 （化为一般式）． 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程；一元二次方程的一般形式． 【专题】一元二次方程及应用；应用意识． 【答案】x2+6x﹣100＝0． 【分析】根据矩形的宽表示出矩形的长，利用矩形的面积计算方法列出方程即可． 【解答】解：设长方形纸片的宽为x cm，则长为（x+6）cm， 根据题意得：x（x+6）＝100， 即x2+6x﹣100＝0， 故答案为：x2+6x﹣100＝0． 【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是根据矩形的宽表示出矩形的长，难度不大． 11．（2025春•嘉定区期末）某品牌新能源汽车的某款车型售价为30万元，连续两次降价后售价为24.3万元，假如每次平均降价的百分率都为x，那么可列方程为 　30（1﹣x）2＝24.3　 ． 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】一元二次方程及应用；应用意识． 【答案】30（1﹣x）2＝24.3． 【分析】利用连续两次降价后的售价＝原价×（1﹣每次平均降价的百分率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：30（1﹣x）2＝24.3． 故答案为：30（1﹣x）2＝24.3． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 12．（2025春•九龙坡区月考）某市2025年1月5G手机用户数量为20万，同年3月5G用户数量增长至24.2万，设2、3月份用户数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为 　20（1+x）2＝24.2　 ． 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】一元二次方程及应用． 【答案】20（1+x）2＝24.2． 【分析】利用该市2025年3月5G手机用户数量＝该市2025年1月5G手机用户数量×（1+2、3月份用户数量的月平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：20（1+x）2＝24.2． 故答案为：20（1+x）2＝24.2． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 13．（2025春•龙湾区期中）电影《哪吒之魔童闹海》于2025年春节档上映，一上映就获得全国人民的追捧．据不完全统计，某市第一天票房约200万元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入共728万元，将增长率记作x，则方程可以列为 　200+200（1+x）+200（1+x）2＝728　 ． 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】一元二次方程及应用；应用意识． 【答案】200+200（1+x）+200（1+x）2＝728． 【分析】由第一天的票房及每天票房的增长率，可得出第二天票房约200（1+x）万元，第三天票房约200（1+x）2万元，结合三天后累计票房收入共728万元，可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵第一天票房约200万元，以后每天票房按相同的增长率增长，且将增长率记作x， ∴第二天票房约200（1+x）万元，第三天票房约200（1+x）2万元． 根据题意得：200+200（1+x）+200（1+x）2＝728． 故答案为：200+200（1+x）+200（1+x）2＝728． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 三．解答题（共2小题） 14．（2024秋•朝阳区期末）为确保广大民众能够用上价格实惠的药品，医保局与药品供应商进行了多次谈判协商．其中，某药品原价为每盒200元，经过两次相同百分率的降价后，价格降至每盒128元．求每次降价的百分率． 【考点】一元二次方程的应用． 【专题】一元二次方程及应用；应用意识． 【答案】见试题解答内容 【分析】设每次降价的百分率为x，根据两次降价后每盒128元，可列方程200（1﹣x）2＝128，解方程即可求出降价的百分率． 【解答】解：设每次降价的百分率为x，则第一次降价后药品每盒为200（1﹣x）元，第二次降价后药品每盒为200（1﹣x）2元， 根据题意得：200（1﹣x）2＝128， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（舍去）． 答：每次降价的百分率为20%． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 15．（2025春•万州区期中）2025年春节联欢晚会吉祥物“巳（sì）升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红． （1）某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元，若顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，则A，B两款吉祥物的单价分别是多少元？ （2）若A款吉祥物的进价为每件60元，经市场调查发现，当售价定为每件100元，则每天能销售A款吉祥物20件，而售价每降价1元，每天可多售出A款吉祥物2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利1200元，则A款吉祥物售价应降低多少元？ 【考点】一元二次方程的应用；分式方程的应用． 【专题】分式方程及应用；一元二次方程及应用． 【答案】（1）A款吉祥物的单价为80元，B款吉祥物的单价为60元； （2）售价应降低20元． 【分析】（1）设一个B款吉祥物的售价为x元，则一个A款吉祥物的售价为（x+20）元，根据顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，即可列出等量关系求解； （2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为（100﹣y﹣60）元，每天的销售量为（20+2y）件，根据题意即可列出等量关系求解． 【解答】解：（1）设B款吉祥物的单价为x元，则A款吉祥物的单价为（x+20）元， 根据题意得：， 解得：x＝60， 经检验，x＝60是所列方程的解，且符合题意， ∴x+20＝60+20＝80， 答：A款吉祥物的单价为80元，B款吉祥物的单价为60元； （2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为（100﹣y﹣60）元，每天的销售量为（20+2y）件， 根据题意得：（100﹣y﹣60）（20+2y）＝1200， 整理得：y2﹣30y+200＝0， 解得：y1＝10，y2＝20， 又∵要尽量减少库存， ∴y＝20， 答：售价应降低20元． 【点评】本题考查了分式方程及一元二次方程实际应用问题，根据题意找到相等关系是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $