精品解析：广西钦州市第四中学2025-2026学年高一上学期开学考试数学试卷

广西钦州市第四中学 2025秋季学期高一年级开学考试数学试卷 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上， 2.四答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.四答非选择题时，将答案写在签题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结来后，.将本试卷和答题卡一并交回 第I卷（选择题） 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则（   ） A. B. C. D. 2. 有人参加篮球､乒乓球､羽毛球训练，参加篮球训练的有人，参加乒乓球训练的有人，参加羽毛球训练的有人，其中只参加种球类训练的有人，则种球类训练都参加的人数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，则整数集可以表示为（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合，，则集合中的元素个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5. 已知集合，则（ ） A. 0 B. C. D. 6. 已知全集，集合，，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 7. 已知集合，，且的元素个数为2，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 设集合，则的真子集的个数是（ ） A. 8 B. 7 C. 4 D. 3 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知集合，，若，则实数值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 1 10. 下列选项不正确的是（ ） A. 集合用列举法表示为 B. 空集是任何集合的子集 C. 任何集合至少有两个子集 D. 满足方程组的点集为 11. 下列命题中正确的是（ ） A. 集合的真子集是 B C. 设，若，则 D.  第II卷（非选择题） 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有 ___________ 人． 13. 设集合.若，则______. 14. 若，，并有以下7个关系式： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ 其中正确的有________（填序号）． 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）在①；②这两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若选______，求实数的取值范围. 16. 已知集合，x、，其中．定义，若，则称x与y正交． （1）若，写出 中与x正交的所有元素； （2）令，若，证明：为偶数； （3）若，且A 中任意两个元素均正交，当时，A中最多可以有多少个元素. 17. 设全集U=R已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 18. 已知集合，集合． （1）若，求实数m的值； （2）若，求实数m的取值范围． 19. 已知集合，1，2，，，集合，记元素个数为．若集合中存在三个元素，，，使得，则称为“理想集”． （1）若，分别判断集合，2，3，，，1，2，是否为“理想集”，并说明理由； （2）若，写出所有“理想集”的个数并列举； （3）若，证明：集合T必为“理想集”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广西钦州市第四中学 2025秋季学期高一年级开学考试数学试卷 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上， 2.四答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.四答非选择题时，将答案写在签题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结来后，.将本试卷和答题卡一并交回 第I卷（选择题） 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合交集的定义，计算即可得答案. 【详解】因为集合是所有非正整数组成的集合，所以． 故选：D． 2. 有人参加篮球､乒乓球､羽毛球训练，参加篮球训练的有人，参加乒乓球训练的有人，参加羽毛球训练的有人，其中只参加种球类训练的有人，则种球类训练都参加的人数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据总人数、各项训练人数、只参加种训练的人数，利用集合计数关系建立方程求解. 【详解】设参加种、种、种球类训练的人数分别为、、. 由题意得总人数，且， 则. 参加各项目的人数总和为， 该总和中，参加种、种、种训练的人数分别被计算了次、次、次， 故， 将代入可得，即， 联立方程组， 解得，即种球类训练都参加的人数为人， 故选：A. 3. 已知集合，，则整数集可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析得真包含于，真包含于，结合韦恩图求解即可. 【详解】由， ， 则真包含于，真包含于，如图， 由韦恩图可知，，，，. 故选：C. 4. 已知集合，，则集合中的元素个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】已知集合，根据，讨论得出，从而得出集合中的元素个数. 【详解】因为集合， 又因为，则： 当时，的可能取值为， 当时，， 当时，的可能取值为，，， 所以，故集合中的元素个数为7． 故选：C. 5. 已知集合，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据补集的定义求出结果即可. 【详解】因为集合，则集合中的元素均为正整数， 而表示的是自然数集，包括正整数和0， 根据补集的定义可得，. 故选：B. 6. 已知全集，集合，，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】解方程求得集合，利用并集的意义求得，进而求得. 【详解】由题意得，又，则， 所以或． 故选：C. 7. 已知集合，，且的元素个数为2，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的元素的个数可得中两个元素的均在中，故可求参数的取值范围. 【详解】由题意得，得，则的取值范围为. 故选：D. 8. 设集合，则的真子集的个数是（ ） A. 8 B. 7 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 分析】写出集合，计算真子集个数. 【详解】，因为集合中有个元素，所以真子集个数为. 故选：D. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知集合，，若，则实数的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】ABD 【解析】 【分析】先求出集合，分和两种情况结合包含关系求解即可. 【详解】由， ， 当时，，满足； 当时，，则或， 解得或. 综上所述，或或. 故选：ABD. 10. 下列选项不正确的是（ ） A. 集合用列举法表示为 B. 空集是任何集合的子集 C. 任何集合至少有两个子集 D. 满足方程组的点集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据集合的定义、性质及子集的定义逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，由得或或，因，则或， 则列举法表示为，故A错误； 对于B，空集是任何集合的子集，故B正确； 对于C，空集只有一个子集，即空集本身，故C错误； 对于D，由得，故点集为，则D错误. 故选：ACD 11. 下列命题中正确的是（ ） A. 集合的真子集是 B C. 设，若，则 D.  【答案】BCD 【解析】 【分析】根据空集是任何非空集合的真子集可知A不正确；根据菱形一定是平行四边形，可知B正确；根据集合相等的概念求出，可知C正确；根据空集是任何非空集合的真子集，可知D正确. 【详解】对于A，集合的真子集包括，A错误； 对于B，因为菱形一定是平行四边形，所以，B正确； 对于C，因为，，，所以，，，C正确； 对于D，因为方程的解为，所以，因为空集是任何非空集合的真子集，所以，D正确． 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有 ___________ 人． 【答案】21和8 【解析】 【分析】设对事件A、B都赞成的学生人数为x，利用Venn图列方程求解x即可． 【详解】赞成A的人数为，赞成B的人数为， 记50名学生组成的集合为，赞成事件的学生全体为集合，赞成事件的学生全体为集合， 设对事件、都赞成学生人数为，则对、都不赞成的人数为，赞成而不赞成的人数为，赞成而不赞成的人数为，作出Venn图如下所示， 依题意可得，解得， 所以对、都赞成的学生有21人，都不赞成的有人． 故答案为：21和8 13. 设集合.若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由得，求出并验证. 【详解】因为，所以，解得或， 若，则，此时，符合题意； 若，则，此时，不符合题意. 故的值为. 故答案为：. 14. 若，，并有以下7个关系式： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ 其中正确的有________（填序号）． 【答案】①②③④⑥⑦. 【解析】 【分析】根据条件，利用元素与集合、集合与集合间的关系的判断方法，逐一对各个命题分析判断，即可求解. 【详解】因为，所以，又，若作为一个元素并不在A中，故①正确；③，④正确； 又任何一个集合都是它本身的子集，空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集， 所以②，⑥正确， 又，所以⑤错误，显然⑦正确， 故答案为：①②③④⑥⑦. 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）在①；②这两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若选______，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）先写出集合，然后根据并集的定义即可求得； （2）若选①，得到，根据集合的包含关系列出不等式组，解之即可；若选②，根据集合的关系列出不等式，解之即可. 【小问1详解】 因为，所以， 又， 所以. 【小问2详解】 若选择①，则， 因为，所以， 又， 所以，解得， 所以实数的取值范围是 若选择②， 因为，所以， 又， 所以或，解得或， 所以实数的取值范围是或. 16. 已知集合，x、，其中．定义，若，则称x与y正交． （1）若，写出 中与x正交的所有元素； （2）令，若，证明：为偶数； （3）若，且A 中任意两个元素均正交，当时，A中最多可以有多少个元素. 【答案】（1）答案见详解 （2）证明见解析 （3）2个 【解析】 【分析】（1）由定义可写出中与x正交的所有元素； （2）令，，当时，，当时，，那么，可得证； （3）当时，不妨设（有14个1），（有7个，7个1），则正交，再令，，，且它们之间互相正交，讨论相应位置数字都相同的个数，可得出，利用它们相互正交得矛盾，从而得出A中最多可以有的元素个数. 【小问1详解】 设，且， 若与正交，则， 可得或或或或或； 中所有与x正交的元素为． 【小问2详解】 对于，存在，，使得． 令，， 当时，，当时，． 那么． 所以为偶数． 【小问3详解】 若时，不妨设 则与正交． 假设且它们互相正交． 设a，b，c相应位置数字都相同的共有k个，除去这k列外． a，b相应位置数字都相同的共有m个， b，c相应位置数字都相同的共有n个， 则． 所以，同理． 可得． 由于， 可得矛盾． 所以除外任意三个元素都不互相正交． 综上，时，A中最多可以有2个元素． 17. 设全集U=R,已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由补集及并集运算即可求解； （2）由和两类情况讨论，列出不等式求解即可. 【小问1详解】 或. 或. 小问2详解】 由， 则①当时，由，解得； ②当时，或 解得或． 综上，实数的取值范围为． 18. 已知集合，集合． （1）若，求实数m的值； （2）若，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据集合交集的结果，建立不等式组，解得答案； （2）先求出集合的补集，根据包含关系，可得答案. 【小问1详解】 因为，所以，解得. 【小问2详解】 因为或，且， 所以或，解得或， 则实数m的取值范围为：或. 19. 已知集合，1，2，，，集合，记的元素个数为．若集合中存在三个元素，，，使得，则称为“理想集”． （1）若，分别判断集合，2，3，，，1，2，是否为“理想集”，并说明理由； （2）若，写出所有的“理想集”的个数并列举； （3）若，证明：集合T必为“理想集”． 【答案】（1）T1不是“理想集”， T2是“理想集”，理由见解析 （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，分别取集合中的三个数，利用列举法，可得答案； （2）利用分类讨论的思想，根据集合的元素个数，结合元素的大小关系，可得答案； （3）利用反证法，任意取三个元素，假设不等式成立，结合元素之间的大小关系，可得答案． 【小问1详解】 不是“理想集”， 是“理想集”． 由题意，令，，，则； 令，，，则； 令，，，则； 令，，，则；所以不是“理想集”． 令，，，则，所以是“理想集”． 【小问2详解】 共16个“理想集”． 若，有，1，2，3，4，． 当时，若，则，由可知， 故，，或； 若，则，由可知，则，故，，． 故含有三个元素的“理想集” ，1，，，1，或，2，，共3个． 当时，，1，2，，，1，3，，，1，2，，，1，3，，，1，4，，，2，3，或，2，4，，共7个． 当时，，1，2，3，，，1，2，3，，，1，2，4，，，1，3，4，，，2，3，4，，共5个． 当时，，1，2，3，4，，共1个． 综上所述，所有“理想集” 的个数为16个分别为：，1，，，1，，，2，，，1，2，，，1，3，，，1，2，，，1，3，，，1，4，，，2，3，，，2，4，，，1，2，3，，，1，2，3，，，1，2，4，，，1，3，4，，，2，3，4，，，1，2，3，4，． 【小问3详解】 证明：若，记，，，且． 利用反证法，假设对于中任意三个元素，，，均有， 则，，2，，． 记，于是，则， 因此，矛盾． 故集合必“理想集”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $