精品解析：辽宁省铁岭市昌图县万安中学2025-2026学年上学期开学摸底考试九年级数学试卷

人教版九年级上册数学开学考模拟卷 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. y= x2﹣3 B. 2（x+1）=3 C. x2+3x﹣1=x2+1 D. x2=2 2. 一组数据，，，，，的中位数是，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各图象中，（ ）表示y是x的一次函数． A. B. C. D. 5. 根据下列所给条件，能判定一个三角形是直角三角形的有（ ） ①三条边的边长之比是1:2:3 ②三个内角的度数之比是1:1:2 ③三条边的边长分别是，， ④三条边的边长分别是，， A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 7. 如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是(　　) A. 13cm B. 2cm C. cm D. 2cm 8. 如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ） A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 9. 如图，菱形中，点是的中点，，垂足为，交于点，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在矩形中，动点R从点N出发，沿方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当时，点R应运动到（ ） A. N处 B. P处 C. Q处 D. M处 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 甲、乙、丙三人进行射击测试，他们成绩的平均数相同，方差分别是，，，则这位同学发挥最稳定的是______． 12. 已知a，b是两个连续的整数，若，则_______. 13. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于________． 14. 如图，直线y1=k1x与直线y2=k2x+b交于点A(1，2)．当y1<y2时，x的取值范围是________． 15. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架.其中第九卷《勾股》主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求，之中记载了一道有趣的“折竹抵地”问题： “今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？” 译文：“一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？”（备注：1丈=10尺） 如果设竹梢到折断处的长度为尺，那么折断处到竹子的根部用含的代数式可表示为__________尺，根据题意，可列方程为_______________________． 16. 如图，在正方形中，，为对角线上与，不重合的一个动点，过点作于点，于点，连接，，下列结论：①；②；③；④的最小值为．其中正确结论的序号为______． 三、解答题（共3小题，每小题8分，共24分） 17. 解方程： （1） ； （2）． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数，该方程总有实数根； （2）若这个一元二次方程的一根大于2，求的取值范围． 19. 某校为了了解初中学生每天的睡眠时间（单位为小时），随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如下统计图． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的初中学生人数为___________人，扇形统计图中的________，条形统计图中的_____； （2）所调查的初中学生每天睡眠时间的众数是____________，方差是___________； （3）该校共有1600名初中学生，根据样本数据，估计该校初中学生每天睡眠时间不足8小时的人数． 四、解答题（共3小题，每小题8分，共24分） 20. 如图，已知DB∥AC，E是AC的中点，DB＝AE，连结AD、BE． （1）求证：四边形DBCE是平行四边形； （2）若要使四边形ADBE是矩形，则△ABC应满足什么条件？说明你的理由． 21. 配方 （1）若，则________，________； （2）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边以的速度移动．如果、两点分别从、两点同时出发，同时停止运动．设动点运动时间为，当为何值时，的面积最大？求该最大值． 22. 阅读与思考 下面是小明同学的一篇数学读书笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 我在课外读物《怎样解题》中看到这样一个问题： 如图，给定不在同一直线上的三个点A，B，C，如何利用无刻度的直尺和圆规在点B，C之间画一条过点A的直线，且点B和点C到这条直线的距离相等？ 下面是我的解题步骤： 如图， 第一步：以点B为圆心，以的长为半径画弧； 第二步：以点C为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点D； 第三步：作直线，则点B和点C到直线AD的距离相等． 下面是部分证明过程： 证明：如图，连接，过点B作于点E，过点C作于点F，连接交于点O． 由作图可知， ∴四边形是平行四边形．（依据1） ∴．（依据2） …… 于是我得到了这样的结论：只要确定线段的中点，由两点确定一条直线即可确定问题中所求直线． 任务： （1）填空：材料中的“依据1”是指_______；“依据2”是指_______． （2）请将小明的证明过程补充完整． （3）尺规作图：请在图中，用不同于材料中的方法，在点B和点C之间作直线，使得点B和点C到直线的距离相等．（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）． 五、解答题（共2小题，每小题12分，共24分） 23. 某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种土特产每袋成本10元，试销阶段每袋的销售价（元）与该土特产的日销售量（袋）之间的关系如表： （元） 20 25 30 … （袋） 20 15 10 … 若日销售量是销售价的一次函数，试求： （1）日销售量（袋）与销售价（元）的函数关系式； （2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？ 24. 综合与实践． 数形结合思想可以借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观来阐明数之间某种关系． （1）年世界数学家大会（）在北京召开，这届大会会标（如图）的中央图案是经过艺术处理的“弦图”（如图），它由个全等的直角三角形拼成，请观察“弦图”，直接写出满足的等量关系为______，并利用图形的“等面积思想”加以证明． （2）某数学兴趣小组，采用数形结合思想解决了如下问题． 已知线段，点在线段上，，求的最小值，他们解决问题的思路是，如图，在线段的同侧构造了两个和，令，利用勾股定理，得出，从而将问题转化成求“最小值”问题，再利用“将军饮马”模型，就完成了解答，请你写出解答过程． （3）如图，在中，，点分别为上的动点，且，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版九年级上册数学开学考模拟卷 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. y= x2﹣3 B. 2（x+1）=3 C. x2+3x﹣1=x2+1 D. x2=2 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．y= x2﹣3是二元二次方程，故本选项错误； B．2（x+1）=3是一元一次方程，故本选项错误； C．x2+3x﹣1=x2+1是一元一次方程，故本选项错误； D．x2=2是一元二次方程，故本选项正确． 故选D． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程． 2. 一组数据，，，，，的中位数是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 根据中位数的定义，即可得出答案． 【详解】∵一组数据，，，，，的中位数是， ∴， ∴． 故选：A． 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的乘除法、二次根式的性质与化简逐一进行计算即可判断． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法、二次根式的性质与化简，解决本题的关键是掌握二次根式的乘除法、二次根式的性质与化简． 4. 下列各图象中，（ ）表示y是x的一次函数． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的图象是直线即可解答． 【详解】解：表示是的一次函数的图象是一条直线，观察选项，只有A选项符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了函数的图象，一次函数和正比例函数的图象都是直线． 5. 根据下列所给条件，能判定一个三角形是直角三角形的有（ ） ①三条边的边长之比是1:2:3 ②三个内角的度数之比是1:1:2 ③三条边的边长分别是，， ④三条边的边长分别是，， A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理及三角形的内角和判断即可. 【详解】①设三条边分别是x、2x、3x， ∵， ∴该三角形不是直角三角形； ②设三个内角度数分别是x、x、2x， ∵， ∴x=， ∴2x=90°， ∴该三角形是直角三角形； ③∵， ∴该三角形不是直角三角形； ④∵， ∴该三角形是直角三角形， 故②、④能判定一个三角形是直角三角形， 故选：B. 【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，根据三边的值或是比值列式计算平方关系是解题的关键. 6. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】计算出一元二次方程根的判别式即可． 【详解】解：， 故一元二次方程有两个不相等的实数根． 7. 如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是(　　) A. 13cm B. 2cm C. cm D. 2cm 【答案】A 【解析】 【详解】试题解析：如图： ∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处， ∴A′D=5cm，BD=12-3+AE=12cm， ∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′， 连接A′B，则A′B即为最短距离， A′B=（cm）． 故选A． 考点：平面展开---最短路径问题 8. 如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ） A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，进行判断即可． 【详解】解：连接AC，如图： 根据勾股定理可以得到：AC=BC=，AB=． ∵（）2+（）2=（）2． ∴AC2+BC2=AB2． ∴△ABC是等腰直角三角形． ∴∠ABC=45°． 故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握其性质是解题的关键． 9. 如图，菱形中，点是的中点，，垂足为，交于点，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解三角形，菱形的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半． 先由菱形性质可得对角线与交于点O，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，进而由菱形对角线求出边长，由解三角形即可求出，． 【详解】解：连接，如图， ∵菱形中，与互相垂直平分， 又∵点是的中点， ∴A、O、C三点在同一直线上， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10. 如图1，在矩形中，动点R从点N出发，沿方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当时，点R应运动到（ ） A. N处 B. P处 C. Q处 D. M处 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，由图1可得，点从点向点运动时，三角形面积增加；点在上运动时，三角形的面积不变；点从点向点运动时，三角形面积变小；再结合图2分析即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图1可得，点从点向点运动时，三角形面积增加；点在上运动时，三角形的面积不变；点从点向点运动时，三角形面积变小； 故结合图2可得当时，点在处， 故选：C． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 甲、乙、丙三人进行射击测试，他们成绩的平均数相同，方差分别是，，，则这位同学发挥最稳定的是______． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查的是方差的性质，熟练掌握方差的性质是解题的关键；方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．比较甲，乙，丙三人的方差大小，根据方差的性质解答即可． 【详解】解： 这位同学发挥最稳定的是乙 故答案为：乙 12. 已知a，b是两个连续的整数，若，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出的范围，即可求出a、b的值，最后代入求出即可． 【详解】解：∵，则， ∴，， ∴； 故答案为. 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，以及二次根式的计算，能根据的范围求出a、b的值是解此题的关键． 13. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根与系数关系，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，．根据题意可得到，，进而求解即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， 故答案为：0． 14. 如图，直线y1=k1x与直线y2=k2x+b交于点A(1，2)．当y1<y2时，x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】据函数图象，写出直线y1=k1x在直线y2=k2x+b2的下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：如图，已知直线y1=k1x与直线y2=k2x+b2相交于点A（1，2），则当y1＜y2时，x的取值范围为 x＜1． 故答案是：x＜1． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 15. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架.其中第九卷《勾股》主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求，之中记载了一道有趣的“折竹抵地”问题： “今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？” 译文：“一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？”（备注：1丈=10尺） 如果设竹梢到折断处的长度为尺，那么折断处到竹子的根部用含的代数式可表示为__________尺，根据题意，可列方程为_______________________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹梢到折断处的长度为尺，则折断处到竹子的根部为尺．利用勾股定理列式即可． 【详解】如图，， 设竹梢到折断处的长度为尺，即斜边， 则， 依题意得：， 即：， 故答案为：， 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 16. 如图，在正方形中，，为对角线上与，不重合的一个动点，过点作于点，于点，连接，，下列结论：①；②；③；④的最小值为．其中正确结论的序号为______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】①连接，可得四边形为矩形，可得；由可得，所以；②由矩形可得，则；由，则；由四边形为正方形可得，即，所以，即，可得；③由②中的结论可得；④由于点为上一动点，当时，根据垂线段最短可得此时最小，最小值为，由①知，所以的最小值为． 【详解】解：①连接，交于点，如图， ，， ． ， 四边形为矩形． ，． 四边形为正方形， ，． 在和中， ， ． ． ． ①正确； ②延长，交于，交于点， ， ． 由①知：， ． ． ， ． ． 即：， ． ②正确； ③由②知：． 即：． ③正确； ④点为上一动点， 根据垂线段最短，当时，最小． ，， ． ． 由①知：， 的最小值为， ④错误． 综上，正确的结论为：①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，垂线段最短，掌握正方形的性质是解题的关键． 三、解答题（共3小题，每小题8分，共24分） 17. 解方程： （1） ； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用公式法求解即可． （2）利用因式分解法求解即可． 本题考查了公式法，因式分解法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵, 在这里， ∴， 解得，． 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∴， 解得． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数，该方程总有实数根； （2）若这个一元二次方程的一根大于2，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：∵关于x的一元二次方程， ∴， ∴对于任意实数m，该方程总有实数根； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式及解一元二次方程，正确运用判别式是解题的关键： （1）根据一元二次方程判别式为，即可解答； （2）解方程，求得，，根据题意得到，解不等式即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设方程的两个实数根为，， ， ∴，， ∵这个一元二次方程的一根大于2， ∴， 解得：， ∴m的取值范围． 19. 某校为了了解初中学生每天的睡眠时间（单位为小时），随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如下统计图． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的初中学生人数为___________人，扇形统计图中的________，条形统计图中的_____； （2）所调查的初中学生每天睡眠时间的众数是____________，方差是___________； （3）该校共有1600名初中学生，根据样本数据，估计该校初中学生每天睡眠时间不足8小时的人数． 【答案】（1）40；25；15；（2）7；1.15；（3）1080人 【解析】 【分析】（1）根据统计图中的数据可以求得本次调查的学生人数，进而求得m和n的值； （2）根据统计图中的数据可以求得这组数据的平均数、众数和方差； （3）根据样本中睡眠时间不足8小时的人数所占样本总人数的比例乘以全校总人数可得解． 【详解】解：（1）由图表中的数据可得： 8÷20%=40人， 10÷40×100%=25%，即m=25， 40×37.5%=15人，即n=15， 故答案为：40；25；15； （2）由条形统计图可得： ∵睡眠时间诶7h的人数为15人，最多， ∴众数是：7， 平均数是：=7， 方差是：=1.15， 故答案为：7；1.15； （3）=1080人， ∴该校初中学生每天睡眠时间不足8小时的人数为1080人． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、众数、方差，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 四、解答题（共3小题，每小题8分，共24分） 20. 如图，已知DB∥AC，E是AC的中点，DB＝AE，连结AD、BE． （1）求证：四边形DBCE是平行四边形； （2）若要使四边形ADBE是矩形，则△ABC应满足什么条件？说明你的理由． 【答案】（1）见解析；（2）△ABC满足AB＝BC时，四边形DBEA是矩形 【解析】 【分析】（1）根据EC＝BD，EC∥BD即可证明； （2）根据等腰三角形三线合一的性质得出∠BEA＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形推出即可． 【详解】（1）∵E是AC中点， ∴AE＝EC， ∵DB＝AE， ∴EC＝BD 又∵DB∥AC， ∴四边形DECB是平行四边形； （2）△ABC满足AB＝BC时，四边形DBEA是矩形， 理由如下：∵DB＝AE， 又∵DB∥AC， ∴四边形DBEA是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ∵AB＝BC，E为AC中点， ∴∠AEB＝90°， ∴平行四边形DBEA是矩形， 即△ABC满足AB＝BC时，四边形DBEA是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，题目难度不大，熟练掌握平行四边形的判定与性质以及平行四边形与矩形的联系是解题的关键． 21. 配方 （1）若，则________，________； （2）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边以的速度移动．如果、两点分别从、两点同时出发，同时停止运动．设动点运动时间为，当为何值时，的面积最大？求该最大值． 【答案】（1）， （2）当时，的面积最大，最大为． 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，三角形面积公式、一元二次方程的应用以及二次函数的性质等知识，解题的关键是能正确配方； （1）利用配方法即可求解； （2）依题意可知：再由三角形面积公式可得，代入数值根据二次函数的性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：， ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：依题意可知：，，，， ， ∴当时，的面积最大，最大为． 22. 阅读与思考 下面是小明同学的一篇数学读书笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 我在课外读物《怎样解题》中看到这样一个问题： 如图，给定不在同一直线上的三个点A，B，C，如何利用无刻度的直尺和圆规在点B，C之间画一条过点A的直线，且点B和点C到这条直线的距离相等？ 下面是我的解题步骤： 如图， 第一步：以点B为圆心，以的长为半径画弧； 第二步：以点C为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点D； 第三步：作直线，则点B和点C到直线AD的距离相等． 下面是部分证明过程： 证明：如图，连接，过点B作于点E，过点C作于点F，连接交于点O． 由作图可知， ∴四边形是平行四边形．（依据1） ∴．（依据2） …… 于是我得到了这样的结论：只要确定线段的中点，由两点确定一条直线即可确定问题中所求直线． 任务： （1）填空：材料中的“依据1”是指_______；“依据2”是指_______． （2）请将小明的证明过程补充完整． （3）尺规作图：请在图中，用不同于材料中的方法，在点B和点C之间作直线，使得点B和点C到直线的距离相等．（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）． 【答案】（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分； （2）见解析； （3）见解析． 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据平行四边形的判定与性质即可得出答案； （2）连接，过点作于点E，过点C作于点F，连接交于点O，则，由作图得到四边形是平行四边形，得到，再证明，即可得出结论； （3）连接，作线段的垂直平分线垂足为，作直线即可． 【小问1详解】 解：依据1是两组对边分别相等的四边形是平行四边形， 依据2是平行四边形的对角线互相平分， 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分； 【小问2详解】 证明：如图，连接，过点作于点E，过点C作于点F，连接交于点O，则， 由作图可知， 四边形是平行四边形， ， 在和中， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，直线即为所求． 五、解答题（共2小题，每小题12分，共24分） 23. 某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种土特产每袋成本10元，试销阶段每袋的销售价（元）与该土特产的日销售量（袋）之间的关系如表： （元） 20 25 30 … （袋） 20 15 10 … 若日销售量是销售价的一次函数，试求： （1）日销售量（袋）与销售价（元）的函数关系式； （2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，根据每天的利润一件的利润销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题； （1）根据表格中的数据，利用待定系数法，求出日销售量（袋）与销售价（元）的函数关系式即可 （2）利用每件利润总销量总利润，进而求出二次函数最值即可． 【小问1详解】 解：设日销售量（袋）与销售价（元）的函数关系式为， 由题意得， 解得． 所求函数关系式为：； 【小问2详解】 解：依题意，设利润为元，得 整理得 当时，取得最大值，最大值为225 每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元． 24. 综合与实践． 数形结合思想可以借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观来阐明数之间某种关系． （1）年世界数学家大会（）在北京召开，这届大会会标（如图）的中央图案是经过艺术处理的“弦图”（如图），它由个全等的直角三角形拼成，请观察“弦图”，直接写出满足的等量关系为______，并利用图形的“等面积思想”加以证明． （2）某数学兴趣小组，采用数形结合思想解决了如下问题． 已知线段，点在线段上，，求的最小值，他们解决问题的思路是，如图，在线段的同侧构造了两个和，令，利用勾股定理，得出，从而将问题转化成求“最小值”问题，再利用“将军饮马”模型，就完成了解答，请你写出解答过程． （3）如图，在中，，点分别为上的动点，且，求的最小值． 【答案】（1） 解：． 证明：由图可知，，正方形的边长为 ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：； （2） 解：延长到点，使，连接交于点，作，交延长线于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴最小值为， 即的最小值为； （3）． 【解析】 【分析】()由可得出答案； ()延长到点，使，连接交于点，作，交延长线于点，由勾股定理求出可得出答案； ()过点作，并截取，连接，过点作，交的延长线于点，证明，得出，得到 ，由勾股定理求出的长，则可得出答案； 本题考查了勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作，并截取，连接，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $