正弦定理和余弦定理的综合应用（1） 知识点训练卷 内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》第32卷 （原卷版+解析版）

编写说明：内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及内蒙古历年对口招生真题编写。本套试卷共100份：第一部分是按照课程标准编写的67份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、不等式、函数等11个章节的23份专题训练卷；第三部分是参考历年真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》的第29卷，是知识点训练卷，主要考查正弦定理和余弦定理的综合应用的掌握情况。 内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》 第29卷 正弦定理和余弦定理的综合应用（1） 知识点训练卷 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 1、 选择题：（本大题共10个小题．每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．△ABC中，三个内角之比为，则等于（    ） A． B． C． D．1 2．已知的内角所对的边分别为，且满足，则该三角形为（   ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则下列结论正确的是（    ） A． B．为锐角三角形 C．若，则的面积是 D．若外接圆半径是R，内切圆半径为r，则 4．在中，已知三边，，，满足，则（ ） A． B． C． D． 5．在中，的面积为，，，则（    ） A． B． C．4 D． 6．若三角形三条边满足 ，则三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 7．若一个三角形的三边长分别为，，，则此三角形的最大内角为（    ）． A． B． C． D． 8．在中，分别为角的对边，且满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形或等腰三角形 D．等腰直角三角形 9．在中，，AD是的角平分线，，，E是AC的中点，则DE的长度为（    ） A． B． C． D． 10．在中，内角，，的对边分别为，，，若则此三角形的形状为（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状是 （填“直角三角形”，“锐角三角形”，“钝角三角形”中的一个）． 12．在中，若，则这个三角形一定为 三角形. 13．已知四边形，，，，则 ；若，，则 ． 14．已知△ABC是钝角三角形，角A，B，C的对边依次是a，b，c，且，，则边c的取值范围是 ． 15．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积，把以上文字写成公式，即（其中为三角形的面积，为三角形的三边），在斜中，分别为内角所对的边，若，且，则此面积的最大值为 . 三、解答题（本大题共4个小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16．在中，已知 (1)判断三角形的形状； (2)若，求三角形的三边长. 17．已知的内角的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若，证明：是直角三角形. 18．已知在中，． (1)判断三角形的形状； (2)若，求的面积． 19．如图所示，在中，角A，B，C所对应的边为，b，c，已知，，且，延长至，．求： (1)的值； (2)的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及内蒙古历年对口招生真题编写。本套试卷共100份：第一部分是按照课程标准编写的67份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、不等式、函数等11个章节的23份专题训练卷；第三部分是参考历年真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》的第29卷，是知识点训练卷，主要考查正弦定理和余弦定理的综合应用的掌握情况。 内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》 第29卷 正弦定理和余弦定理的综合应用（1） 知识点训练卷 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 1、 选择题：（本大题共10个小题．每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．△ABC中，三个内角之比为，则等于（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由三内角之比设出三角，再由三个内角之和为求出角即可求解. 【详解】因为，不妨设，，， 由三角形三个内角之和为可得：， 解得，则，. 故选：C. 2．已知的内角所对的边分别为，且满足，则该三角形为（   ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】将已知条件带入余弦定理，因为其满足勾股定理，所以可判断三角形形状. 【详解】由，即，化简得， 满足勾股定理，所以为直角三角形； 故选：. 3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则下列结论正确的是（    ） A． B．为锐角三角形 C．若，则的面积是 D．若外接圆半径是R，内切圆半径为r，则 【答案】D 【分析】根据条件求出三角形三边的比值，利用正弦定理和余弦定理可以判断选项错误；对于求出三边长后，可利用三角形面积公式求解；对于利用正弦定理和等面积法可求出外接圆半径R，内切圆半径，可判断正确. 【详解】设则 对于故错误； 对于角为钝角，故错误； 对于若，则 所以的面积故错误； 对于由正弦定理 的周长所以内切圆半径故正确. 故选：. 4．在中，已知三边，，，满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合余弦定理即可求解. 【详解】由题意得，在中，. . 整理得，，即. 所以，所以. 故选：D． 5．在中，的面积为，，，则（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】先用三角形面积公式求出，然后整体代入到余弦定理公式中即可求解. 【详解】∵的面积为，， ， . ， . 故选：D 6．若三角形三条边满足 ，则三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】由题意得，设，根据余弦定理求出的值即可判断. 【详解】三角形三条边满足 ， 可得，角为最大角， 设， 所以， 所以角为钝角，且， 所以三角形的形状是钝角三角形. 故选：C. 7．若一个三角形的三边长分别为，，，则此三角形的最大内角为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用已知条件求出的范围，在判断出最大边，利用余弦定理求出最大角即可. 【详解】因为，，为三角形的三边长， 所以 解得：， 由， 所以， 且， 所以， 故三角形最大边为， 由三角形边角关系得，大边对大角， 故三角形最大角为边所对应的角，设为， 由余弦定理可得： ， 由， 所以， 故三角形的最大内角为， 故选：C. 8．在中，分别为角的对边，且满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形或等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】根据三角恒等变换得，再由余弦定理解决即可. 【详解】由题知，， 所以， 所以，得， 所以，得， 所以的形状为直角三角形， 故选：A 9．在中，，AD是的角平分线，，，E是AC的中点，则DE的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用面积相等求出，再结合余弦定理可得答案或建立直角坐标系，分别求出D，E坐标，再利用两点间距离公式，即可求值. 【详解】方法一：因为，，，所以的面积为； 因为AD是的角平分线， 所以， 解得. 在中，，， 所以 ， 即.    故选：A. 方法二：因为，所以， 如图，以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，轴建立直角坐标系， 则，，， 由是的角平分线可知，直线的方程为：， 因为，，则， 所以直线的方程为：， 联立方程组，可得， 所以， 因为E是AC的中点，所以， 所以，由两点间距离公式得，， 则DE的长度为.    故选：A. 10．在中，内角，，的对边分别为，，，若则此三角形的形状为（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】根据正弦定理得出边的比值，再根据余弦定理计算最大边的余弦值即可解得. 【详解】在中，由正弦定理， 令，则， 由可知边最大， 即最大，则， 又， 则为钝角，三角形为钝角三角形， 故选：B 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状是 （填“直角三角形”，“锐角三角形”，“钝角三角形”中的一个）． 【答案】直角三角形 【分析】利用正弦定理或余弦定理化简即可. 【详解】方法一： 所以的形状是直角三角形. 方法二： 又 又 即 所以的形状是直角三角形. 故答案为：直角三角形. 12．在中，若，则这个三角形一定为 三角形. 【答案】直角 【分析】根据题意，结合正弦定理边角互化，即可判断求解. 【详解】因为在中， ， 由正弦定理得. 则角A为直角， 所以是直角三角形. 故答案为：直角. 13．已知四边形，，，，则 ；若，，则 ． 【答案】 / 【分析】由余弦定理求出，，再由正弦定理得出. 【详解】连接，如下图所示 由余弦定理可知 ， ， 故答案为：； 14．已知△ABC是钝角三角形，角A，B，C的对边依次是a，b，c，且，，则边c的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据余弦定理，结合三角形两边和大于第三边求解即可. 【详解】当角C为最大角时，由题意，， 即，解得，又三角形两边和大于第三边，故， 故； 当角C不是最大角时，则角B为最大角，由题意，， 即，解得，又三角形两边差小于第三边，故， 故； 所以边c的取值范围是. 故答案为： 15．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积，把以上文字写成公式，即（其中为三角形的面积，为三角形的三边），在斜中，分别为内角所对的边，若，且，则此面积的最大值为 . 【答案】/ 【分析】由正弦定理化边为角，应用诱导公式，两角和的正弦公式变形可求得，再由正弦定理得，代入面积公式得面积为的函数，结合二次函数性质得最大值，从而得解. 【详解】因为，由正弦定理得， 又， 所以， 即， 又且，则， 所以，所以由正弦定理得， 又，所以由正弦定理得，即，解得， 所以， 所以时，. 故答案为：. 三、解答题（本大题共4个小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16．在中，已知 (1)判断三角形的形状； (2)若，求三角形的三边长. 【答案】(1)钝角三角形 (2) 【分析】（1）先利用正弦定理的边角变换得到的比值，从而判断得为最大角，再利用余弦定理判断得为钝角，从而得解； （2）利用同角基本关系式求得，再利用三角形面积公式求得，从而得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 不妨设，则， 故是最大边，则为最大角， 由余弦定理得， 又，则为钝角，所以为钝角三角形. （2）因为，， 所以， 由面积公式得，解得， 所以. 17．已知的内角的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若，证明：是直角三角形. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】化简条件，利用余弦定理即可求得； 利用正弦定理，把题中边的关系化为角的关系，进一步计算即可求得. 【详解】（1）由整理可得， 由余弦定理可得， 又，. （2）由及正弦定理，可得， ， ，，， ，即是直角三角形. 18．已知在中，． (1)判断三角形的形状； (2)若，求的面积． 【答案】(1)是钝角三角形 (2) 【分析】（1）由正弦定理角化边，再由余弦定理求出角的余弦值即可判断； （2）由求出，由求出的值，再由三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）， 由正弦定理可得：， 是最大角，设，，， 则． ，又是三角形的内角， 是钝角，是钝角三角形． （2），又是三角形的内角， ，， ，，． 的面积． 19．如图所示，在中，角A，B，C所对应的边为，b，c，已知，，且，延长至，．求： (1)的值； (2)的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合正弦定理和余弦定理即可求解； （2）利用诱导公式和面积公式求解即可. 【详解】（1）∵， ∴由余弦定理可得，， 因为,所以， 由正弦定理可得，在中，， 即，所以． （2）， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $