指数函数（1） 知识点训练卷 内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》第14卷 （原卷版+解析版）

编写说明：内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及内蒙古历年对口招生真题编写。本套试卷共100份：第一部分是按照课程标准编写的67份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、不等式、函数等11个章节的23份专题训练卷；第三部分是参考历年真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》的第11卷，是知识点训练卷，主要考查指数函数的掌握情况。 内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》 第11卷 指数函数（1） 知识点训练卷 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 1、 选择题：（本大题共10个小题．每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数幂的运算、指数函数的性质和不等式的性质即可求解. 【详解】， 因为，且, 故即，故. 因为即， 所以，所以. 故选：C 2．已知函数（且）的图象过定点，则函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数所过定点的坐标可得出，求出、的值，可得出函数的解析式，分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论. 【详解】因为函数（且）的图象过定点， 则，可得，所以，， 因为函数、在上均为减函数， 所以，函数在上为减函数， 且，， 由零点存在定理可知，函数的零点在区间内. 故选：A. 3．若是实数，则是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【分析】利用指数函数的性质进行求解即可. 【详解】根据题意，因为指数函数在上是增函数， 则当，必有， 反之当，必有， 所以是的充要条件. 故选：C. 4．下列函数中，既是奇函数，又在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性的定义及常见函数的单调性判断. 【详解】函数的定义域是，定义域不关于原点对称，函数不是奇函数，故A错误； 令，定义域为，，则是奇函数， ，，在上不是增函数，故B错误； 令，则， 当时，，则，则不是奇函数，故C错误； 令，其定义域为，，则是奇函数， 且在区间上是增函数，在区间上是减函数， 因此在上是增函数，故D正确. 故选：D. 5．若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据自变量的范围代入对应的解析式计算可得. 【详解】因为函数，所以， 所以. 故选：C. 6．下列函数在定义域内为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合二次函数、指数函数、对数函数的图像和性质，即可判断求解. 【详解】因为函数是指数函数，且底数，故函数在定义域R上是减函数， 故选项A不符合题意； 因为函数是二次函数，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故选项B不符合题意； 因为函数是对数函数，且底数，故函数在定义域上单调递减， 故选项C不符合题意； 因为函数是对数函数，且底数是，故函数在定义域上单调递增， 故选项D符合题意； 故选：D. 7．若 ，则“ ”是“ ”的（　　） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据对数函数，指数函数的单调性及充要条件的概念可判断结果. 【详解】若，指数函数在上为增函数，对数函数在上为增函数， 所以等价于，等价于， 所以，若 ，则，， 所以，若 ，则“ ”是“ ”的必要不充分条件. 故选：A 8．已知实数，满足，则（ ） A．有最大值1 B．有最小值0 C．有最小值1 D．有最大值0 【答案】A 【分析】由题意根据指数函数的运算性质求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 令，可知为上单调递增函数， ，即， 所以，所以， 则，所以有最大值1. 故选：A. 9．据报道，某淡水湖的湖水在年内减少了，若按此规律，设年的湖水量为m，从年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，先要求出每年湖水量为上一年的百分比；再结合上述题意，列式表示出x年后湖水量y与x的函数关系即可得解. 【详解】设每年湖水量为上一年的，则， 所以，x年后的湖水量为. 故选：C. 10．函数与（且）在同一坐标系中的图象可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的图像判断即可. 【详解】对于指数函数，时，图像从左向右为上升单调递增， ，图像从左向右为下降单调递减， 对于对数函数，时，图像从左向右为上升单调递增， ，图像从左向右为下降单调递减， A：由指数函数可看出，所以，所以对数函数应单调递减，故A错误； B：由指数函数可看出，所以，所以对数函数应单调递减，故B正确； C：由指数函数可看出，所以，所以对数函数应单调递增，故C错误； D：由指数函数可看出，所以， 所以对数函数应单调递减且定义域为，图像应位于y轴的右侧，故D错误. 故选：B. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．若，则的值是 . 【答案】 【分析】根据对数的运算以及指数的运算求解. 【详解】因为，所以. 进而. 故答案为：. 12．已知函数，则的值域为 ． 【答案】 【分析】根据指数函数和对勾函数的单调性求值域即可. 【详解】当时，； 当时，在上单调递增，单调递减，所以， 综上可得的值域为. 故答案为：. 13．若，，且，则的最大值为 . 【答案】9 【分析】先由指数幂的运算求出，再利用基本不等式求出的最大值即可. 【详解】∵，∴，即. ∵，， ∴， ∴，∴， 当且仅当时等号成立. 故的最大值为. 故答案为：9. 14．若，则 【答案】 【分析】运用换底公式将化简，再将对数式化为指数式，利用实数指数幂的运算进行化简、求值. 【详解】，则， 因为，运用换底公式可得，则， 则. 故答案为：. 15．已知函数，则的解集为 ． 【答案】 【详解】根据题意，求得函数的单调性与奇偶性，把不等式转化为，即可求解. 由函数，可得其定义域为，且， 所以为偶函数，当时，， 可得在上单调递增， 根据偶函数的性质，不等式，即为， 可得，整理得，解得， 所以的解集为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共4个小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16．一杯的热水放在室温的房间里，x分钟后水温y（单位：）与x的关系为. (1)求10分钟后的水温； (2)若水温降到，求经过的时间x. 【答案】(1) (2)20分钟 【分析】（1）根据代入时间计算水温即可求解. （2）根据和已知信息列方程即可求解时间. 【详解】（1）因为， 所以当时，. （2）因为，且， 所以，即. 因为，所以，解得分钟. 17．已知，求下列各式的值. (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方和公式，对已知公式变形即可求解. （2）根据平方差公式进行变形，代入已知数据求解. 【详解】（1）已知， 则， 所以. （2）已知，由平方差公式： 则， 故. 18．已知不等式的解集为D（用区间表示）． (1)求区间D； (2)在区间D上，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数函数的单调性将原不等式转化为，再求解即可. （2）首先将把不等式转化为，记，再根据二次函数的顶点式求出函数的最值即可. 【详解】（1）不等式等价于， 因为在上为增函数， 所以，即， 解得，所以区间． （2）不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 则，记，且， ，当时，等号成立，且， 所以当时，， 所以，所以实数a的取值范围为． 19．已知函数是定义在上的奇函数，点在函数的图象上，当时，． (1)求实数，的值； (2)求当时，的解析式； (3)求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质，结合函数图象上的点列方程求解即可. （2）当时，，将代入中，再根据奇函数的性质化简即可. （3）分别将和代入解析式求值即可. 【详解】（1）已知函数是定义在上的奇函数， 所以，且当时，， 则，解得， 又点在函数的图象上，即， 所以，所以， 解得. （2）由（1）可知，，， 则， 当时，，则， 所以. （3）由（2）得，当时，， 所以， 当时，， 所以， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及内蒙古历年对口招生真题编写。本套试卷共100份：第一部分是按照课程标准编写的67份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、不等式、函数等11个章节的23份专题训练卷；第三部分是参考历年真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》的第11卷，是知识点训练卷，主要考查指数函数的掌握情况。 内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》 第11卷 指数函数（1） 知识点训练卷 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 1、 选择题：（本大题共10个小题．每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知，则（ ） A． B． C． D． 2．已知函数（且）的图象过定点，则函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 3．若是实数，则是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 4．下列函数中，既是奇函数，又在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 5．若函数，则（    ） A． B． C． D． 6．下列函数在定义域内为增函数的是（    ） A． B． C． D． 7．若 ，则“ ”是“ ”的（　　） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知实数，满足，则（ ） A．有最大值1 B．有最小值0 C．有最小值1 D．有最大值0 9．据报道，某淡水湖的湖水在年内减少了，若按此规律，设年的湖水量为m，从年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为（    ） A． B． C． D． 10．函数与（且）在同一坐标系中的图象可以是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．若，则的值是 . 12．已知函数，则的值域为 ． 13．若，，且，则的最大值为 . 14．若，则 15．已知函数，则的解集为 ． 三、解答题（本大题共4个小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16．一杯的热水放在室温的房间里，x分钟后水温y（单位：）与x的关系为. (1)求10分钟后的水温； (2)若水温降到，求经过的时间x. 17．已知，求下列各式的值. (1)； (2) 18．已知不等式的解集为D（用区间表示）． (1)求区间D； (2)在区间D上，恒成立，求实数a的取值范围． 19．已知函数是定义在上的奇函数，点在函数的图象上，当时，． (1)求实数，的值； (2)求当时，的解析式； (3)求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $