指数函数与对数函数的综合应用（1） 知识点训练卷 内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》第19卷 （原卷版+解析版）

编写说明：内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及内蒙古历年对口招生真题编写。本套试卷共100份：第一部分是按照课程标准编写的67份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、不等式、函数等11个章节的23份专题训练卷；第三部分是参考历年真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》的第16卷，是知识点训练卷，主要考查指数函数与对数函数综合应用的掌握情况。 内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》 第16卷 指数函数与对数函数的综合应用（1） 知识点训练卷 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 1、 选择题：（本大题共10个小题．每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．方程的解是（    ） A． B． C． D．9 2．与的图象关于（　　） A．x轴对称 B．直线对称 C．原点对称 D．y轴对称 3．若点关于原点对称的点是，则的值分别是（    ） A． B． C． D． 4．如图，对应四个函数的图像，其中对应函数的图像，记为，则（   ）    A． B． C． D． 5．方程的解是（    ） A． B． C． D． 6．函数与的图象（    ） A．关于原点对称 B．关于x轴对称 C．关于y轴对称 D．关于直线对称 7．某城市现有人口1000万人，根据近年的统计资料推算，未来该市的人口年自然增长率为，那么按这个增长率，（    ）年后该市的人口预计会达到1500万人．（用代数式表示） A． B． C． D． 8．在百端待举、日理万机中，毛泽东主席仍不忘我国的教育事业.1951年9月底，毛主席在接见安徽参加国庆的代表团时，送给代表团成员——渡江小英雄马毛姐一本精美的笔记本，并在扉页上题词：好好学习，天天向上.这8个字的题词迅速在全国传播开来，影响并指导着一代代青少年青春向上，不负韶华.他告诉我们：每天进步一点点，持之以恒，收获不止一点点.把学生现在的学习情况看作1.每天的“进步率”为3%，那么经过一个学期（看作120天）后的学习情况为，如果每天的“迟步率”为3%，同样经过一个学期后的学习情况为，经过一个学期，进步者的学习情况是迟步者学习情况的1335倍还多，按上述情况，若“进步"的值是“迟步”的值的10倍，要经过的天数大约为（保留整数）（参考数据：，）（    ）      A．28 B．38 C．60 D．100 9．如果，那么（    ） A．2 B．4 C． D．1 10．函数f(x)＝的定义域为（ ） A．[，) B．(，)∪(，＋∞) C．(－2，) D．[－2，＋∞) 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．已知，若，则实数的值为 ． 12．函数的反函数为，则 . 13．函数的定义域为 14．燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬．鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度与耗氧量x（单位）之间的函数关系式为．当两岁燕子的耗氧量达到40个单位时，其飞行速度为，则当其飞行速度为时，耗氧量达到 个单位． 15．已知函数，若，则 三、解答题（本大题共4个小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16．一台机器每年的折旧率为4%，大约经过多少年，它的价值为原来的一半（已知，） 17．已知函数. (1)求方程的根； (2)求在上的值域. 18．已知幂函数的图像过点，函数的图像经过点． (1)求实数t的值； (2)解不等式． 19．已知函数（且），. (1)若，求的取值范围； (2)求不等式的解集. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及内蒙古历年对口招生真题编写。本套试卷共100份：第一部分是按照课程标准编写的67份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、不等式、函数等11个章节的23份专题训练卷；第三部分是参考历年真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》的第16卷，是知识点训练卷，主要考查指数函数与对数函数综合应用的掌握情况。 内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》 第16卷 指数函数与对数函数的综合应用（1） 知识点训练卷 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 1、 选择题：（本大题共10个小题．每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．方程的解是（    ） A． B． C． D．9 【答案】A 【分析】根据指数运算，可得，再利用对数式化指数式可求解. 【详解】由可化为， ． 故选：A 2．与的图象关于（　　） A．x轴对称 B．直线对称 C．原点对称 D．y轴对称 【答案】B 【分析】利用指数函数与对数函数互为反函数，结合反函数的图象性质即可得解. 【详解】函数与函数是互为反函数， 故它们的图象关于直线对称． 故选：B. 3．若点关于原点对称的点是，则的值分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由条件求出坐标，再根据对数和指数的运算性质求的值. 【详解】点关于原点对称的点是， 所以坐标为，即， 解得. 故选：B. 4．如图，对应四个函数的图像，其中对应函数的图像，记为，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数、对数函数的图像与性质，反函数定义，及函数图像对称的性质即可求解. 【详解】因为与关于轴对称，对应函数，所以对应函数为； 因为与关于直线对称，那么与对应函数互为反函数， 因为对应函数，则对应函数为； 因为与关于轴对称，对应函数，所以对应函数为． 综上，选项A正确． 故选：A. 5．方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简为，再通过对指互化即得解. 【详解】由题得. 故选：A 6．函数与的图象（    ） A．关于原点对称 B．关于x轴对称 C．关于y轴对称 D．关于直线对称 【答案】D 【分析】利用指数函数与对数函数互为反函数，结合反函数的图象性质即可得解. 【详解】因为与互为反函数，且反函数的图象关于直线对称， 所以与互为反函数，它们的图象关于直线对称. 故选：D. 7．某城市现有人口1000万人，根据近年的统计资料推算，未来该市的人口年自然增长率为，那么按这个增长率，（    ）年后该市的人口预计会达到1500万人．（用代数式表示） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设年后该市的人口预计会达到1500万，由题目条件列方程，根据对数的定义解出即可. 【详解】设年后该市的人口预计会达到1500万人, 该市现有人口1000万人，未来该市的人口年自然增长率为， 可得， 即，由对数的定义可得，. 故选：C. 8．在百端待举、日理万机中，毛泽东主席仍不忘我国的教育事业.1951年9月底，毛主席在接见安徽参加国庆的代表团时，送给代表团成员——渡江小英雄马毛姐一本精美的笔记本，并在扉页上题词：好好学习，天天向上.这8个字的题词迅速在全国传播开来，影响并指导着一代代青少年青春向上，不负韶华.他告诉我们：每天进步一点点，持之以恒，收获不止一点点.把学生现在的学习情况看作1.每天的“进步率”为3%，那么经过一个学期（看作120天）后的学习情况为，如果每天的“迟步率”为3%，同样经过一个学期后的学习情况为，经过一个学期，进步者的学习情况是迟步者学习情况的1335倍还多，按上述情况，若“进步"的值是“迟步”的值的10倍，要经过的天数大约为（保留整数）（参考数据：，）（    ）      A．28 B．38 C．60 D．100 【答案】B 【分析】根据题意建立指数方程，指数式化对数式求解方程，再利用换底公式，转化为常用对数运算即可. 【详解】设要经过天，“进步"的值是“迟步”的值的10倍， 则，即， 则 . 故选：B. 9．如果，那么（    ） A．2 B．4 C． D．1 【答案】C 【分析】根据对数运算的基本性质求解. 【详解】题目已知，，根据对数运算的基本性质，可知， ，则， 得到，即. 故选：C. 10．函数f(x)＝的定义域为（ ） A．[，) B．(，)∪(，＋∞) C．(－2，) D．[－2，＋∞) 【答案】B 【分析】根据解析式列出关于x的不等式组求解即可. 【详解】. 故选：B. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．已知，若，则实数的值为 ． 【答案】/ 【分析】分别求得，，根据，解方程可求解. 【详解】因为， 所以，. 由题得，所以，解得. 故答案为： 12．函数的反函数为，则 . 【答案】8 【分析】先求出反函数的解析式，再求即可. 【详解】函数，，， 则，所以函数的反函数为， 故. 故答案为：8. 13．函数的定义域为 【答案】 【分析】根据对数的真数大于零以及分母不为零，结合指数方程运算即可求解. 【详解】由题，函数， 则，解得且， 故定义域为， 故答案为：. 14．燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬．鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度与耗氧量x（单位）之间的函数关系式为．当两岁燕子的耗氧量达到40个单位时，其飞行速度为，则当其飞行速度为时，耗氧量达到 个单位． 【答案】80 【分析】将，代入，可得函数解析式，再令，可求解. 【详解】∵两岁燕子的耗氧量达到40个单位时，其飞行速度为， ∴，解得， 故. ∴当时，，解得． 故答案为：80 15．已知函数，若，则 【答案】-1或5 【分析】根据函数解析式，分类讨论当与当时，由求得的的取值范围. 【详解】， 当时，，解得； 当时，，解得； 故答案为：-1或5 三、解答题（本大题共4个小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16．一台机器每年的折旧率为4%，大约经过多少年，它的价值为原来的一半（已知，） 【答案】 【分析】列出指数等式，转化为对数式然后利用换底公式求解即可 【详解】设经过年，它的价值为原来的一半，， 则，即，， 即 ； 则大约经过17年，它的价值为原来的一半. 17．已知函数. (1)求方程的根； (2)求在上的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用一元二次方程的解法，结合对数的定义，可得答案. （2）根据复合函数的性质，结合对数函数、指数函数、二次函数的单调性，可得答案. 【详解】（1）由，可得，整理可得， 分解因式可得，由，解得，则. （2）由，根据函数在上单调递增，则， 令，， 根据二次函数的性质，则， 由函数在上单调递增，则. 18．已知幂函数的图像过点，函数的图像经过点． (1)求实数t的值； (2)解不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点A先求m的值，再运用对数函数的性质解t的值 （2）根据对数函数的性质列式，再解不等式. 【详解】（1）的图像过点， 解得 因为函数的图像经过点， 所以， 得 （2）由（1）知 原不等式转化为 所以原不等式的解集为 19．已知函数（且），. (1)若，求的取值范围； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知，利用对数式化指数式可得，再根据指数函数、对数函数的单调性，先求真数的范围，再求的范围即可； （2）根据对数的运算及对数函数的性质，将不等式可转化为指数不等式，再根据指数函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）由，得， 所以，解得，所以. 当时，， 所以， 即， 所以； （2）由，可得， 由于在上单调递增， 则不等式可化为， 所以不等式的解集为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $