精品解析：湖南省桂阳县鹿峰中学2021--2022学年八年级上学期数学竞赛试题

湖南省桂阳县2021年鹿峰中学八年级上册数学竞赛试题． （考试时间：120分钟；满分：120分） 一、选择题．（每题3分，共24分） 1. 下列式中是分式的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义“如果表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式”，熟练掌握分式的定义是解题关键．根据分式的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、是分式，则此项符合题意； B、是多项式，属于整式，不是分式，则此项不符合题意； C、是多项式，属于整式，不是分式，则此项不符合题意； D、是单项式，属于整式，不是分式，则此项不符合题意； 故选：A． 2. 以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（ ） A. 7，3，4 B. 5，6，12 C. 3，4，5 D. 1，2，3 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形三边之间的关系，即利用较小两边之和大于最大边逐项计算即可判断． 【详解】解：A、，不能构成三角形，不符合题意； B、，不能构成三角形，不符合题意； C、，能构成三角形，符合题意； D、，不能构成三角形，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查三角形三边关系，解题的关键是利用三角形三边的关系判断能否构成三角形． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方、同底数幂的乘法、负整数指数幂、合并同类项等知识，熟练掌握运算法则是解题关键．根据积的乘方与幂的乘方、同底数幂的乘法、负整数指数幂、合并同类项法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项正确，符合题意； D、与不是同类项，不能合并，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 4. 下列各式化简结果为无理数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将各选项化简，然后再判断即可． 【详解】解：A、=﹣3，是有理数，不符合题意； B、=1，是有理数，不符合题意； C、，是无理数，符合题意； D、，是有理数，不符合题意． 故选C． 【点睛】题目主要考查二次根式的化简及零次幂的计算，熟练掌握二次根式的化简是解题关键． 5. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出各不等式的解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解：由x-1≥0，得x≥1， 由4-2x＞0，得x＜2， 故此不等式组的解集为：1≤x＜2， 在数轴上表示为： 故选：D． 【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，熟知实心原点与空心原点的区别是解答此题的关键． 6. 如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE，∠D=74°，则∠B的度数为（　　） A. 68° B. 32° C. 22° D. 16° 【答案】B 【解析】 【详解】因为CD=CE，所以∠D=∠DEC=74°，所以∠C=32°，因为AB∥CD，所以∠B=∠C=32°． 故选B． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理；平行线的性质． 7. 下列命题是真命题的是（ ） A. 如果=1，那么a=1； B. 三个内角分别对应相等的两个三角形全等； C. 如果a是有理数，那么a是实数 ； D. 两边一角对应相等的两个三角形全等． 【答案】C 【解析】 【详解】A选项：如果|a|=1，那么a=1，是假命题，应为：如果|a|=1，那么a=±1，故本选项错误； B选项：三个内角分别对应相等的两个三角形全等，是假命题，故本选项错误； C选项：如果a是有理数，那么a是实数，是真命题，故本选项正确； D选项：两边一角对应相等的两个三角形全等，是假命题，故本选项错误． 故选C． 8. 若关于的不等式组的整数解共有个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先解不等式组，利用m表示出不等式组的解集，然后根据不等式组有4个整数解即可求得m的范围． 【详解】解：， 解①得x＜m， 解②得x≥3． 则不等式组的解集是3≤x＜m． ∵不等式组有4个整数解， ∴不等式组的整数解是3，4，5，6． ∴6＜m≤7． 故选B． 【点睛】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 二．填空题．（每题3分，共24分） 9. 要使式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_____________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，熟练掌握成立的条件是解决本题的关键． 由二次根式有意义可得，再由分式有意义可得，由此求解即可． 【详解】解：要使式子在实数范围内有意义， 由二次根式有意义可得，解得， 由分式有意义可得，解得， ∴的取值范围是． 故答案为： ． 10. 2011年3月11日，里氏9.0级的日本大地震导致当天地球的自转时间较少了0.000 001 6秒，将0.000 001 6用科学记数法表示为_________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，（其中，1≤∣a∣﹤10，n为整数），确定n值时，如果原数的绝对值小于1，则n为负整数，且绝对值等于原数左起第一个不为零的数前面的零的个数． 【详解】0.000 001 6=， 故答案为：． 【点睛】本题考查科学记数法的表示，熟练掌握科学记数法的表示形式，会正确确定a值和n值是解答的关键． 11. 如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝6，AC的垂直平分线DE交AC于点E，交AB于点D，连接CD，则△BCD的周长为___． 【答案】13 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线得出AD=CD，推出CD+BD=AB，即可求出答案． 【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴AD=DC， ∵AB=7， ∴AD+BD=7， ∴CD+BD=7， ∵BC=6， ∴△BCD的周长是CD+BD+BC=7+6=13， 故答案为13 【点睛】本题考查了等腰三角形性质和线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 12. 如图，已知，，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是_______． 【答案】，，（其中一个即可）． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟悉掌握判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴添加，或其中一个，即可推出， 故答案为：，，（其中一个即可）． 13. 已知，则的平方根是_____________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b、c的值，代入所求代数式计算即可． 本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．还考查了平方根的定义．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， 即， 解得， ∴， ∵4的平方根是， ∴的平方根是． 故答案为：． 14. 若关于x的分式方程有增根，则m的值为_____________ ． 【答案】## 【解析】 【分析】先将分式方程化成整式方程，根据增根的定义可得是分式方程的增根，再将增根代入整式方程中即可求出m的值． 本题考查了分式方程的增根．增根是将分式方程化为整式方程时，未知数的取值范围被扩大，对于整式方程来说，求出的解成立，但对于原分式方程来说，当分母为零时，分式无意义,所以这个解不是分式方程的解．掌握增根的定义是解题的关键． 【详解】解：给方程两边同乘以，得 ， ∴， ∴， ∴， ∵原方程有增根， ∴最简公分母， 解得或， 经检验，不是整式方程的根， ∴是分式方程的增根， 将代入， 得， 解得， 故答案为：． 15. 若，且是两个连续的整数，则的立方根是________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算、立方根，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．先求出，则可得，再代入计算立方根即可得． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，且是两个连续的整数， ∴， ∴， ∴的立方根是， 故答案为：2． 16. 对于任意不相等的两个数a，b．定义一种运算※如下： ，如，那么_____． 【答案】1 【解析】 【分析】直接利用已知运算公式，进而计算得出答案．此题主要考查了实数的运算，正确利用运算公式是解题关键． 【详解】解：由题意可得：6※． 故答案为：1 三．解答题．（共72分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂的运算，二次根式的乘法运算，负整数指数幂，绝对值的化简运算，正确求解是解决本题的关键． 根据零指数幂的运算，二次根式的乘法运算，负整数指数幂，绝对值的化简运算求解即可． 【详解】解： ． 18. 解下列分式方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的求解，熟练掌握分式方程的解法是解决本题的关键． 先去分母，即分式方程的两边同乘，整理为一元一次方程，再去括号移项并合并同类项求解即可． 【详解】解：分式方程为：， 整理可得， 两边同乘，可得， 去括号可得，， 移项并合并同类项可得，， 经检验，是原方程的解， ∴该分式方程的解为． 19. 如图，点D，E在线段BC上，BD＝CE，∠ADE＝∠AED，证明△ABC是等腰三角形． 【答案】 证明：∵， ∴，， 在和中，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】根据邻补角的性质及等角对等边可得，，利用即可证明，根据全等三角形的性质即可得结论． 【详解】略 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定，常用的判定定理有：、、、、，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 20. 先化简，再求值：，其中是不等式组的一个整数解． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值、分式有意义的条件、一元一次不等式组，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后解不等式组，结合分式有意义的条件得出的值，代入计算即可得． 【详解】解：原式 ， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为， 所以不等式组的整数解为， ∵， ∴， 又∵是不等式组的一个整数解， ∴， 则原式． 21. 如图，在中，，，D为延长线上一点，点E在边上，且，连接，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）先求出，再利用定理即可得证； （2）先根据等腰三角形的性质可得，则可得，再根据全等三角形的性质可得，然后根据求解即可得． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【小问2详解】 解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∵，， ∴， ∴． 22. 某果园收获枇杷吨，桃子12吨．现计划租用甲、乙两种货车共辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷吨和桃子吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各吨． （1）应如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地？有几种方案？ （2）若甲种货车每辆的运费为元，乙种货车每辆的运费为元，则选择哪种方案时运费最少？最少运费是多少元？ 【答案】（1）该果农共有种租车方案， 方案：安排甲种货车辆，乙种货车辆； 方案：安排甲种货车辆，乙种货车辆； 方案：安排甲种货车辆，乙种货车辆； （2）选择方案运费最少，最少运费是元． 【解析】 【分析】（）设安排甲种货车辆，则安排乙种货车辆，然后根据题意列出不等式组，求出的取值范围，看其中有几个整数即可得知有几种方案； （）本题可根据第一题列出的几种方案分别计算所需的运费，比较即可得出答案； 本题主要考查了一元一次不等式组的实际运用，读懂题意，列出不等式组是解题的关键． 【小问1详解】 设安排甲种货车辆，则安排乙种货车辆， 依题意得，， 解得， 又∵为整数， ∴可以为，，， ∴该果农共有种租车方案， 方案：安排甲种货车辆，乙种货车辆； 方案：安排甲种货车辆，乙种货车辆； 方案：安排甲种货车辆，乙种货车辆； 【小问2详解】 甲种货车每辆的运费为元，乙种货车每辆的运费为元． ∴方案所需运费为（元）， 方案所需运费为（元）， 方案所需运费为（元）， ， ∴选择方案运费最少，最少运费是元． 23. 阅读下面材料： 定义：如果一个数的平方等于，记作，这个数叫做虚数单位，把形如（a、b为实）的数叫做复数，其中叫做这个复数的实部，叫做这个数的虚部，它的加减乘法运算类似． 例如：； ； 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空： ； ； （2）计算：； （3）计算： 【答案】（1），1 （2） （3）0 【解析】 【分析】（1）把代入求解即可； （2）根据多项式乘以多项式的计算法则进行计算，再把代入求解即可； （3）先根据复数的定义计算，再合并即可求解． 本题考查实数的运算，理解新定义掌握有理数的四则混合运算法则是关键． 【小问1详解】 解：， ， 故答案为：，1； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 24. 如图，中，，，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动，点Q的运动速度为，运动时间为t秒． （1）用含t的式子表示，． （2）当与全等时，求v的值． 【答案】（1）； （2）2或3 【解析】 【分析】本题考查了路程，时间与速度之间的关系，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决本题的关键． （1）根据“路程速度时间”求解即可； （2）分类讨论与两种情况，根据全等三角形的性质求解t的值，即可求解v的值． 【小问1详解】 解：∵点P在线段上以的速度由B点向C点运动， ∴； 又∵点Q在线段上由C点向A点运动，点Q的运动速度为， ∴； 【小问2详解】 解：当时， 即，， 由（1）知，；， 又∵，， ∴， 又∵点D为的中点， ∴， ∴，解得， 又∵， ∴，解得； 当时， 即，， ∴，解得， ∴，解得； 综上，v的值是2或3． 25. 根据下面图形，解答问题： （1）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线（如图1），求∠DAG的度数？ （2）在（1）中，若去掉“AB=AC”的条件，其余条件不变（如图2），还能求出∠DAG的度数吗？若能，请求出∠DAG的度数；若不能，请说明理由； （3）在（图2）的情况下试探索△ADG的周长与BC长的关系？ 【答案】（1）20°； （2）能，∠DAG=20°； 理由是：∵DE垂直平分AB， ∴DA=DB， ∴∠B=∠BAD， 同理：GA=GC，∠C=∠GAC， ∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=100°， ∴∠B+∠C=80°， ∴∠BAD+∠GAC=80°， ∴∠DAG=∠BAC-（∠BAD+∠GAC）=100°-80°=20°； （3）AD+DG+AG=BC． 【解析】 【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质求出∠BAM+∠NAC=80°，∠BAC=100°，易求解； （2）利用线段垂直平分线的性质求出∠BAM+∠NAC=80°，∠BAC=100°，求出即可； （3）根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）∵DE垂直平分AB， ∴DA=DB， ∴∠B=∠BAD， 同理：GA=GC，∠C=∠GAC， ∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=100°， ∴∠B+∠C=80°， ∴∠BAD+∠GAC=80°， ∴∠DAG=∠BAC-（∠BAD+∠GAC）=100°-80°=20°； （2） 略 （3）由（2）知，AD=BD，AG=GC， ∴AD+DG+AG=BD+DG+GC=BC． 【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，进行有效的角与线段的转化是正确解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省桂阳县2021年鹿峰中学八年级上册数学竞赛试题． （考试时间：120分钟；满分：120分） 一、选择题．（每题3分，共24分） 1. 下列式中是分式的为（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（ ） A. 7，3，4 B. 5，6，12 C. 3，4，5 D. 1，2，3 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式化简结果为无理数的是（　　） A. B. C. D. 5. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE，∠D=74°，则∠B的度数为（　　） A. 68° B. 32° C. 22° D. 16° 7. 下列命题是真命题的是（ ） A. 如果=1，那么a=1； B. 三个内角分别对应相等的两个三角形全等； C. 如果a是有理数，那么a是实数 ； D. 两边一角对应相等的两个三角形全等． 8. 若关于的不等式组的整数解共有个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．填空题．（每题3分，共24分） 9. 要使式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_____________ ． 10. 2011年3月11日，里氏9.0级的日本大地震导致当天地球的自转时间较少了0.000 001 6秒，将0.000 001 6用科学记数法表示为_________． 11. 如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝6，AC的垂直平分线DE交AC于点E，交AB于点D，连接CD，则△BCD的周长为___． 12. 如图，已知，，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是_______． 13. 已知，则的平方根是_____________ ． 14. 若关于x的分式方程有增根，则m的值为_____________ ． 15. 若，且是两个连续的整数，则的立方根是________． 16. 对于任意不相等的两个数a，b．定义一种运算※如下： ，如，那么_____． 三．解答题．（共72分） 17. 计算： 18. 解下列分式方程： 19. 如图，点D，E在线段BC上，BD＝CE，∠ADE＝∠AED，证明△ABC是等腰三角形． 20. 先化简，再求值：，其中是不等式组的一个整数解． 21. 如图，在中，，，D为延长线上一点，点E在边上，且，连接，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 22. 某果园收获枇杷吨，桃子12吨．现计划租用甲、乙两种货车共辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷吨和桃子吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各吨． （1）应如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地？有几种方案？ （2）若甲种货车每辆的运费为元，乙种货车每辆的运费为元，则选择哪种方案时运费最少？最少运费是多少元？ 23. 阅读下面材料： 定义：如果一个数的平方等于，记作，这个数叫做虚数单位，把形如（a、b为实）的数叫做复数，其中叫做这个复数的实部，叫做这个数的虚部，它的加减乘法运算类似． 例如：； ； 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空： ； ； （2）计算：； （3）计算： 24. 如图，中，，，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动，点Q的运动速度为，运动时间为t秒． （1）用含t的式子表示，． （2）当与全等时，求v的值． 25. 根据下面图形，解答问题： （1）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线（如图1），求∠DAG的度数？ （2）在（1）中，若去掉“AB=AC”的条件，其余条件不变（如图2），还能求出∠DAG的度数吗？若能，请求出∠DAG的度数；若不能，请说明理由； （3）在（图2）的情况下试探索△ADG的周长与BC长的关系？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $