二次函数及其应用（3） 知识点训练卷 内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》第12卷 （原卷版+解析版）

编写说明：内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及内蒙古历年对口招生真题编写。本套试卷共100份：第一部分是按照课程标准编写的67份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、不等式、函数等11个章节的23份专题训练卷；第三部分是参考历年真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》的第12卷，是知识点训练卷，主要考查二次函数及其应用的掌握情况。 内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》 第12卷 二次函数及其应用（3） 知识点训练卷 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 1、 选择题：（本大题共10个小题．每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知二次函数图象的顶点在第四象限，设函数，则（    ） A．是增函数，其图象与轴有一个交点 B．是增函数，其图象与轴没有交点 C．是减函数，其图象与轴有一个交点 D．是减函数，其图象与轴没有交点 2．已知函数，且，则的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 3．已知二次函数（）的部分对应值如表所示： 1 3 0 则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数在是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．二次函数满足，且有两个实根，则（    ）． A．0 B．3 C．6 D．不能确定 7．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 8．函数的最大值是（    ） A．3 B．6 C．4 D．5 9．若函数在区间上是单调增增，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．已知二次函数，则函数在区间上（    ） A．单调递增 B．单调递减 C．有最大值，无最小值 D．既有最大值又有最小值 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．若函数在区间上是增函数，则实数m的取值范围是 12．二次函数在区间上的最大值为 ． 13．某商场经营一种小商品，已知进购时单价是20元．调查发现：当销售单价是30元时，月销售量为240件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件商品的售价不能高于40元．当月销售利润最大时，销售单价为 ． 14．函数的单调递增区间为 ． 15．若函数的图像关于直线对称，则的最大值为 . 三、解答题（本大题共4个小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16．有根木料长为42米，要做成一个如图所示“日”字型的矩形窗框.已知上框架与下框架的高的比为，设上窗框木料的高为米，窗框的面积为.（注：中间木档的面积可忽略不计，此矩形窗框的上中下有三条横边.）    (1)求关于的函数解析式； (2)求面积的最大值. 17．已知函数． (1)若函数区间上单调递减，求实数的取值集合； (2)若的解集为R，求实数的取值集合． 18．已知函数，且． (1)求实数a的值； (2)求在区间上的值域． 19．已知二次函数的图象经过点和点. (1)求函数的解析式； (2)写出该函数图象的顶点坐标、对称轴方程与最值； (3)若，求函数的值域. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及内蒙古历年对口招生真题编写。本套试卷共100份：第一部分是按照课程标准编写的67份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、不等式、函数等11个章节的23份专题训练卷；第三部分是参考历年真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》的第12卷，是知识点训练卷，主要考查二次函数及其应用的掌握情况。 内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》 第12卷 二次函数及其应用（3） 知识点训练卷 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 1、 选择题：（本大题共10个小题．每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知二次函数图象的顶点在第四象限，设函数，则（    ） A．是增函数，其图象与轴有一个交点 B．是增函数，其图象与轴没有交点 C．是减函数，其图象与轴有一个交点 D．是减函数，其图象与轴没有交点 【答案】A 【分析】根据原函数的顶点分析a的取值范围，再分析给定函数的单调性以及图像平移判断交点即可. 【详解】， 顶点坐标为， 二次函数图像的顶点在第四象限， ，， ∵函数为， 函数为增函数， ∵，∴， 则可知函数由向下平移了个单位， ∴其图象与轴有一个交点， 故选：A. 2．已知函数，且，则的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由条件求解a的值，再由二次函数的性质求解即可. 【详解】由题意可知； ，则； 所以，其对称轴为，且图像开口向上， 所以其单调递增区间为. 故选：A. 3．已知二次函数（）的部分对应值如表所示： 1 3 0 则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次函数的对称性，结合表格得到的开口方向及与轴交点的两个横坐标，从而得到的解集． 【详解】由表可知当时；当时； 所以是二次函数的对称轴， 又当时，所以与轴的另一个交点的横坐标为， 结合表格可知开口向上， 所以不等式的解集为. 故选：D 4．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得的定义域，结合二次函数的单调与复合函数同增异减原则即可解. 【详解】对于，有，解得， 所以的定义域为， 对于，其图象开口向下，对称轴为，且， 所以的单调递增区间为， 又函数在为单调递增函数， 根据复合函数同增异减原则，可得的单调递增区间为. 故选：D. 5．已知函数在是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二次函数的单调性即可得解. 【详解】因为函数的图像是开口向下的抛物线. 对称轴为. 所以减区间为. 由题意可知函数在上为减函数. 所以. 解得. 所以的取值范围为. 故选:. 6．二次函数满足，且有两个实根，则（    ）． A．0 B．3 C．6 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据二次函数图象的特点和所给的抽象函数式的意义，知道函数图象是关于对称，又有函数与轴的两个交点也是关于对称轴对称，得到结果． 【详解】由可得对称轴为， 又∵对称轴为， ∴， 又. 故选：C． 7．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用求二次函数的值域解答即可. 【详解】该函数的图像为开口向上的抛物线，对称轴方程为， 因为函数定义域为，所以当时，函数取得最小值， 当时，函数取得最大值3， 所以值域为， 故选：D. 8．函数的最大值是（    ） A．3 B．6 C．4 D．5 【答案】D 【分析】用同角三角函数的基本关系、换元法、二次函数求最值. 【详解】因为， 所以， 令， 得，对称轴为，函数在上递增， 所以当时，有最大值5. 故选：D 9．若函数在区间上是单调增增，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数解析式判断是二次函数,根据的值知道开口向下,函数在区间上单调递增,判断对称轴与4的关系得出结论. 【详解】函数是二次函数,开口向下,对称轴,且在区间上单调递增, 得出,解得. 故选:D. 10．已知二次函数，则函数在区间上（    ） A．单调递增 B．单调递减 C．有最大值，无最小值 D．既有最大值又有最小值 【答案】C 【分析】利用二次函数的性质，分析其开口与对称轴，进而得到其单调性与最值，从而得解. 【详解】因为的图象开口向下，对称轴为， 又，所以， 所以在上单调递增，在上单调递减，故AB错误； 所以在上有最大值，没有最小值，故C正确，D错误. 故选：C. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．若函数在区间上是增函数，则实数m的取值范围是 【答案】 【分析】利用二次函数的单调性可得出关于实数的不等式，即可求解. 【详解】二次函数的图像开口向上， 对称轴为直线，所以单调增区间为， 又函数在区间上是增函数， 则，解之得，则实数的取值范围是. 故答案为：. 12．二次函数在区间上的最大值为 ． 【答案】5 【分析】先求出函数的对称轴和增减区间，判断区间与对称轴的位置关系，进而求出函数在该区间上的最大值. 【详解】二次函数的对称轴为，且函数图像开口向上， 所以在上单调递减，在上单调递增，在处取最小值， 又因为对称轴在区间之间，所以，， 所以区间上的最大值在处取到，最大值为5. 故答案为：5 13．某商场经营一种小商品，已知进购时单价是20元．调查发现：当销售单价是30元时，月销售量为240件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件商品的售价不能高于40元．当月销售利润最大时，销售单价为 ． 【答案】37元 【分析】根据利润等于销售单价与进购单价的差乘以销售量进行求解出二次函数解析式，再求解二次函数的最大值即可. 【详解】设销售单价上涨x元，月销售利润为y元． 因为每件商品售价不能高于40元，所以， 依题意得： ， 所以当时，y的最大值为2890， 所以每件商品售价为（元）. 故答案为：37元． 14．函数的单调递增区间为 ． 【答案】 【分析】首先运用换元法将复合函数拆解，再根据指数函数的单调性，和二次函数的单调性求出两根单调性相同的区间即可. 【详解】函数是复合函数， 外层函数为是在R上单调递增， 是二次函数，对称轴为，且，开口向下， 则在上单调递增，在上单调递减， 根据同增异减原则，的单调递增区间为． 故答案为：. 15．若函数的图像关于直线对称，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据二次函数的对称轴公式求出，再根据二次函数的单调性求最值即可. 【详解】因为函数的图像关于直线对称， 所以，所以， 所以，即， 当时，函数单调递减，当时，函数单调递增， 所以当或时，函数取最大值，最大值为. 故答案为：. 三、解答题（本大题共4个小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16．有根木料长为42米，要做成一个如图所示“日”字型的矩形窗框.已知上框架与下框架的高的比为，设上窗框木料的高为米，窗框的面积为.（注：中间木档的面积可忽略不计，此矩形窗框的上中下有三条横边.）    (1)求关于的函数解析式； (2)求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，先表示出矩形窗框的长和宽及取值范围，结合矩形面积公式即可求解. （2）根据二次函数求最值，利用配方法结合题意即可求解. 【详解】（1）因为上框架与下框架的高的比为，上窗框木料的高为米， 所以下框架的高为米，矩形窗框的高为米，故窗框的横边长为米， 由题意得，解得， 所以窗框的面积为. （2）由（1）知， 又， 所以当米时，窗框的面积最大为平方米. 17．已知函数． (1)若函数区间上单调递减，求实数的取值集合； (2)若的解集为R，求实数的取值集合． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的图像和性质即可求解. （2）根据二次函数恒成立需满足的条件即可求解. 【详解】（1）函数的开口向上，对称轴为， 又函数区间上单调递减， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. （2）由于的解集为R，即恒成立， 所以，即， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． 18．已知函数，且． (1)求实数a的值； (2)求在区间上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入函数解析式即可求解； （2）根据对数函数的性质即可求解. 【详解】（1）因为， 则； （2）由（1）知：， 令， 其图像为开口向上的抛物线，对称轴为， 因为， 所以，当时，取最小值1，当时，取最大值2， 所以， 因为，所以为上的单调递增函数， 所以， 所以在区间上的值域. 19．已知二次函数的图象经过点和点. (1)求函数的解析式； (2)写出该函数图象的顶点坐标、对称轴方程与最值； (3)若，求函数的值域. 【答案】(1). (2)顶点坐标为，对称轴为，函数的最小值为. (3). 【分析】（）将点和点代入二次函数中列出方程组即可得解. （）将二次函数解析式化为顶点式即可得解. （）根据二次函数的单调性即可求出函数在中的最值即可得解. 【详解】（1）因为二次函数的图象经过点和点， 所以，解得， 所以函数解析式为. （2）因为， 所以顶点坐标为，对称轴为，函数的最小值为. （3）因为函数的对称轴为，图像为开口向上的抛物线， 时，当时，最小为；当时，最大为， 所以当时，函数值域为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $