二次函数及其应用（2） 知识点训练卷 内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》第11卷 （原卷版+解析版）

编写说明：内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及内蒙古历年对口招生真题编写。本套试卷共100份：第一部分是按照课程标准编写的67份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、不等式、函数等11个章节的23份专题训练卷；第三部分是参考历年真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》的第11卷，是知识点训练卷，主要考查二次函数及其应用的掌握情况。 内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》 第11卷 二次函数及其应用（2） 知识点训练卷 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 1、 选择题：（本大题共10个小题．每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数在上是减函数，在上是增函数，则的值是（     ） A． B． C． D． 2．数列的通项公式为 ，则 最小的值的项数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．若关于的二次函数在上是增函数，在上是减函数，则（   ） A．32 B．16 C． D． 4．已知二次函数有最小值，则与之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 5．关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．函数图像的开口向下 B．函数图像的顶点坐标是 C．该函数有最大值，最大值是 D．当时，随的增大而增大 6．关于下列叙述错误的是（    ） A．函数的最大值是1 B．函数图像的对称轴是直线 C．函数的单调递增区间是 D．函数图像过点 7．如图，某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高为（精确到0.1m，水泥建筑物的厚度忽略不计）（    ）    A．5.1m B．9.0m C．9.1m D．9.2m   8．关于函数，下列叙述错误的是（    ） A．函数的最大值是1 B．函数图象的对称轴是直线 C．函数的单调递减区间是 D．函数图象过点 9．对于二次函数的图像，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，随的增大而减小 D．顶点坐标为 10．函数的递减区间是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．若二次函数在上是减函数，在上是增函数，则 . 12．若函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围是 ． 13．某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个 元． 14．函数的值域为 ． 15．已知函数有负值，则实数a的取值范围是 . 三、解答题（本大题共4个小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16．如图，用一根长为的铁丝围成一个底角为的等腰梯形．设梯形的腰长为，面积为（铁丝的粗细不计）． (1)写出关于的函数解析式，并求当时的值； (2)求当为何值时，取最大值？并求出最大值． 17．已知函数，． (1)当时，求的最大值与最小值． (2)求实数的取值范围，使在区间上是单调函数． 18．已知二次函数的图像经过点，，.求： (1)的解析式； (2)图像的顶点坐标和对称轴方程. 19．函数在上是增函数.求： (1)实数a的取值范围； (2)函数的值域. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及内蒙古历年对口招生真题编写。本套试卷共100份：第一部分是按照课程标准编写的67份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、不等式、函数等11个章节的23份专题训练卷；第三部分是参考历年真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》的第11卷，是知识点训练卷，主要考查二次函数及其应用的掌握情况。 内蒙古2026年对口招生《数学考纲百套卷》 第11卷 二次函数及其应用（2） 知识点训练卷 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 1、 选择题：（本大题共10个小题．每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数在上是减函数，在上是增函数，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得出为函数的对称轴，求出即可. 【详解】由函数在是减函数，在是增函数， 所以函数图象的对称轴为， 则对称轴， 解得. 故选：A. 2．数列的通项公式为 ，则 最小的值的项数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据数列的通项公式结合二次函数的性质即可求解. 【详解】由题意知：，可得时取最小值. 故选：B． 3．若关于的二次函数在上是增函数，在上是减函数，则（   ） A．32 B．16 C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数的对称轴公式及二次函数的性质求参数，然后利用指数运算可求. 【详解】二次函数在上是增函数，在上是减函数， 可知二次函数对称轴为， 则有，即，解得； 则； 故选：B. 4．已知二次函数有最小值，则与之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】根据二次函数图像的单调性求解. 【详解】二次函数有最小值，则，开口向上， 当时，有最小值， ∴ ∴， 故选：B. 5．关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．函数图像的开口向下 B．函数图像的顶点坐标是 C．该函数有最大值，最大值是 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质逐个分析即可. 【详解】对于A，中，的系数为，，函数图像开口向上，A错误， 对于B，函数图像的顶点坐标是，B错误， 对于C，函数图像开口向上，有最小值为，C错误， 对于D，函数图像的对称轴为，时，随的增大而减小， 时，随的增大而增大，D正确． 故选：D． 6．关于下列叙述错误的是（    ） A．函数的最大值是1 B．函数图像的对称轴是直线 C．函数的单调递增区间是 D．函数图像过点 【答案】C 【分析】利用二次函数的最值、对称轴、单调区间判断即可. 【详解】函数对称轴，所以B选项正确； 图像开口向下，且在对称轴处取得最大值，所以A选项正确； 图像开口向下，且在对称轴，函数的单调递增区间是，所以C选项错误； 将点代入函数，得，所以D选项正确； 故选：C. 7．如图，某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高为（精确到0.1m，水泥建筑物的厚度忽略不计）（    ）    A．5.1m B．9.0m C．9.1m D．9.2m 【答案】C 【分析】通过建立直角坐标系，再把点代入抛物线的方程即可求解. 【详解】解：建立如图所示的直角坐标系， 则都是抛物线上的点. 设抛物线方程为， 代入点解得. 则. 即抛物线的顶点为. 则校门的高为 故选：C    8．关于函数，下列叙述错误的是（    ） A．函数的最大值是1 B．函数图象的对称轴是直线 C．函数的单调递减区间是 D．函数图象过点 【答案】C 【分析】利用二次函数的对称轴、最值、单调区间可判断. 【详解】函数为二次函数，图象为抛物线，， 函数开口向下，所以函数最大值为. ，A选项正确； 函数图象对称轴为，B选项正确； 函数开口向下，函数的单调递减区间是，C选项错误； 将点代入可值，等式成立，D选项正确； 故选：C. 9．对于二次函数的图像，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，随的增大而减小 D．顶点坐标为 【答案】D 【分析】根据二次函数的图像开口，对称轴公式，单调性，顶点坐标等逐个分析即可. 【详解】对于二次函数，，则开口向下，故A错误. 对称轴是直线，故B错误. 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 所以当时，随的增大先增大后减小，故C错误. 顶点坐标为，故D正确. 故选：D． 10．函数的递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的解析式求出对称轴，即可得到单调减区间. 【详解】∵函数的对称轴为，图像为开口向上的抛物线， ∴函数的递减区间是， 故选：. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．若二次函数在上是减函数，在上是增函数，则 . 【答案】1 【分析】根据二次函数的图像性质和单调性，得到函数的对称轴，即可求解. 【详解】因为二次函数为开口向上的抛物线，且在上是减函数，在上是增函数， 所以二次函数的对称轴，解得， 故答案为：. 12．若函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先由二次函数的性质求出单调增区间，再利用对称轴与区间的位置关系即可求解. 【详解】二次函数，系数为，函数图像开口向上， 对称轴为， 函数在单调递减，在单调递增， 因为函数在区间 上单调递增，所以， 则的取值范围是， 故答案为： 13．某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个 元． 【答案】60 【分析】根据题意，设涨价金额为自变量元，列出函数关系，即可求解. 【详解】设涨价元时，获得利润为元，根据题意得到，， 化简得. 时，取最大值，此时售价为60元． 故答案为：60. 14．函数的值域为 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的图像和性质即可求解. 【详解】∵的二次项系数为负，对称轴为， ∴函数的最大值为，最小值为， ∴函数的值域为. 故答案为：． 15．已知函数有负值，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据二次函数的图像和性质求解即可. 【详解】因为函数是二次函数， 所以图像开口向上，因为函数有负值， 则方程有两个不同的实数根，所以， 解得或， 所以a的取值范围是. 故答案为:. 三、解答题（本大题共4个小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16．如图，用一根长为的铁丝围成一个底角为的等腰梯形．设梯形的腰长为，面积为（铁丝的粗细不计）． (1)写出关于的函数解析式，并求当时的值； (2)求当为何值时，取最大值？并求出最大值． 【答案】(1)；当时， (2)当时，取最大值 【分析】（1）先通过等腰梯形的性质求出上底、下底和高与腰长的关系，进而求出函数解析式，再代入求值； （2）根据二次函数的性质求最值即可. 【详解】（1）如图，设梯形的上底为，下底为，高为．因为腰长为，底角为， 由题意可知，，， 又梯形的周长为， ， 梯形的面积关于的函数解析式为． 其中需满足的条件是即， 关于的函数解析式为． 当时，． （2）由（1）知的定义域为， 对称轴为， 又，显然，在上随的增大而增大， 在上，随的增大而减小． 当时，面积有最大值，． 17．已知函数，． (1)当时，求的最大值与最小值． (2)求实数的取值范围，使在区间上是单调函数． 【答案】(1)最大值为37，最小值为1 (2) 【分析】(1)  由题知，函数的对称轴为，且开口向上，利用二次函数的性质可求解； (2) 由于关于对称，要使在区间上是单调函数，只需或，解不等式可求解. 【详解】（1）当 时，， 此时对称轴为，且开口向上， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以； . （2）因为关于对称， 所以要使在区间 上是单调函数， 则必有或， 解得或. 即实数的取值范围是． 18．已知二次函数的图像经过点，，.求： (1)的解析式； (2)图像的顶点坐标和对称轴方程. 【答案】(1) (2)顶点坐标是，对称轴方程是. 【分析】（1）设二次函数为，，将三个点代入求解a，b，c的值即可. （2）方法一：应用二次函数的顶点坐标公式代入求解即可. 方法二：将函数的一般式化为顶点式求解即可. 【详解】（1）因为为二次函数， 所以设，， 又因为二次函数的图像经过点，，， 将三点代入方程得，解得， 所以. （2）方法一：因为，， 所以图像的顶点坐标是，对称轴方程是. 方法二：， 所以图像的顶点坐标是，对称轴方程是. 19．函数在上是增函数.求： (1)实数a的取值范围； (2)函数的值域. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由二次函数的性质可得对称轴小于等于4就可求得答案. （2）根据二次函数的性质可求得函数的值域. 【详解】（1）二次函数的简图如图所示.由题意得，解得， ∴实数a的取值范围是.    （2）二次函数的图像开口向上， ∴函数有最小值，且最小值为， ∴函数的值域为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $